Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

8.5. теыеойс

211

ХУФТБОСЕФ НОПЦЙФЕМЙ 1=n РЕТЕД ДЙБЗТБННБНЙ, РПУМЕ ЮЕЗП ТСД УХННЙТХЕФУС, ЛБЛ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛБС РТПЗТЕУУЙС. œЩТБЦЕОЙЕ, ЛПФПТПЕ РТЙ ЬФПН РПМХЮБЕФУС, ЕУФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ˝(i!; q) Й ЪБЬЛТБОЙТПŒБООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Vi!;q, ЙЪ ЛПФПТПЗП ŒЩЮФЕОП ЪБФТБŒПЮОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Vq (РПФПНХ ЮФП ТСД ОБЮЙОБЕФУС У n = 2). фБЛЙН ПВТБЪПН,

e2

@

1

˝(i!; q)

d3q

@e2

˙ËÏÒ = −

2

T

!

Vi!;q − Vq

(2ı)3

:

(8.109)

уПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 44, ЪБЬЛТБОЙТПŒБООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЕУФШ (8.42). юФП ЛБУБЕФУС РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ ˝(i!; q), ФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ ЖПТНХМЩ (8.47)

ÄÁÅÔ			:
!		qv
˝(i!; q) = − 1 − qvF	arctg	!F		(8.110)

ъБНЕОСС РТЙ T = 0 УХННЙТПŒБОЙЕ РП ! ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН, Й РПДУФБŒМСС Vi!;q ÉÚ (8.42), ÐÒÉŒÏÄÉÍ (8.109) Ë ŒÉÄÕ

@

1

˝2(i!; q) Vq2

d! d3q

e2 @e2 ˙ËÏÒ = −2

1 − ˝(i!; q) Vq (2ı)4

:

(8.111)

хДПВОП ŒŒЕУФЙ s = !=qvF Й ПВПЪОБЮЙФШ ˝(i!; q) = − P (s). рПМХЮБЕН

@

∞

(4ıe2)2 2 P 2(s) qvF ds 4ı q2 dq

e2 @e2 ˙ËÏÒ = −

q2(q2 + κ2P (s))

2ı

(2ı)3

=

0

∞

= −

κ4vF

∞

P 2(s)

4ı3

q2 + κ2P (s) ds qdq ;

(8.112)

0

0

ÇÄÅ κ2 = 4ıe2 . йОФЕЗТЙТХЕН РП q, ПВТЕЪБС ЙОФЕЗТБМ УŒЕТИХ ОБ p0:

@

κ4vF

∞

p02

κ4vF

p0

∞

e2 @e2

˙ËÏÒ = − 8ı3

ln κ2 P (s) P 2(s)ds ≈ − 4ı3 ln

κ

P 2(s) ds

(8.113)

0

0

(РПУМЕДОЙК

ÛÁÇ ŒÅÒÅÎ

Ó

МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША,

РПУЛПМШЛХ

p02=κ2 =

(ı=4)hv— F =e2 1). йОФЕЗТБМ

J = ∞P 2(s) ds

(8.114)

0

ХДПВОП ŒЩЮЙУМЙФШ У РПНПЭША УМЕДХАЭЕЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС P (s), ЛПФПТПЕ УМЕДХЕФ ЙЪ ПРТЕДЕМЕОЙС РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ:

1	x2
P (s) =
	s2 + x2 dx = 1 − s arctg(1=s) :	(8.115)

0

212								змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй
йОФЕЗТЙТХЕН:					(s2 + x2) (s2 + y2) dx dy ds = ı									x + y dx dy =
J =
	∞		1	1		x2 y2						1	1	xy
	0	0		0	2				−	x		0	0	3
					= ı	1				x ln x + 1	= ı(1 − ln 2) :
						x dx		1							(8.116)
						0

хЮЙФЩŒБС УППФОПЫЕОЙЕ κ2 = 4ıe2 Й ЙОФЕЗТЙТХС РП e2, РПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОЩК ПФŒЕФ:

˙	=	−	1 − ln 2	κ4 v	F	ln p0	(8.117)
ËÏÒ			24ı2			κ

фБЛЙН ПВТБЪПН, РТПУХННЙТПŒБŒ ЛПМШГЕŒЩЕ ДЙБЗТБННЩ, НЩ ДЕКУФŒЙФЕМШОП РПМХЮЙМЙ ЛПОЕЮОХА ЛПТТЕМСГЙПООХА ЬОЕТЗЙА. рТЙ ЬФПН МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ТБУИПДЙНПУФШ, ОБКДЕООБС ŒП ŒФПТПН РПТСДЛЕ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, БŒФПНБФЙЮЕУЛЙ ПВТЕЪБМБУШ ОБ ПВТБФОПН ТБДЙХУЕ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС, q ≈ κ.

тЕЫЕОЙЕ 49 В. оБКДЕН ЬОЕТЗЙА ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, РТЕДУФБŒЙŒ ЕЕ ЛБЛ ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК ПУГЙММСФПТПŒ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ. œПУРПМШЪХЕНУС ЖПТНХМПК

∞		!2 + !12 d!		!1	−	!2
	ln	!2 + !22 4ı	=	2		2	;	(8.118)
−∞

ЛПФПТХА ОЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН РП ЮБУФСН. рТЙНЕОЙН ЕЕ Л ПРЕТБФПТБН

A =	k	!p2	;k’p+;k’p;k ; B = 2		Vk	k	!p1=;k2’p+;k		!p1=;2k’p;k ; (8.119)
k;									k
				k
	p R					p R	p	R

УХННБ ЛПФПТЩИ ЕУФШ ХДŒПЕОООБС ĂРПФЕОГЙБМШОБС ЬОЕТЗЙСĄ ПУГЙММСФПТПŒ, ПРЙУЩŒБЕНЩИ ЗБНЙМШФПОЙБОПН H0 + Hint (УН. (8.23) Й (8.24). рПМХЮБЕН

´E = Tr ∞ ln		!2	+ A
−∞
тБЪМПЦЙН ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ ТСД:
´E =	∞	(−1)n−1
0			n
!> n=1

œЩЮЙУМСС УМЕД, ОБИПДЙН

+ B !2	+ A −	1		d!	:	(8.120)
				4ı
			n :			(8.121)
Tr B(!2	+ A)−1

´E =	∞	(−1)n−1			Vk	k	24!p;k2	n =		(8.122)
		∞					! + !p;k			d! d3k
!>0 n=1			1)n 1
		n		k		p R			ln (1 − Vk˝(!; k)) 2(2ı)4 :
= !>0	k	n=1 (− n −			(−Vk˝(!; k))n =

8.5. теыеойс

213

юФПВЩ ХУФБОПŒЙФШ УППФŒЕФУФŒЙЕ У ŒЩЮЙУМЕОЙЕН ПВНЕООПК Й ЛПТТЕМСГЙПООПК ЬОЕТЗЙК Œ ЪБДБЮБИ 48 Й 49 Б, ЪБНЕФЙН УМЕДХАЭЕЕ. рЕТŒЩК ЮМЕО ЖПТНБМШОПЗП ТБЪМПЦЕОЙС МПЗБТЙЖНБ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (8.122) Œ ТСД РП УФЕРЕОСН Vk ДБЕФ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ ПВНЕООХА ЬОЕТЗЙА, ŒЩЮЙУМЕООХА Œ ЪБДБЮЕ 48 Б. œ ЬФПФ РЕТŒЩК ЮМЕО Vk ŒИПДЙФ Œ РЕТŒПК УФЕРЕОЙ, ЮФП ДБЕФ УИПДСЭЙКУС РТЙ НБМЩИ k ЙОФЕЗТБМ. оЕФТХДОП ХВЕДЙФШУС, ЮФП ЕУМЙ ŒЩЮЕУФШ ЙЪ (8.122) ПВНЕООХА ЬОЕТЗЙА (Œ УЙМХ УИПДЙНПУФЙ ЙОФЕЗТБМБ, ФБЛПЕ ŒЩЮЙФБОЙЕ | ЛПТТЕЛФОБС РТПГЕДХТБ), ФП РПМХЮЙŒЫЕЕУС ŒЩТБЦЕОЙЕ РТЙ ДЙЖЖЕТЕОГЙТПŒБОЙЙ РП e2 ДБЕФ ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.111), ПРТЕДЕМСАЭЕЕ ЛПТТЕМСГЙПООХА ЬОЕТЗЙА. рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.122) ЕУФШ УХННБ ПВНЕООПК Й ЛПТТЕМСГЙПООПК ЬОЕТЗЙК.

тЕЪХМШФБФ (8.122), ŒЩŒЕДЕООЩК РТЙ T = 0, ОЕФТХДОП ПВПВЭЙФШ ОБ УМХЮБК ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЩ. ьФП ДЕМБЕФУС РП БОБМПЗЙЙ У ЪБДБЮЕК 35, ЗДЕ ВЩМБ РПМХЮЕОБ УŒСЪШ НЕЦДХ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙН РПФЕОГЙБМПН Й ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ. œ ТЕЪХМШ-

ФБФЕ РПМХЮБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕ, РПДПВОПЕ (8.122), Œ ЛПФПТПН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ	: : : d!=		ı
ЪБНЕОЕОП УХННЙТПŒБОЙЕН T n : : : ÐÏ !n = 2ınT .		2

тЕЫЕОЙЕ 49 Œ. тБУУНПФТЙН ЛПТТЕМСГЙПООХА ЬОЕТЗЙА ОЕŒЩТПЦДЕООПК РМБЪНЩ.
нПЦОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ЖПТНХМПК (8.109), ПУФБŒМСС Œ ОЕК МЙЫШ ЮМЕО У ! = 0:
	@		T	V 2 ˝2(q)!=0	d3q	:	(8.123)
e2 @e2		˙ËÏÒ = − 2		1 q Vq˝(q)!=0 (2ı)3
				−
œЕМЙЮЙОБ ˝(q)!=0 РТЙ НБМПН |q| p0 ÅÓÔØ
˝(q → 0)!=0 =	nF (‰p)		nF (‰p+q) 2 d3p		@nF (‰p) 2 d3p		(8.124)
		‰p	− ‰p+q	(2ı)3 ≈	@‰p	(2ı)3
			−

(НЩ ЙУРПМШЪПŒБМЙ ФПЦДЕУФŒП (7.85)). рПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ ВПМШЫЙЕ ФЕНРЕТБФХТЩ (T EF ), НПЦОП ЪБНЕОЙФШ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ жЕТНЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕН вПМШГНБОБ, ДМС ЛПФПТПЗП @nB (‰)=@‰ = −nB (‰)=T . рПЬФПНХ

	˝!=0(q → 0) = −n=T ;		(8.125)
ЗДЕ n | РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ. пФУАДБ
Vq =	Vq	4ıe2
	1 − Vq ˝(q → 0)!=0	= q2 + κ2 ;	(8.126)

ÇÄÅ κ2 = 4ıe2n=T | ЛМБУУЙЮЕУЛЙК ДЕВБЕŒУЛЙК ТБДЙХУ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС. œ ТЕЪХМШФБФЕ

e2	@	˙ËÏÒ = −	T		κ4		T κ3	d3q	:
	@e2		2		q2 (q2 + κ2) = −		8ı	(2ı)3		(8.127)
йОФЕЗТЙТХС РП e2, РПМХЮБЕН
		˙ËÏÒ = −T κ3				=(12ı) ;				(8.128)

ЮФП УПŒРБДБЕФ У ТЕЪХМШФБФПН, ЙЪŒЕУФОЩН ДМС ЛМБУУЙЮЕУЛПК РМБЪНЩ (УН. [5] § 78). пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ОЕБОБМЙФЙЮЕУЛХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ŒЩТБЦЕОЙК (8.117) Й (8.128)

ÏÔ e2. рТЙ T = 0 ЛПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙС РТПРПТГЙПОБМШОБ e4 ln e2, Á ÐÒÉ T EF ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.128) ДБЕФ ˙ËÏÒ e3. œ ТЕЪХМШФБФЕ ЖПТНБМШОПЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ ˙ËÏÒ РП ГЕМЩН УФЕРЕОСН e2 ПЛБЪЩŒБЕФУС ОЕŒПЪНПЦОЩН. ьФБ ОЕБОБМЙФЙЮОПУФШ Й ЕУФШ ЖПТНБМШОБС РТЙЮЙОБ ФПЗП, ЮФП Œ ТСДХ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК РТЙУХФУФŒХАФ ТБУИПДСЭЙЕУС ЮМЕОЩ.

214	змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

8.6.ьОЕТЗЙС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММЕ. œЙЗОЕТПŒУЛЙК ЛТЙУФБММ

тБУУНПФТЙН ЬОЕТЗЙА ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ Œ НЕФБММЕ, ЙУРПМШЪХС НПДЕМШ ЦЕМЕ. œ РТЕДЕМЕ ŒЩУПЛПК РМПФОПУФЙ ЬМЕЛФТПОПŒ n УЙУФЕНБ ВХДЕФ РПЮФЙ ЙДЕБМШОЩН ЖЕТНЙ-ЗБЪПН У ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОЩНЙ РПРТБŒЛБНЙ, НБМЩНЙ РП РБТБНЕФТХ e2=hv— F 1 оБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООПК ЬОЕТЗЙЕК Œ ЬФПН УМХЮБЕ ВХДЕФ ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС, ŒЕМЙЮЙОБ ЛПФПТПК РПТСДЛБ p20=2m ОБ ЮБУФЙГХ. ьФП ДБЕФ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ОБ ЕДЙОЙГХ РМПЭБДЙ ˙ËÉÎ n5=3.

рПРТБŒЛЙ РЕТŒПЗП РПТСДЛБ РП НЕЦЬМЕЛФТПООПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ВЩМЙ ОБКДЕОЩ Œ ЪБДБЮЕ 48 Б. ьОЕТЗЙС иБТФТЙ Œ НПДЕМЙ ЦЕМЕ ТБŒОБ ОХМА ЙЪ-ЪБ ЛПНРЕОУБГЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ У РПМПЦЙФЕМШОЩН ЖПОПН. пВНЕООБС ЦЕ ЬОЕТЗЙС ˙ÏÂÍ ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС Й ПФТЙГБФЕМШОБ. лБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, УХННБ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК Й ПВНЕООПК ЬОЕТ-

ÇÉÊ ˙ + ˙ ЕУФШ РТПУФП УТЕДОЕЕ + ПФ ЗБНЙМШФПОЙБОБ (8.1), ŒЪСФПЕ РП

ËÉÎ ÏÂÍ H0 Hint

ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, Ф. Е. РП УМЬФЕТПŒУЛПНХ ДЕФЕТНЙОБОФХ, РПУФТПЕООПНХ ЙЪ РМПУЛЙИ ŒПМО У |p| < p0.

рПРТБŒЛЙ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ Й ŒЩЫЕ РП e2=hv— F , ТБУУНПФТЕООЩЕ Œ ЪБДБЮБИ 48 В Й 49, ХЮЙФЩŒБАФ ЙЪНЕОЕОЙЕ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ВМБЗПДБТС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. ьФЙ РПРТБŒЛЙ РТЙОЙНБАФ ŒП ŒОЙНБОЙЕ ЙЪНЕОЕОЙЕ ЛПТТЕМСГЙК ŒЪБЙНОПЗП ТБУРПМПЦЕОЙС ЬМЕЛ-

ФТПОПŒ РП УТБŒОЕОЙА У ЙДЕБМШОЩН ЖЕТНЙ-ЗБЪПН. рПЬФПНХ УППФŒЕФУФŒХАЭЙК ŒЛМБД Œ ЬОЕТЗЙА УЙУФЕНЩ ОБЪЩŒБАФ ЛПТТЕМСГЙПООПК ЬОЕТЗЙЕК. уПЗМБУОП ЪБДБЮБН 48, 49, ПВ-

НЕООБС Й ЛПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙЙ ПФТЙГБФЕМШОЩ Й ЪБŒЙУСФ ПФ ЪБТСДБ e Й РМПФОПУФЙ

n ÔÁË: ˙ÏÂÍ −e2n4=3, ˙ËÏÒ −e4n ln(n1=3=e2).

йОФЕТЕУОП, ЮФП ЛПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙС ЙНЕЕФ ОЕБОБМЙФЙЮЕУЛХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ РБТБНЕФТБ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК e2=hv— F . рПЬФПНХ ЖПТНБМШОПЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ ˙ËÏÒ РП ГЕМЩН УФЕРЕОСН e2=hv— F ОЕ ЙНЕЕФ УНЩУМБ. œ ЬФПН Й УПУФПЙФ РТЙЮЙОБ ФПЗП, ЮФП, ЛБЛ НЩ ХВЕДЙМЙУШ Œ ЪБДБЮЕ 48 В, Œ ТСДХ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК РПСŒМСАФУС ТБУИПДЙНПУФЙ.

ъДЕУШ ХНЕУФОП ПФНЕФЙФШ, ЮФП ДМС ПФУХФУФŒЙС БОБМЙФЙЮОПУФЙ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ ˙ ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ЛПОУФБОФЩ УŒСЪЙ e2 РТЙ НБМЩИ e ЙНЕАФУС ŒЕУШНБ ПВЭЙЕ ПУОПŒБОЙС. дЕКУФŒЙФЕМШОП, ЕУМЙ ВЩ БОБМЙФЙЮОПУФШ ЙНЕМБ НЕУФП Œ ОЕЛПФПТПК ПЛТЕУФОПУФЙ e = 0, ФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ, РПМХЮЕООПЕ РТЙ e2 > 0, ВЩМП ВЩ РТЙНЕОЙНП Й Л УЙУФЕНЕ У e2 < 0, Ф. Е. У РТЙФСЦЕОЙЕН НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ. б Œ ОЕК, ЛБЛ ЙЪŒЕУФОП, ŒПЪОЙЛБЕФ ЛХРЕТПŒУЛПЕ УРБТЙŒБОЙЕ Й РТПЙУИПДЙФ РЕТЕУФТПКЛБ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС. пФНЕФЙН БОБМПЗЙА У ЛŒБОФПŒПК ЬМЕЛФТПДЙОБНЙЛПК, Œ ЛПФПТПК У РПНПЭША УИПДОПЗП ТБУУХЦДЕОЙС ДПЛБЪЩŒБЕФУС (дБКУПО, 1952), ЮФП МАВБС ЖЙЪЙЮЕУЛБС ŒЕМЙЮЙОБ, ЛБЛ ЖХОЛГЙС e2, ЙНЕЕФ ПУПВЕООПУФШ РТЙ e = 0 (УН. [4], ЗМ. 1, § 3).

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ, ЛБЛ НЕОСЕФУС УПУФПСОЙЕ НЕФБММЙЮЕУЛПК УЙУФЕНЩ РТЙ ЙЪНЕОЕОЙЙ РМПФОПУФЙ. ъБŒЙУЙНПУФШ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК Й ПВНЕООПК ЬОЕТЗЙЙ ПФ РМПФОПУФЙ ФБЛПŒБ, ЮФП РТЙ ŒЩУПЛПК РМПФОПУФЙ ˙ÏÂÍ РТЕОЕВТЕЦЙНП НБМБ РП УТБŒОЕОЙА У ˙ËÉÎ. пДОБЛП РТЙ ХНЕОШЫЕОЙЙ РМПФОПУФЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ОБЮЙОБЕФ ДБŒБФШ ПУОПŒОПК ŒЛМБД Œ ЬОЕТЗЙА. рТЙ ЬФПН, РПУЛПМШЛХ ˙ÏÂÍ ПФТЙГБФЕМШОП, УПУФПСОЙЕ У ПДОПТПДОПК РМПФОПУФША

8.6. œйзоетпœулйк лтйуфбмм

215

УФБОПŒЙФУС ОЕХУФПКЮЙŒП РП ПФОПЫЕОЙА Л ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙА ОЕПДОПТПДОПУФЕК, Й ЦЙДЛПУФШ РТЕŒТБЭБЕФУС Œ ЛТЙУФБММ (œЙЗОЕТ, 1934).

уТБŒОЙН ЬОЕТЗЙЙ ЛТЙУФБММБ Й ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. тБУУНПФТЙН ЛТЙУФБММЙЮЕУЛПЕ УПУФПСОЙЕ, Œ ЛПФПТПН ŒПМОПŒЩЕ ЖХОЛГЙЙ ЬМЕЛФТПОПŒ МПЛБМЙЪПŒБОЩ ŒВМЙЪЙ ХЪМПŒ ОЕЛПФПТПК ТЕЫЕФЛЙ. дМС ЛПОЛТЕФОПУФЙ ВХДЕН ЗПŒПТЙФШ П ЛХВЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЕ У РЕТЙПДПН a = n−1=3. хВЕДЙНУС Œ ФПН, ЮФП ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС, ПГЕОЙŒБЕНБС ЛБЛ ЬОЕТЗЙС ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК, ВХДЕФ ŒЩЫЕ, ЮЕН Œ ПДОПТПДОПК УЙУФЕНЕ У ФПК ЦЕ РМПФОПУФША, Б РПФЕОГЙБМШОБС | ОЙЦЕ. рПУЛПМШЛХ РТЙ ОЙЪЛПК РМПФОПУФЙ РПФЕОГЙБМШОБС ЬОЕТЗЙС ŒБЦОЕЕ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК, ЛТЙУФБММ ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМЕЕ ŒЩЗПДОЩН УПУФПСОЙЕН, ЮЕН ЦЙДЛПУФШ.

оБЮОЕН У ФПЗП, ЮФП ПГЕОЙН ЙЪНЕОЕОЙЕ ЛХМПОПŒУЛПК ЬОЕТЗЙЙ. рТЙ ПВТБЪПŒБОЙЙ ЛТЙУФБММБ ПОБ РПОЙЦБЕФУС, РПУЛПМШЛХ Œ ЦЙДЛПУФЙ ЬМЕЛФТПОЩ НПЗХФ ОБИПДЙФШУС ВМЙЦЕ ДТХЗ Л ДТХЗХ, ЮЕН Œ ЛТЙУФБММЕ РТЙ ФПК ЦЕ РМПФОПУФЙ. хНЕОШЫЕОЙЕ РПФЕОГЙБМШОПК ЬОЕТЗЙЙ ОБ ПДЙО ЬМЕЛФТПО ВХДЕФ РПТСДЛБ ЬОЕТЗЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС УПУЕДЕК:

EÐÏÔ(ËÒ) − EÐÏÔ(Ö) ≈ −e2=a = −e2n1=3 :

(8.129)

фЕРЕТШ ЪБКНЕНУС ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЕК ЬМЕЛФТПООПЗП ЛТЙУФБММБ. ьМЕЛФТПО УПŒЕТЫБЕФ ОХМЕŒЩЕ ЛПМЕВБОЙС ПЛПМП ПДОПЗП ЙЪ ХЪМПŒ ТЕЫЕФЛЙ. рТЙЮЕН ЛПЗДБ ЬМЕЛФТПО ОБИПДЙФУС ФПЮОП Œ ХЪМЕ, ЛХМПОПŒУЛЙЕ УЙМЩ, ДЕКУФŒХАЭЙЕ ОБ ОЕЗП УП УФПТПОЩ ДТХЗЙИ ЬМЕЛФТПОПŒ, Œ ФПЮОПУФЙ ЛПНРЕОУЙТХАФУС. рТЙ ПФЛМПОЕОЙЙ ЦЕ ПФ ХЪМБ ОБ ОЕВПМШЫПЕ ТБУУФПСОЙЕ, ЙЪ-ЪБ ОЕУЛПНРЕОУЙТПŒБООПЗП ЛХМПОПŒУЛПЗП ПФФБМЛЙŒБОЙС ПФ УПУЕДЕК РПСŒМСЕФУС ŒПЪŒТБЭБАЭБС УЙМБ. рТЙ УНЕЭЕОЙЙ x ŒПЪŒТБЭБАЭБС УЙМБ ВХДЕФ РПТСДЛБ e2=(a − x)2 − e2=(a + x)2 ≈ e2x=a3. ъБРЙУБŒ ЕЕ ЛБЛ m!2x, РПМХЮЙН ЮБУФПФХ ЛПМЕВБОЙК ЬМЕЛФТПОБ Й ТБДЙХУ МПЛБМЙЪБГЙЙ ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ:

e2	1=2	h—		1=2	e2			−1=4
! ≈ ma3		; r0 ≈ m!			≈ a hv—	(0)		;	(8.130)
						F

ÇÄÅ vF(0) | УЛПТПУФШ жЕТНЙ Œ ЙДЕБМШОПН ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ ДБООПК РМПФОПУФЙ. пГЕОЙН ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК ОБ ПДЙО ЬМЕЛФТПО:

EËÉÎ(ËÒ) ≈	h!—	e2		−1=2	e2	e2		1=2
	2	≈ hv— (0)			a	≈ hv—	(0)	EËÉÎ(Ö) ;
		F					F
ÇÄÅ EËÉÎ(Ö) ≈ h—2=(2ma2).
уДЕМБООЩЕ ПГЕОЛЙ РПЛБЪЩŒБАФ,			ÞÔÏ Œ		РТЕДЕМЕ		ОЙЪЛПК РМПФОПУФЙ,
e2=hv— F(0) 1, ЙНЕАФ НЕУФП ФБЛЙЕ ОЕТБŒЕОУФŒБ:
	EËÉÎ(Ö) EËÉÎ(ËÒ) EÐÏÔ(Ö) − EÐÏÔ(ËÒ) :

(8.131)

Ô.Å. ÐÒÉ

(8.132)

ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ПВТБЪПŒБОЙЕ ЛТЙУФБММБ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛЙ ŒЩЗПДОП. пФНЕФЙН, ЮФП

ДМС РТЙНЕОЙНПУФЙ УДЕМБООЩИ ПГЕОПЛ ФТЕВХЕФУС, ЮФПВЩ ЬМЕЛФТПООЩЕ УПУФПСОЙС ВЩМЙ ИПТПЫП МПЛБМЙЪПŒБОЩ ŒВМЙЪЙ ХЪМПŒ. оП, ЛБЛ НЩ ŒЙДЕМЙ, r0 a ÐÒÉ e2=hv— F(0) 1, ÞÔÏ

РПДФŒЕТЦДБЕФ ЛПТТЕЛФОПУФШ ОБЫЙИ ТБУУХЦДЕОЙК.

216	змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

йФБЛ, РТЙ РЕТЕИПДЕ Œ УПУФПСОЙЕ ŒЙЗОЕТПŒУЛПЗП ЛТЙУФБММБ ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС ХŒЕМЙЮЙŒБЕФУС, Б РПФЕОГЙБМШОБС ХНЕОШЫБЕФУС. рПЬФПНХ РТЙ ŒЩУПЛПК РМПФОПУФЙ ФБЛПЕ УПУФПСОЙЕ ОЕŒЩЗПДОП, Б РТЙ ОЙЪЛПК | ŒЩЗПДОП.

8.7.нЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛПЕ ПВПУОПŒБОЙЕ ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ

дЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ РПЪŒПМСЕФ ПВПУОПŒБФШ ФЕПТЙА ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ŒЕУШНБ ПВЭЙН ПВТБЪПН, Б ФБЛЦЕ ХУФБОПŒЙФШ ЗТБОЙГЩ ЕЕ РТЙНЕОЙНПУФЙ. фБЛПК ЛŒБОФПŒП-РПМЕŒПК РПДИПД Л РТПВМЕНЕ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ŒЕУШНБ РПМЕЪЕО, РПУЛПМШЛХ ПО ДБЕФ ŒПЪНПЦОПУФШ ЙУРПМШЪПŒБФШ ЙДЕЙ Й ТЕЪХМШФБФЩ ЬФПК ФЕПТЙЙ Œ УЙМШОП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ. œ ЬФПН УПУФПЙФ РТЕЙНХЭЕУФŒП РП УТБŒОЕОЙА, УЛБЦЕН, У ТБУУНПФТЕООЩН Œ ТБЪД. 8.3 ЗБНЙМШФПОПŒЩН НЕФПДПН, Œ ЛПФПТПН РТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ УМБВПЕ. лТПНЕ ФПЗП, ЗБНЙМШФПОПŒ НЕФПД ПРЙТБЕФУС ОБ ОЕУЛПМШЛП ЬŒТЙУФЙЮЕУЛПЕ РП УŒПЕНХ ИБТБЛФЕТХ РТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ЛŒБОФПŒП-РПМЕŒПК РПДИПД СŒМСЕФУС УПŒЕТЫЕООП УФТПЗЙН.

нЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ХДЕМЕОП ВПМШЫПЕ ŒОЙНБОЙЕ Œ МЙФЕТБФХТЕ (УН. [1, 6, 4]), РПЬФПНХ ЪДЕУШ НЩ ПЗТБОЙЮЙНУС ЛТБФЛЙН РЕТЕЮЙУМЕОЙЕН ПУОПŒОЩИ ТЕЪХМШФБФПŒ. рТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП ПУПВЕООПУФЙ ПДОПЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ЬОЕТЗЙЙ, ЛБЮЕУФŒЕООП ФБЛЙЕ ЦЕ, ЛБЛ ДМС ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ. б ЙНЕООП, G("; p) ЙНЕЕФ РТПУФПК РПМАУ РТЙ " = ‰(p), ЗДЕ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ‰(p) ПРТЕДЕМСЕФУС УБНПУПЗМБУПŒБООП ЮЕТЕЪ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ. рПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ŒЩЮЕФ

	a Œ РПМАУЕ	a
	G("; p) ≈		(8.133)
		" − ‰(p) + i0 sign ‰

ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХУМПŒЙА 0 < a < 1. œЕМЙЮЙОБ a ЙНЕЕФ УНЩУМ УРЕЛФТБМШОПЗП ŒЕУБ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ Œ ПДОПЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (УТ. У (4.14) Œ ЗМ.4). еДЙОУФŒЕООПК ŒЕМЙЮЙОПК, ЛПФПТБС ОЕ РЕТЕОПТНЙТХЕФУС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН, ПЛБЪЩŒБЕФУС ЙНРХМШУ жЕТНЙ, ŒЩТБЦБАЭЙКУС ЮЕТЕЪ РМПФОПУФШ: p0 = (3ı2n)1=3.

пЛБЪЩŒБЕФУС ŒПЪНПЦОЩН ŒЩСУОЙФШ, ЛБЛЙЕ ДЙБЗТБННЩ ПРЙУЩŒБАФ ДЙОБНЙЛХ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, Й РТПУМЕДЙФШ УŒСЪШ У ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙН ХТБŒОЕОЙЕН ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. дМС ЬФПЗП УМЕДХЕФ ТБУУНПФТЕФШ ДŒХИЮБУФЙЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Й ŒЩДЕМЙФШ Œ ОЙИ ŒЛМБДЩ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩН РБТБН ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ. уМЕДХС ФТБДЙГЙЙ, ВХДЕН ЗПŒПТЙФШ П ДŒХИЮБУФЙЮОПК БНРМЙФХДЕ ТБУУЕСОЙС, ЙНЕС РТЙ ЬФПН Œ ŒЙДХ, ЮФП ДТХЗЙЕ ДŒХИЮБУФЙЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ ТБУУНБФТЙŒБАФУС БОБМПЗЙЮОП.

бНРМЙФХДБ ТБУУЕСОЙС ` ЕУФШ, ЛБЛ ПВЩЮОП, УХННБ ŒУЕИ ЖЕКОНБОПŒУЛЙИ ДЙБЗТБНН У ЮЕФЩТШНС ЛПОГБНЙ. пОБ ЪБŒЙУЙФ ПВЩЮОЩН ПВТБЪПН ПФ ŒИПДСЭЙИ Й ŒЩИПДСЭЙИ ЙНРХМШУПŒ, Б ФБЛЦЕ УРЙОПŒ. œЩДЕМЙН ЙЪ ДЙБЗТБННОПЗП ТСДБ ŒУЕ ŒЛМБДЩ У ПРТЕДЕМЕООЩН ЛПМЙЮЕУФŒПН ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЕЮЕОЙК, Й РЕТЕУХННЙТХЕН ТСД, ЛБЛ РТЙ ŒЩŒПДЕ ХТБŒОЕОЙС вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ (4.20). дМС ЬФПЗП ФТЕВХЕФУС ЙУРПМШЪПŒБФШ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНХА ОЕРТЙŒПДЙНХА ŒЕТЫЙОХ `(0), ОЕ УПДЕТЦБЭХА ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЕЮЕОЙК. рЕТЕУХННЙТПŒБООЩК ТСД ДМС БНРМЙФХДЩ ` ЙЪПВТБЦБЕФУС ЗТБЖЙЮЕУЛЙ, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 8.11,

8.7. нйлтпулпрйюеулпе пвпуопœбойе фептйй жетнй-цйдлпуфй217

ЗДЕ ОЕРТЙŒПДЙНБС ŒЕТЫЙОБ `(0) ПВПЪОБЮЕОБ ЪБЫФТЙИПŒБООЩН ЛТХЦЛПН.

+ + +...

òÉÓ. 8.11

пФНЕФЙН, ЮФП РТЙ ЬФПН РТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП УХННБТОЩЕ ЙНРХМШУ k Й ЮБУФПФБ ! Œ ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЕЮЕОЙСИ НБМЩ РП УТБŒОЕОЙА У p0 É EF , УППФŒЕФУФŒЕООП. йНЕООП ЬФП ПЗТБОЙЮЕОЙЕ ОБ k Й ! РПЪŒПМСЕФ ПЗТБОЙЮЙФШУС МЕУФОЙЮОЩНЙ ДЙБЗТБННБНЙ, ЙЪПВТБЦЕООЩНЙ ОБ ТЙУ. 8.11.

рПМХЮЕООЩК ТСД УŒПДЙФУС Л ЙОФЕЗТБМШОПНХ ХТБŒОЕОЙА РПЮФЙ ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ РТЙ ŒЩŒПДЕ ХТБŒОЕОЙС вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ (4.20). тБЪОЙГБ УПУФПЙФ ФПМШЛП Œ ФПН, ЮФП ОБДП РПМШЪПŒБФШУС РТЙЮЙООЩНЙ ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ, Б ОЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙНЙ. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕФУС ХТБŒОЕОЙЕ ŒЙДБ

`(p1; p2; k) = `(0)(p1; p2; k) − i	`(0)(p1	; q; k) `(q; p2; k) G(q) G(q + k) (2ı)4 ; (8.134)
		d4q

ÇÄÅ p1;2 | ЙНРХМШУЩ ŒИПДСЭЙИ ЮБУФЙГ, Б k | РЕТЕДБЮБ ЙНРХМШУБ. нЩ ДМС РТПУФПФЩ ПРХУФЙМЙ ŒУЕ УРЙОПŒЩЕ ЙОДЕЛУЩ Й УХННЙТПŒБОЙЕ РП ОЙН.

ъБДБЮБ ФЕРЕТШ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФПВЩ ŒЩДЕМЙФШ Œ (8.134) ŒЛМБДЩ РПМАУПŒ ЖХОЛГЙК зТЙОБ G(q) Й G(q +k), РПУЛПМШЛХ ЙНЕООП РПМАУОЩЕ ŒЛМБДЩ ПФŒЕЮБАФ ЛŒБЪЙЮБУФЙГБН. дМС ЬФПЗП ФТЕВХЕФУС ŒЩРПМОЙФШ ЕЭЕ ПДОП РЕТЕУХННЙТПŒБОЙЕ ТСДБ ДМС `, Œ ТЕЪХМШФБФЕ ЛПФПТПЗП РПМХЮБЕФУС ПЮЕОШ РПИПЦЙК ТСД, У ФЕН, ПДОБЛП, ЕДЙОУФŒЕООЩН ПФМЙЮЙЕН, ЮФП ДŒХИЮБУФЙЮОЩЕ УЕЮЕОЙС УПДЕТЦБФ ФПМШЛП РПМАУОЩЕ ŒЛМБДЩ.

жПТНБМШОП ЬФП РТПЙУИПДЙФ ФБЛ. рТЙ НБМЩИ ! Й k Œ ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЕЮЕОЙСИ, РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ЖХОЛГЙК зТЙОБ НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ ОБ УЙОЗХМСТОХА Й ТЕЗХМСТОХА ЮБУФЙ:

−iG(q) G(q + k) =	2ıa2	kv	‹(") ‹(|q| − p0) + ’(q) ;	(8.135)
	vF	! − kv

ÇÄÅ q = ("; q), k = (!; k), v = k‰(k). рПСУОЙН РТПЙУИПЦДЕОЙЕ УЙОЗХМСТОПЗП ŒЛМБДБ Œ (8.135). пО ŒПЪОЙЛБЕФ Œ ФЕИ УМХЮБСИ, ЛПЗДБ РПМАУЩ ЖХОЛГЙК зТЙОБ G(q) Й G(q + k) ЪБЦЙНБАФ ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП " Œ ХТБŒОЕОЙЙ (8.134). ъБЦЙНБОЙЕ ЛПОФХТБ РТПЙУИПДЙФ, ЛПЗДБ РПМАУЩ ŒЩТБЦЕОЙС G(q)G(q + k) ОБИПДСФУС РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ. ьФП ЙНЕЕФ НЕУФП РТЙ |q| < p0 É |q + k| > p0, ЙМЙ ОБПВПТПФ. оП РПУЛПМШЛХ |k| p0, ЙНРХМШУ q РТЙ ЬФПН ПЛБЪЩŒБЕФУС ОБ НБМПН ТБУУФПСОЙЙ РПТСДЛБ |k| ПФ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ. б ЪОБЮЙФ, ПДОПŒТЕНЕООП Й " = ‰q ПЛБЪЩŒБЕФУС РПЮФЙ ОБ ХТПŒОЕ жЕТНЙ.

ъБРЙЫЕН УППФОПЫЕОЙЕ (8.135) Œ ŒЙДЕ −iGG = D+’ Й РТПŒЕДЕН РЕТЕУХННЙТПŒБОЙЕ

ТСДБ ОБ ТЙУ. 8.11, ЙУРПМШЪХС ПРЕТБФПТОХА	ЪБРЙУШ:
		1 −	D + ’		`(0) −1
` = `(0) − i`(0)GG`(0) + (−i)2`(0)GG`(0)GG`(0) + ::: = `(0)						=

218

змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

−1

−1 −1

= `!

−1

; (8.136)

= `(0)

1 − ’`(0)

1 − D`(0)

1 − ’`(0)

1 − D`!

ЗДЕ ŒŒЕДЕОП ПВПЪОБЮЕОЙЕ `! = `(0)

1 − ’`(0)

−1

. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ТЕЪХМШФБФ

ЬФПК ГЕРПЮЛЙ РТЕПВТБЪПŒБОЙК

ЙНЕЕФ ЖПТНХ, УППФŒЕФУФŒХАЭХА ТСДХ ОБ ТЙУ. 8.11.

пФМЙЮЙЕ ЬФПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС ПФ ЙУИПДОПЗП Œ ФПН, ЮФП ФЕРЕТШ ŒУЕ ОЕУЙОЗХМСТОЩЕ ŒЛМБДЩ УПВТБОЩ ЕДЙОЩН ПВТБЪПН Œ ŒЕТЫЙОХ `! .

лБЛ ŒУЕЗДБ, ЬМЕНЕОФБТОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС ПРТЕДЕМСАФУС РПМАУБНЙ УППФŒЕФУФŒХАЭЕК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. œ ДБООПН УМХЮБЕ ОЕПВИПДЙНП ТБУУНПФТЕФШ РПМАУЩ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС `, ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ! Й k. йЪ РТЕДУФБŒМЕОЙС (8.136) УМЕДХЕФ, ЮФП РПМАУБН УППФŒЕФУФŒХАФ ОХМЕŒЩЕ УПВУФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ПРЕТБФПТБ 1 − D`! . рПМШЪХСУШ СŒОПК

ЖПТНПК (8.135) ДМС ПРЕТБФПТБ D		, ХТБŒОЕОЙЕ ОБ УПВУФŒЕООЩЕ			ЪОБЮЕОЙС НПЦОП ЪБРЙ-
ÓÁÔØ Œ ŒÉÄÅ			2ıa2
	(! − kv)u(p) = kv		vF	`! u(p) ;	(8.137)

ЗДЕ u(p) | УППФŒЕФУФŒХАЭБС УПВУФŒЕООБС ЖХОЛГЙС, Б ДЕКУФŒЙЕ `! РПОЙНБЕФУС Œ ПРЕТБФПТОПН УНЩУМЕ. рПМХЮЙŒЫЕЕУС ХТБŒОЕОЙЕ УПŒРБДБЕФ У ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙН ХТБŒОЕОЙЕН ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, РТЙЮЕН ЖХОЛГЙС мБОДБХ F (n; n ) ПЛБЪЩŒБЕФУС УŒСЪБООПК У БНРМЙФХДПК `! , ŒЪСФПК ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ:

F (n; n ) =	2ıa2	`! (p; p ) p =	p	=p0 :	(8.138)
	vF	| | |	|

пФНЕФЙН, ЮФП БНРМЙФХДБ `! РПМХЮБЕФУС РТПУФЩН ПВТБЪПН ЙЪ РПМОПК БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС `, ЕУМЙ ТБУУНПФТЕФШ РТЕДЕМ kv !. рТЙ ЬФПН, УПЗМБУОП (8.135), ŒЕМЙЮЙОБ

→ 0 Й, ŒУМЕДУФŒЙЕ ЬФПЗП, `! = `.

D

ъБНЕФЙН, ЮФП УŒСЪШ НЕЦДХ ПРЕТБФПТПН D Й ЛЙОЕФЙЛПК ЛŒБЪЙЮБУФЙГ УФБОПŒЙФУС ПУПВЕООП ОБЗМСДОПК, ЕУМЙ РЕТЕКФЙ Œ ЛППТДЙОБФОП-ŒТЕНЕООПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ. юФПВЩ ЙЪВЕЦБФШ ОЕПДОПЪОБЮОПУФЕК, УŒСЪБООЩИ У ПВИПДПН РПМАУПŒ, ТБУУНПФТЙН ЪБРБЪДЩŒБ-

АЭХА ŒЕМЙЮЙОХ, ЪБНЕОЙŒ ! ОБ ! + i0. фПЗДБ					r		−
D(r; t) =	! kv + i0 2ı (2ı)3	=		0					ÐÒÉ t < 0.	(8.139)
	kve−i!t+ikr d! d3k			v		‹(r		vt)	ÐÒÉ t > 0,
	−

ьФП ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ДЕНПОУФТЙТХЕФ, ЮФП УЙОЗХМСТОБС ЮБУФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙС G(q)G(q + k) ПРЙУЩŒБЕФ ТБУРТПУФТБОЕОЙЕ ЬМЕЛФТПОБ РП РТСНПК НЕЦДХ НПНЕОФБНЙ, ЛПЗДБ РТПЙУИПДЙФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ДТХЗЙНЙ ЬМЕЛФТПОБНЙ. (юЙФБФЕМШ, УФБМЛЙŒБŒЫЙКУС У ЪБДБЮЕК ПВ ПРТЕДЕМЕОЙЙ ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙИ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПŒ ЙЪ ХТБŒОЕОЙС вПМШГНБОБ, ХЪОБЕФ Œ vk=(! − vk) УФБОДБТФОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ, ŒПЪОЙЛБАЭЕЕ РТЙ РПДПВОЩИ ТБУЮЕФБИ.)

уМЕДХЕФ УЛБЪБФШ, ЮФП УŒСЪШ НЕЦДХ МЕУФОЙЮОЩНЙ ДЙБЗТБННБНЙ У НБМЩН РЕТЕДБООЩН ЙНРХМШУПН Й ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙН ХТБŒОЕОЙЕН, РТПДЕНПОУФТЙТПŒБООБС ОБ РТЙНЕТЕ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС `, ЙНЕЕФ ВПМЕЕ ПВЭЙК ИБТБЛФЕТ. бОБМПЗЙЮОЩЕ ТБУУХЦДЕОЙС РТЙНЕОЙНЩ Л РТПЙЪŒПМШОПК ДŒХИЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. рТЙНЕТПН ФПНХ НПЗХФ УМХЦЙФШ МЕУФОЙЮОЩЕ ДЙБЗТБННЩ, ТБУУНПФТЕООЩЕ Œ ЪБДБЮБИ 44 | 47.

8.7. нйлтпулпрйюеулпе пвпуопœбойе фептйй жетнй-цйдлпуфй219

лБЛ НЩ ХВЕДЙМЙУШ, ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ОБ ДЙБЗТБННОПН СЪЩЛЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ ХЮЕФХ ПРТЕДЕМЕООЩИ ДЙБЗТБНН У НБМПК РЕТЕДБЮЕК ЙНРХМШУБ Œ ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЮЕОЙСИ. йУЮЕТРЩŒБАФУС МЙ ПРЙУБООЩНЙ ŒЩЫЕ МЕУФОЙЮОЩНЙ ДЙБЗТБННБНЙ ŒУЕ ŒПЪНПЦОПУФЙ? юФПВЩ Œ ЬФПН ТБЪПВТБФШУС, ТБУУНПФТЙН ДЙБЗТБННЩ У ТПŒОП ПДОЙН ДŒХИЮБУФЙЮОЩН УЕЮЕОЙЕН. лБЛ ŒЙДОП ЙЪ ТЙУ. 8.12, ЙИ ŒУЕЗП ФТЙ.

p1	p++q	p2	p1	p2-k	p1	p1+k
			+k
			p2+q	q+k+p1	q	q-k
p2	p+-q	p2	-k	p1+k	p2
			p2			p -k
						2

òÉÓ. 8.12

пРТЕДЕМЙН, РТЙ ЛБЛЙИ ЪОБЮЕОЙСИ ŒОЕЫОЙИ 4-ЙНРХМШУПŒ p1, p2 Й k ЬФЙ ДЙБЗТБННЩ НПЗХФ ПЛБЪБФШУС УЙОЗХМСТОЩНЙ. лБЛ Й ŒЩЫЕ, ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ УЙОЗХМСТОПУФЙ, ŒПЪОЙЛБАЭЙЕ ЙЪ-ЪБ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РТПЙЪŒЕДЕОЙС ДŒХИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ. рТЙ ДБООПН ЪОБЮЕОЙЙ ЬОЕТЗЙЙ " Œ РЕФМЕ РПМАУЩ ЬФЙИ ДŒХИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК ФБЛПŒЩ:

" = ‰q − i0 sign ‰q ; " = ! + ‰q+k − i0 sign ‰q+k :

(8.140)

рТЙ ЬФПН, ЛБЛ ŒУЕЗДБ, ПФМЙЮОЩК ПФ ОХМС ŒЛМБД Œ ЙОФЕЗТБМ РП " ŒПЪОЙЛБЕФ МЙЫШ ЕУМЙ РПМАУЩ ОБИПДСФУС РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ПФ ЛПОФХТБ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС (УТ. У ЪБДБЮЕК 24). рТЙ ПРТЕДЕМЕООЩИ ЪОБЮЕОЙСИ ŒОЕЫОЙИ ЙНРХМШУПŒ РПМАУЩ НПЗХФ УВМЙЪЙФШУС Й ЪБЦБФШ НЕЦДХ УПВПК ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС. фПЗДБ ЬФПФ ЛПОФХТ ВХДЕФ ОЕŒПЪНПЦОП ХŒЕУФЙ ЙЪ ПЛТЕУФОПУФЙ РПМАУПŒ Й ŒПЪОЙЛОЕФ УЙОЗХМСТОПУФШ.

œЩСУОЙН, РТЙ ЛБЛЙИ ХУМПŒЙСИ ЬФП РТПЙУИПДЙФ Œ ДЙБЗТБННБИ ОБ ТЙУ. 8.12. рТЕОЕВТЕЗБС ЮБУФПФПК !, РЕТЕДБŒБЕНПК ЮЕТЕЪ ДŒХИЮБУФЙЮОПЕ УЕЮЕОЙЕ, РПМХЮЙН

(a)|p+ + q| = |p+ − q|, ÇÄÅ p+ = (p1 + p2)=2;

(b)|p2 + q| = |q + p1 + k|;

(c)|q| = |q − k|.

рТЙ ЬФПН УМЕДХЕФ ХЮЕУФШ, ЮФП УЙОЗХМСТОПУФШ НПЦЕФ ЙУЮЕЪОХФШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП q, ЕУМЙ ХУМПŒЙЕ ŒЩРПМОСЕФУС Œ УМЙЫЛПН НБМПК ПВМБУФЙ q. рПЬФПНХ ХУМПŒЙЕ ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙС УЙОЗХМСТОПУФЙ ŒЩЗМСДЙФ ФЕРЕТШ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

(a)p1 + p2 ≈ 0;

(b)p2 − p1 − k ≈ 0;

(c)k ≈ 0.

220	змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

йФБЛ, НЩ ŒЙДЙН, ЮФП ФПМШЛП ДЙБЗТБННБ (c) УЙОЗХМСТОБ РТЙ k = 0. йНЕООП ПОБ Й ПРТЕДЕМСЕФ ДЙОБНЙЛХ ŒПЪВХЦДЕОЙК Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ.

юФП ЦЕ ЛБУБЕФУС ПУФБМШОЩИ ДЙБЗТБНН, ФП ДЙБЗТБННБ (b) ВЩŒБЕФ ŒБЦОБ ПЮЕОШ ТЕДЛП ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП Œ ОЕК ОБМБЗБЕФУС ХУМПŒЙЕ p1 ≈ p2. б ŒПФ ДЙБЗТБННБ (a) ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒБЦОБ Œ ФЕПТЙЙ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ, Й Œ ЗМ.10 НЩ ЕЕ РПДТПВОП ЙЪХЮЙН. уФЕРЕОШ ŒБЦОПУФЙ ДЙБЗТБННЩ (Б) Й РПДПВОЩИ ЕК ВПМЕЕ УМПЦОЩИ ДЙБЗТБНН ПЛБЪЩŒБЕФУС ЪБŒЙУСЭЕК ПФ ЪОБЛБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. œ УМХЮБЕ РТЙФСЦЕОЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФШ ЙУЮЕЪБЕФ, Б ŒЪБНЕО ПВТБЪХЕФУС УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЕ УПУФПСОЙЕ. œ УМХЮБЕ ЦЕ ПФФБМЛЙŒБОЙС ŒУЕ ŒЩŒПДЩ ФЕТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, РПМХЮЕООЩЕ ВЕЪ ХЮЕФБ ДЙБЗТБННЩ (Б), ПУФБАФУС Œ УЙМЕ.