Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

9.5. теыеойс

261

ÇÄÅ ˘0 = hc=e | ПДОПЬМЕЛФТПООЩК ЛŒБОФ НБЗОЙФОПЗП РПФПЛБ. œЩТБЦБС УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООХА РПРТБŒЛХ ЮЕТЕЪ C(r = r ), РПМХЮБЕН

‹ (˘) = −ıhR—

m=

kz2 +

R2

m −

˘0

2

+ Dfi’

−1

2ı :

(9.128)

2e2

∞

1

2˘

1

dkz

−∞

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РЕТЙПДЙЮОП РП НБЗОЙФОПНХ РПФПЛХ ˘, РПУЛПМШЛХ ЙЪНЕОЕОЙЕ ˘ ОБ ГЕМПЕ ЛТБФОПЕ ˘0=2 НПЦОП ЛПНРЕОУЙТПŒБФШ УДŒЙЗПН m. йНЕЕФ УНЩУМ РТЕПВТБЪПŒБФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ФБЛ, ЮФПВЩ РЕТЙПДЙЮЕУЛБС ЪБŒЙУЙНПУФШ УФБМБ СŒОПК. дМС ЬФПЗП ŒПУРПМШЪХЕНУС ЖПТНХМПК УХННЙТПŒБОЙС рХБУУПОБ:

∞		∞	∞
		−∞−∞
m=	−∞	f (m) = k=		f (x) e2ıikx dx :	(9.129)

рТЙНЕОСС ЬФХ ЖПТНХМХ, ЪБФЕН УДŒЙЗБС РЕТЕНЕООХА ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС Й ŒЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ РП kz , ОБИПДЙН

e2	∞		∞	2ıik(x+2˘=˘0)
				ex2
‹ (˘) = −ıh— k=					+ R2=Dfi’ dx :	(9.130)
		−∞−∞		'

фЕРЕТШ ŒЙДОП, ЮФП k-К ЮМЕО ЬФПК УХННЩ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК k-А ЗБТНПОЙЛХ ‹ (˘). œЩЮЙУМЙН ЙОФЕЗТБМ РП x, ЙУРПМШЪХС ЖПТНХМХ

∞ cos tx dt			x		`( 1 )
		=			2	K (x) ;	(9.131)
	(t2 + 1)		2		`( + 21 )
0

ЗДЕ K (x) | ЖХОЛГЙС нБЛДПОБМШДБ. пЛПОЮБФЕМШОП ЙНЕЕН

2e2	∞			2ıkR	;
	−∞	e4ıik˘=˘0 K0
‹ (˘) = − ıh— k=				L’		(9.132)

'

ÇÄÅ L’ = Dfi’ | ДМЙОБ УВПС ЖБЪЩ. œ ЬФПН ŒЩТБЦЕОЙЙ ЮМЕО У k = 0 УЙОЗХМСТЕО. уППФŒЕФУФŒХАЭЙК ЙОФЕЗТБМ Œ (9.130) ТБУИПДЙФУС РТЙ ВПМШЫЙИ x. ьФП ФБ ЦЕ УБНБС ТБУИПДЙНПУФШ, ЮФП Й Œ (9.101), РПУЛПМШЛХ ŒЕМЙЮЙОБ x=R ЙЗТБЕФ ТПМШ x-ЛПНРПОЕОФЩ ŒПМОПŒПЗП ŒЕЛФПТБ. рПЬФПНХ ТБУИПДЙНПУФШ УМЕДХЕФ ПВТЕЪБФШ РТЙ x ≈ R=l.

йНЕЕФУС Й ДТХЗПК, ВПМЕЕ ХДПВОЩК УРПУПВ ЙЪВБŒЙФШУС ПФ ТБУИПДЙНПУФЙ | ŒЩЮЕУФШ ЙЪ ‹ (˘) ЕЕ ХУТЕДОЕООПЕ РП ŒБТЙСГЙСН РПФПЛБ ЪОБЮЕОЙЕ:

‹ (˘) − ‹ ˘ = ıh—	k=1 K0		2 L’	cos		4	˘0˘	:	(9.133)
4e2	∞		ıkR				ık

фБЛЙН ПВТБЪПН, УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ГЙМЙОДТБ РЕТЙПДЙЮЕУЛЙ ЪБŒЙУЙФ ПФ РТПРХЭЕООПЗП ЮЕТЕЪ ОЕЗП НБЗОЙФОПЗП РПФПЛБ 19. рЕТЙПД ПУГЙММСГЙК ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒЕО ˘0=2. ôÁË

262	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

РТПЙУИПДЙФ РПФПНХ, ЮФП УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООБС РПРТБŒЛБ УŒСЪБОБ У ЙОФЕТЖЕТЕОГЙЕК ДŒХИ ПВТБЭЕООЩИ РП ŒТЕНЕОЙ ЪБНЛОХФЩИ ФТБЕЛФПТЙК. еУМЙ ФБЛЙЕ ФТБЕЛФПТЙЙ ĂОБНБФЩŒБАФУСĄ ОБ ГЙМЙОДТ, ФП ŒДПМШ ПДОПК ЙЪ ОЙИ ЬМЕЛФТПО ОБВЙТБЕФ ДПРПМОЙФЕМШОХА ЖБЪХ ‹’ = 2ı˘=˘0, Б ŒДПМШ ДТХЗПК −‹’. тБЪОПУФШ ЖБЪ ТБŒОБ 2ı, ЕУМЙ ˘ = ˘0=2. фБЛЙН ПВТБЪПН, ŒЕМЙЮЙОБ ЙОФЕТЖЕТЕОГЙПООЩИ ЬЖЖЕЛФПŒ ПДОБ Й ФБ ЦЕ РТЙ ˘ = 0 Й ˘ = ˘0=2.

тЕЪХМШФБФ (9.133) ДПРХУЛБЕФ РТПУФХА ЙОФЕТРТЕФБГЙА. бНРМЙФХДБ ПУГЙММСГЙК K0(2ıkR=L’) ЕУФШ ŒЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП УМХЮБКОБС ФТБЕЛФПТЙС ХУРЕЕФ ХКФЙ ПФ ОБЮБМШОПК ФПЮЛЙ ОБ ТБУУФПСОЙЕ 2ıkR (Ф. Е. ПВНПФБФШУС ŒПЛТХЗ ГЙМЙОДТБ k ТБЪ) ЪБ ŒТЕНС fi’, Œ ФЕЮЕОЙЕ ЛПФПТПЗП УПИТБОСЕФУС ЖБЪПŒБС ЛПЗЕТЕОФОПУФШ. рТЙ 2ıkR L’ ЖХОЛГЙС нБЛДПОБМШДБ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП ЪБФХИБЕФ. ьФП ЪОБЮЙФ, ЮФП ОБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООЩ ЗБТНПОЙЛЙ У k ≤ L’=2ıR. рПЬФПНХ ДМС ФПЗП ЮФПВЩ ЬЖЖЕЛФ ВЩМ ОБВМАДБЕНЩН, ОХЦОП, ЮФПВЩ ГЙМЙОДТ ВЩМ НБМЕОШЛЙН: 2ıR L’. рПУЛПМШЛХ fi’ ТБУФЕФ У РПОЙЦЕОЙЕН ФЕНРЕТБФХТЩ, ФП ЬФПНХ ХУМПŒЙА НПЦОП ХДПŒМЕФŒПТЙФШ МЙЫШ РТЙ ОЙЪЛЙИ ФЕНРЕТБФХТБИ ЙМЙ Œ ДПУФБФПЮОП НБМЕОШЛЙИ ПВТБЪГБИ.

тЕЫЕОЙЕ 57. дЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 9.10, ДБАЭЙЕ ЛПТТЕМСФПТ РТПŒПДЙНПУФЕК РТЙ ТБЪОЩИ ЪОБЮЕОЙСИ НБЗОЙФОПЗП РПФПЛБ, РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК ДŒБ ŒЛМБДБ | ДЙЖЖХЪПООЩК Й ЛХРЕТПООЩК. рТЙ ЬФПН ОБ ЬМЕЛФТПО ŒП ŒОЕЫОЕК РЕФМЕ ДЙБЗТБННЩ ДЕКУФŒХЕФ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ, РТПРПТГЙПОБМШОПЕ ˘, Б ŒП ŒОХФТЕООЕК | РТПРПТГЙПОБМШОПЕ ˘ . œ ЬФПН УМХЮБЕ ХТБŒОЕОЙС ДМС ЛХРЕТПОБ Й ДМС ДЙЖЖХЪПОБ НПЦОП РПМХЮЙФШ ФЕН ЦЕ УРПУПВПН, ЮФП Й Œ ЪБДБЮЕ 56. оХЦОП ФПМШЛП ХЮЕУФШ, ЮФП, РПУЛПМШЛХ ЛХРЕТПО РТПРПТГЙПОБМЕО , ФП Œ ОЕН ŒЕЛФПТОЩЕ РПФЕОГЙБМЩ ŒОХФТЕООЕК Й ŒОЕЫОЕК РЕФЕМШ ОБ ДЙЗТБННБИ ТЙУ. 9.10 УЛМБДЩŒБАФУС, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ДЙЖЖХЪПО РТПРПТГЙПОБМЕО + , Й РПЬФПНХ Œ ОЕН ŒЕЛФПТОЩЕ РПФЕОГЙБМЩ ŒЩЮЙФБАФУС. (фПЗДБ РТЙ ˘ = ˘ РПМХЮБЕН, ЮФП НБЗОЙФОПЕ РПМЕ ОЕ НЕОСЕФ ХТБŒОЕОЙЕ ДЙЖЖХЪЙЙ, ЛБЛ Й ДПМЦОП ВЩФШ.) ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП Œ ЛХРЕТПООЩИ ДЙБЗТБННБИ ЬЖЖЕЛФЙŒОЩК НБЗОЙФОЩК РПФПЛ ЕУФШ (˘+˘ )=2, Б Œ ДЙЖЖХЪПООЩИ | (˘−˘ )=2. œ ПУФБМШОПН ЦЕ ЛХРЕТПООЩК Й ДЙЖЖХЪПООЩК ŒЛМБДЩ УПŒРБДБАФ.

уФТПЗП ЗПŒПТС, ЬФП ОЕ УПŒУЕН РТБŒЙМШОП. лХРЕТПООЩК ŒЛМБД, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ДЙЖЖХЪПООПЗП, ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП ЪБФХИБЕФ ОБ ŒТЕНЕОБИ t > fi’. (б ДЙЖЖХЪЙПООЩК РПМАУ РТЙ k = 0 ŒУЕЗДБ ПУФБЕФУС РТЙ ! = 0 ЙЪ-ЪБ УПИТБОЕОЙС ЮЙУМБ ЮБУФЙГ.) фЕН ОЕ НЕОЕЕ, РПУЛПМШЛХ ЖБЪПЮХŒУФŒЙФЕМШОБС ЮБУФШ ДЙЖЖХЪПООПЗП ŒЛМБДБ, ПФŒЕЮБАЭБС ЪБ ЪБŒЙУЙНПУФШ РТПŒПДЙНПУФЙ ПФ ˘, ŒУЕ ТБŒОП ЙУЮЕЪБЕФ РТЙ t > fi’, НЩ ДМС РТПУФПФЩ ЙЗОПТЙТХЕН ЬФП ТБЪМЙЮЙЕ НЕЦДХ ДЙЖЖХЪПОПН Й ЛХРЕТПОПН.

лБЛ НЩ ХŒЙДЙН ОЙЦЕ, Œ ПФŒЕФ ДБАФ ŒЛМБД ФПМШЛП ВПМШЫЙЕ НБУЫФБВЩ, РПЬФПНХ ИБТБЛФЕТОЩК УХННБТОЩК ЙНРХМШУ Œ ЛХРЕТПОЕ Й ТБЪОПУФШ ЙНРХМШУПŒ Œ ДЙЖЖХЪПОЕ ПЛБЪЩŒБАФУС РПТСДЛБ R−1. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЙНРХМШУЩ, ВЕЗХЭЙЕ РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ЛБЦДПК РТЙНЕУОПК МЕУФОЙГЩ, ПФМЙЮБАФУС НБМП. рПЬФПНХ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ФПЛПŒЩИ

19оБ УБНПН ДЕМЕ Œ ТЕБМШОЩК НЕФБММЙЮЕУЛЙК ГЙМЙОДТ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ ŒУЕ-ФБЛЙ УМЕЗЛБ РТПОЙЛБЕФ, Й РПЬФПНХ УФТПЗБС РЕТЙПДЙЮОПУФШ ТБЪТХЫБЕФУС.

9.5. теыеойс				263
ŒЕТЫЙО Й ЖХОЛГЙК зТЙОБ ОБ ЛПОГБИ ДБЕФУС НОПЦЙФЕМЕН
A¸—˛ = e4		v¸v—v˛ v GR2 (p) GA2 (p) GR2 (p ) GA2 (p ) (2ı)2	(2ı)2	(9.134)
		d2p	d2p

(РТЙ ŒЩŒПДЕ ЬФПК ЖПТНХМЩ ОЕУХЭЕУФŒЕООБС ЪБŒЙУЙНПУФШ ЖХОЛГЙК зТЙОБ ПФ ЬОЕТЗЙЙ ВЩМБ ПРХЭЕОБ). йОФЕЗТБМЩ МЕЗЛП ŒЩЮЙУМСАФУС РЕТЕИПДПН Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰, ЮФП ДБЕФ

A¸—˛ =	e4v4	fi 3)2 = 16ı2 2	fi 4D2‹¸—‹˛ :	(9.135)
	F ‹¸— ‹˛ (4ı 0
	4	0

йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ЬОЕТЗЙСН ДБЕФ, ЛБЛ ПВЩЮОП, !=2ı, РТЙЮЕН ! УПЛТБЭБЕФУС РПУМЕ РПДУФБОПŒЛЙ ЖХОЛГЙЙ ПФЛМЙЛБ Œ ПРТЕДЕМЕОЙЕ РТПŒПДЙНПУФЙ. рПЬФПНХ ЛПТТЕМСФПТ

РТПŒПДЙНПУФЕК (9.32) ЕУФШ 20			|C(r; ˘; ˘ )|2 + |D2(r; ˘; ˘ )|2	d2r :	(9.136)
K˘;˘ = 2e4ı2 02fi 4D2‹¸—‹˛

лŒБДТБФ ЛХРЕТПООПК БНРМЙФХДЩ НПЦОП ОБКФЙ РП ФЕПТЕНЕ рБТУЕŒБМС:

		−∞				dkz
IC =	C2(r) d2r =	∞	∞		|Cm;kz |2
			m=	−∞		2ı	:	(9.137)

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ НПЦОП РТЕПВТБЪПŒБФШ, ЛБЛ Й ТБОЕЕ, РТПЙОФЕЗТЙТПŒБŒ РП kz Й РТЙНЕОЙŒ ЖПТНХМХ УХННЙТПŒБОЙС рХБУУПОБ (9.129):

16ı2 0

fi

4D2 k=

(x2

+ R2=L’)

IC =

1

∞

∞ e2ıik(x+(˘+˘ )=˘0)

(9.138)

2

−∞−∞

2

3=2 dx :

йОФЕЗТБМ РП x, УПЗМБУОП (9.132), ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА нБЛДПОБМШДБ:

−∞

K1

1

∞

4ıkL’

2ıkR

2ıik(˘+˘ )=˘0

IC =

16ı2 02fi 4D2

k=

R

L’ e

:

(9.139)

бОБМПЗЙЮОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ДЙЖЖХЪПООПЗП ŒЛМБДБ ПФМЙЮБЕФУС ЪБНЕОПК ˘ + ˘ ОБ ˘ − ˘ . рПДУФБŒЙŒ (9.139) Œ (9.136) Й РТЙŒЕДС РПДПВОЩЕ ЮМЕОЩ, РПМХЮЙН

		e4R2
K˘;˘ =	ı2h—		2L2 ‹¸— ‹˛ ×								(9.140)
	×		’	2 L’	K1		2 L’	cos 2	˘0˘	cos 2	˘0˘
		1 + 2
				ıkR			ıkR		ık		ık
			∞

k=1

(Œ ЮМЕОЕ У k = 0 ОХЦОП ŒЪСФШ РТЕДЕМ НБМЩИ k Й ЙУРПМШЪПŒБФШ БУЙНРФПФЙЛХ ЖХОЛГЙЙ нБЛДПОБМШДБ K1(x 1) ≈ 1=x).

20йОФЕЗТБМ РП d2r Œ (9.136) ŒПЪОЙЛБЕФ РПФПНХ, ЮФП ОБЮБМШОБС Й ЛПОЕЮОБС ФПЮЛЙ ОБ ДЙБЗТБННБИ ТЙУ. 9.10 ТБЪМЙЮБАФУС.

264	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

тЕЪХМШФБФ (9.140) РПДФŒЕТЦДБЕФ ПЦЙДБЕНХА ЛБЮЕУФŒЕООХА ЛБТФЙОХ. пУОПŒОБС ЗБТНПОЙЛБ ЙНЕЕФ РЕТЙПД ˘0, Á ÎÅ ˘0=2. (ьФП ŒЙДОП ЙЪ ФПЗП, ЮФП ЪБŒЙУСЭБС ПФ НБЗОЙФОПЗП РПФПЛБ ЮБУФШ РТПРПТГЙПОБМШОБ РТПЙЪŒЕДЕОЙА ДŒХИ ЛПУЙОХУПŒ У РЕТЙПДПН ˘0). пДОБЛП РТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ РТПŒПДЙНПУФЙ РП ВЕУРПТСДЛХ ЬФПФ ŒЛМБД ЙУЮЕЪБЕФ, РПЬФПНХ ПО РТПСŒМСЕФУС МЙЫШ Œ ЛПТТЕМСГЙЙ РТПŒПДЙНПУФЕК ПДОПЗП Й ФПЗП ЦЕ ПВТБЪГБ.

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ЙОФЕТЕУОХА ОЕНПОПФПООХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ТЕЪХМШФБФБ ПФ РБТБНЕФТБ 2ıR=L’. ðÒÉ 2ıR L’ ЖХОЛГЙЙ нБЛДПОБМШДБ, ПРТЕДЕМСАЭЙЕ ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ НБЗОЙФОПЗП РПФПЛБ, ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМЩ. œ ЬФПН РТЕДЕМЕ ЬМЕЛФТПОЩ ОЕ НПЗХФ ПВПКФЙ ГЙМЙОДТ, ОЕ РПФЕТСŒ РТЙ ЬФПН ЖБЪПŒХА ЛПЗЕТЕОФОПУФШ, ФБЛ ЮФП ЙУЮЕЪОПŒЕОЙЕ ЬЖЖЕЛФБ Œ ЬФПН РТЕДЕМЕ ŒРПМОЕ ЕУФЕУФŒЕООП. вПМЕЕ ЙОФЕТЕУОП, ЮФП Œ РТПФЙŒПРПМПЦОПН РТЕДЕМЕ (2ıR L’) ЬЖЖЕЛФ ФПЦЕ НБМ ЛБЛ R2=L2’. ьФП РТПЙУИПДЙФ РПФПНХ, ЮФП Œ ЬФЙИ ХУМПŒЙСИ ŒЛМБД ДБЕФ ВПМШЫПЕ ЮЙУМП ФТБЕЛФПТЙК, РТПИПДСЭЙИ Œ ТБЪОЩИ НЕУФБИ РПŒЕТИОПУФЙ ГЙМЙОДТБ, ЮФП ЬЖЖЕЛФЙŒОП РТЙŒПДЙФ Л ХУТЕДОЕОЙА РП ВЕУРПТСДЛХ. б ŒПФ РТЙ 2ıR ≈ L’ ЬМЕЛФТПОЩ, ДБАЭЙЕ ŒЛМБД Œ ЙОФЕТЖЕТЕОГЙПООХА РПРТБŒЛХ, ПВИПДСФ ГЙМЙОДТ РП ФТБЕЛФПТЙСН, ОЕ УМЙЫЛПН ДБМЕЛП ПФУФПСЭЙН ПФ ОБЙЛТБФЮБКЫЕК, РПЬФПНХ ХУТЕДОЕОЙС РП ВЕУРПТСДЛХ ОЕ РТПЙУИПДЙФ.

ъБНЕФЙН, ЮФП ПФМЙЮЙЕ РТПŒПДЙНПУФЙ ЛПОЛТЕФОПЗП ПВТБЪГБ ПФ УТЕДОЕК НПЦЕФ ВЩФШ ДПŒПМШОП ЪБНЕФОЩН. рТЙ L’ ≈ 2ıR (ОЕПВИПДЙНПЕ ХУМПŒЙЕ ОБВМАДЕОЙС ЬЖЖЕЛФБ бБТПОПŒБ{вПНБ) ЛПТТЕМСФПТ РТПŒПДЙНПУФЕК ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ (e2=h)2. фБЛЙН ПВТБЪПН, РТЙ ЙЪНЕОЕОЙЙ ВЕУРПТСДЛБ РТПŒПДЙНПУФШ НПЦЕФ ЙЪНЕОЙФШУС ОБ ŒЕМЙЮЙОХ РПТСДЛБ e2=h, ИПФС ПВТБЪЕГ РТЙ ЬФПН ПУФБЕФУС НБЛТПУЛПРЙЮЕУЛЙН Й УПДЕТЦЙФ ВПМШЫПЕ ЛПМЙЮЕУФŒП РТЙНЕУЕК (R l). ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЙОФЕТЖЕТЕОГЙПООБС ЮБУФШ РТПŒПДЙНПУФЙ СŒМСЕФУС НБЛТПУЛПРЙЮЕУЛЙ ЙЪНЕТЙНПК ОЕУБНПХУТЕДОСАЭЕКУС ŒЕМЙЮЙОПК. ьФПФ ОЕПЦЙДБООЩК ЬЖЖЕЛФ ЕУФШ РТПСŒМЕОЙЕ ЖБЪПŒПК ЛПЗЕТЕОФОПУФЙ ЬМЕЛФТПОПŒ РТЙ ОЙЪЛЙИ ФЕНРЕТБФХТБИ.

9.6. дЙБЗТБННЩ ВЕЪ УБНПРЕТЕУЕЮЕОЙК

пУФБОПŒЙНУС ОБ ŒПРТПУЕ П УŒСЪЙ НЕЦДХ ТБЪМПЦЕОЙЕН РП РБТБНЕФТХ (p0l)−1 Й ЛМБУУЙЖЙЛБГЙЕК ДЙБЗТБНН, ŒПЪОЙЛБАЭЙИ РТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ РП ВЕУРПТСДЛХ. дЙБЗТБННЩ ДМС ТБУУЕСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ ОБ УМХЮБКОПН РПФЕОГЙБМЕ УПДЕТЦБФ ДŒБ ЬМЕНЕОФБ: ЬМЕЛФТПООЩЕ МЙОЙЙ (ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ) Й РТЙНЕУОЩЕ ЫФТЙИПŒЩЕ МЙОЙЙ, ЛПФПТЩЕ, ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, НПЗХФ РЕТЕУЕЛБФШУС РТПЙЪŒПМШОЩН ПВТБЪПН. пУОПŒОПК ТЕЪХМШФБФ, ОБ ЛПФПТПН ПУОПŒБОЩ ŒУЕ РТЙНЕОЕОЙС ЬФПК ФЕИОЙЛЙ, УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП ŒЛМБДЩ ОБЙОЙЪЫЕЗП РПТСДЛБ РП (p0l)−1 ДБАФУС ПДОЙНЙ МЙЫШ ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС ЗТБЖЙЛБНЙ. фБЛЙЕ ЗТБЖЙЛЙ ПРТЕДЕМСАФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПЕ ĂРТЙВМЙЦЕОЙЕ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙСĄ. хУМПŒЙЕ p0l 1 Œ ФПЮОПУФЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ ВПМШГНБОПŒУЛПНХ РБТБНЕФТХ, ЙУРПМШЪХЕНПНХ РТЙ ŒЩŒПДЕ ЛМБУУЙЮЕУЛПЗП ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС, Ф. Е. ВПМШЫПК ŒЕМЙЮЙОЕ ДМЙОЩ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ РП УТБŒОЕОЙА У ТБДЙХУПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ТЕЪХМШФБФЩ, РПМХЮБАЭЙЕУС РТЙ ПФВТБУЩŒБОЙЙ ŒУЕИ ЗТБЖЙЛПŒ У РЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС РТЙНЕУОЩНЙ МЙОЙСНЙ, Œ ФПЮОПУФЙ УПŒРБДБАФ У ТЕЪХМШФБФБНЙ, ŒЩŒЕДЕООЩНЙ ЙЪ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС.

9.6. дйбзтбннщ веъ убнпретеуеюеойк

265

рПРТПВХЕН РПОСФШ, РПЮЕНХ ЗТБЖЙЛЙ У ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ ПЛБЪЩŒБАФУС ŒЩДЕМЕООЩНЙ, ЙУРПМШЪХС ЛППТДЙОБФОПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ. тБУУНПФТЙН ДМС ЬФПЗП ДŒБ ЗТБЖЙЛБ, ДБАЭЙЕ РПРТБŒЛЙ Л УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ ˚:

òÉÓ. 9.19

ьФЙ ЗТБЖЙЛЙ ДБАФ РПРТБŒЛЙ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ Л РТПУФЕКЫЕК УПВУФŒЕООПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ ˚ = −‹— − 2ifi sign ", ОБКДЕООПК Œ ЪБДБЮЕ 50 Œ ОЙЪЫЕН РПТСДЛЕ РП ТБУУЕСОЙА ОБ РТЙНЕУСИ. лБЛ НЩ ХŒЙДЙН, ŒЛМБД РЕТŒПЗП ЗТБЖЙЛБ НОПЗП ВПМШЫЕ ŒЛМБДБ ŒФПТПЗП ЗТБЖЙЛБ.

r2

r2

r1

r1

òÉÓ. 9.20

рЕТЕТЙУХЕН ДЙБЗТБННЩ, РПЛБЪБООЩЕ ОБ ТЙУ. 9.19, Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ (УН. ТЙУ. 9.20). œУЕ ЗТЙОПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ, ЪБ ЙУЛМАЮЕОЙЕН РЕТŒПК Й РПУМЕДОЕК, РТЙЛТЕРМСАФУС ПВПЙНЙ УŒПЙНЙ ЛПОГБНЙ Л РТЙНЕУСН. œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ХУТЕДОЕОЙЕ РП ŒЪБЙНОПНХ ТБУРПМПЦЕОЙА РТЙНЕУЕК РТПЙЪŒПДЙФУС ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН РП ТБДЙХУ-ŒЕЛФПТХ r = r1 − r2. ъБŒЙУЙНПУФШ ЖХОЛГЙК зТЙОБ ПФ ЛППТДЙОБФ ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (9.18).

оБКДЕН ŒЛМБДЩ ЗТБЖЙЛПŒ, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУХОЛБИ 9.19 Й 9.20, Œ НОЙНХА ЮБУФШ Im ˚. ъБНЕФЙН, ЮФП Im ˚ | ЬФП НОЙНБС ЮБУФШ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС ОБ ДŒХИ РТЙНЕУСИ. œПУРПМШЪХЕНУС ФЕПТЕНПК ХОЙФБТОПУФЙ, УŒСЪЩŒБАЭЕК НОЙНХА ЮБУФШ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС У УЕЮЕОЙЕН ТБУУЕСОЙС. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ЗТБЖЙЮЕУЛПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЬФПК ФЕПТЕНЩ (УН. ЪБДБЮХ 15), ОБДП Œ ЛБЦДПК ДЙБЗТБННЕ, ПРЙУЩŒБАЭЕК ТБУУЕСОЙЕ ŒП ŒОЕЫОЕН РПМЕ, РПНЕФЙФШ ПДОХ ЙЪ ЖХОЛГЙК зТЙОБ G Й ЪБНЕОЙФШ ЕЕ ОБ GG , ЗДЕ G | ЛПНРМЕЛУОП-УПРТСЦЕООБС ЖХОЛГЙС. пДОПŒТЕНЕООП У ЬФЙН, ŒУЕ ЖХОЛГЙЙ, ЙДХЭЙЕ РПУМЕ РПНЕЮЕООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ОБДП ЪБНЕОЙФШ ОБ ЛПНРМЕЛУОП-УПРТСЦЕООЩЕ. рТЙ ЬФПН, У ПДОПК УФПТПОЩ, УХННЙТПŒБОЙЕ РП ТБЪМЙЮОЩН ЗТБЖЙЛБН Й РП ŒУЕН УРПУПВБН

266 змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

РПНЕФЙФШ ПДОХ ЙЪ ЖХОЛГЙК ДБООПЗП ЗТБЖЙЛБ ДБЕФ НОЙНХА ЮБУФШ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС. у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ОЕЪБŒЙУЙНПЕ УХННЙТПŒБОЙЕ РП ТБЪМЙЮОЩН ЮБУФСН ЗТБЖЙЛПŒ, ŒУФТЕЮБАЭЙНУС ДП Й РПУМЕ РПНЕЮЕООПЗП НЕУФБ, ДБЕФ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС ОБ ЛПНРМЕЛУОП-УПРТСЦЕООХА БНРМЙФХДХ У ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПН, ТБŒОЩН РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК.

уМЕДХС ЬФПНХ ТЕГЕРФХ, РТЕДУФБŒЙН НОЙНХА ЮБУФШ ЗТБЖЙЛПŒ, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 9.20, Œ ŒЙДЕ УХННЩ РП РПНЕЮЕООЩН ЗТБЖЙЛБН. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ЛПМЙЮЕУФŒБ ЖХОЛГЙК G Й G ПУГЙММЙТХАЭЙЕ ЖБЪПŒЩЕ НОПЦЙФЕМЙ G("; r) eip0|r| sign ", G ("; r) e−ip0|r| sign " НПЗХФ УПЛТБФЙФШУС, Б НПЗХФ Й ОЕ УПЛТБФЙФШУС. оБРТЙНЕТ, ЕУМЙ ОБ РЕТŒПН ЗТБЖЙЛЕ ОБ ТЙУ. 9.20 РПНЕЮЕОБ ЖХОЛГЙС, ŒЩИПДСЭБС ЙЪ РТЙНЕУЙ 2 Й ŒПЪŒТБЭБАЭБСУС Œ ОЕЕ ЦЕ, ФП ЖБЪПŒЩЕ НОПЦЙФЕМЙ ЖХОЛГЙК, ЙДХЭЙИ ЙЪ РТЙНЕУЙ 1 Œ РТЙНЕУШ 2, Й ПВТБФОП, УПЛТБЭБАФ ДТХЗ ДТХЗБ. œ ФП ЦЕ ŒТЕНС, ОБ ŒФПТПН ЗТБЖЙЛЕ ТЙУ. 9.20 ОЙЛБЛПК УРПУПВ РПНЕФЛЙ ОЕ РТЙŒПДЙФ Л УПЛТБЭЕОЙА ЖБЪПŒЩИ НОПЦЙФЕМЕК.

рТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ РП ТБУРПМПЦЕОЙА РТЙНЕУЕК ŒЛМБДЩ У УПЛТБЭБАЭЙНЙУС Й У ОЕУПЛТБЭБАЭЙНЙУС ЖБЪПŒЩНЙ НОПЦЙФЕМСНЙ e±ip0|r| ŒЕДХФ УЕВС РП-ТБЪОПНХ. пУГЙММЙТХАЭЙК ЛБЛ ЖХОЛГЙС ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ РТЙНЕУСНЙ |r| НОПЦЙФЕМШ ПВТЕЪБЕФ ЙОФЕЗТБМ РП d3r ÎÁ |r| ≈ p−0 1. еУМЙ ЦЕ РТПЙУИПДЙФ УПЛТБЭЕОЙЕ eip0|r| É e−ip0|r|, ФП ПВТЕЪЛБ ЙОФЕЗТБМБ РП d3r ПРТЕДЕМСЕФУС НЕДМЕООП ХВЩŒБАЭЙН НОПЦЙФЕМЕН e−|r|=2l Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (9.18). уППФŒЕФУФŒХАЭЙК НБУЫФБВ ЕУФШ |r| ≈ l, ЮФП НОПЗП ВПМШЫЕ p−0 1. рПЬФПНХ ЗМБŒОЩК РП p0l ŒЛМБД Œ Im ˚ ДБЕФУС ЗТБЖЙЛБНЙ, ЛПФПТЩЕ НПЦОП РПНЕФЙФШ ФБЛ, ЮФПВЩ ŒУЕ ЖБЪПŒЩЕ НОПЦЙФЕМЙ e±ip0|r| УПЛТБФЙМЙ ДТХЗ ДТХЗБ.

œУМЕДУФŒЙЕ ЬФПЗП, ŒЛМБД РЕТŒПЗП ЗТБЖЙЛБ ОБ ТЙУ. 9.20 ВХДЕФ РПТСДЛБ fi −1, Б ŒФПТПЗП | РПТСДЛБ fi −2. уДЕМБООПЕ ОБВМАДЕОЙЕ ОЕФТХДОП ПВПВЭЙФШ ОБ ВПМЕЕ УМПЦОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ, Œ ЛПФПТЩЕ ŒИПДЙФ РТПЙЪŒПМШОП ВПМШЫПЕ ЮЙУМП РТЙНЕУЕК. дЕКУФŒЙФЕМШОП, ХУМПŒЙЕ ОЕРЕТЕУЕЮЕОЙС РТЙНЕУОЩИ МЙОЙК ПЪОБЮБЕФ РТПУФП, ЮФП ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РТПИПДСФ ПДОХ Й ФХ ЦЕ (УМХЮБКОХА) РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ РТЙНЕУЕК, УОБЮБМБ Œ РТСНПН РПТСДЛЕ, Б РПФПН Œ ПВТБФОПН. рТЙНЕТ ЗТБЖЙЛБ ФБЛПЗП ТПДБ РТЙŒЕДЕО ОБ ТЙУ. 9.21. рТЙ ЬФПН ŒУЕЗДБ НПЦОП ДПВЙФШУС УПЛТБЭЕОЙС ЖБЪПŒЩИ НОПЦЙФЕМЕК, ЕУМЙ РПНЕФЙФШ МАВХА ЙЪ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК У УПŒРБДБАЭЙНЙ ЛПОГБНЙ. уМЕДПŒБФЕМШОП, РТПЙЪŒПМШОЩК ЗТБЖЙЛ У N ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ ТБŒЕО fi −N fi N −1 = fi −1, ЗДЕ РЕТŒЩК УПНОПЦЙФЕМШ ЕУФШ ŒЛМБД N РТЙНЕУОЩИ МЙОЙК, Б ŒФПТПК | ЕУФШ ТЕЪХМШФБФ N − 1 ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ŒЪБЙНОПНХ ТБУРПМПЦЕОЙА РТЙНЕУЕК.

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ŒЛМБДЩ ŒУЕИ ЗТБЖЙЛПŒ У ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ ПЛБЪЩŒБАФУС ФПЗП ЦЕ РПТСДЛБ, ЮФП Й Im ˚ = −21fi sign ", ОБКДЕООПЕ Œ ОХМЕŒПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ (УН. ЪБДБЮХ 50). œППВЭЕ ЗПŒПТС, ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ˚ ПЗТБОЙЮЙŒБФШУС ОХМЕŒЩН РТЙВМЙЦЕОЙЕН ОЕЛПТТЕЛФОП. пДОБЛП, ЛБЛ НЩ ХŒЙДЙН Œ ТБЪД. 9.7, РТЙ УХННЙТПŒБОЙЙ ŒУЕИ ЗТБЖЙЛПŒ РПТСДЛБ fi −1

9.6. дйбзтбннщ веъ убнпретеуеюеойк

267

РПМХЮБЕФУС ПФŒЕФ, УПŒРБДБАЭЙК У ОХМЕŒЩН РТЙВМЙЦЕОЙЕН.

òÉÓ. 9.21

йФБЛ, ЕУМЙ Œ ЛБЛПН{ФП ЗТБЖЙЛЕ РТЙНЕУОЩЕ МЙОЙЙ РЕТЕУЕЛБАФУС, ФП УФБОПŒСФУС ŒБЦОЩ ЛПТТЕМСГЙЙ Œ ТБУРПМПЦЕОЙЙ РТЙНЕУЕК ОБ ТБУУФПСОЙСИ РПТСДЛБ p−0 1. (ьФП РТПЙУИПДЙФ ЙЪ-ЪБ ОЕУПЛТБЭЕОЙС ЖБЪПŒЩИ НОПЦЙФЕМЕК, РТЙŒПДСЭЕЗП Л ЙОФЕТЖЕТЕОГЙЙ ŒПМО, ТБУУЕСООЩИ ОБ ТБЪМЙЮОЩИ РТЙНЕУСИ.) еУМЙ ЦЕ МЙОЙЙ ОЕ РЕТЕУЕЛБАФУС, ФП ФБЛПК ЛПТТЕМСГЙЙ ОЕФ, РПУЛПМШЛХ ЖБЪЩ ŒПМО, ЙДХЭЙИ Œ РТСНПН Й ПВТБФОПН ОБРТБŒМЕОЙЙ, ЛПНРЕОУЙТХАФУС. œ ТЕЪХМШФБФЕ, ЛПЗДБ МЙОЙЙ ОЕ РЕТЕУЕЛБАФУС, ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП РПМПЦЕОЙСН ТБЪОЩИ РТЙНЕУЕК ПЛБЪЩŒБАФУС ОЕЪБŒЙУЙНЩНЙ. œ РТПФЙŒОПН УМХЮБЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС ПЛБЪЩŒБАФУС ЪБŒЙУЙНЩНЙ. лБЦДПЕ ЪБŒЙУЙНПЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ ДБЕФ МЙЫОЙК НОПЦЙФЕМШ (p0l)−1 РП УТБŒОЕОЙА У ОЕЪБŒЙУЙНЩНЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙСНЙ.

рТЙ ФБЛПН ТБУУНПФТЕОЙЙ УФБОПŒЙФУС СУОП, ЮФП РТЕОЕВТЕЦЕОЙЕ РЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ ЬЛŒЙŒБМЕОФОП РТЕОЕВТЕЦЕОЙА ЛПТТЕМСГЙСНЙ НЕЦДХ РПУМЕДПŒБФЕМШОЩНЙ УФПМЛОПŒЕОЙСНЙ У РТЙНЕУСНЙ. ьФП Œ ФПЮОПУФЙ ФП ЦЕ УБНПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ, ЛБЛ Й ФП, ЮФП ЙУРПМШЪХЕФУС Œ ФЕПТЙЙ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС. рПЬФПНХ РБТБНЕФТ (p0l)−1 | ЬФП ПВЩЮОЩК ВПМШГНБОПŒУЛЙК НБМЩК РБТБНЕФТ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЙ.

уМЕДПŒБФЕМШОП, МАВЩЕ ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ, ФБЛЙЕ ЛБЛ РТПŒПДЙНПУФШ ЙМЙ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ДЙЖЖХЪЙЙ, ОБКДЕООЩЕ У РПНПЭША ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ Œ ЗМБŒОПН РПТСДЛЕ РП (p0l)−1, ДПМЦОЩ УПŒРБДБФШ У ТЕЪХМШФБФБНЙ, РПМХЮЕООЩНЙ У РПНПЭША ЛМБУУЙЮЕУЛПЗП ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС. œ ФПН, ЮФП ЬФП ДЕКУФŒЙФЕМШОП ФБЛ, НЩ ХВЕДЙМЙУШ Œ ЪБДБЮБИ 51 Й 52. тБЪХНЕЕФУС, У РПНПЭША ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ НПЦОП ОЕ ФПМШЛП ПВПУОПŒБФШ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛЙ, ОП Й ТБУУНПФТЕФШ ЬЖЖЕЛФЩ УМЕДХАЭЕЗП РПТСДЛБ РП (p0l)−1, ОЕ ПРЙУЩŒБЕНЩЕ ЛМБУУЙЮЕУЛПК ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЕК. пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП Œ ЬФПН РПТСДЛЕ ŒПЪОЙЛБАФ РТЙОГЙРЙБМШОП ЛŒБОФПŒЩЕ ЖЙЪЙЮЕУЛЙЕ ЬЖЖЕЛФЩ, ФТЕВХАЭЙЕ ХЮЕФБ ЙОФЕТЖЕТЕОГЙЙ ЬМЕЛФТПООЩИ ŒПМО (УН. ЪБДБЮЙ 53 Й 54).

C ОЕУЛПМШЛП ВПМЕЕ ЖПТНБМШОПК ФЕПТЕФЙЛП-РПМЕŒПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС, УЙФХГЙС РТЙ

p0l 1 БОБМПЗЙЮОБ 1=N -ТБЪМПЦЕОЙА Œ ФЕПТЙСИ РПМС У ВПМШЫЙН ЙЪПУРЙОПН. оБРП-
ÍÎÉÍ, ÞÔÏ— 1=N -ТБЪМПЦЕОЙЕ ŒŒПДЙФУС ДМС ФЕПТЙЙ, УПДЕТЦБЭЕК N 1 УŒПВПДОЩИ
РПМЕК ’i(x ), ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ЛПФПТЩНЙ ЙЪПФТПРОП РП ЙЪПУРЙОХ:
L =	2 @—’i@—’i +	2g(’i’i)2	d4x :	(9.141)
	1	1

268	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП Œ ЗМБŒОПН РПТСДЛЕ РП 1=N ŒБЦОЩ ФПМШЛП ДЙБЗТБННЩ, Œ ЛПФПТЩИ

МЙОЙЙ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ РПМА ’i, ОЕ РЕТЕУЕЛБАФУС. œ ФЕПТЙЙ РПМС ФБЛЙЕ ДЙБЗТБННЩ ПВЩЮОП ОБЪЩŒБАФ РМБОБТОЩНЙ, РПУЛПМШЛХ, У ФПРПМПЗЙЮЕУЛПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС, ЙИ ŒУЕ-

ЗДБ НПЦОП ХМПЦЙФШ ОБ РМПУЛПУФШ ВЕЪ УБНПРЕТЕУЕЮЕОЙК. лТПНЕ ФПЗП, ДМС ДЙБЗТБНН РТПЙЪŒПМШОПЗП ŒЙДБ Œ ФЕПТЙЙ РПМС ДПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП РПТСДПЛ ДЙБЗТБННЩ РП 1=N ПРТЕДЕМСЕФУС НЙОЙНБМШОЩН ТПДПН РПŒЕТИОПУФЙ (Ф. Е. ЮЙУМПН ТХЮЕЛ), РТЙ ЛПФПТПН ДЙБЗТБННХ НПЦОП ЙЪПВТБЪЙФШ ОБ ЬФПК РПŒЕТИОПУФЙ ВЕЪ УБНПРЕТЕУЕЮЕОЙК 21.

œ ЪБДБЮЕ ПВ ХРТХЗПН ТБУУЕСОЙЙ ОБ УМХЮБКОП ТБУРПМПЦЕООЩИ РТЙНЕУСИ УПУФПСОЙС ЮБУФЙГЩ ИБТБЛФЕТЙЪХАФУС ЙНРХМШУПН, РТЙОЙНБАЭЙН ЪОБЮЕОЙС ОБ ЖЕТНЙРПŒЕТИОПУФЙ. йЪ-ЪБ ЛПОЕЮОПК ДМЙОЩ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ, ЙНЕЕФУС ОЕПРТЕДЕМЕООПУФШ Œ ЙНРХМШУЕ РПТСДЛБ ‹p = l−1. рПЬФПНХ ЛПМЙЮЕУФŒП ТБЪМЙЮОЩИ УПУФПСОЙК ЮБУФЙГЩ ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ

N0 = (p0=‹p)2 = (p0l)d−1 ;

(9.142)

ЗДЕ d | ТБЪНЕТОПУФШ УЙУФЕНЩ. дМС ПВ СУОЕОЙС ТПМЙ ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙИУС ДЙБЗТБНН Œ [1] РТЙŒПДЙФУС ТБУУХЦДЕОЙЕ, ЙУРПМШЪХАЭЕЕ ПЗТБОЙЮЕОЙЕ ЖБЪПŒПЗП ПВ ЕНБ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ЙНРХМШУБН Œ ДЙБЗТБННБИ У РЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС РТЙНЕУОЩНЙ МЙОЙСНЙ. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЬФБ БТЗХНЕОФБГЙС ФПЮОП ФБЛБС ЦЕ, ЛБЛ ДМС ФЕПТЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЗП N -ЛПНРПОЕОФОПЗП РПМС У N = N0.

9.7.ьМЕЛФТПООЩК УРЕЛФТ ОЕХРПТСДПЮЕООПК УЙУФЕНЩ

œЩЫЕ НЩ ТБУУНПФТЕМЙ ТСД ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ДМС УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ Й РПЛБЪБМЙ, ЮФП ЗМБŒОЩК ŒЛМБД ДБЕФУС ЗТБЖЙЛБНЙ У ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ. рТЙ ЬФПН ПЛБЪБМПУШ, ЮФП ŒЛМБДЩ ЗТБЖЙЛПŒ У РТПЙЪŒПМШОП ВПМШЫЙН ЛПМЙЮЕУФŒПН МЙОЙК ПДЙОБЛПŒЩ Й ТБŒОЩ РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ fi −1. рПЬФПНХ, ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, ОЕПВИПДЙНП ŒЩРПМОЙФШ УХННЙТПŒБОЙЕ ŒУЕИ ФБЛЙИ ЗТБЖЙЛПŒ. ьФП ОЕФТХДОП УДЕМБФШ У РПНПЭША НЕФПДБ ВМПЮОПЗП УХННЙТПŒБОЙС.

юФПВЩ ОЕ ЪБЗТПНПЦДБФШ ЖПТНХМЩ ŒЩТБЦЕОЙСНЙ, ЪБŒЙУСЭЙНЙ ПФ ЪОБЛБ ", ТБУУНПФТЙН ЪБРБЪДЩŒБАЭХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ, РПМБЗБС — = 0. оЕŒПЪНХЭЕООБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЕУФШ G(0)R ("; p) = (" −p2=2m + i0)−1. œŒЕДЕН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ˚("; p), ПРТЕДЕМЙŒ ЕЕ ПВЩЮОЩН ПВТБЪПН, ЛБЛ УХННХ ŒУЕИ ОЕРТЙŒПДЙНЩИ ДЙБЗТБНН. йЪ ЗТБЖЙЮЕУЛПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС ˚("; p) (ТЙУ. 9.22) СУОП, ЮФП МАВПК ŒЛМБД Œ ˚("; p) НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ ŒЙДЕ ŒЛМБДБ Œ ХУТЕДОЕООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ У ЛПОГБНЙ, ЪБНЛОХФЩНЙ РТЙНЕУОПК МЙОЙЕК.

Σ

21УН. ПТЙЗЙОБМШОХА ТБВПФХ: G. t’Hooft, Nucl. Phys. B, v. 72, p. 461 (1974), ЙМЙ ЛОЙЗХ [10]

9.7. ьмелфтпоощк урелфт оехрптсдпюеоопк уйуфенщ

269

òÉÓ. 9.22

œ ЬФПН УМХЮБЕ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ ŒЩЗМСДЙФ ŒЕУШНБ РТПУФП:

˚("; p) = nu0 +	nu02		d3p
	(2ı)3		" − p 2=2m − ˚("; p ) ;	(9.143)

ÉЕЗП ОЕФТХДОП ТЕЫЙФШ. œЩТБЦЕОЙЕ Œ РТБŒПК ЮБУФЙ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ p, РПУЛПМШЛХ РТЙНЕУЙ ФПЮЕЮОЩЕ. рПЬФПНХ ˚("; p) СŒМСЕФУС ЖХОЛГЙЕК ПДОПЗП МЙЫШ ".

œЗМБŒОПН РПТСДЛЕ РП nu20 ТЕЫЕОЙЕ РПМХЮБЕФУС, ЕУМЙ ЪБНЕОЙФШ ˚("; p ) Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (9.143) ОБ −i0. œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ŒЕМЙЮЙОБ Im ˚(") ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС, ОП НБМБ РП УТБŒОЕОЙА У ", ЪОБЮЕОЙЕ ŒЩТБЦЕОЙС Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (9.143) ПУФБОЕФУС ФБЛЙН ЦЕ, ЛБЛ

ÉŒ ОХМЕŒПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ (У ФПЮОПУФША ДП ЮМЕОПŒ ВПМЕЕ ŒЩУПЛПЗП РПТСДЛБ НБМПУФЙ

ÐÏ (p0l)−1). рПЬФПНХ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ˚("; p), ОБКДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 50 Œ ОЙЪЫЕН РПТСДЛЕ РП (p0l)−1, Œ ДЕКУФŒЙФЕМШОПУФЙ СŒМСЕФУС УБНПУПЗМБУПŒБООЩН ТЕЫЕОЙЕН ХТБŒОЕОЙС дБКУПОБ (9.143) РТЙ ХУМПŒЙЙ p0l 1.

рПХЮЙФЕМШОП ТЕЫЙФШ ХТБŒОЕОЙЕ (9.143) СŒОП, ОЕ РТЕДРПМБЗБС НБМПУФЙ ˚(") РП

УТБŒОЕОЙА У ". юФПВЩ ŒЩЮЙУМЙФШ ЙОФЕЗТБМ Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (9.143) ОБДП ТЕЗХМСТЙЪПŒБФШ ТБУИПДЙНПУФШ РТЙ ВПМШЫЙИ |p|. дМС ЬФПЗП ПВТЕЦЕН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ ОБ a−1, ЗДЕ a | ТБДЙХУ РТЙНЕУЙ. (оБРПНОЙН, ЮФП РТЙНЕУЙ НПЦОП УЮЙФБФШ ФПЮЕЮОЩНЙ РТЙ ЬОЕТЗЙСИ (2m")1=2a 1.) рЕТЕРЙЫЕН ХТБŒОЕОЙЕ (9.143) ФБЛЙН ПВТБЪПН:

a−1
˚(") = nu0 − g	p2 + –2(") ; –(") =	2m(˚(") − ") ; g = nu02m=ı2	: (9.144)
0	p2dp	'

йОФЕЗТБМ Œ (9.144) ЕУФШ a−1 − ı–=2. йУРПМШЪХС УŒСЪШ – Й ˚, РПМХЮБЕН ХТБŒОЕОЙЕ ОБ

–:

ı g – − –2=m = 2 "~;

(9.145)

ÇÄÅ "~ = " − nu0 + g=a. тЕЫЕОЙЕ ЬФПЗП ХТБŒОЕОЙС ЙНЕЕФ ŒЙД

ı2 mg + i

'

2m(~"

"0)

ÐÒÉ

"~ > "0

;

–(") =

ı2 mg

+

'

2m("0 − "~)

ÐÒÉ

"~ < "0

;

(9.146)

2

2

−

ÇÄÅ "0 = ı

mg

=8. пФУАДБ ОБИПДЙН

˚(") =

ı

2 g –(") − nu0 + g=a :

(9.147)

рТЙ ВПМШЫЙИ РПМПЦЙФЕМШОЩИ " nu0, ТБЪМБЗБС ЛŒБДТБФОЩК ЛПТЕОШ Œ (9.146), РПМХЮБЕН

˚(") = 2"0 − nu0 + g=a − iınu02 (") ;

(9.148)

ÇÄÅ (") = m(2m")1=2=2ı2 | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК Œ ПФУХФУФŒЙЕ РТЙНЕУЕК. оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ŒЕЭЕУФŒЕООБС ЮБУФШ ˚ РТПУФП УДŒЙЗБЕФ ДОП ЬМЕЛФТПООПК ЪПОЩ (Ф. Е.

270 змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

НЕОСЕФ ИЙНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ) Й РПЬФПНХ ОЕУХЭЕУФŒЕООБ. нОЙНБС ЦЕ ЮБУФШ ПРТЕДЕМСЕФ ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЬМЕЛФТПОБ Œ ДБООПН УПУФПСОЙЙ Й РТЙ ВПМШЫЙИ " УПŒРБДБЕФ У ТЕЪХМШФБФПН, ОБКДЕООЩН Œ ЪБДБЮЕ 50.

рПМХЮЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ (9.146) ХТБŒОЕОЙС дБКУПОБ (9.143) ЮБУФП ЙУРПМШЪХАФ ОЕ ФПМШЛП РТЙ ВПМШЫЙИ, ОП Й РТЙ РТПЙЪŒПМШОЩИ ЬОЕТЗЙСИ. тБЪХНЕЕФУС, ЖПТНБМШОП ЬФП ОЕ-

ЛПТТЕЛФОП, РПУЛПМШЛХ (9.143) ВЩМП ŒЩŒЕДЕОП Œ РТЕДРПМПЦЕОЙЙ p0l 1. фЕН ОЕ НЕОЕЕ, ФБЛПЕ УБНПУПЗМБУПŒБООПЕ ВПТОПŒУЛПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ ЮБУФП РТЙŒПДЙФ Л ЛБЮЕУФŒЕООП

РТБŒЙМШОЩН ТЕЪХМШФБФБН.

оБРТЙНЕТ, ТБУУНПФТЙН ПДОПЮБУФЙЮОХА РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК. œПУРПМШЪХЕНУС ЙЪŒЕУФОЩН УППФОПЫЕОЙЕН НЕЦДХ РМПФОПУФША УПУФПСОЙК Й ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ: (") =

1

Im Tr G. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК, ХУТЕДОЕООБС РП ВЕУРПТСДЛХ. рПЬФП-

ı

ЙУРПМШЪХС ОБКДЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ХУТЕДОЕООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, РПМХЮБЕН

ÍÕ,

1

d3p

m

∞

p2dp

(") =

ı(2ı)3 Im

"

−

21m p2

−

˚(") = − Im ı3

p2 + –2(")

=

= 2ı2

0

(9.149)

'2m(" − " ) ; " = nu0 − g=a + "0 ;

m

ЗДЕ –(") ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (9.146). йФБЛ, УБНПУПЗМБУПŒБООПЕ ВПТОПŒУЛПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ ДБЕФ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК (9.149), ПФМЙЮБАЭХАУС ПФ РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК ЮЙУФПК УЙУФЕНЩ МЙЫШ УДŒЙЗПН ЬОЕТЗЙЙ ОБ ПРТЕДЕМЕООХА ŒЕМЙЮЙОХ. œЩТБЦЕОЙЕ (9.149) ЙНЕЕФ ЛБЮЕУФŒЕООП РТБŒЙМШОПЕ РПŒЕДЕОЙЕ: ОЙЦЕ РПТПЗБ " = " РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК

(") ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ, Б РТЙ ВПМШЫЙИ " РЕТЕИПДЙФ Œ (") ЮЙУФПК УЙУФЕНЩ.

9.7.1.иŒПУФ МПЛБМЙЪПŒБООЩИ УПУФПСОЙК.

уМЕДХЕФ ПФНЕФЙФШ, ЮФП УБНПУПЗМБУПŒБООПЕ ВПТОПŒУЛПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ ОЕУРТБŒЕДМЙŒП ОЕРПУТЕДУФŒЕООП ŒВМЙЪЙ РПТПЗБ " = " . œ ЬФПК ПВМБУФЙ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.149) УЙМШОП

ХРТПЭБЕФ ЙУФЙООХА ЛБТФЙОХ. дЕМП Œ ФПН, ЮФП УПУФПСОЙС Œ ОЙЦОЕК ЮБУФЙ УРЕЛФТБ Œ УМХЮБКОПН РПФЕОГЙБМЕ ŒУЕЗДБ МПЛБМЙЪПŒБОЩ 22 Й РПЬФПНХ РТЙВМЙЦЕОЙЕ УМБВПЗП

ТБУУЕСОЙС Œ ЬФПН УМХЮБЕ ОЕ ЙНЕЕФ УНЩУМБ. дМС ЙЪХЮЕОЙС МПЛБМЙЪПŒБООЩИ УПУФПСОЙК ФТЕВХАФУС УПŒЕТЫЕООП ЙОЩЕ НЕФПДЩ, ŒЩИПДСЭЙЕ ЪБ ТБНЛЙ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК.

мПЛБМЙЪБГЙС РТЙŒПДЙФ Л ЛБЮЕУФŒЕООЩН ЙЪНЕОЕОЙСН Œ РПŒЕДЕОЙЙ РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК УЙУФЕНЩ. тБУУНПФТЙН, ОБРТЙНЕТ, УМХЮБК ПФФБМЛЙŒБФЕМШОПЗП РПФЕОГЙБМБ РТЙНЕУЕК, u0 > 0. уПЗМБУОП ЖПТНХМЕ (9.149), РПТПЗПŒБС ЬОЕТЗЙС " , ŒЩЫЕ ЛПФПТПК РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС, РПМПЦЙФЕМШОБ (РПУЛПМШЛХ g=a nu0 ДМС ФПЮЕЮОЩИ РТЙНЕУЕК). пДОБЛП Œ ТЕБМШОПК УЙУФЕНЕ ЙНЕАФУС УПУФПСОЙС У МАВЩНЙ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩНЙ ЬОЕТЗЙСНЙ. рТЙЮЙОБ ЬФПЗП Œ ФПН, ЮФП ЙЪ-ЪБ УМХЮБКОПЗП ТБУРПМПЦЕОЙС РТЙНЕУЕК У ЛБЛПК-ФП ŒЕТПСФОПУФША РТПЙЪŒПМШОП ВПМШЫБС ПВМБУФШ РТПУФТБОУФŒБ НПЦЕФ

ПЛБЪБФШУС УŒПВПДОПК ПФ РТЙНЕУЕК. CПУФПСОЙС У ЬОЕТЗЙСНЙ 0 < " < " ПВТБЪХАФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ИŒПУФ МПЛБМЙЪПŒБООЩИ УПУФПСОЙК. ьФБ ЮБУФШ РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК ОЕ

22рПОСФЙЕ МПЛБМЙЪБГЙЙ ВЩМП ŒРЕТŒЩЕ ŒŒЕДЕОП Œ ТБВПФЕ: P. W. Anderson, Phys. Rev., v. 109, p. 14921505 (1958)