Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

9.5. теыеойс

241

йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ЙНРХМШУХ p1 Œ ‰-РТЙВМЙЦЕОЙЙ ŒЩДЕМСЕФ ŒЛМБД, УŒСЪБООЩК У ТЕЪЛПК ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФША. пО | НОЙНЩК, Й ЕЗП ЪОБЛ НЕОСЕФУС ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ УЛБЮЛПН, ЛБЛ Й ДПМЦОП ВЩФШ УПЗМБУОП БОБМЙФЙЮЕУЛЙН УŒПКУФŒБН РТЙЮЙООПК ЗТЙОПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ. вПМЕЕ ФПЮОПЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ, У ХЮЕФПН ŒЛМБДПŒ ПФ ЙНРХМШУПŒ, ДБМЕЛЙИ ПФ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ, НПЗМП ВЩ ДБФШ ŒЛМБД Œ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ЮБУФШ ˚(2), ТЕЗХМСТОХА ŒВМЙЪЙ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ. тБУУНБФТЙŒБФШ ФБЛЙЕ ŒЛМБДЩ, РТЕДУФБŒМСАЭЙЕ УПВПК РПРТБŒЛЙ ВПМЕЕ ŒЩУПЛПЗП РПТСДЛБ Л ИЙНЙЮЕУЛПНХ РПФЕОГЙБМХ —, НЩ ОЕ ВХДЕН. фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБИПДЙН

˚(2)

i

= −2fi sign " ;

(9.49)

ЗДЕ ŒТЕНС ТБУУЕСОЙС fi ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН

u(r) d3r$

fi =

ı0

$

:

(9.50)

1

mp n

$

$

2

$

$

пЛПОЮБФЕМШОП РПМХЮБЕН ЖХОЛГЙА зТЙОБ$Œ ŒÉÄÅ

$

G("; p; p )

=

(2ı)3‹(p − p )

:

(9.51)

"

−

p2=2m + —

+

i

sign "

2fi

л ФБЛПНХ ЦЕ ТЕЪХМШФБФХ НПЦОП РТЙКФЙ Й ДТХЗЙН, ОЕУЛПМШЛП НЕОЕЕ ФСЦЕМПŒЕУОЩН УРПУПВПН, ЙУРПМШЪХС ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ. уОПŒБ РТЕДУФБŒЙН ФПЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ Œ ŒЙДЕ ТСДБ ТЙУ. 9.11 РП РПФЕОГЙБМХ. хУТЕДОСС ЛБЦДЩК ЮМЕО РП РПМПЦЕОЙСН РТЙНЕУЕК, ВХДЕН РПМШЪПŒБФШУС УФБОДБТФОЩНЙ ПВПЪОБЮЕОЙСНЙ: РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЙ ПВПЪОБЮЙН ŒПМОЙУФПК МЙОЙЕК, РТЙЮЕН Œ УМХЮБСИ, ЛПЗДБ ТБУУЕСОЙЕ ОБ ПДОПК Й ФПК ЦЕ РТЙНЕУЙ РТПЙУИПДЙФ ДŒБ ТБЪБ 12, ВХДЕН ŒНЕУФП ДŒХИ ŒПМОЙУФЩИ МЙОЙК ТЙУПŒБФШ ПДОХ ЫФТЙИПŒХА МЙОЙА, УПЕДЙОСАЭХА ФПЮЛЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

дБМЕЕ, ЛБЦДХА ДЙБЗТБННХ, ДБАЭХА ŒЛМБД Œ УТЕДОЕЕ ЗТЙОПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ, ТБЪПВШЕН ОБ УŒСЪОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ, РТЙЮЕН, ЕУФЕУФŒЕООП, ВХДЕН УЮЙФБФШ ЫФТЙИПŒЩЕ МЙОЙЙ УПУФБŒОПК ЮБУФША ЗТБЖЙЛПŒ. (оБРПНОЙН, ЮФП УŒСЪОЩН ОБЪЩŒБЕФУС ЗТБЖЙЛ, ЛПФПТЩК ОЕМШЪС ТБЪВЙФШ ОБ ЮБУФЙ, ХДБМЙŒ ЛБЛХА-ОЙВХДШ ПДОХ ЗТЙОПŒУЛХА ЖХОЛГЙА.) уХННБ ŒУЕИ ФБЛЙИ УŒСЪОЩИ ЗТБЖЙЛПŒ ЕУФШ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ˚. у РПНПЭША ХТБŒОЕОЙС дБКУПОБ ЖХОЛГЙС зТЙОБ G НПЦЕФ ВЩФШ ŒЩТБЦЕОБ ЮЕТЕЪ ˚ Й ЪБФТБŒПЮОХА ЗТЙОПŒУЛХА ЖХОЛГЙА G0 (УН. (4.9)). фБЛЙН ПВТБЪПН РПМХЮБЕН:

G = G0 + G0˚ G ; ÉÌÉ G −1 = G0−1 − ˚ :

(9.52)

ъДЕУШ ЪБФТБŒПЮОБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЕУФШ G−0 1 = " − ‰ + i0 sign ". уПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ, ŒЪСФБС Œ ВПТОПŒУЛПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ, УПДЕТЦЙФ

ŒЛМБД ПФ ПДОПЛТБФОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У РПФЕОГЙБМПН РТЙНЕУЕК, ЛПФПТПНХ УПРПУФБŒМСЕФУС УТЕДОЕЕ ПФ ЬФПЗП РПФЕОГЙБМБ nu0, Б ФБЛЦЕ ŒЛМБД ПФ ДŒХЛТБФОПЗП ТБУУЕСОЙС, ЙЪПВТБЦБЕНЩК ОБ ДЙБЗТБННБИ ЫФТЙИПŒПК МЙОЙЕК, ЛПФПТПК УППФŒЕФУФŒХЕФ ВПТОПŒУЛБС БНРМЙФХДБ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ. рТЙ ЬФПН, УМЕДХС ĂПУОПŒОПНХ РТЙОГЙРХĄ ФЕИОЙЛЙ

12œ ВПТОПŒУЛПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ ДМС УМБВПЗП РПФЕОГЙБМБ ТБУУЕСОЙС ДПУФБФПЮОП ПЗТБОЙЮЙФШУС ПДОПЛТБФОЩНЙ Й ДŒХЛТБФОЩНЙ РТПГЕУУБНЙ ТБУУЕСОЙС.

242	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

ХУТЕДОЕООЙС РП ВЕУРПТСДЛХ (УН. ТБЪД. 9.6), НЩ РТЕОЕВТЕЗБЕН ЗТБЖЙЛБНЙ У РЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ. зТБЖЙЮЕУЛЙ, ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ ДМС УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ ЙНЕЕФ ŒЙД

Σ

Σ

òÉÓ. 9.12
Ô. Å.	0		" ‰p1	|		˚("; p1) + i0 sign " (2ı)3
˚("; p) = nu		+ n	−		u(p − p1)|2		d3p1	:	(9.53)
				−

юФПВЩ ТЕЫЙФШ ЬФП ХТБŒОЕОЙЕ, ЪБНЕФЙН, ЮФП Œ УМХЮБЕ ‹-ЖХОЛГЙПООЩИ РТЙНЕУЕК ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФБ u(p − p1) = u0 ŒЩОПУЙФУС ЙЪ-РПД ЙОФЕЗТБМБ (9.53). ьФП РПЪŒПМСЕФ ЙУЛБФШ ТЕЫЕОЙЕ Œ ŒЙДЕ ЖХОЛГЙЙ ˚("), ЪБŒЙУСЭЕК ФПМШЛП ПФ ". вХДЕН ЙУЛБФШ ТЕЫЕОЙЕ Œ ФБЛПК ЖПТНЕ: ˚(") = ‹— − (i=2fi ) sign ". рПДУФБŒЙŒ ЬФХ ЖХОЛГЙА Œ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ (9.53), ХВЕЦДБЕНУС, ЮФП ТЕЫЕОЙЕ ДБЕФУС УХННПК ŒЩТБЦЕОЙК (9.45) Й (9.49). йФБЛ, ХУТЕДОСС РП ВЕУРПТСДЛХ, ОБИПДЙН

G("; p) =	1	:	(9.54)
	" − 2pm2 + — + 2ifi sign "

тЕЫЕОЙЕ 50 В. фЕРЕТШ ОЕФТХДОП РПМХЮЙФШ УТЕДОЕЕ ЗТЙОПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ Œ ЛППТ-

ДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. œ ЖХТШЕ-ПВТБЪЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G("; r) =

G

";

p)

eipr d3p

РЕТЕИПДЙН Л ЙОФЕЗТБМХ РП ‰:

(

(2ı)3

G("; r)

=

4ı

p0 sin |r|p(‰) d‰

;

(9.55)

(2ı)3

v0|r| " − ‰ + 2ifi sign "

ÇÄÅ p(‰) = p0 + ‰=vF . œЩРПМОЙФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ‰ НПЦОП ФПЮОП ФБЛЙН ЦЕ УРПУПВПН, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 22 (УН. ЖПТНХМЩ (5.23) Й (5.25)). рТЙ ЬФПН УДŒЙЗ РПМАУБ " → " + i sign "=2fi РТЙŒПДЙФ Л ДПРПМОЙФЕМШОПНХ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОПНХ НОПЦЙФЕМА:

G("; r) = G0("; r) e−|r|=2l ;

(9.56)

ÇÄÅ G0("; r) = −2ım|r| exp [i sign "(p0 + "=vF )|r|], Á l = vF fi | ДМЙОБ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ, ŒЩЮЙУМЕООБС РП ВПТОПŒУЛПНХ УЕЮЕОЙА ТБУУЕСОЙС. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕФУС ЛŒБЪЙЛМБУУЙЮЕУЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.18).

тЕЫЕОЙЕ 51. œЩЮЙУМЙН РТПŒПДЙНПУФШ Œ ПДОПТПДОПН РЕТЕНЕООПН ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПН РПМЕ, ЙУРПМШЪХС ФЕПТЙА ŒПЪНХЭЕОЙК РП НБМПК ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК. œПУРПМШЪХЕНУС РТЙŒЕДЕООЩН Œ ХУМПŒЙЙ ЪБДБЮЙ УППФОПЫЕОЙЕН (9.15) НЕЦДХ РТПŒПДЙНПУФША Й НБГХВБТПŒУЛЙН ЛПТТЕМСФПТПН ФПЛ{ФПЛ ˝¸˛ (i!n).

9.5. теыеойс

243

дБЦЕ ЕУМЙ ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ УФБФЙЮЕУЛБС РТПŒПДЙНПУФШ, МХЮЫЕ УОБЮБМБ ТБУУНПФТЕФШ РТПŒПДЙНПУФШ ОБ ЛПОЕЮОПК ЮБУФПФЕ, Б ЪБФЕН ХУФТЕНЙФШ ЮБУФПФХ Л ОХМА. дЕМП Œ ФПН, РТПŒПДЙНПУФШ ĂРМПИП УЕВС ŒЕДЕФĄ Œ РТЕДЕМЕ ОХМЕŒПК ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК. дЕКУФŒЙФЕМШОП, УФБФЙЮЕУЛБС РТПŒПДЙНПУФШ ЮЙУФПЗП НЕФБММБ, Ф. Е. ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, ПВТБЭБЕФУС Œ ВЕУЛПОЕЮОПУФШ, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ РТПŒПДЙНПУФШ ОБ РЕТЕНЕООПН ФПЛЕ ЛПОЕЮОБ: (!) = ine2=m!. рПЬФПНХ, ДБЦЕ Œ РТЙУХФУФŒЙЙ ТБУУЕСОЙС, РТБŒЙМШОП УОБЮБМБ ТБУУНБФТЙŒБФШ ФПЛ Œ РЕТЕНЕООПН РПМЕ, Й ХЦЕ РПФПН РЕТЕИПДЙФШ Л УФБФЙЮЕУЛПНХ РТЕДЕМХ.

уПЗМБУОП (9.22), ДМС ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЮБУФЙГ ЛПТТЕМСФПТ ФПЛ{ФПЛ ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ДŒХИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК. зТБЖЙЮЕУЛЙ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.22) ДМС ˝¸˛ (i!n) ЙЪПВТБЦБЕФУС РЕФМЕŒПК ДЙБЗТБННПК, РПЛБЪБООПК ОБ ТЙУ. 9.13. œПМОЙ-

h:c:	¸ = −	2m		¸ +
УФЩЕ МЙОЙЙ Œ ŒЕТЫЙОБИ ПВПЪОБЮБАФ ЛПНРПОЕОФЩ ПРЕТБФПТБ ФПЛБ j		i eh—	+

ˆ

GM

ˆ	1	ˆ
j	−c	Aj
	ˆ
	GM
	òÉÓ. 9.13

ъБРЙЫЕН УТЕДОЕЕ ЛПТТЕМСФПТБ ˝¸˛ (i!n) РП ВЕУРПТСДЛХ:

˝¸˛ (i!n) = e2 T
	"k	Tr GM (i"k + i!n)v¸GM (i"k )v˛				;	(9.57)

ÇÄÅ "k = (2k + 1)ıT , Á v¸ = p¸=m | ЛПНРПОЕОФЩ ПРЕТБФПТБ УЛПТПУФЙ. тЕЪХМШФБФ ХУТЕДОЕОЙС НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ ЛБЛ УХННХ ЗТБЖЙЛПŒ, ЙНЕАЭЙИ ŒЙД РЕФМЙ ЙЪ НБГХВБТПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, РПЛБЪБООПК ОБ ТЙУ. 9.13, ŒУЕŒПЪНПЦОЩНЙ УРПУПВБНЙ ПДЕФПК РТЙНЕУОЩНЙ МЙОЙСНЙ.

зМБŒОЩК ŒЛМБД РТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ РП ВЕУРПТСДЛХ Œ УМХЮБЕ НБМПК ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК p0l 1 ДБАФ ЗТБЖЙЛЙ У ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС РТЙНЕУОЩНЙ МЙОЙСНЙ:

òÉÓ. 9.14

еУМЙ ТБУУНБФТЙŒБФШ ФПМШЛП ЗТБЖЙЛЙ ФБЛПЗП ФЙРБ, ФП ХУТЕДОЕОЙЕ УЙМШОП ХРТПЭБЕФУС. ъБНЕФЙН ЮФП, ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, УТЕДОЕЕ GM (")GM (" ) РП ВЕУРПТСДЛХ ОЕ ТБŒОП

РТПЙЪŒЕДЕОЙА УТЕДОЙИ GM (") GM (" ) . œ ТБУУНБФТЙŒБЕНПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙИУС РТЙНЕУОЩИ МЙОЙК Œ ТБЪОПУФШ GM (")GM (" ) − GM (") GM (" ) ДБАФ ŒЛМБД ДЙБЗТБННЩ, УПДЕТЦБЭЙЕ РТЙНЕУОЩЕ МЙОЙЙ, УПЕДЙОСАЭЙЕ GM (") É GM (" ),

244	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

РПДПВОЩЕ ŒФПТПНХ Й ЮЕФŒЕТФПНХ ЗТБЖЙЛБН ОБ ТЙУ. 9.14. йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ПФМЙЮЙЕ

GM (")GM (" ) ÏÔ GM (") GM (" ) ПВХУМПŒМЕОП РТЙНЕУСНЙ, ŒИПДСЭЙНЙ ПДОПŒТЕНЕООП Й Œ GM ("), É Œ GM (" ).

пДОБЛП, ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ДМС ФПЮЕЮОЩИ ‹-РТЙНЕУЕК МАВЩЕ ФБЛЙЕ ДЙБЗТБННЩ У ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС РТЙНЕУОЩНЙ МЙОЙСНЙ ПЛБЪЩŒБАФУС ТБŒОЩНЙ ОХМА. рТЙЮЙОБ ЬФПЗП ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП ДМС ФПЮЕЮОЩИ РТЙНЕУЕК ŒЕМЙЮЙОБ ДЙБЗТБННЩ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ РЕТЕДБŒБЕНПЗП РП РТЙНЕУОПК МЙОЙЙ ЙНРХМШУБ. рПЬФПНХ, УПЕДЙОЙŒ ДŒЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ОБ ТЙУ. 9.13 ЫФТЙИПŒПК МЙОЙЕК, НЩ ĂТБЪŒСЪЩŒБЕНĄ ЙНРХМШУЩ Œ ŒЕТЫЙОБИ ДЙБЗТБННЩ. œ ТЕЪХМШФБФЕ, РПУЛПМШЛХ ФПЛПŒБС ŒЕТЫЙОБ ОЕЮЕФОБ РП ЙНРХМШУХ, МАВБС ФБЛБС ДЙБЗТБННБ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ЙНРХМШУБН. йФБЛ, Œ ЪБДБЮЕ П РТПŒПДЙНПУФЙ Œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙИУС РТЙНЕУОЩИ МЙОЙК ПФМЙЮЙЕGM (")GM (" ) ÏÔ GM (") GM (" ) НПЦОП ОЕ ХЮЙФЩŒБФШ.

ъБНЕФЙН, ЮФП c ФПЮОП ФБЛПК ЦЕ УЙФХБГЙЕК НЩ ХЦЕ ŒУФТЕЮБМЙУШ Œ ЪБДБЮЕ 14, ЗДЕ ФПЮЕЮОПУФШ ТБУУЕЙŒБФЕМС РТЙŒПДЙМБ Л ЪБОХМЕОЙА ДЙБЗТБНН У ТБЪДЕМЕООЩНЙ ФПЛПŒЩНЙ ŒЕТЫЙОБНЙ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ЙНРХМШУБН.

рТЙ ЬФПН УХЭЕУФŒЕООП, ЮФП ТБУУЕСОЙЕ ЮЙУФП ЙЪПФТПРОПЕ, Ф. Е. РТЙ ТБУУЕСОЙЙ ПФУХФУФŒХЕФ ЛБЛБСМЙВП ЛПТТЕМСГЙС НЕЦДХ ОБРТБŒМЕОЙСНЙ ОБЮБМШОПК Й ЛПОЕЮОПК УЛПТПУФЙ. рПЬФПНХ ПРЙУБООПЕ ХРТПЭЕОЙЕ ЙНЕЕФ НЕУФП ФПМШЛП ДМС ФПЮЕЮОЩИ РТЙНЕУЕК, ТБУУЕЙŒБАЭЙИ Œ s-ЛБОБМЕ, ЛПЗДБ fitr = fi . дМС РТЙНЕУЕК, ТБУУЕЙŒБАЭЙИ ОЕ ФПМШЛП Œ s-ЛБОБМЕ, ЬФЙ ДŒБ ŒТЕНЕОЙ ОЕ ТБŒОЩ. œ ЬФПН УМХЮБЕ РТЙИПДЙФУС УХННЙТПŒБФШ МЕУФОЙГХ, ОБРПНЙОБАЭХА ДЙЖЖХЪЙПООХА (УН. ТЙУ. 9.7), ОП У ŒЕЛФПТОЩНЙ ŒЕТЫЙОБНЙ, Œ ТЕЪХМШФБФЕ ЮЕЗП Й РТПЙУИПДЙФ ЪБНЕОБ fi ÎÁ fitr.

хЮЙФЩŒБС ЬФП ПВУФПСФЕМШУФŒП, НЩ ŒЙДЙН, ЮФП ХУТЕДОЕОЙЕ ДŒХИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ Œ (9.57) ТБУГЕРМСЕФУС Œ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ УТЕДОЙИ:

˝¸˛ (i!n) = e2 T

"k

Tr

GM (i"k

+ i!n) v¸

GM (i"k ) v˛

:

(9.58)

жХОЛГЙС зТЙОБ,i

ХУТЕДОЕООБС РП ВЕУРПТСДЛХ, УПЗМБУОП (9.17), ЙНЕЕФ ŒЙД G("k ; p) =

1=(i"k − ‰(p) + 2fi

sign "k ). рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.58) НПЦОП ЪБРЙУБФШ ФБЛ:

˝¸˛ (i!n) = e2 T

(i"~k

(p¸=m)(p˛ =m)

d3p

−

‰(p))(i"~k

−

‰(p)) (2ı)3 ;

(9.59)

"k

ÇÄÅ "~

= "k + !n + 1 sign("k + !n), "~k = "k + 1

sign "k .

k

2fi

2fi

рТЕЦДЕ ЮЕН РТЙУФХРЙФШ Л ŒЩЮЙУМЕОЙА ŒЩТБЦЕОЙС (9.59), РТПŒЕТЙН, ЮФП ŒЩРПМОСЕФУС ФПЦДЕУФŒП ˝¸˛ (0) = −(ne2=m) ‹¸˛ . дМС ЬФПЗП ŒПУРПМШЪХЕНУС УППФОПЫЕОЙЕН

p	GM (i"; p)	2	= m p	GM (i"; p) ;

Й РТЕДУФБŒЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.59), ŒЪСФПЕ РТЙ "k = "k , Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:

˝¸˛ (0) = m T	"k		p¸ p˛	GM (i"k ; p)	(2ı)3 :
e2					d3p
йОФЕЗТБМ РП d3p ŒПЪШНЕН РП ЮБУФСН, РЕТЕОЕУС ДЕКУФŒЙЕ p˛					ÎÁ p¸:

(9.60)

(9.61)

e2				d3p
˝¸˛ (0) = −m ‹¸˛ T	"k		GM (i"k ; p)	(2ı)3	:	(9.62)

9.5. теыеойс

245

хЮЙФЩŒБС ЙЪŒЕУФОПЕ УППФОПЫЕОЙЕ (2.12) НЕЦДХ РМПФОПУФША ЮБУФЙГ Й ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ, РПМХЮБЕН ФТЕВХЕНПЕ ФПЦДЕУФŒП.

рЕТЕКДЕН ФЕРЕТШ Л ŒЩЮЙУМЕОЙА ŒЩТБЦЕОЙС (9.59). у ФЕИОЙЮЕУЛПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС, ОБЙВПМЕЕ РТПУФП ВЩМП ВЩ РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ ŒОБЮБМЕ РП d3p. пДОБЛП ЖПТНБМШОП ЬФПФ ЙОФЕЗТБМ ТБУИПДЙФУС РТЙ |p| p0. юФПВЩ ПВПКФЙ ЬФХ ФТХДОПУФШ, ТБУУНПФТЙН ТБЪОПУФШ ˝¸˛ (i!n) − ˝¸˛ (0) Й РТЕДУФБŒЙН ЕЕ Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:

m2 T	"k		p¸p˛	GM (i"k + i!n; p)	− GM (i"k ; p)		GM (i"k ; p)	(2ı)3 : (9.63)
e2								d3p

œ ЬФПН ŒЩТБЦЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМ РП d3p УИПДЙФУС, Й ВПМЕЕ ФПЗП, ЛБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЕЗП ŒЕМЙЮЙОБ ПРТЕДЕМСЕФУС НБМПК ПЛТЕУФОПУФША ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ: ‹‰ ≈ max[!n; fi −1]. рПЬФПНХ Œ (9.63) НПЦОП РЕТЕКФЙ Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰, ЪБНЕОЙŒ УТЕДОЕЕ РП ХЗМБН ПФ p¸p˛ ÎÁ 13 p20‹¸˛ . йОФЕЗТБМ РП ‰ ПФ ДŒХИ УМБЗБЕНЩИ Œ (9.63) НПЦОП ŒЩЮЙУМСФШ РП ПФДЕМШОПУФЙ. (пФНЕЮЕООБС ŒЩЫЕ ТБУИПДЙНПУФШ РТЙ ВПМШЫЙИ p ОЕ ЙНЕЕФ ПФОПЫЕОЙС Л ŒЛМБДХ ПЛТЕУФОПУФЙ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ ‰ ≈ h=fi— , ЛПФПТЩК ХЮЙФЩŒБЕФУС ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН РП ‰.)

œЪСŒ ЙОФЕЗТБМ РП ‰ ПФ РЕТŒПЗП УМБЗБЕНПЗП Œ (9.63), РПМХЮБЕН:

ı e2v2			−
	0 T	sign "k	− sign "k ;		(9.64)
3 F	"k	"~		"~k
		k

ÇÄÅ "~k É "~k ЙНЕАФ ФПФ ЦЕ УНЩУМ, ЮФП Й Œ (9.59). оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ РП ‰ ПФ ŒФПТПЗП УМБЗБЕНПЗП Œ (9.63) ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ. оБЛПОЕГ, ŒЩЮЙУМСС ФТЙŒЙБМШОХА УХННХ РП "k , ЙНЕЕН

˝

(i! )

˝

(0)

=

ne2

|!n|

:

(9.65)

¸˛

n

−

¸˛

m !n + fi1 sign !n

нЩ ŒПУРПМШЪПŒБМЙУШ ЪДЕУШ ФЕН, ЮФП

1

0v2

= n=m.

3

F

юФПВЩ ОБКФЙ РТПŒПДЙНПУФШ, ŒПУРПМШЪХЕНУС ДПЛБЪБООЩН ФПЦДЕУФŒПН (9.16). рПУЛПМШЛХ ŒЕЛФПТОЩК РПФЕОГЙБМ A Й ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЕ РПМЕ E УŒСЪБОЩ УППФОПЫЕОЙЕН

1 _
E = −c A, ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РТПŒПДЙНПУФЙ НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:
1
¸˛ (i!n) = !n [˝¸˛ (i!n) − ˝¸˛ (0)]	:	(9.66)
рПДУФБŒМСС Œ (9.66) ОБКДЕООЩК ТЕЪХМШФБФ (9.65), РПМХЮБЕН
ne2 ‹¸˛
¸˛ (i!n) = m(|!n| + fi1 ) :		(9.67)

дМС РЕТЕИПДБ Л ЖХОЛГЙСН ŒЕЭЕУФŒЕООПК ЮБУФПФЩ ОБДП ŒЩРПМОЙФШ БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ У ŒЕТИОЕК НОЙНПК РПМХПУЙ: i!n → !. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН ЙУЛПНХА ЖПТНХМХ дТХДЕ (9.19).

246	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ТЕЪХМШФБФ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ФЕНРЕТБФХТЩ. ьФПЗП Й УМЕДПŒБМП ПЦЙДБФШ, РПУЛПМШЛХ РТПŒПДЙНПУФШ | ПДОПЮБУФЙЮОЩК ЬЖЖЕЛФ. рПЬФПНХ, ЕУМЙ ŒТЕНС ТБУУЕСОЙС fi ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЬОЕТЗЙЙ, РТПŒПДЙНПУФШ ОЕ ДПМЦОБ ЪБŒЙУЕФШ ПФ ФЕРМПŒПЗП ТБЪНЩФЙС ЖЕТНЙЕŒУЛПК УФХРЕОШЛЙ.

тЕЫЕОЙЕ 52. оБН ОЕПВИПДЙНП ХУТЕДОЙФШ ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ-РМПФОПУФШ (9.9) РП ВЕУРПТСДЛХ. оБ ЬФПФ ТБЪ, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ РТЕДЩДХЭЕК ЪБДБЮЙ, ХЦЕ ОЕМШЪС ЙЗОПТЙТПŒБФШ ПФМЙЮЙЕ GM GM ÏÔ GM GM . (дЕМП Œ ФПН, ЮФП ФЕРЕТШ НЩ ЙНЕЕН ДЕМП ОЕ У ŒЕЛФПТОЩНЙ ŒЕТЫЙОБНЙ, ЛБЛ РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЛПТТЕМСФПТБ ФПЛ{ФПЛ, Б УП УЛБМСТОЩНЙ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙНЙ РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ.) œ ЗМБŒОПН РПТСДЛЕ РП РБТБНЕФТХ (p0l)−1 ЙОФЕТЕУХАЭЕЕ ОБУ УТЕДОЕЕ ДБЕФУС РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФША МЕУФОЙЮОЩИ ДЙБЗТБНН, РПЛБЪБООПК ОБ ТЙУ 9.7.

юФПВЩ РТПУХННЙТПŒБФШ ЬФЙ ДЙБЗТБННЩ, ПВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЛБЦДБС МЕУФОЙЮОБС ДЙБЗТБННБ ТБЪВЙŒБЕФУС ОБ ПФДЕМШОЩЕ ВМПЛЙ (ĂРХЪЩТШЛЙĄ), ПЛТХЦЕООЩЕ У ДŒХИ УФПТПО МЙОЙСНЙ РТЙНЕУЕК (ĂРЕТЕЛМБДЙОБНЙĄ). рТЙ ЬФПН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ЙНРХМШУБН Œ ЛБЦДПН ВМПЛЕ ОЕЪБŒЙУЙНЩ, ФБЛ ЛБЛ РТЙНЕУОБС МЙОЙС ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ РЕТЕДБООПЗП ЙНРХМШУБ. ъБНЕФЙН ФБЛЦЕ, ЮФП ЙЪ-ЪБ ЪБЛПОБ УПИТБОЕОЙС ЙНРХМШУБ ТБЪОПУФШ ЙНРХМШУПŒ Œ ЛБЦДПН ВМПЛЕ РПУФПСООБ Й ТБŒОБ ЙНРХМШУХ q, ŒИПДСЭЕНХ Œ ŒЕТЫЙОХ. лТПНЕ ФПЗП, РПУЛПМШЛХ ТБУУЕСОЙЕ ОБ РТЙНЕУСИ ХРТХЗПЕ, ЮБУФПФЩ ŒП ŒУЕИ УФХРЕОСИ МЕУФОЙГЩ РПРБТОП УПŒРБДБАФ. йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ОЕЪБŒЙУЙНП ПФ ЮЙУМБ РЕТЕЛМБДЙО, ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РТПЙУИПДЙФ ŒУЕЗП РП ПДОПК ЮБУФПФЕ. тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ РЕТŒЩК ЮМЕО УХННЩ (ĂРХЪЩТЕЛ ВЕЪ РЕТЕЛМБДЙОĄ). œЩТБЦЕОЙЕ ДМС ОЕЗП ŒЩЗМСДЙФ ФБЛ:

				d3p
	T			GM (i"k + i!n; p+) GM (i"k ; p−) (2ı)3 ;	(9.68)
		"k

ÇÄÅ "k = (2k + 1)ıT , !n = 2nıT , p± = p ± 12 q, Б ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ХУТЕДОЕООЩЕ РП ВЕУРПТСДЛХ, ЙНЕАФ УФБОДБТФОЩК ŒЙД:

GM (i"; p) =			1		sign " ;	(9.69)
	i"	−	‰(p) +	i
				2fi

ЗДЕ, ЛБЛ ПВЩЮОП, ‰(p) = p2=2m −—. рТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП p, ЛБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.68) ДБЕФ УХЭЕУФŒЕООП ТБЪМЙЮОЩЕ ТЕЪХМШФБФЩ, Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ФПЗП, ОБИПДСФУС МЙ РПМАУЩ ДŒХИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК РП ПДОХ ЙМЙ РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ.

тБУУНПФТЙН ЬФПФ ŒПРТПУ ВПМЕЕ РПДТПВОП. œПУРПМШЪХЕНУС ЙЪŒЕУФОПК УŒСЪША НБГХВБТПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК У ЪБРБЪДЩŒБАЭЙНЙ Й ПРЕТЕЦБАЭЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ:

GM (i"k ; p) = „("k )GR(i"k ; p) + „(−"k )GA(i"k ; p) =
GR(i"k ; p)	ÐÒÉ "k > 0 ,
= GA(i"k ; p)	ÐÒÉ "k < 0 .	(9.70)

рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ŒЩТБЦЕОЙС (9.68), Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ПФОПУЙФЕМШОПЗП ЪОБЛБ ЮБУФПФ "k É "k + !n, ŒПЪОЙЛБЕФ ДŒБ РТЙОГЙРЙБМШОП ТБЪОЩИ УМХЮБС, ЛПФПТЩЕ УМЕДХЕФ ТБУУНБФТЙŒБФШ РП{ПФДЕМШОПУФЙ.

9.5. теыеойс

247

ъОБЛ ЮБУФПФЩ ПРТЕДЕМСЕФ, ВХДЕФ МЙ УППФŒЕФУФŒХАЭБС ЗТЙОПŒУЛБС ЖХОЛГЙС ЪБРБЪ-

ДЩŒБАЭЕК ЙМЙ ПРЕТЕЦБАЭЕК. œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЪОБЛЙ "k É "k + !n ПДЙОБЛПŒЩ, ŒПЪОЙЛБАФ УТЕДОЙЕ ŒЙДБ GRGR É GAGA . пОЙ ДБАФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК УФБФЙЮЕУЛЙК ŒЛМБД

Œ ЛПТТЕМСФПТ, ОЕ ПВМБДБАЭЙК ДЙУРЕТУЙЕК РТЙ !fi ≈ 1 É |q|l ≈ 1. œ УМХЮБЕ ЦЕ ТБЪМЙЮ-

ОЩИ ЪОБЛПŒ ЮБУФПФ "k É "k + !n, РПМХЮБАФУС УТЕДОЙЕ ŒЙДБ GRGA É GAGR . пОЙ ДБАФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙК ŒЛМБД Œ ЛПТТЕМСФПТ, ПВМБДБАЭЙК УХЭЕУФŒЕООПК

ДЙУРЕТУЙЕК РТЙ !fi ≈ 1 É |q|l ≈ 1.

пВПУОПŒБОЙЕ ХФŒЕТЦДЕОЙС П ИБТБЛФЕТЕ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЙ УФБФЙЮЕУЛПЗП Й ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ЛПТТЕМСФПТПŒ ВХДЕФ ДБОП ОЙЦЕ. ъДЕУШ ЦЕ РТЙŒЕДЕН УМЕДХАЭЕЕ РТПУФПЕ УППВТБЦЕОЙЕ, ЛБУБАЭЕЕУС РТПУФТБОУФŒЕООПК ДЙУРЕТУЙЙ. œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБ-

ŒМЕОЙЙ
GR(r) 2 exp (2ip0|r| − |r|=l) ; GA(r) 2 exp (−2ip0|r| − |r|=l) :	(9.71)

œ ÔÏ ÖÅ ŒÒÅÍÑ GA(r) GR(r) exp(−|r|=l), Ф. Е. НЕДМЕООП ЪБФХИБЕФ, ОЕ ПУГЙММЙТХС. рПЬФПНХ РТПУФТБОУФŒЕООБС ДЙУРЕТУЙС УФБФЙЮЕУЛПЗП ЛПТТЕМСФПТБ ДПМЦОБ ЙНЕФШ НЕУФП РТЙ |q| ≈ p−0 1, Б ДЙОБНЙЮЕУЛПЗП | РТЙ |q| ≈ 1=l.

рЕТЕКДЕН Л ŒЩЮЙУМЕОЙА.

1. тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ УЙФХБГЙА, ЛПЗДБ sign "k = sign("k + !n). œ ЬФПН УМХЮБЕ, РПУЛПМШЛХ РПМАУЩ ŒЩТБЦЕОЙС (9.68) ОБИПДСФУС РП ПДОХ УФПТПОХ ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ, ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ‰ НПЦОП ДЕЖПТНЙТПŒБФШ ФБЛ, ЮФПВЩ ПО РТПИПДЙМ ДБМЕЛП ПФ РПМАУПŒ. фБЛПК ЙОФЕЗТБМ ОБВЙТБЕФУС, Œ ПУОПŒОПН, Œ ПВМБУФЙ ‰ ≈ EF . рПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ |!n| EF É |q| p0, Б ТБЪДŒЙЦЛБ РПМАУПŒ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (9.68) ЕУФШ i!n − kv, ЬФПК ТБЪДŒЙЦЛПК НПЦОП ŒППВЭЕ РТЕОЕВТЕЮШ.

рПЬФПНХ ДПУФБФПЮОП ТБУУНПФТЕФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.68) РТЙ !n = 0 Й q = 0. œ ЬФПН УМХЮБЕ НПЦОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ФПЦДЕУФŒПН G(i"; p) 2 = −@ G(i"; p) =@—, ЗДЕ РПДТБЪХНЕŒБЕФУС, ЮФП РТЙ ДЙЖЖЕТЕОГЙТПŒБОЙЙ РП — НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ ЪБŒЙУЙНПУФША fi ПФ —. ьФП ФПЦДЕУФŒП РПЪŒПМСЕФ РТЕДУФБŒЙФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.68) Œ ŒЙДЕ

	@			d3p
	K0 = − @— T			GM (i"k ; p) (2ı)3 :	(9.72)
		"k

ъБНЕФЙН ФЕРЕТШ, ЮФП УХННБ РП "k Й ЙОФЕЗТБМ РП p ДБАФ УТЕДОАА РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ Œ УЙУФЕНЕ. рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.72), У ФПЮОПУФША ДП ЪОБЛБ, ЕУФШ РТПУФП РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК: K0 = − = −@n=@—. фБЛПК ТЕЪХМШФБФ НПЦОП ВЩМП ВЩ РТЕДŒЙДЕФШ, РПУЛПМШЛХ Œ УФБФЙЮЕУЛПН РТЕДЕМЕ ! = 0 ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ ДПМЦЕО ДБŒБФШ УЦЙНБЕНПУФШ, Ф. Е. ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛХА РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК.

2. фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН УМХЮБК sign "k = − sign("k + !n). рТЙ ЬФПН, РПУЛПМШЛХ РПМАУЩ РПДЙОФЕЗТБМШОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС Œ (9.68) ОБИПДСФУС РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ, ЙОФЕЗТБМ (9.68) ПРТЕДЕМСЕФУС НБМПК ПЛТЕУФОПУФША РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ.

оБРТЙНЕТ, РХУФШ !n > 0 É −!n < "k < 0. дМС ДБМШОЕКЫЕЗП РПМЕЪОП ТБУУНПФТЕФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.68) ВЕЪ УХННЙТПŒБОЙС РП "k :

BRA(!n; q) =	GR(i"k + i!n; p+) GA(i"k ; p−) (2ı)3 :	(9.73)
	d3p

248	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме
œЩЮЙУМЙН ЙОФЕЗТБМ РП ‰:			(i"k + i!n − ‰ − 21 qv + 2ifi )(i"k − ‰ +	21 qv −	2ifi ) =
	BRA(!n; q) = 8ı2
	0		do d‰
		0	do
	=	2	fi1 + ! + iqv :		(9.74)

бОБМПЗЙЮОП, РТЙ !n < 0 É 0 < "k < −!n ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.72), ОЕРТПУХННЙТПŒБООПЕ РП

"k , РТЙОЙНБЕФ ФБЛПК ŒЙД:	GA(i"k + i!n; p+) GR(i"k ; p−) (2ı)3 =
BAR(!n; q) =
								d3p
	0				do	:
	= 2								(9.75)
				fi1 − !n − iqv
œЩРПМОСС УХННЙТПŒБОЙЕ РП "k , РПМХЮБЕН				|!n|B(!n; q), ÇÄÅ
B(!n; q) = % BAR				2ı				& =
			(!n; q) ÐÒÉ			!n	< 0
	BRA		(!n; q) ÐÒÉ			!n	> 0
			0			do
	=		2		fi1 + |!n| + iqv sign !n				(9.76)

фЕРЕТШ ŒУЕ ЗПФПŒП ДМС ФПЗП, ЮФПВЩ ОБКФЙ УХННХ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ ДЙБЗТБНН, ЙЪПВТБЦЕООЩИ ОБ ТЙУ. 9.7. рТЙНЕУОБС МЙОЙС (ĂРЕТЕЛМБДЙОБ МЕУФОЙГЩĄ) ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН nu20 = 1=(2ı 0fi ).

рПУЛПМШЛХ ŒУЕ УФХРЕОЙ МЕУФОЙГЩ УПŒЕТЫЕООП ПДЙОБЛПŒЩ, ХДПВОП ТБУУНПФТЕФШ ŒУЕЗП ПДОХ УФХРЕОШ, ЙЪПВТБЦБАЭХАУС ФБЛПК ДЙБЗТБННПК:

B

òÉÓ. 9.15

(нЩ ОЕ ŒЛМАЮБЕН РТЙНЕУОЩЕ МЙОЙЙ Œ ПРТЕДЕМЕОЙЕ УФХРЕОЙ.) оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП РПМХЮБАЭЕЕУС ŒЩТБЦЕОЙЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ФПЮОП ФБЛЙН ЦЕ, ЛБЛ ТБУУНПФТЕООПЕ ŒЩЫЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РЕТŒПК УФХРЕОЙ, ОЕРТПУХННЙТПŒБООПЕ РП "k . рПЬФПНХ, ЛБЛ Й ŒЩЫЕ, ТБУУНПФТЙН РП ПФДЕМШОПУФЙ УФБФЙЮЕУЛЙК Й ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙК УМХЮБЙ, ЛПЗДБ ЪОБЛЙ "k +!n

É"k УПŒРБДБАФ, Й ЛПЗДБ ПОЙ ТБЪМЙЮОЩ.

œРЕТŒПН УМХЮБЕ, ЛБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, УХННЙТПŒБОЙЕ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ ДБЕФ ОЕУХЭЕУФŒЕООХА РПРТБŒЛХ Л РЕТŒПНХ ЮМЕОХ K0 = − , РПМХЮЕООПНХ ŒЩЫЕ. дЕКУФŒЙФЕМШОП, ЕУМЙ ЪОБЛЙ "k +!n É "k УПŒРБДБАФ, ФП РПМАУЩ ŒУЕИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК ОБИПДСФУС РП ПДОХ Й ФХ ЦЕ УФПТПОХ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ. рПЬФПНХ, ЛБЛ Й РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ РЕТŒПЗП ЮМЕОБ ТСДБ, НПЦОП РПМПЦЙФШ !n = 0 Й q = 0. фПЗДБ ŒЕУШ ТСД УŒПТБЮЙŒБЕФУС Œ

9.5. теыеойс

249

РТПЙЪŒПДОХА ПФ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РП ИЙНЙЮЕУЛПНХ РПФЕОГЙБМХ —. (уХННБ ЮМЕОПŒ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ, ОБЮЙОБС УП ŒФПТПЗП, ДБЕФ ŒЛМБД, УŒСЪБООЩК У ЪБŒЙУЙНПУФША БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС ОБ РТЙНЕУЙ ПФ ЬОЕТЗЙЙ —, ЛПФПТЩН НЩ РТЕОЕВТЕЗМЙ ŒЩЫЕ.)

б ŒПФ ŒП ŒФПТПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЪОБЛЙ "k + !n É "k ТБЪМЙЮОЩ, ŒУЕ ЮМЕОЩ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ, ŒЛМАЮБС РТПЙЪŒПМШОП ДБМЕЛЙЕ, ПЛБЪЩŒБАФУС ПДЙОБЛПŒП ŒБЦОЩНЙ. юФПВЩ РПОСФШ, РПЮЕНХ ФБЛ РПМХЮБЕФУС, ТБУУНПФТЙН УОБЮБМБ УМХЮБК q = 0, Й РПЛБЦЕН, ЮФП УХННБ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ Œ ФПЮОПУФЙ УПЛТБЭБЕФ ŒЛМБД − , ТБУУНПФТЕООЩК ŒЩЫЕ.

дЕКУФŒЙФЕМШОП, РТЙ q = 0 ПДОБ УФХРЕОШ МЕУФОЙГЩ ЕУФШ B(!n)q=0 = 2ı 0=(|!n| + 1=fi ). œЕУШ ЦЕ ТСД Œ ГЕМПН ДБЕФУС УХННПК ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛПК РТПЗТЕУУЙЙ:

K1	(!n; q = 0) = 2		|2ı|	2ı 0fi	+ (2ı 0	fi )2 + · · ·	=
			!n	B	B2
	=	|!n|		B	= :
		ı 1 − B=2ı 0fi

фПЦДЕУФŒЕООПЕ УПЛТБЭЕОЙЕ K = K0+K1 = 0, РПМХЮБАЭЕЕУС РТЙ q = 0, ЙНЕЕФ РТПУФПК ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ. лПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ РТЙ q = 0 Й ! = 0 ПРЙУЩŒБЕФ ПФЛМЙЛ ЬМЕЛФТПООПК РМПФОПУФЙ ОБ ОЕЪБŒЙУСЭЙК ПФ ЛППТДЙОБФ РЕТЕНЕООЩК ŒОЕЫОЙК РПФЕОГЙБМ. пЮЕŒЙДОП, ЮФП РПУЛПМШЛХ РПМОПЕ ЮЙУМП ЮБУФЙГ УПИТБОСЕФУС, Б ŒОЕЫОЙК РПФЕОГЙБМ ПДЙО Й ФПФ ЦЕ ŒП ŒУЕИ ФПЮЛБИ РТПУФТБОУФŒБ, ПФЛМЙЛБ РМПФОПУФЙ Œ ПФŒЕФ ОБ ФБЛПЕ ŒПЪНХЭЕОЙЕ ВЩФШ ОЕ ДПМЦОП. рПЬФПНХ ХЛБЪБООПЕ УПЛТБЭЕОЙЕ ŒЩТБЦБЕФ УПИТБОЕОЙЕ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ Œ УЙУФЕНЕ.

фЕРЕТШ РПŒФПТЙН ŒЩЮЙУМЕОЙЕ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ РТЙ q=0. œЩТБЦЕОЙЕ B(!n; q) ЙОФЕТЕУХЕФ ОБУ РТЙ |!n|fi; |q|l 1, Й РПЬФПНХ ЕЗП НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ:

	B(!n; q) =	2		1 + |!n|fi + iqvfi sign !n =
		0fi		do				do =
	= 2	1 − |!n|fi − ivqfi sign !n − (vq)2fi 2
	0fi						= 2ı 0fi 1 − fi (|!n| + Dq2)
	= 2ı 0fi 1 − |!n|fi − 3 vF2 q2				fi 2				; (9.77)
				1
ÇÄÅ D = v2	fi =3 | ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ДЙЖЖХЪЙЙ.
F

лБЛ Й ŒЩЫЕ, РТЙ q = 0 ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ТСДБ УŒПДЙФУС Л УХННЙТПŒБОЙА ЗЕПНЕФТЙЮЕ-

УЛПК РТПЗТЕУУЙЙ:
K1	(!; q) = 2	|!|B	=	|!n|	:	(9.78)
		2ı(1 − B=2ı 0fi )		|!n| + Dq2

рПМОЩК ПФŒЕФ ДМС ЛПТТЕМСФПТБ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ ДБЕФУС УХННПК ДŒХИ УМБЗБЕНЩИ:

K(!n; q) = K0(!n; q) + K1(!n; q) = −	Dq2
	|!n| + Dq2 ;	(9.79)

ЮФП Й ФТЕВПŒБМПУШ РПЛБЪБФШ.

250	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме
	œЩТБЦЕОЙЕ ДМС B(!n; q) НПЦОП ŒЩЮЙУМЙФШ ФПЮОП:
	B(!n; q) = ı 0 sign !n ln	1	+ |!n|fi + i|q|l sign !n :	(9.80)
	i|q|vF	1	+ |!n|fi − i|q|l sign !n

фПЮОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ B(!n; q) ПЛБЪЩŒБЕФУС РПМЕЪОЩН Œ ТЕЦЙНЕ ВБММЙУФЙЮЕУЛПК ДЙОБНЙЛЙ: !fi 1 ÉÌÉ |q|l 1. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП РТЙ ФБЛЙИ ! É q ŒЕМЙЮЙОБ B=(2ı 0fi ) ОЕ ВМЙЪЛБ Л ЕДЙОЙГЕ, Й РПЬФПНХ ЮМЕОЩ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ ДПУФБФПЮОП ВЩУФТП ХВЩŒБАФ. йЪ-ЪБ ЬФПЗП ТСД ПЛБЪЩŒБЕФУС ВЩУФТП УИПДСЭЙНУС, Й УХЭЕУФŒЕООЩК ŒЛМБД ДБЕФ ФПМШЛП РЕТŒЩК ЮМЕО.

пУФБОПŒЙНУС ОБ УППФŒЕФУФŒЙЙ НЕЦДХ ДЙЖЖХЪЙПООПК МЕУФОЙГЕК Й ЛМБУУЙЮЕУЛПК ЛБТФЙОПК ДЙЖЖХЪЙЙ. йЪ РТПДЕМБООЩИ ŒЩЮЙУМЕОЙК СУОП, ЮФП ПФДЕМШОБС УФХРЕОШ МЕУФОЙГЩ B(!n; q) УППФŒЕФУФŒХЕФ ФТБЕЛФПТЙЙ ЮБУФЙГЩ, ДŒЙЦХЭЕКУС РП РТСНПК НЕЦДХ ДŒХНС РТЙНЕУСНЙ. юФПВЩ РТПДЕНПОУФТЙТПŒБФШ ЬФП ВПМЕЕ СŒОП, РЕТЕКДЕН ПФ НБГХВБТПŒУЛЙИ ЮБУФПФ Й ŒТЕНЕОЙ Л ПВЩЮОЩН. œЩТБЦЕОЙЕ ДМС B(!; q) НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОП ЙЪ (9.80) БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН i!n → ! (n > 0):

B(!; q) =	ı 0	ln	1	− i!fi + i|q|l	:	(9.81)
	i|q|vF		1	− i!fi − i|q|l

фЕРЕТШ ЪБРЙЫЕН ŒЕМЙЮЙОХ B(!; q) Œ ЛППТДЙОБФОП-ŒТЕНЕООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. уДЕМБФШ ЬФП НПЦОП, МЙВП ЙУРПМШЪХС ŒЩТБЦЕОЙС (9.18) ДМС ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, МЙВП ŒЪСŒ ЖХТШЕ-ПВТБЪ ФПЮОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС (9.81):

B(t; r) =	0	‹(|r| − vF t) e−|r|=l :	(9.82)
	2 |r|2

оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ЬФП ЕУФШ РТПУФП ŒЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП ЮБУФЙГБ РТПМЕФЙФ ŒТЕНС t РПУМЕ УФПМЛОПŒЕОЙС У РТЙНЕУША, ОЕ УФПМЛОХŒЫЙУШ У ДТХЗЙНЙ РТЙНЕУСНЙ. œЕМЙЮЙОБ B(t; r) РТБŒЙМШОП ОПТНЙТПŒБОБ:

B(t; r) d3r = 2ı 0 e−t=fi :

(9.83)

рПЬФПНХ ŒЕМЙЮЙОЩ fi Й l, ŒŒЕДЕООЩЕ ŒЩЫЕ, ЕУФШ Œ ФПЮОПУФЙ ЛМБУУЙЮЕУЛЙЕ ŒТЕНС Й ДМЙОБ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ.

пФНЕФЙН МАВПРЩФОПЕ ЖПТНБМШОПЕ УИПДУФŒП НЕЦДХ РТЙŒЕДЕООЩН ŒЩЫЕ ŒЩŒПДПН K(!; q) Й ŒЩЮЙУМЕОЙЕН ТБУРТЕДЕМЕОЙС ŒЕТПСФОПУФЕК ДМС УМХЮБКОЩИ ВМХЦДБОЙК Œ ЪБДБЮЕ 9. зЕПНЕФТЙЮЕУЛБС РТПЗТЕУУЙС, ЛПФПТХА РТЙИПДЙФУС УХННЙТПŒБФШ Й Œ ФПН, Й Œ ДТХЗПН УМХЮБЕ, УППФŒЕФУФŒХЕФ УХННЕ РП УМХЮБКОЩН РХФСН У ТБЪМЙЮОЩН ЮЙУМПН ЫБЗПŒ. лБЦДПНХ ЫБЗХ УФБŒЙФУС Œ УППФŒЕФУФŒЙЕ ĂПДОПЫБЗПŒЩК ЖПТНЖБЛФПТĄ: B(!; q) | Œ УМХЮБЕ ДЙЖЖХЪЙЙ, nz (cos q1 + : : : + cos qn) | Œ УМХЮБЕ ВМХЦДБОЙК РП n-НЕТОПК ТЕЫЕФЛЕ, РТЙЮЕН ŒЙДОП, ЮФП z ЙНЕЕФ УНЩУМ ei!. (вПМЕЕ ФПЮОП, z = ei!fi0 , ÇÄÅ fi0 = 1 | ŒТЕНС, ЪБ ЛПФПТПЕ ДЕМБЕФУС ПДЙО ЫБЗ.) юФПВЩ РЕТЕКФЙ Л ДЙЖЖХЪЙПООПНХ РТЕДЕМХ Œ ЪБДБЮЕ П ВМХЦДБОЙСИ РП ТЕЫЕФЛЕ, ТБУУНПФТЙН ! 1 É qi 1. рТЙ ФБЛЙИ ! É qi НПЦОП РТПУФП ТБЪМПЦЙФШ

ЪОБНЕОБФЕМШ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (2.16)	ДМС РТПЙЪŒПДСЭЕК ЖХОЛГЙЙ:
G(z; q) = 1	1	=
	− ei! (cos q1 + : : : + cos qn)=n
	1			1	:
= 1 − (1 + i!)(n − 21 (q12 + : : : + qn2 ))=n			=	−i! + q2=2n		(9.84)

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ДЙЖЖХЪЙЙ ДМС ВМХЦДБОЙК РП n-НЕТОПК ТЕЫЕФЛЕ ТБŒЕО (2n)−1.