Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

12.2. лпннхфбфптщ претбфптпœ рмпфопуфй									361
пФУАДБ ОЕФТХДОП РПМХЮЙФШ, ЮФП
	(u(x; t)	u(x ; t))2		=	1	ln	|x − x |	;	(12.6)
		−			ıjc		a

ЗДЕ a | РЕТЙПД ТЕЫЕФЛЙ (УН. ФБЛЦЕ ЪБДБЮХ 54, ЗДЕ ЛПТТЕМСФПТ УНЕЭЕОЙК (12.5) ОБКДЕО РТЙ РТПЙЪŒПМШОПК ФЕНРЕТБФХТЕ).

уПŒРБДЕОЙЕ ЛПТТЕМСФПТПŒ (12.6) Й (12.1) РПДУЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП ДПМЦОП УХЭЕУФŒПŒБФШ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, РЕТЕŒПДСЭЕЕ ПДОХ ЪБДБЮХ Œ ДТХЗХА. уТБŒОЙŒБС ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ РЕТЕД МПЗБТЙЖНБНЙ, ПРТЕДЕМСЕН РТБŒЙМП УППФŒЕФУФŒЙС:

@xu(x; t)	(ı=jc)1=2 n(x; t) = (ı=jc)1=2	+(x; t) (x; t) :	(12.7)

оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ЕУМЙ ВЩ ОБЫМПУШ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ПВЕУРЕЮЙŒБАЭЕЕ ФБЛХА УŒСЪШ, ФП РТЙ ЬФПН ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ (12.2) Œ ФПЮОПУФЙ РЕТЕЫЕМ ВЩ Œ ЗТЙОПŒУЛХА ЖХОЛГЙА ЖПОПОПŒ.

рТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ЖЕТНЙПООПК ЪБДБЮЙ Œ ЬЛŒЙŒБМЕОФОХА ЪБДБЮХ ДЙОБНЙЛЙ ПДОПНЕТОПК ХРТХЗПК УТЕДЩ ОБЪЩŒБЕФУС ВПЪПОЙЪБГЙЕК. пОП ЙНЕЕФ НОПЗП ПВЭЕЗП У РТЕПВТБЪП-

ŒБОЙЕН кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ, УŒСЪЩŒБАЭЙН УРЙОПŒЩЕ Й ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ Œ ПДОПНЕТОПК ГЕРПЮЛЕ (УН. ТБЪД. 1.4). рТЙЮЙОБ УИПДУФŒБ ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП УРЙОПŒЩЕ ПРЕТБФПТЩ ОБ ТБЪОЩИ ХЪМБИ ЛПННХФЙТХАФ, Б ЪОБЮЙФ | ХДПŒМЕФŒПТСАФ ФБЛЙН ЦЕ ВПЪПООЩН ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН, ЛБЛ Й ПРЕТБФПТЩ ЖПОПОПŒ. ьФХ БОБМПЗЙА НПЦОП ТБЪŒЙФШ, РПУФТПЙŒ ЙЪ УРЙОПŒЩИ ПРЕТБФПТПŒ, ŒЪСФЩИ ОБ ХЪМБИ, ПРЕТБФПТЩ УРЙОПŒЩИ ŒПМО Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ: Й ЖПОПОЩ, Й УРЙОПŒЩЕ ŒПМОЩ РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, РПДЮЙОСАЭЙЕУС ВПЪЕ-УФБФЙУФЙЛЕ. пДОБЛП, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ФПЮОПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ, РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ВПЪПОЙЪБГЙЙ | РТЙВМЙЦЕООПЕ. фПЮОПУФШ ЕЗП ПЗТБОЙЮЕОБ РТЕДЕМПН ДМЙООЩИ ŒПМО. йОБЮЕ ЗПŒПТС, ПОП ЪБЛПООП ФПМШЛП ЕУМЙ ТЕЮШ ЙДЕФ ПВ ЬЖЖЕЛФБИ Œ ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЕ, УŒСЪБООЩИ У ЬМЕЛФТПОБНЙ ЙМЙ ДЩТЛБНЙ ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ.

12.2. лПННХФБФПТЩ ПРЕТБФПТПŒ РМПФОПУФЙ

рТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ВПЪПОЙЪБГЙЙ ОЕФТХДОП РПУФТПЙФШ СŒОП. оБЮОЕН У ФПЗП 3, ЮФП ТБЪПВШЕН ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФХ ПРЕТБФПТБ РМПФОПУФЙ ВЕУУРЙОПŒЩИ ЖЕТНЙПОПŒ ОБ ДŒБ УМБЗБЕНЩИ:

ÇÄÅ		j(k) = a+			ap+k=2	= j1(k) + j2(k) ;				(12.8)
				p−k=2
			p
	(k) =	1					1		ap+k=2 :	(12.9)
j1			a+	ap+k=2 ; j2(k) =				a+
		L	p−k=2				L	p−k=2
			p>0					p<0

лБЛ ХЦЕ ВЩМП ПФНЕЮЕОП, ŒУЕЗДБ РПДТБЪХНЕŒБЕФУС, ЮФП УХЭЕУФŒЕООЩНЙ ПЛБЦХФУС ФПМШЛП УПУФПСОЙС ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ, РПЬФПНХ k НБМП, Б p ВМЙЪЛП МЙВП Л p0, ÌÉÂÏ

3нЩ УМЕДХЕН ТБВПФЕ: S. Tomonaga, Progr. Theor. Phys. (Kyoto), v. 5, p. 544 (1950)

362 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

Ë −p0. фБЛПЗП ТПДБ УППВТБЦЕОЙС Й УМХЦБФ ПУОПŒПК ДМС ŒЩВПТБ РТЕДУФБŒМЕОЙС (12.8) ПРЕТБФПТБ j(k) Œ ŒЙДЕ УХННЩ ĂРТБŒПЗПĄ Й ĂМЕŒПЗПĄ ПРЕТБФПТПŒ РМПФОПУФЙ (12.9), Б ФБЛЦЕ ŒУЕИ ОЙЦЕУМЕДХАЭЙИ НБОЙРХМСГЙК У j1;2(k).

тБУУНПФТЙН ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ДМС ŒŒЕДЕООЩИ ПРЕТБФПТПŒ. жХТШЕ-

ЛПНРПОЕОФЩ РПМОПК РМПФОПУФЙ j k) РТПУФП ЛПННХФЙТХАФ:

( [j(k); j(k )] = 0 :

(12.10)

б ŒПФ ЛПННХФБФПТЩ j

k

) É

j

k

ОЕФТЙŒЙБМШОЩ. дМС РТЙНЕТБ ОБКДЕН

1(

2(

)

1

+

p

k

k

+

[j1(k); j1(k )] =

L p>0 ap−k=2ap+k +k=2„

+ 2 +

2

− ap−k −k=2ap+k=2

k

k

1

p

ap+−q ap+q

„

k

k

ׄ p −

2

− 2

= L

p + 2

− „ p − 2 ; (12.11)

ÇÄÅ q = 1

(k+k ). ъБНЕФЙН, ЮФП ТБЪОПУФШ „ ЖХОЛГЙК ПЗТБОЙЮЙŒБЕФ ПВМБУФШ ЙЪНЕОЕОЙС

2

−

p УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: |p| < k=2. œ ФП ЦЕ ŒТЕНС, РТЙ ЙОФЕТЕУХАЭЙИ ОБУ НБМЩИ |k| p0 РТБЛФЙЮЕУЛЙ ŒУЕ УПУФПСОЙС, ДБАЭЙЕ ŒЛМБД Œ УХННХ (12.11), ОБИПДСФУС ЗМХВПЛП РПД ХТПŒОЕН жЕТНЙ. рПЬФПНХ ЕУФЕУФŒЕООЩК ЫБЗ | ЪБНЕОЙФШ Œ (12.11) РТПЙЪŒЕДЕОЙС ПРЕТБФПТПŒ a+p1 ap2 ОБ ЙИ УТЕДОЙЕ ЪОБЮЕОЙС a+p1 ap2 = 2ıLn(p1)‹(p1 − p2), ÇÄÅ n(p1) | ЖЕТНЙЕŒУЛПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ. уДЕМБŒ ФБЛХА ЪБНЕОХ, РПМХЮБЕН

[j1	(k); j1(−k )] = ‹kk		2p0 sign k;	|k|	> 2p0	.	(12.12)
			k;	k	< 2p0	,
				| |

бОБМПЗЙЮОП ŒЩЮЙУМСЕН ПУФБМШОЩЕ ЛПННХФБФПТЩ. лБЛ ХЦЕ ПФНЕЮБМПУШ, ОБУ ЙОФЕТЕ-

УХАФ НБМЩЕ k; k p0. рТЙ ЬФПН ХУМПŒЙЙ ОБИПДЙН

[j1

(k); j1

(

−

k )] = k ‹kk ;

[j2

(k); j2

( k )] =

k ‹kk ;

(12.13)

j

k

; j

k

:

−

−

(

(−

)] = 0

(12.14)

[ 1

)

2

éÚ ŒÙŒÏÄÁ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÉ

ŒЩТБЦЕОЙС ЕУФШ ТЕЪХМШФБФ РТЙВМЙЦЕОЙС, РТЕОЕВТЕЗБАЭЕЗП

ЙЪНЕОЕОЙЕН УПУФПСОЙК ЮБУФЙГ ЗМХВПЛП РПД ХТПŒОЕН жЕТНЙ.

пФНЕФЙН, ЮФП Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС

(12.13), (12.14) РТЙОЙНБАФ ŒЙД
[jj (x); jl(x )] = ±	1	‹jl‹ (x − x ) ; (‹ (x) ≡ @x ‹(x)) ;	(12.15)
	2ıi

ЗДЕ РПМПЦЙФЕМШОЩК ЪОБЛ УППФŒЕФУФŒХЕФ РТБŒЩН ЮБУФЙГБН, Б ПФТЙГБФЕМШОЩК | МЕŒЩН. уППФОПЫЕОЙЕ ФБЛПЗП ŒЙДБ ОБЪЩŒБАФ БОПНБМШОЩН ЛПННХФБФПТПН ыŒЙОЗЕТБ.

ъБНЕОБ ПРЕТБФПТПŒ Œ РТБŒПК ЮБУФЙ ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК ОБ УЛБМСТЩ, РПЪŒПМСАЭБС РЕТЕКФЙ ПФ (12.11) Л (12.13), (12.14), СŒМСЕФУС ГЕОФТБМШОЩН РХОЛФПН ФЕПТЙЙ фПНПОБЗЙ. иПФС ОБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД ФБЛПЗП ТПДБ РТЙВМЙЦЕОЙЕ НПЦЕФ РПЛБЪБФШУС НБМППВПУОПŒБООЩН, ФЕН ОЕ НЕОЕЕ ВЩМП ŒЩСУОЕОП, ЮФП РТЙВМЙЦЕОЙЕ фПНПОБЗЙ

12.3. нпдемш фпнпобзй

363

Œ ФПЮОПУФЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ РЕТЕИПДХ ПФ НЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛПЗП ПРЙУБОЙС Л ЗЙДТПДЙОБНЙЮЕУЛПНХ, Й РПЬФПНХ ОБ НБУЫФБВБИ, НОПЗП ВПМШЫЙИ УТЕДОЕЗП ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ, ПОП ŒУЕЗДБ СŒМСЕФУС ФПЮОЩН 4.

пЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН ŒЩТБЪЙФШ ПРЕТБФПТЩ РМПФОПУФЙ РТБŒЩИ Й МЕŒЩИ ЮБУФЙГ j1;2(k) ЮЕТЕЪ ВПЪЕŒУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ. оБЙВПМЕЕ ЕУФЕУФŒЕООП ŒЩВТБФШ bk É b+k У k > 0 ДМС РТБŒЩИ ЮБУФЙГ, Й У k < 0 ДМС МЕŒЩИ ЮБУФЙГ:

j1	(x) = k>0 –k L bk eikx + bk+e−ikx		;	j2	(x) = k<0 –k L bk eikx + bk+e−ikx		; (12.16)
		1				1

ÇÄÅ –k = (2ı=|k|L)1=2. пРТЕДЕМЕОЙЕ (12.16) УПЗМБУПŒБОП У ЛПННХФБГЙПООЩНЙ УППФОПЫЕОЙСНЙ (12.13), (12.14). йУРПМШЪХС (12.13) Й (12.14) ОЕФТХДОП РПМХЮЙФШ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙСН НЕЦДХ ПРЕТБФПТБНЙ bk É b+k , РТЙЮЕН ОПТНЙТПŒЛБ Œ (12.16) ФБЛПŒБ, ЮФП [bk ; b+k ] = 2ıL‹kk .

12.3. нПДЕМШ фПНПОБЗЙ

нЩ ŒŒЕДЕН РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ВПЪПОЙЪБГЙЙ ОБ РТЙНЕТЕ ЪБДБЮЙ, ДМС ТЕЫЕОЙС ЛПФПТПК, УПВУФŒЕООП ЗПŒПТС, ЬФП РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ Й ВЩМП ŒРЕТŒЩЕ РТЕДМПЦЕОП. тБУУНПФТЙН ПДОПНЕТОХА УЙУФЕНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ВЕУУРЙОПŒЩИ ЖЕТНЙПОПŒ:

	1			1 3 2+	4
H =	L	‰(p)ap+ap +		2L2	Vp1−p2 ap+1 ap2 ap+3 ap4 ;			(12.17)
		p		p +p =p p
ÇÄÅ ‰(p) = (p2 − p02)=2m. ъДЕУШ Vk =				V (r)e−ikr dr | ЖПТНЖБЛФПТ РПФЕОГЙБМБ ŒЪБЙ-
НПДЕКУФŒЙС. тБУУНПФТЙН УМХЮБК,			ЛПЗДБ ТБДЙХУ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС r				НОПЗП ВПМШЫЕ p−1.
						0		0

рТЙ ЬФПН ЖПТНЖБЛФПТ Vk ЛБЛ ЖХОЛГЙС k ВЩУФТП УРБДБЕФ РТЙ k ≈ r0−1 p0. лБЛ ŒУЕЗДБ, ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ ФПМШЛП УПУФПСОЙС ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ, Ф. Е. РТЙ pi ≈ ±p0.

мЕЗЛП ŒЙДЕФШ, ЮФП РТЙ ЬФЙИ ХУМПŒЙСИ ŒУЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС УŒПДСФУС Л ДŒХН УХЭЕУФŒЕООП ТБЪМЙЮОЩН РТПГЕУУБН ТБУУЕСОЙС, РТЙ ЛПФПТЩИ ДŒЕ ЮБУФЙГЩ, ТБУУЕЙŒБАЭЙЕУС ДТХЗ ОБ ДТХЗЕ, ДŒЙЦХФУС Œ ПДОХ УФПТПОХ ЙМЙ ОБŒУФТЕЮХ ДТХЗ ДТХЗХ. рПЬФПНХ ДПУФБФПЮОП ТБУУНПФТЕФШ ФБЛЙЕ ЛПНВЙОБГЙЙ ЙНРХМШУПŒ:

(1)p1 ≈ p0, p2 ≈ p0, p3 ≈ p0, p4 ≈ p0;

(2)p1 ≈ p0, p2 ≈ p0, p3 ≈ −p0, p4 ≈ −p0

(Й, ЛПОЕЮОП, ПФМЙЮБАЭЙЕУС ЪОБЛПН ŒУЕИ ЙНРХМШУПŒ Й/ЙМЙ РЕТЕУФБОПŒЛПК ЮБУФЙГ). œŒЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙС:

g1(k) ≡ Vk ; g2(k) ≡ V2p0+k ;

(12.18)

РТЙЮЕН ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП k p0. бНРМЙФХДБ g1(k) ПРЙУЩŒБЕФ РТПГЕУУ ТБУУЕСОЙС ЮБУФЙГ, ОБИПДСЭЙИУС У ПДОПК Й ФПК ЦЕ УФПТПОЩ РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ (ТБУУЕСОЙЕ ŒРЕТЕД), Б g2(k) | РЕТЕВТПУ ДŒХИ ЮБУФЙГ У ПДОПК УФПТПОЩ РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ ОБ ДТХЗХА ОБŒУФТЕЮХ ДТХЗ ДТХЗХ (ТБУУЕСОЙЕ ОБЪБД).

4рПДТПВОПЕ ПВУХЦДЕОЙЕ ЬФЙИ ŒПРТПУПŒ НПЦОП ОБКФЙ Œ ТБВПФЕ: F. D. M. Haldane, J. Phys. C, v. 14, p. 2585 (1981)

364 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

ъБРЙЫЕН ЗБНЙМШФПОЙБО, СŒОП ŒЩДЕМСС НБМЩЕ ЙНРХМШУЩ k1; k2; q:

ÇÄÅ
					H	= H0	+ H1	+ H2 ;
H0 = L k p0 ‰(p0 + k) ap+0+k ap0+k + a−+p0−k a−p0−k ;
		1
		1
H1 =		2L2 k1; k2; q g1(q) ap+0+k1+q=2 ap0+k1−q=2 ap+0+k2−q=2 ap0+k2+q=2 +
	=	1	k1; 2					+ (p0 → −p0) ;
		L2
H2				k	g2(q) ap+0+k1+q=2 ap0+k1−q=2 a−+p0+k2−q=2 a−p0+k2+q=2 :
					; q

(12.19)

(12.20)

(12.21)

(12.22)

рПУФБТБЕНУС ФЕРЕТШ ŒЩТБЪЙФШ ЗБНЙМШФПОЙБО ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ j1;2(k). дМС ЬФПЗП

ЪБНЕФЙН, ЮФП УХННЙТПŒБОЙЕ РП k

1

É k

2

Œ

H1

É H2 УŒПДЙФУС Л

УХННЙТПŒБОЙА РП p Œ

1

É

НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ ФБЛ:

(12.9). у ХЮЕФПН ЬФПЗП ПВУФПСФЕМШУФŒБ H1 H2

(q) j2(−q)

;

H1 =

2 q

g1

(q)

j1(q) j1(−q) + j2

=

(−q) :

(12.23)

H2

q

g2(q) j1

(q) j2

œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС H1 + H2, ЗБНЙМШФПОЙБО H0 ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЮБ-

УФЙГ ОЕ ХДБЕФУС УФПМШ ЦЕ

РТПУФП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ j

(k), РПУЛПМШЛХ Œ ОЕН РТЙУХФ-

1;2

УФŒХЕФ НОПЦЙФЕМШ

‰

(

p

0 +

k

НЕОЕЕ, ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ЕУМЙ ЪБНЕОЙФШ ЛŒБДТБ-

). ôÅÍ ÎÅ

2

2

ФЙЮОЩК УРЕЛФТ ЖЕТНЙПОПŒ ‰(p) = (p

− p0)=2m ОБ МЙОЕКОЩК ‰(p) = v(|p| − p0), ÔÏ

Й ЗБНЙМШФПОЙБО H0 НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ ŒЙДЕ ПРЕТБФПТБ ЛŒБДТБФЙЮОПЗП РП j1;2(k). нПДЕМШ ПДОПНЕТОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, РПМХЮБАЭБСУС ФБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЪЩŒБЕФУС НПДЕМША фПНПОБЗЙ{мБФФЙОЦЕТБ.

юФПВЩ ХЗБДБФШ, ЛБЛ H0 ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ j1(k) É j2(k), РТЙНЕОЙН ОЕВПМШЫХА

	ЮФП ПФŒЕФ ЪБРЙУЩŒБЕФУС Œ ŒЙДЕ
ИЙФТПУФШ. рТЕДРПМПЦЙН,			j1
H0	=	¸k		(k) j1	(−k) + j2	(k) j2(−k)	(12.24)

k

ÉОБКДЕН ЛПННХФБФПТ j1(k); H0 . у ПДОПК УФПТПОЩ, УПЗМБУОП (12.13),

j1	(k); H0		=	k	¸k [j1	(k); j1	(k ) j1(−k ) ] =	ı	¸k j1(k) :	(12.25)
								k

у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ОБКДЕН ЬФПФ ЦЕ ЛПННХФБФПТ РТСНЩН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН (ĂРП-

ЮЕУФОПНХĄ):		=	L2 p>0			v (p − p0) ap+−k=2 ap+k=2 ; ap+ ap =
j1	(k); H0				p
			1

12.3. нпдемш фпнпобзй

365

= L2 p>0 p			v (p − p0) ap+−k=2 ap+k=2 ; ap+ ap + ap+−k=2 ; ap+ ap ap+k=2
	1
=	2ı		v (p − p0) ap+−k=2 ap ‹p+k=2−p − ap+ ap+k=2 ‹p−k=2−p =
	L p>0 p
			= vk		a+
						ap+k=2 = vkj1(k) :
			L	p>0	p−k=2

уТБŒОЙŒБС (12.25) Й (12.26), ОБИПДЙН, ЮФП ¸k = ıv. фБЛЙН ПВТБЪПН РПМХЮБЕН

H0 = ıv [j1(k) j1(−k) + j2(k) j2(−k)] :

k

=

(12.26)

(12.27)

йФБЛ, ДМЙООПŒПМОПŒБС ДЙОБНЙЛБ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ДПРХУЛБЕФ ПРЙУБОЙЕ Œ ФЕТНЙОБИ ŒПМО РМПФОПУФЙ Œ ЗБЪЕ ЖЕТНЙПОПŒ. пФНЕФЙН, ЮФП ŒНЕУФП ŒЕМЙЮЙО j1(k) É j2(k) ЙОПЗДБ

				(k) É j		(k)
ВЩŒБЕФ ХДПВОЕЕ РПМШЪПŒБФШУС ЙИ ЛПНВЙОБГЙСНЙ j(k) = j1			(k) + j2		(k) = j1		−
j2(k), ЛПФПТЩЕ ЕУФШ РТПУФП РМПФОПУФШ Й ФПЛ ЮБУФЙГ.
	фЕРЕТШ НПЦОП ЪБОСФШУС ЪБДБЮЕК П УРЕЛФТЕ ŒПЪВХЦДЕОЙК ПДОПНЕТОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ

У ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН. œУЕ ЮМЕОЩ Œ РТЕПВТБЪПŒБООПН ЗБНЙМШФПОЙБОЕ ПЛБЪЩŒБАФУС ЛŒБ-

ДТБФЙЮОЩНЙ РП j

k

j

k

j

k

b+

b

(12.16), ОБИПДЙН 1;2

(

). œЩТБЦБС

1

(

) É 2

(

) ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ

k ,

k

РП ЖПТНХМБН

H =

2ıL k>0

2ıkv + kg1(k) bk+bk + b−+k b−k + kg2(k) bk+b−+k + bk b−k : (12.28)

1

рЕТЕИПДЙН Л ЛŒБЪЙЮБУФЙГБН, ŒЩРПМОСС РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ вПЗПМАВПŒБ,

~

+

;

bk

= ch „k bk + sh „k b

~+

=

+

−k

(12.29)

b−k

ch „k b−k

+ sh „k bk ;

Й РПДВЙТБС РБТБНЕФТ РТЕПВТБЪПŒБОЙС „k ФБЛ, ЮФПВЩ ЗБНЙМШФПОЙБО УФБМ ДЙБЗПОБМШОЩН:

			th 2„k = g2(k)=(g1(k) + 2ıv) :		(12.30)
рПМХЮБЕН ЗБНЙМШФПОЙБО Й УРЕЛФТ ŒПЪВХЦДЕОЙК ЛŒБЪЙЮБУФЙГ:
H =	L	k	!(k) ~bk+~bk ; !(k) = |2ı| (2ıv + g1(k))2 − g22(k)	:	(12.31)
	1		k	1=2

рПМХЮЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ РПЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП ЛŒБЪЙЮБУФЙГБНЙ Œ НПДЕМЙ фПНПОБЗЙ{ мБФФЙОЦЕТБ СŒМСАФУС ОЕ ЖЕТНЙПОЩ, Б ВПЪПОЩ УП УРЕЛФТПН (12.31). рЕТЕУФТПКЛБ УРЕЛФТБ ЬМЕНЕОФБТОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК РТПЙУИПДЙФ ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ŒВМЙЪЙ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ УЙМШОПЕ, Й РПЬФПНХ ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЖЕТНЙПОПŒ ПЛБЪЩŒБЕФУС УМЙЫЛПН НБМЩН. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП Œ ПДОПН ЙЪНЕТЕОЙЙ ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ОЕРТЙНЕОЙНБ.

нПДЕМШ фПНПОБЗЙ{мБФФЙОЦЕТБ ОЕФТХДОП ПВПВЭЙФШ ОБ ЮБУФЙГЩ УП УРЙОПН, ЮФП РТЙŒПДЙФ Л ВПЪПОЙЪПŒБООПК ЪБДБЮЕ, Œ ЛПФПТПК ЙНЕАФУС ПРЕТБФПТЩ ЛБЛ РМПФОПУФЙ

j (x),

366 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

ЪБТСДБ, ФБЛ Й РМПФОПУФЙ УРЙОБ, РТЙЮЕН ЗБНЙМШФПОЙБО ПУФБЕФУС ЛŒБДТБФЙЮОЩН. л УПЦБМЕОЙА, ДЕФБМШОПЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ ŒУЕИ УŒСЪБООЩИ У ЬФЙН ŒПРТПУПŒ ХŒЕМП ВЩ ОБУ УМЙЫЛПН ДБМЕЛП. рПЬФПНХ ПЗТБОЙЮЙНУС УУЩМЛПК ОБ ЛОЙЗХ [7], ЗМ. 4, Б ФБЛЦЕ ОБ ПТЙЗЙОБМШОЩЕ ТБВПФЩ 5.

12.4. пФ ВПЪПОПŒ Л ЖЕТНЙПОБН

œБЦОХА ТПМШ Œ ФЕПТЙЙ МБФФЙОЦЕТПŒУЛПК ЦЙДЛПУФЙ ЙЗТБЕФ ПВТБФОПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ВПЪПОЙЪБГЙЙ, РПЪŒПМСАЭЕЕ ŒЩТБЪЙФШ ЖЕТНЙПООЩЕ ПРЕТБФПТЩ ЮЕТЕЪ ВПЪПООЩЕ (!) Й РПМХЮЙФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ.

рТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЖЕТНЙПООЩИ ПРЕТБФПТПŒ НПЦОП ОБКФЙ, ТБУУНБФТЙŒБС ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС. рПУЛПМШЛХ ЗБНЙМШФПОЙБО ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФПМШЛП ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ РМПФОПУФЙ (12.16), ДПУФБФПЮОП РПУФТПЙФШ ЙЪ ОЙИ ФБЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ j+(x), ЮФПВЩ ŒЩРПМОСМЙУШ УФБОДБТФОЩЕ УППФОПЫЕОЙС

[ j (x); l(x )]+ = [ j+(x); l+(x )]+ = 0 ;
[ j+(x); l(x )]+ = ‹jl ‹(x − x )	(12.32)

(j; l = 1; 2). пЛБЪЩŒБЕФУС, УППФОПЫЕОЙС (12.32) НПЦОП РПМХЮЙФШ, ŒЩВТБŒ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЖЕТНЙПООЩИ ПРЕТБФПТПŒ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

j (x) = Aj e	x		;	j	(x) = Aj e−	;	(12.33)
i’j (x)				+	i’j (x)
’j (x) = 2ı		jj (x )dx ;					(12.34)
	−∞

ЗДЕ ЛПОУФБОФЩ Aj , ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ХМШФТБЖЙПМЕФПŒПК ПВТЕЪЛЙ ЙОФЕЗТБМБ (12.34), ВХДХФ ПРТЕДЕМЕОЩ РПЪЦЕ. œЩТБЦЕОЙС (12.33) РП ЖПТНЕ ОБРПНЙОБАФ УФТХОХ, ŒПЪОЙЛБАЭХА Œ РТЕПВТБЪПŒБОЙЙ кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ (УН. ТБЪД. 1.4). иПФС ОБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД ŒЩТБЦЕОЙС (12.33), (12.34) ŒЩЗМСДСФ ОЕУЛПМШЛП ФБЙОУФŒЕООП, НПЦОП ХВЕДЙФШУС РТСНЩН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН, ЮФП ПОЙ РТЙŒПДСФ Л БОФЙЛПННХФЙТХАЭЙН ЖЕТНЙЕŒУЛЙН ПРЕТБФПТБН.

рТПŒЕТЙН ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС (12.32) НЕЦДХ 1+;2(x) É 1;2(x ). œПУРПМШЪХЕНУС ДМС ЬФПЗП ЙЪŒЕУФОЩН ФПЦДЕУФŒПН вЕКЛЕТБ{иБХУДПТЖБ,

eU eV = eU +V +[U;V ]=2 ;

(12.35)

ŒЕТОЩН, ЕУМЙ [U; V ] ЛПННХФЙТХЕФ ЛБЛ У U , ФБЛ Й У V . рМБО ŒЩЮЙУМЕОЙС ЪБЛМАЮБЕФУС Œ

=

ФПН, ЮФПВЩ У РПНПЭША (12.35) РТЕПВТБЪПŒБФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙС

j+(x)

l (x ) É

j (x)

l+(x )

Л ФБЛПНХ ŒЙДХ, Œ ЛПФПТПН УЙОЗХМСТОПУФШ РТЙ x x ŒЩДЕМЕОБ СŒОЩН ПВТБЪПН.

ъБРЙЫЕН ПРЕТБФПТЩ ЖБЪЩ, УФПСЭЙЕ Œ РПЛБЪБФЕМЕ ЬЛУРПОЕОФ (12.33), ЮЕТЕЪ ВПЪПО-

ОЩЕ ПРЕТБФПТЩ:

−∞

’1(x) = 2ı

x

j1(x )dx = i k>0

–k [bk+e−ikx − bk eikx]e−a|k|=2 ;

(12.36)

’2(x) = 2ı

−∞

j2

(x )dx = −i k<0

–k [bk e−

− bk e ]e− | | ;

(12.37)

+

ikx

ikx

a k =2

x

5

A. Luther and V. J. Emery,

Phys. Rev. Lett., v. 33, p. 589 (1974); A.

Luther and I. Peschel, Phys.

Rev. B, v. 9, p. 2911 (1974).

12.4. пф впъпопœ л жетнйпобн

367

ÇÄÅ, ËÁË É ŒÙÛÅ, –k = (2ı=kL)1=2. œЕМЙЮЙОБ a ŒŒЕДЕОБ Œ (12.36), (12.37) ДМС ТЕЗХМСТЙЪБГЙЙ, РТЙЮЕН РПДТБЪХНЕŒБЕФУС РТЕДЕМШОЩК РЕТЕИПД a → +0.

тБУУНПФТЙН РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПРЕТБФПТПŒ 1+(x) 1(x ) Й, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ (12.35), ЪБРЙЫЕН ЕЗП ЛБЛ

	+	(x) 1		2	i’(x)+i’(x )+[’(x);’(x )]=2
ÇÄÅ	1		(x ) =	|A1|	e−			;	(12.38)
				–k2L eik(x−x ) − e−ik(x−x ) e−a|k|:
[’(x); ’(x )] = k>0									(12.39)

дБМЕЕ, РТЙŒЕДЕН (12.38) Л ОПТНБМШОП-ХРПТСДПЮЕООПНХ ŒЙДХ:

B =

–k bk (eikx

−

e

) e−

|

| 2 :

B+

−B

21

+

(x) 1

2

e

([B+;B]+[’(x);’(x )])

;

1

(x ) = |A1

|

e e

0

ikx

a k =

k>

œЩЮЙУМСЕН ЛПННХФБФПТ:

[B+; B] = k>0 –k2L eik(x−x ) + e−ik(x−x ) − 2 e−a|k| :

рТЙВБŒМСС Л (12.42) ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.39), РПМХЮБЕН 6

2	[B+; B] + [’(x); ’(x )]			= k>0 –k2L eik(x−x ) − 1 e−a|k| =
1
	∞			dk	a		x) :
	=		eik(x−x ) − 1 e−a|k| k		= ln a + i(x	−
	0

(12.40)

(12.41)

(12.42)

(12.43)

(12.44)

оПТНБМШОПЕ ХРПТСДПЮЕОЙЕ РТПЙЪŒЕДЕОЙС

1(x )

1+(x) ŒЩРПМОСЕФУС УПŒЕТЫЕООП БОБМП-

ЗЙЮОП (12.38) | (12.44). еДЙОУФŒЕООПЕ

ПФМЙЮЙЕ ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП ЛПННХФБФПТ

−

[’(x); ’(x )] ŒИПДЙФ Œ БОБМПЗ (12.38) УП ЪОБЛПН Ă

Ą. œУМЕДУФŒЙЕ ЬФПЗП, ŒНЕУФП (12.44)

ЙНЕЕН

1

[B+; B] − [’(x); ’(x )]

∞

eik(x −x) − 1

dk

a

x) :

2

=

e−ak k = ln a

−

i(x

−

(12.45)

0

рПЬФПНХ БОФЙЛПННХФБФПТ

ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒЕО

[ 1+(x); 1(x )]+ = 1+(x) 1(x ) + 1(x ) 1+(x)

(12.46)

a|A1|2e−B

eB a

i(x

x )

+ a + i(x x )

:

(12.47)

+

−

1

−

1

−

6œ (12.44) ЙУРПМШЪПŒБОП ФПЦДЕУФŒП 0∞(e−ax − e−bx)dx=x = ln b=a.

sh2 „

368	çìáœá 12.			впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш
œЩТБЦЕОЙЕ (12.47) РТЙ a → +0 ÄÁÅÔ
+				[ 1+(x); 1(x )]+ = 2ıa|A1|2‹(x − x ) ;						1=2	(12.48)
							|	1|	= (2ıa)−		БОФЙЛПННХФБФПТ
ПФЛХДБ ОБИПДЙН, ЮФП РТЙ ŒЩРПМОЕОЙЙ ХУМПŒЙС								A
		1	( ) É 1(		), Б ФБЛЦЕ	1 ( ) É		1 (	).
[ 1 (x);	1(x )]+ ЙНЕЕФ ФТЕВХЕНЩК ŒЙД (12.32). бОБМПЗЙЮОП НПЦОП РТПŒЕТЙФШ БОФЙ-
оБЛПОЕГ,			x		x
ЛПННХФБФЙŒОПУФШ						+ x		+ x

ТБУУНПФТЙН ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС НЕЦДХ ПРЕТБФПТБНЙ РТБŒЩИ Й МЕŒЩИ ЮБУФЙГ. œ РПУФТПЕООПН ŒЩЫЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПОЙ ЛПННХФЙТХАФ, Б ДПМЦОЩ ВЩМЙ ВЩ БОФЙЛПННХФЙТПŒБФШ. œППВЭЕ ЗПŒПТС, РПУЛПМШЛХ ЬФЙ ЮБУФЙГЩ УППФŒЕФУФŒХАФ ТБЪОЩН ŒЕФŒСН УРЕЛФТБ, ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС НЕЦДХ ОЙНЙ НПЗХФ ВЩФШ ŒЩВТБОЩ РТПЙЪŒПМШОП, РПУЛПМШЛХ ОЙ Œ ЛБЛЙИ ОБВМАДБЕНЩИ ŒЕМЙЮЙОБИ ПОЙ ОЕ РТПСŒМСАФУС7. пДОБЛП ЮФПВЩ ОЕ ŒПЪОЙЛБМП ОЕПВИПДЙНПУФЙ ДЕМБФШ ПЗПŒПТЛЙ, РТЙОСФП ŒŒПДЙФШ Œ ПРТЕДЕМЕОЙЕ ŒЕМЙЮЙО Aj ДПРПМОЙФЕМШОЩЕ НОПЦЙФЕМЙ:

e 2		∞	e− 2		∞		∞
i	’2( )		i	’1( )
A1 = (2ıa)1=2 ;						−∞
			A2 = (2ıa)1=2 ; ’1;2			(∞) = 2ı		j1;2	(x) dx:	(12.49)

оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП РПУМЕ ЬФПЗП ŒУЕ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС РТЙОЙНБАФ ЛБОПОЙЮЕУЛЙК ŒЙД (12.32).

у РПНПЭША ПВТБФОПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС ВПЪПОЙЪБГЙЙ НПЦОП ОБКФЙ ЖХОЛГЙА зТЙОБ МБФФЙОЦЕТПŒУЛПК ЦЙДЛПУФЙ. тБУУНПФТЙН УТЕДОЙЕ:

Gj (x; t) = j (x; t) j	(0; 0) = (2ıa)−	e	j	(x;t)	e− j	(0;0)	:	(12.50)
+	1		i’		i’

у ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ, ПРТЕДЕМЕООЩНЙ ФБЛЙН (ОЕУЛПМШЛП ОЕУФБОДБТФОЩН) ПВТБЪПН 8, ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ ХДПВОЩН РТПŒПДЙФШ ŒЩЮЙУМЕОЙС Œ ЛППТДЙОБФОП-ŒТЕНЕООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ (УН. ЪБДБЮЙ 79, 81).

жХОЛГЙЙ зТЙОБ (12.50) ВХДХФ ОБКДЕОЩ Œ ЪБДБЮЕ 80. œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЛПОУФБОФЩ УŒСЪЙ g1 É g2 Œ (12.30) ОЕ ЪБŒЙУСФ ПФ k, ТЕЪХМШФБФ РТЙОЙНБЕФ ДПŒПМШОП РТПУФПК ŒЙД:

G1	(x; t) = 2ı(x − v t + ia)	(x − v t + ia)(x + v t − ia)
	i	a2
G2	(x; t) = −2ı(x + v t − ia)	(x − v t + ia)(x + v t − ia)
	i	a2

;

sh2 „

;(12.51)

ÇÄÅ th(2„) = g2=(g1 + 2ıv) É v = !k =k =	(2ıv + g1)2 − g22		=(2ı) | РЕТЕОПТ-
			1=2

НЙТПŒБООБС УЛПТПУФШ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, ПРТЕДЕМЕООБС Œ (12.31). оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП Œ

7рПДПВОП ФПНХ, ЛБЛ Œ ПВЩЮОПН ŒФПТЙЮОПН ЛŒБОФПŒБОЙЙ ЙНЕЕФУС РТПЙЪŒПМ, ЛПЗДБ ЗБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ ОЕ УПДЕТЦЙФ СŒОПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ УРЙОБ ЮБУФЙГ. œ ЬФПН УМХЮБЕ, РТЙ ПРТЕДЕМЕОЙЙ ПРЕТБФПТПŒ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС ЮБУФЙГЩ У ПРТЕДЕМЕООПК РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ РТЙОГЙРЙБМШОП ŒБЦОБ ФПМШЛП БОФЙЛПННХФБФЙŒОПУФШ ПРЕТБФПТПŒ У ПДЙОБЛПŒЩНЙ УРЙОБНЙ, Б ПРЕТБФПТЩ У ТБЪМЙЮОЩНЙ УРЙОБНЙ, ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, НПЗХФ ВЩФШ ŒЩВТБОЩ ЛПННХФЙТХАЭЙНЙ | ЬФП ДЕМП ŒЛХУБ.

8оБРПНОЙН ПРТЕДЕМЕОЙЕ ЛБОПОЙЮЕУЛПК РТЙЮЙООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЮЕТЕЪ ИТПОПМПЗЙЮЕУЛЙ ХРПТСДПЮЕООПЕ УТЕДОЕЕ: Gc(x; t; x ; t ) = −i T j(x; t) j+(x ; t ) .

12.5. ъбдбюй 75 { 82

369

ПФУХФУФŒЙЕ ТБУУЕСОЙС ОБЪБД (g2 = 0) ŒЩТБЦЕОЙС (12.51) ŒПУРТПЙЪŒПДСФ ЙЪŒЕУФОЩЕ ТЕЪХМШФБФЩ ДМС УŒПВПДОЩИ ЖЕТНЙПОПŒ.

у РПНПЭША ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК (12.51) НПЦОП ТБУУНПФТЕФШ ТБЪОППВТБЪОЩЕ ŒПРТПУЩ. фБЛ, ЙОФЕТЕУОП ŒЩСУОЙФШ, ЛБЛ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕОСЕФ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ЮБУФЙГ РП ЙНРХМШУБН Œ ПУОПŒОПН УПУФПСОЙЙ, n(p) Im G("; p)"→0. пЛБЪЩŒБЕФУС, ЖЕТНЙЕŒУЛБС УФХРЕОШЛБ Œ n(p), ТЕЪЛБС Œ ПФУХФУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ТБЪНЩŒБЕФУС Й УФБОПŒЙФУС ОЕТЕЪЛПК РТЙ УЛПМШ ХЗПДОП УМБВПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ. тБЪНЩФЙЕ ЖЕТНЙЕŒУЛПК УЙОЗХМСТОПУФЙ Œ n(p) ЕУФШ РТПСŒМЕОЙЕ ФПЗП, ЮФП ЙУФЙООЩНЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГБНЙ Œ ПДОПНЕТОПН ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ У ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН СŒМСАФУС ОЕ ЖЕТНЙПОЩ, Б ВПЪПОЩ УП УРЕЛФТПН (12.31). рТЙЮЙОБ Œ ФПН, ЮФП ЙЪ-ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОЩИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПЛБЪЩŒБЕФУС УМЙЫЛПН НБМЩН (УН. ЪБДБЮХ 82). оЕФТЙŒЙБМШОПЕ ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЩ ПВМБДБЕФ Й ДТХЗЙНЙ ЙОФЕТЕУОЩНЙ УŒПКУФŒБНЙ. оБРТЙНЕТ, Œ ЪБДБЮЕ 81 НЩ ХŒЙДЙН, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Œ МБФФЙОЦЕТПŒУЛПК ЦЙДЛПУФЙ РТЙŒПДЙФ Л РПСŒМЕОЙА БОПНБМЙЙ Œ ФХООЕМШОПК РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК. ьФБ БОПНБМЙС РТПСŒМСЕФУС Œ ОЕПНЙЮЕУЛПК (УФЕРЕООПК) ŒПМШФ-БНРЕТОПК ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЕ

ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ.

мЙФЕТБФХТБ: иПТПЫЕЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ ПУОПŒОЩИ ЖБЛФПŒ Й ФЕПТЙЙ ВПЪПОЙЪБГЙЙ НПЦОП ОБКФЙ Œ ЛОЙЗБИ: [7], ЗМ. 4; M. Stone, Bosonization, (World Scienti˛c, 1994).

12.5. ъБДБЮЙ 75 { 82

ъБДБЮБ 75. оБКДЙФЕ ФЕРМПЕНЛПУФШ ПДОПНЕТОПЗП ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, РПМШЪХСУШ ВПЪПООЩН РТЕДУФБŒМЕОЙЕН. уТБŒОЙФЕ У ТЕЪХМШФБФПН, РПМХЮЕООЩН Œ ЛБОПОЙЮЕУЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ.

ъБДБЮБ 76. тБУУНПФТЙН ЙДЕБМШОЩК ЖЕТНЙ-ЗБЪ Œ ЛПОЕЮОПК ПВМБУФЙ 0 < x < L У РЕТЙПДЙЮЕУЛЙНЙ ЗТБОЙЮОЩНЙ ХУМПŒЙСНЙ. лБЛ ПДОПЮБУФЙЮОЩК, ФБЛ Й НОПЗПЮБУФЙЮОЩК УРЕЛФТЩ ЬФПК ЛПОЕЮОПК УЙУФЕНЩ СŒМСАФУС ДЙУЛТЕФОЩНЙ. рПРЩФБЕНУС ХУФБОПŒЙФШ УППФŒЕФУФŒЙЕ НЕЦДХ ЙОДЙŒЙДХБМШОЩНЙ УПУФПСОЙСНЙ Œ ЛБОПОЙЮЕУЛПН Й Œ ВПЪПОЙЪПŒБООПН РТЕДУФБŒМЕОЙСИ.

мЙОЕБТЙЪХЕН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЖЕТНЙПОПŒ ŒВМЙЪЙ EF . рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ДЙУЛТЕФОЩК УРЕЛФТ НОПЗПЮБУФЙЮОЩИ ŒПЪВХЦДЕООЩИ УПУФПСОЙК Œ ПВПЙИ РТЕДУФБŒМЕОЙСИ ЙНЕЕФ ŒЙД Em = m´, ÇÄÅ m = 1; 2; 3; :::, Á ´ = 2ıvF =L | ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ПДОПЮБУФЙЮОЩНЙ ХТПŒОСНЙ ŒВМЙЪЙ EF . пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ Nm ЛТБФОПУФШ ŒЩТПЦДЕОЙС ХТПŒОС "m. œ УЙМХ НОПЗПЮБУФЙЮОПУФЙ ЪБДБЮЙ, ЛТБФОПУФШ ŒЩТПЦДЕОЙС Nm СŒМСЕФУС ŒЕУШНБ ВЩУФТП ŒПЪТБУФБАЭЕК ЖХОЛГЙЕК m. оБКДЙФЕ Nm ДМС ОЕУЛПМШЛЙИ РЕТŒЩИ ХТПŒОЕК ЬОЕТЗЙЙ Œ

ЛБОПОЙЮЕУЛПН Й Œ ВПЪПООПН РТЕДУФБŒМЕОЙСИ Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП ТЕЪХМШФБФЩ УПŒРБДБАФ. ъБДБЮБ 77. (бМЗЕВТБ ПРЕТБФПТПŒ.) дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ПРЕТБФПТЩ ei—’1;2(x) Й ЗБТНП-

ОЙЛЙ РМПФОПУФЙ (12.16) ХДПŒМЕФŒПТСАФ УМЕДХАЭЙН УППФОПЫЕОЙСН

ei—’j (x)jl(k)e−i—’j (x) = jl (k) ± —e−ikx‹jl		(j; l = 1; 2);	(12.52)
ЗДЕ ЪОБЛ Ă+Ą УППФŒЕФУФŒХЕФ РТБŒЩН ЮБУФЙГБН (j = l		= 1), Á ÚÎÁË Ă−Ą | ÌÅŒÙÍ

370	змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш
(j = l = 2). уППФОПЫЕОЙЕ (12.52) Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЙНЕЕФ ŒЙД
	ei—’j (x)jl(x )e−i—’j (x) = jl(x ) ± —‹jl‹(x − x ) :		(12.53)

рТЙ ФБЛПК ЪБРЙУЙ ŒЙДОП, ЮФП ПРЕТБФПТ e−i—’j (x) ĂŒУФБŒМСЕФĄ Œ УЙУФЕНХ — ЮБУФЙГ, ЗДЕ ЪОБЮЕОЙЕ — НПЦЕФ ВЩФШ ЛБЛ ГЕМЩН, ФБЛ Й ДТПВОЩН.

дПЛБЦЙФЕ ФБЛЦЕ, ЮФП ВПЪПОЙЪПŒБООЩЕ ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ j (x) = Aj ei’j (x),j+(x) = Aj e−i’j (x), j = 1; 2, Й ЗБТНПОЙЛЙ РМПФОПУФЙ (12.16) РПДЮЙОСАФУС УМЕДХАЭЙН ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН:

[ j (x); jl(p)] = ±e−ipx j (x)‹jl (j; l = 1; 2):	(12.54)

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ЛПННХФБФПТЩ (12.54) УПŒРБДБАФ У ЛПННХФБФПТБНЙ, ОБКДЕООЩНЙ Œ ЛБОПОЙЮЕУЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. оБТСДХ У (12.52), УППФОПЫЕОЙС (12.54) ПЛБЪЩ-

ŒБАФУС РПМЕЪОЩНЙ РТЙ ТЕЫЕОЙЙ ЪБДБЮ.

ъБДБЮБ 78. (лБФБУФТПЖБ ПТФПЗПОБМШОПУФЙ.) рТЙНЕОЙН НЕФПД ВПЪПОЙЪБГЙЙ Л ЙЪХЮЕОЙА ЛБФБУФТПЖЩ ПТФПЗПОБМШОПУФЙ, ТБУУНПФТЕООПК Œ ЪБДБЮЕ 27. оБРПНОЙН, ЮФП ТЕЮШ ЙДЕФ П ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМБ РЕТЕЛТЩФЙС K = 0 |0 ПУОПŒОЩИ УПУФПСОЙК ЖЕТНЙ-ЗБЪБ Œ ПФУХФУФŒЙЕ Й Œ РТЙУХФУФŒЙЙ МПЛБМЙЪПŒБООПЗП ТБУУЕЙŒБАЭЕЗП РПФЕОГЙБМБ. œЕТОП ТБŒЕОУФŒП

	l		‹2
|K‚ | = exp [−¸ ln (EF =‚)] ; ¸ = 2		(2l + 1)	ıl2 ;	(12.55)

ÇÄÅ ‹l | ЖБЪЩ ТБУУЕСОЙС Œ ЛБОБМЕ У ХЗМПŒЩН НПНЕОФПН l РТЙ E = EF , Á ‚ EF | УЛПТПУФШ ŒЛМАЮЕОЙС ŒПЪНХЭЕОЙС, ПРТЕДЕМЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 27.

œ УМХЮБЕ УЙМШОПЗП ТБУУЕСОЙС УХННЙТПŒБОЙЕ ТСДБ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК (5.19) ПЛБЪЩŒБЕФУС ДПŒПМШОП ФТХДПЕНЛЙН ДЕМПН 9. œНЕУФП ЬФПЗП НПЦОП РТЙНЕОЙФШ УМЕДХАЭЙК ŒЕУШНБ РПМЕЪОЩК РТЙЕН. тБУУНПФТЙН ЛБЦДЩК ЛБОБМ ТБУУЕСОЙС ЛБЛ УЙУФЕНХ ПДОПНЕТОЩИ ЛЙТБМШОЩИ 10 ЖЕТНЙПОПŒ, ДŒЙЦХЭЙИУС УМЕŒБ ОБРТБŒП УП УЛПТПУФША v = vF . рТЙ ЬФПН ПВМБУФШ x < 0 УППФŒЕФУФŒХЕФ РБДБАЭЙН ŒПМОБН, ПВМБУФШ x > 0 | ТБУУЕСООЩН, Б УБНП ТБУУЕСОЙЕ РТПЙУИПДЙФ ŒВМЙЪЙ ФПЮЛЙ x = 0. œ ФБЛПК РПУФБОПŒЛЕ ЪБДБЮЙ ŒУФТСИЙŒБОЙЕ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ РТЙ ŒЛМАЮЕОЙЙ ТБУУЕСОЙС ОБ РПФЕОГЙБМЕ ЬЛŒЙŒБМЕОФОП ŒПЪВХЦДЕОЙА ПДОПНЕТОЩИ ЖЕТНЙПОПŒ РТЙ РТПМЕФЕ ЮЕТЕЪ ПЛТЕУФОПУФШ x = 0, Œ ЛПФПТПК ДЕКУФŒХЕФ ŒОЕЫОЕЕ РЕТЕНЕООПЕ РПМЕ.

ъБРЙЫЙФЕ ВПЪПОЙЪПŒБООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО ДМС ЖЕТНЙПОПŒ Œ РМБŒОП НЕОСАЭЕНУС ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПН РПМЕ a(x; t), МПЛБМЙЪПŒБООПН ŒВМЙЪЙ x = 0. уЛБЮЛХ ЖБЪЩ ТБУУЕСОЙС

9пФНЕФЙН, ЮФП Œ ДБООПН УМХЮБЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒПЪНПЦОЩН РТПŒЕУФЙ РПМОПЕ УХННЙТПŒБОЙЕ ТСДБ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК (5.19). ьФП УŒСЪБОП У ФЕН, ЮФП ŒЩУЫЙЕ ЮМЕОЩ ТСДБ (5.19) ОЕ УФБОПŒСФУС ВПМЕЕ УЙОЗХМСТОЩНЙ | Œ ЛБЦДПН РПТСДЛЕ ТБУИПДЙНПУФШ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС РП ‚. пДОБЛП УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ŒЩЮЙУМЕОЙС ФТЕВХАФ ЙУРПМШЪПŒБОЙС УРЕГЙБМШОПК ФЕИОЙЛЙ (P. Nozi„eres, C. T. deDominicis, Phys. Rev., v. 178, p. 1097 (1969)).

10фЕПТЙА РПМС Й, Œ ЮБУФОПУФЙ, МБФФЙОЦЕТПŒУЛХА ЦЙДЛПУФШ, ОБЪЩŒБАФ ЛЙТБМШОПК, ЕУМЙ Œ ОЕК ЙНЕАФУС ФПМШЛП РТБŒЩЕ ЙМЙ ЦЕ ФПМШЛП МЕŒЩЕ ЮБУФЙГЩ.