Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

11.4. теыеойс

341

ЬЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ФЕПТЙЙ влы ХЮЙФЩŒБАФУС ФПМШЛП Œ ТБНЛБИ ФЕПТЙЙ УТЕДОЕЗП РПМС, Й РПЬФПНХ НОПЗПЮБУФЙЮОЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ ПЛБЪЩŒБАФУС ПФОПУЙФЕМШОП РТПУФЩНЙ.

рПДУФБŒМСС ФХООЕМШОХА РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК (11.60) Œ (11.48), ОБИПДЙН ФХООЕМШОЩК ФПЛ:

IN −S (V ) = 4ıe a b |T0|2		(nF (!) − nF (! + eV )) √!| 2|		´2 :	(11.61)
		! d!
	|!|>´		−

тБУУНПФТЙН УМХЮБК ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЩ. рХУФШ eV > 0. фПЗДБ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ЬОЕТЗЙСН РТПЙЪŒПДЙФУС Œ ЙОФЕТŒБМЕ −eV < " < 0. рТЙ eV < ´ ЙОФЕЗТБМ (11.61) ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ, РПУЛПМШЛХ Œ ЬФПК ПВМБУФЙ ОЕ ŒЩРПМОЕОП ХУМПŒЙЕ |"| > ´. дМС eV > ´ ОБИПДЙН

1	−´	" d"
IN −S (V ) = eR		√"|2	|	´2
	−eV		−

'

(eV )2 − ´2

= : (11.62) eR

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЪБŒЙУЙНПУФШ ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ ПФ ОБРТСЦЕОЙС ЙНЕЕФ РПТПЗ, ТБŒОЩК ´=e. тБУУНБФТЙŒБС БОБМПЗЙЮОП УМХЮБК eV < 0, РПМХЮБЕН ЙУЛПНХА ЪБŒЙУЙНПУФШ (11.32), ПВМБДБАЭХА УŒПКУФŒПН БОФЙУЙННЕФТЙЙ: IN −S (−V ) = −IN −S (V ).

рПТПЗ РТЙ eV = ´ СŒМСЕФУС ТЕЪЛЙН ФПМШЛП РТЙ ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЕ. рТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ Œ ОПТНБМШОПН НЕФБММЕ ŒУЕЗДБ ЙНЕАФУС ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У ЬОЕТЗЙЕК " > ´, ЛПФПТЩЕ НПЗХФ ФХООЕМЙТПŒБФШ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛ. рПЬФПНХ ЕУФЕУФŒЕООП ПЦЙДБФШ, ЮФП РТЙ T > 0 ЛПТОЕŒБС ПУПВЕООПУФШ ТБЪНЩŒБЕФУС Й ФХООЕМШОЩК ФПЛ ПЛБЪЩŒБЕФУС ПФМЙЮОЩН ПФ ОХМС РТЙ ŒУЕИ ОБРТСЦЕОЙСИ.

юФПВЩ ХВЕДЙФШУС Œ ФПН, ЮФП ЬФП ДЕКУФŒЙФЕМШОП ФБЛ, ОБКДЕН ФХООЕМШОЩК ФПЛ РПД РПТПЗПН РТЙ НБМЩИ ФЕНРЕТБФХТБИ T ´. йОФЕЗТБМ Œ (11.61) РТЙ ФБЛЙИ T ПРТЕДЕМСЕФУС ПЛТЕУФОПУФСНЙ ФПЮЕЛ " = ±´. œŒЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙЕ " = ±(´ + x) Œ ЛБЦДПК ЙЪ ПВМБУФЕК. лБЛ ВХДЕФ СУОП ЙЪ ДБМШОЕКЫЙИ ŒЩЮЙУМЕОЙК, ИБТБЛФЕТОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ x ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ T , РПЬФПНХ НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК РП x=´. œЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ УППФŒЕФУФŒЕООП РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

∞

IN −S (V; T ) = 4ıe a b|T0|2 [nF (´ + x) + nF (−´ − x)−

0
´ dx	:
− nF (´ + eV + x) − nF (−´ − x + eV )] √2´x		(11.63)

хРТПУФЙН РПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ ФПЦДЕУФŒПН nF (−") = 1−nF ("), ЛПФПТПНХ ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ЖЕТНЙЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС. рПМХЮБЕН

eR		−	eV + x)	−	nF (´ + x + eV )] (	2x	(11.64)
IN −S (V; T ) = 1	∞[nF (´					´ dx :
	0

(НЩ ŒЩТБЪЙМЙ ФХООЕМШОЩК НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ T0 ЮЕТЕЪ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЛПОФБЛФБ Œ ОПТНБМШОПН УПУФПСОЙЙ).

342	змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб

рТЙ ВПМШЫЙИ РПМПЦЙФЕМШОЩИ ЪОБЮЕОЙСИ ЬОЕТЗЙЙ ЖЕТНЙЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС РЕТЕИПДЙФ Œ ВПМШГНБОПŒУЛХА,

nF (" T ) ≈ e−"=T ;

(11.65)

Й РПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ РТЙОЙНБЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:

IN −S (V; T ) = eR1 e−´=T sh eVT	∞(2´x e−x=T dx :	(11.66)
	0

œЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ РП x У РПНПЭША ЙЪŒЕУФОПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЗБННБ-ЖХОЛГЙЙ, ОБ-

ИПДЙН	√2ı´T
IN −S (V; T ) =		e−´=T sh	eV	:	(11.67)
	eR		T

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ОЕРТЙНЕОЙНП Œ ХЪЛПК ПЛТЕУФОПУФЙ РПТПЗБ РТЙ (eV − ´) T , РПУЛПМШЛХ РТЙ ФБЛЙИ ОБРТСЦЕОЙСИ РТЙВМЙЦЕОЙЕ (11.65) ОЕМШЪС РТЙНЕОСФШ Л РЕТŒПНХ ЮМЕОХ Œ (11.64).

йФБЛ, РТЙ 0 < T ´ ФПЛ (11.61) РТЙ eV < ´ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМ. рП НЕТЕ ТПУФБ ФЕНРЕТБФХТЩ ФПЛ РПД РПТПЗПН eV < ´ ŒПЪТБУФБЕФ, Й ЛПЗДБ ФЕНРЕТБФХТБ ДПУФЙЗБЕФ Tc, ŒПМШФ-БНРЕТОБС ИБТБЛФЕТЙУФЙЛБ УФБОПŒЙФУС ПНЙЮЕУЛПК, ЛБЛ ДМС ЛПОФБЛФБ НЕЦДХ ДŒХНС ОПТНБМШОЩНЙ НЕФБММБНЙ.

рПНЙНП ФЕТНПБЛФЙŒБГЙПООПЗП ŒЛМБДБ Œ ФПЛ, ПРЙУЩŒБЕНПЗП ЖПТНХМПК (11.67), РПД РПТПЗПН eV = ´ УХЭЕУФŒХЕФ ЕЭЕ ПДЙО ŒЕУШНБ ЙОФЕТЕУОЩК ŒЛМБД, ОЕ ЙУЮЕЪБАЭЙК РТЙ T → 0. пО УŒСЪБО У ЛПЗЕТЕОФОЩН ФХООЕМЙТПŒБОЙЕН РБТЩ ЬМЕЛФТПОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ Й УРЙОБНЙ. пЛБЪБŒЫЙУШ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ, ФБЛЙЕ ДŒБ ЬМЕЛФТПОБ НПЗХФ ПВТБЪПŒБФШ ЛХРЕТПŒУЛХА РБТХ. фХООЕМЙТПŒБОЙЕ РБТЩ, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ПДОПЮБУФЙЮОПЗП ФХООЕМЙТПŒБОЙС, ОЕ ФТЕВХЕФ ЪБФТБФЩ ЬОЕТЗЙЙ ´ ОБ ЛБЦДХА ЮБУФЙГХ, Й

РПЬФПНХ ФБЛПК ŒЛМБД ОЕ ĂŒЩНЕТЪБЕФĄ РТЙ ОЙЪЛЙИ ФЕНРЕТБФХТБИ. лПЗЕТЕОФОПЕ ФХООЕМЙТПŒБОЙЕ РБТ ЬМЕЛФТПОПŒ ЮБУФП ОБЪЩŒБАФ БОДТЕЕŒУЛЙН ПФТБЦЕОЙЕН, РПУЛПМШЛХ

ПРЙУБООЩК РТПГЕУУ РЕТЕИПДБ ДŒХИ ЬМЕЛФТПОПŒ ЙЪ ОПТНБМШОПЗП НЕФБММБ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛ НПЦОП ТБУУНБФТЙŒБФШ ЛБЛ РТЕŒТБЭЕОЙЕ ЬМЕЛФТПОБ Œ ДЩТЛХ РТЙ ПФТБЦЕОЙЙ ПФ РПŒЕТИОПУФЙ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ. œЕТПСФОПУФШ ДŒХИЮБУФЙЮОПЗП ФХООЕМЙТПŒБОЙС РТПРПТГЙПОБМШОБ |T0|4, Á ÎÅ |T0|2, ЛБЛ ДМС ПДОПЮБУФЙЮОПЗП ФХООЕМЙТПŒБОЙС. рПЬФПНХ РТЙ |T0| 1 Й ОЕ УМЙЫЛПН ОЙЪЛПК ФЕНРЕТБФХТЕ ДŒХИЮБУФЙЮОЩЕ РТПГЕУУЩ ПЮЕОШ ТЕДЛЙ РП УТБŒОЕОЙА У ПДОПЮБУФЙЮОЩНЙ. œУМЕДУФŒЙЕ ЬФПЗП БОДТЕЕŒУЛПЕ ПФТБЦЕОЙЕ ŒОПУЙФ УХЭЕУФŒЕООЩК ŒЛМБД Œ ФХООЕМШОЩК ФПЛ МЙЫШ РТЙ ДПУФБФПЮОП ОЙЪЛЙИ ФЕНРЕТБФХТБИ 5.

тЕЫЕОЙЕ 70. рПУЛПМШЛХ ФЕРЕТШ Х ОБУ У ПВЕЙИ УФПТПО ЛПОФБЛФБ ОБИПДСФУС УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЙ, РЕТŒЩК ЮМЕО Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (11.42) ПЛБЪЩŒБЕФУС ПФМЙЮОЩН ПФ ОХМС. рПЬФПНХ ХУТЕДОЕОЙЕ (11.42) ОЕПВИПДЙНП ŒЩРПМОЙФШ ЪБОПŒП. лБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ХУТЕДОЕОЙЕ РЕТŒПЗП ЮМЕОБ (11.42) ŒЩРПМОСЕФУС ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й ТБОШЫЕ, У ЕДЙОУФŒЕООПК ТБЪОЙГЕК, УПУФПСЭЕК Œ ЪБНЕОЕ ОПТНБМШОЩИ УТЕДОЙИ ОБ БОПНБМШОЩЕ. уППФŒЕФУФŒХАЭЙК

5бОДТЕЕŒУЛПЕ ПФТБЦЕОЙЕ ВПМЕЕ РПДТПВОП ТБУУНПФТЕОП Œ МЙФЕТБФХТЕ, РТПГЙФЙТПŒБООПК ОБ У. 287.

11.4. теыеойс		343
ŒЛМБД Œ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ M ŒЩРЙУЩŒБЕФУС РП БОБМПЗЙЙ У ЪБДБЮЕК 68 Й ПЛБЪЩŒБЕФУС
ÒÁŒÎÙÍ
	|Tpp |2 Fa;+— (i˙n + i!m; p) Fb; —(i!m; p ) ;	(11.68)
M;S−S (i˙n) = ieT !m pp

ÇÄÅ Fa(i"n; p) É Fb(i"n; p) | БОПНБМШОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ВЕТЕЗПŒ ЛПОФБЛФБ, Б — Й | УРЙОПŒЩЕ ЙОДЕЛУЩ. уХННЙТХС РП — Й У ХЮЕФПН УРЙОПŒПК УФТХЛФХТЩ БОПНБМШОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, РПМХЮБЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ РП ŒЙДХ УИПДОПЕ У (11.45) У ФПЮОПУФША ДП ЪБНЕОЩ ОПТНБМШОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ ОБ БОПНБМШОЩЕ:

M;S−S (i˙n) = −2ieT !m pk |Tpk|2 Fa+(i˙n + i!m; p) Fb(i!m; k) :	(11.69)

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЪОБЛЙ ŒЩТБЦЕОЙК (11.45) Й (11.69) УПŒРБДБАФ. ьФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ПВЭЕНХ ОБВМАДЕОЙА П УПŒРБДЕОЙЙ ЪОБЛПŒ ĂОПТНБМШОЩИĄ Й ĂБОПНБМШОЩИĄ РЕФЕМШ, УДЕМБООПНХ Œ ТЕЫЕОЙЙ ЪБДБЮЙ 63.

рПУЛПМШЛХ, ЛБЛ НЩ ХŒЙДЙН, ДЦПЪЕЖУПОПŒУЛЙК ФПЛ ПФМЙЮЕО ПФ ОХМС Œ ТБŒОПŒЕУЙЙ, Ф. Е. РТЙ V = 0, ОБН ВХДЕФ ДПУФБФПЮОП 6 ŒЩЮЙУМЙФШ M;S−S (i˙n) ÐÒÉ ˙n = 0. бОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ОЕОХЦОЩН, Й НПЦОП УТБЪХ ЪБРЙУБФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ:

∞

∞

´ a d‰b

´b b d‰b

2

a

T Im !m

IS−S = 4e |T0|

!m2 + ‰a2 +

|

´a

|

2

!m2

+ ‰b2 +

´b

|

2 = (11.70)

−∞ −∞

|

2

´ ´b

2

!m + ´a

a

!m + ´b

= 4ı e |T0| a b T Im

!m

'

2

|

|

2

'

2

| |

2

:

рПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ПФМЙЮОП ПФ ОХМС ЛПЗДБ ЖБЪЩ РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ЛПОФБЛФБ ТБЪМЙЮОЩ. рХУФШ ´a;b = |´a;b| ei’a;b . œЩТБЦБС ФХООЕМШОЩК НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ T0 ЮЕТЕЪ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЛПОФБЛФБ Œ ОПТНБМШОПН УПУФПСОЙЙ, РПМХЮБЕН УППФОПЫЕОЙЕ дЦПЪЕЖУПОБ:

ı

'!m

+ |´a|

'!m

+ |´b|

I = I

sin(’

b −

’

) ;

ÇÄÅ I

=

T

|´a||´b

|

(11.71)

0

a

0

eR

!m

2

2

2

2

| НБЛУЙНБМШОЩК ФПЛ ЮЕТЕЪ ЛПОФБЛФ. пФНЕФЙН ЕЭЕ ТБЪ, ЮФП, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ДТХЗЙИ ТБЪОПŒЙДОПУФЕК ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ, ДЦПЪЕЖУПОПŒУЛЙК ФПЛ ОЕ УŒСЪБО У ТЕМБЛУБГЙЕК Л ТБŒОПŒЕУОПНХ УПУФПСОЙА. ьЖЖЕЛФ дЦПЪЕЖУПОБ (11.33) ЙНЕЕФ НЕУФП Œ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПН ТБŒОПŒЕУЙЙ, Й УППФŒЕФУФŒЕООП ФПЛ (11.71) НЕЦДХ ДŒХНС УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБНЙ У ТБЪМЙЮБАЭЙНЙУС ЖБЪБНЙ РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ НПЦЕФ ФЕЮШ ОЕПЗТБОЙЮЕООП ДПМЗП.

6рП ЬФПК ЦЕ РТЙЮЙОЕ НЩ ОЕ ТБУУНБФТЙŒБЕН ŒЛМБД Œ ФХООЕМШОЩК ФПЛ (11.42), УПДЕТЦБЭЙК ОПТНБМШОЩЕ УТЕДОЙЕ. лБЛ НЩ ŒЙДЕМЙ Œ ЪБДБЮБИ 68 Й 69, ФБЛПК ŒЛМБД ПРЙУЩŒБЕФ ОЕЛПЗЕТЕОФОПЕ ФХООЕМЙТПŒБОЙЕ ПФДЕМШОЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ Й РТЙŒПДЙФ Л ФПЛХ, ЙУЮЕЪБАЭЕНХ РТЙ V = 0.

344	змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб

жПТНХМБ (11.71) ДМС I0 ХРТПЭБЕФУС Œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ РБТБНЕФТЩ РПТСДЛБ РП ПВЕ УФПТПОЩ ЛПОФБЛФБ ПФМЙЮБАФУС ФПМШЛП ЖБЪПК: |´a| = |´b| ≡ ´. ðÒÉ ÜÔÏÍ

ı			´2
I0 = eR	T	!2	+ ´2 ;	(11.72)
	!m	m

РПУМЕ ЮЕЗП УХННЙТПŒБОЙЕ МЕЗЛП РТПЙЪŒПДЙФУС У РПНПЭША ФПЦДЕУФŒБ (7.83). œ ЬФПН УМХЮБЕ НЩ РПМХЮБЕН УППФОПЫЕОЙЕ (11.34) ДМС НБЛУЙНБМШОПЗП ДЦПЪЕЖУПОПŒУЛПЗП ФПЛБ

I0.

юФП РТПЙЪПКДЕФ, ЕУМЙ РТПРХУФЙФШ ЮЕТЕЪ ЛПОФБЛФ ФПЛ, ВПМШЫЙК ЮЕН I0? дЕФБМШОЩК ПФŒЕФ ОБ ЬФПФ ŒПРТПУ ЪБŒЙУЙФ ПФ УŒПКУФŒ ГЕРЙ, Œ ЛПФПТХА ŒЛМАЮЕО ЛПОФБЛФ. пДОБЛП ДЦПЪЕЖУПОПŒУЛЙК ЛПОФБЛФ ЙУРПМШЪХЕНЩК Œ ФБЛПН ТЕЦЙНЕ ПВМБДБЕФ ПДОЙН ŒЕУШНБ ПВЭЙН УŒПКУФŒПН. рТЙ ФПЛЕ РТЕŒПУИПДСЭЕН I0 ОБ ЛПОФБЛФЕ РПСŒЙФУС ЛПОЕЮОПЕ ОБРТСЦЕОЙЕ V (t), Œ ПВЭЕН УМХЮБЕ ЪБŒЙУСЭЕЕ ПФ ŒТЕНЕОЙ. ьФП ОБРТСЦЕОЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ЙЪНЕОЕОЙА ЖБЪЩ ’ = ’b −’a УПЗМБУОП УППФОПЫЕОЙА дЦПЪЕЖУПОБ ДМС ЖБЪЩ

—h d’	= 2eV (t) ;	(11.73)
dt

ЛПФПТПЕ УМЕДХЕФ ЙЪ ЛБМЙВТПŒПЮОПК ЙОŒБТЙБОФОПУФЙ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЖБЪБ Й ФПЛ ПЛБЪЩŒБАФУС ЪБŒЙУСЭЙНЙ ПФ ŒТЕНЕОЙ. ъОБС УŒПКУФŒБ ŒОЕЫОЕК ГЕРЙ, НПЦОП УБНПУПЗМБУПŒБООП УŒСЪБФШ ОБРТСЦЕОЙЕ ОБ ЛПОФБЛФЕ V (t) Й ФХООЕМШОЩК ФПЛ I(t), Й ФБЛЙН ПВТБЪПН ПРТЕДЕМЙФШ ДЙОБНЙЛХ УЙУФЕНЩ. юЙФБФЕМШ, ЙОФЕТЕУХАЭЙКУС ЬФЙН ТЕЦЙНПН ТБВПФЩ ДЦПЪЕЖУПОПŒУЛПЗП ЛПОФБЛФБ, ПВЩЮОП ОБЪЩŒБЕНЩН ОЕУФБГЙПОБТОЩН ЬЖЖЕЛФПН дЦПЪЕЖУПОБ, НПЦЕФ ОБКФЙ ПВУХЦДЕОЙЕ УППФŒЕФУФŒХАЭЙИ ŒПРТПУПŒ Œ МЙФЕТБФХТЕ, РТПГЙФЙТПŒБООПК ОБ У. 287.

тЕЫЕОЙЕ 71 Б. тБУУНПФТЙН ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОБ У ŒОЕЫОЙН РПМЕН. ъБФТБŒПЮОБС ŒЕТЫЙООБС ЮБУФШ (Œ ПФУХФУФŒЙЕ РТЙНЕУЕК) ТБŒОБ ЕДЙОЙГЕ. œЩЮЙУМЙН ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ, ДБАЭХАУС ДЙБЗТБННБНЙ ОБ ТЙУ. 11.7, ЙУРПМШЪХС ХУТЕДОЕООЩЕ РП ВЕУРПТСДЛХ НБГХВБТПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (УН. (9.17)). тБУУНПФТЙН ŒОБЮБМЕ РПРТБŒЛХ Л ŒЕТЫЙОЕ, УППФŒЕФУФŒХАЭХА ЙЪПВТБЦЕООПК ОБ ТЙУ. 11.9 ДЙБЗТБННЕ У ПДОПК РТЙНЕУОПК МЙОЙЕК:

Ω

ε, p	ε − Ω, p − q

òÉÓ. 11.9

йОФЕТЕУХАЭЕЕ ОБУ ŒЩТБЦЕОЙЕ

`(1)("m; !n; q) = 1

2ı 0fi i"m

1

×

i"m − i!n − ‰p−q +

1
− ‰p + 2fi sign "m ×
i
i	d2p		:	(11.74)
		2
2fi sign("m − !n)	(2ı)

`(1)("m; !n; q) =

11.4. теыеойс

345

ŒЩЮЙУМСЕФУС ФБЛЙН ЦЕ ПВТБЪПН, ЛБЛ УФХРЕОШЛБ РТЙНЕУОПК МЕУФОЙГЩ Œ ЪБДБЮЕ 52. ъБНЕОСС ЙОФЕЗТБМ РП d2p ЙОФЕЗТБМПН РП ‰ Й ŒЩЮЙУМСС ЕЗП НЕФПДПН ŒЩЮЕФПŒ, ОЕФТХДОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ПФМЙЮОП ПФ ОХМС ФПМШЛП Œ ФПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЪОБЛЙ ЬОЕТЗЙК "m É "m − !n ТБЪМЙЮБАФУС. (œ РТПФЙŒОПН УМХЮБЕ ПВБ ŒЩЮЕФБ ЙОФЕЗТЙТХЕНПЗП ŒЩТБЦЕОЙС РПРБДБАФ Œ ПДОХ Й ФХ ЦЕ РПМХРМПУЛПУФШ ЛПНРМЕЛУОПЗП ‰.)

œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЪОБЛЙ ЬОЕТЗЙК ТБЪМЙЮОЩ Й !n > 0, РПМХЮБЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ

1

(11.75)

1 + fi !n + fi Dq2

РПДПВОПЕ ОБКДЕООПНХ Œ ЪБДБЮЕ 52.

фЕРЕТШ РТПУХННЙТХЕН ŒУА РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ, РПЛБЪБООХА ОБ ТЙУ. 11.7. лБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 52, ЙОФЕТЕУХАЭЙК ОБУ МЕУФОЙЮОЩК ТСД ПВТБЪХЕФ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛХА РТПЗТЕУУЙА. рПЬФПНХ

`("m; !n; q) =	1	≈	1	:	(11.76)
	1 − `(1)		fi (!n + Dq2)

тБУУНБФТЙŒБС БОБМПЗЙЮОП УМХЮБК !n < 0, НПЦОП ХВЕДЙФШУС Œ ФПН, ЮФП !n Œ (11.76) УМЕДХЕФ ЪБНЕОЙФШ ОБ |!n|.

еУМЙ ЦЕ ЪОБЛЙ ЬОЕТЗЙК "m É "m − !n Œ ЖХОЛГЙСИ зТЙОБ Œ (11.74) УПŒРБДБАФ, ФП ЪБОХМСЕФУС ОЕ ФПМШЛП РЕТŒБС РПРТБŒЛБ `(1), ОП, ЛБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, Й ŒУЕ ПУФБМШОЩЕ ЮМЕОЩ ДЙБЗТБННОПЗП ТСДБ ОБ ТЙУ. 11.7. ьФП СŒМСЕФУС УМЕДУФŒЙЕН ПВЭЕЗП РТБŒЙМБ, ПФНЕЮЕООПЗП Œ ЗМ. 9 | РТЙНЕУОБС МЕУФОЙГБ ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС ФПМШЛП ЕУМЙ ЬОЕТЗЙЙ Œ ЖХОЛГЙСИ зТЙОБ ЙНЕАФ ТБЪОЩЕ ЪОБЛЙ.

тЕЫЕОЙЕ 71 В. ьЖЖЕЛФЙŒОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ХЮЕФПН ДЙОБНЙЮЕУЛПК ЬЛТБОЙТПŒЛЙ ŒЩЮЙУМСЕФУС УХННЙТПŒБОЙЕН РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФЙ ĂРХЪЩТШЛПŒЩИĄ ДЙБЗТБНН (УН.

	ЪБДБЮХ 45):	V0(q)
	V (!n; q) =		;	(11.77)
		1 − ˝(!n; q) V0(q)

ÇÄÅ ˝(!n; q) | РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ, Б V0(q) | ЪБФТБŒПЮОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ. рПДУФБŒМСС РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!n; q) = − Dq2=(|!n| + Dq2) ЙЪ (9.23), РПМХЮБЕН ЙУЛПНПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (11.36).

дМС ДБМШОЕКЫЙИ ŒЩЮЙУМЕОЙК ОБН РПОБДПВЙФУС ДŒХНЕТОЩК ЖХТШЕ-ПВТБЪ ЛХМПОПŒУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. еЗП РТПЭЕ ŒУЕЗП ОБКФЙ, РТПЙОФЕЗТЙТПŒБŒ ЙЪŒЕУФ-

ОЩК ЖХТШЕ-ПВТБЪ ФТЕИНЕТОПЗП ЛХМПОПŒУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ РП qz :
V0(2)(q) = V0(3)(qx; qy ; z = 0) =	r	q	2ı	=	q2 + q2	2ı =	q	; (11.78)
	e2		dqz		z	dqz	2ıe2
∞				∞	4ıe2
−∞	| |			−∞			|	|

ÇÄÅ q = (qx; qy ).

тЕЫЕОЙЕ 71 Œ. рПРТБŒЛБ Л ФХООЕМШОПК РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК (") РПМХЮБЕФУС ЙЪ РПРТБŒЛЙ Л ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН РП ЙНРХМШУБН, ЛПФПТПЕ НПЦОП ЪБНЕ-

ОЙФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН РП ‰:
‹ (")	= −	1		‹G("; ‰) d‰ :	(11.79)
0		ı

d!

2ı

346	змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб

œЩЮЙУМЙН ‹G(i"; p) РТЙ T = 0, ЪБНЕОСС УХННЩ РП НБГХВБТПŒУЛЙН ЮБУФПФБН ЙОФЕЗТБМБНЙ. вХДЕН ДМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ УЮЙФБФШ, ЮФП " > 0. œЩТБЦЕОЙЕ, УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ДЙБЗТБННЕ ОБ ТЙУ. 11.8, ЕУФШ

‹G(i"; p) = G02(i"; p)	`2("; !; q) V (!; q) G(i" − i!; p − q) (2ı)3 :	(11.80)
	d! d2q

оБЙВПМШЫЙК ŒЛМБД Œ ЙОФЕЗТБМ РП ЬОЕТЗЙЙ ŒПЪОЙЛБЕФ ПФ ПВМБУФЙ ! > ", ФБЛ ЛБЛ Œ ЬФПК ПВМБУФЙ ŒЕТЫЙООБС ЮБУФШ `("; !; q) ЙНЕЕФ ДЙЖЖХЪЙПООЩК РПМАУ Й РПЬФПНХ ŒЕМЙЛБ | УН. (11.35). рТЕОЕВТЕЗБС ŒЛМБДПН ПВМБУФЙ ! < ", ЙНЕЕН

‹G(i"; p) =

1 ∞

(i" − ‰p + i )2

2fi "

×	V0(q)
	(! + Dq2) (! + Dq2 +

	i"	−	i!	‰1			qvp	−	i		×
				−2	−				2fi
				d q		:					(11.81)
Dq2V0(q)) (2ı)2

хДПВОП УТБЪХ РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РП ‰. рТЙ ЬФПН НЩ РТЕОЕВТЕЗБЕН ЮМЕОБНЙ ! Й qv Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ РП УТБŒОЕОЙА У fi −1, РПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ŒЛМБД НБМЩИ ЬОЕТЗЙК Й ЙНРХМШУПŒ. фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН

		∞			V0(q)	d2q
	‹G(i"; ‰) d‰ = 2	"	d!		(! + Dq2) (! + Dq2 + Dq2V0(q)) (2ı)2		:	(11.82)

рПДУФБŒМСС Œ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ЖХТШЕ-ПВТБЪ ЪБФТБŒПЮОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС (11.78), РПМХЮБЕН

	‹G(i"; ‰) d‰ = −2e2	∞	∞	dq
			d!	(! + Dq2) (! + Dq2 + 2ı e2Dq)	:	(11.83)
		"	0

рТПЙОФЕЗТЙТХЕН ОБКДЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ РП q. оБЙВПМШЫЙК ŒЛМБД Œ ЙОФЕЗТБМ ŒОПУЙФ

ПВМБУФШ		!
!	≤ q ≤
2ı De2		3D	;	(11.84)

Œ ЛПФПТПК НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ Dq2 РП УТБŒОЕОЙА У !, Й ! | РП УТБŒОЕОЙА У e2Dq. пВТЕЪБС МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ТБУИПДСЭЙКУС ЙОФЕЗТБМ ОБ ЗТБОЙГБИ ПВМБУФЙ (11.84), РПМХЮБЕН

		1	∞	e2	2 d!
	‹G(i"; ‰) d‰ =	4ı D	"	ln ( D!)	!	:	(11.85)

йОФЕЗТБМ РП ЮБУФПФБН ФБЛЦЕ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ТБУИПДЙФУС ОБ ŒЕТИОЕН РТЕДЕМЕ. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ŒЛМБД ДЙЖЖХЪЙПООПК ПВМБУФЙ ПВТЕЦЕН ЙОФЕЗТБМ РП ! ОБ !fi ≈ 1, (рТЙ В«ПМШЫЙИ ЪОБЮЕОЙСИ ! ЬМЕЛФТПОЩ ДŒЙЦХФУС ВБММЙУФЙЮЕУЛЙ, РПЬФПНХ ЬФБ ПВМБУФШ ПРЙУЩŒБЕФУС ФЕПТЙЕК ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ Й ОЕ РТЙŒПДЙФ Л УЙОЗХМСТОПУФЙ Œ РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК.) œЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ РП ! Й ХДЕТЦЙŒБС РТЙ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ

11.4. теыеойс

347

У НОЙНЩИ ЮБУФПФ ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООЩЕ МЙЫШ ЗМБŒОЩК ДŒБЦДЩ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙК ЮМЕО, РПМХЮБЕН РПРТБŒЛХ Л ФХООЕМШОПК РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК:

‹ (")	= −	1	( e2)4fi D2		1	:
		8ı2 D ln	|"|	ln	|"|fi		(11.86)

œЛМБД (11.86) Œ РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ЙНЕЕФ ПФТЙГБФЕМШОЩК ЪОБЛ Й УЙОЗХМСТЕО ОБ НБМЩИ ЬОЕТЗЙСИ " → 0. у РПНПЭША УППФОПЫЕОЙС ьКОЫФЕКОБ = e2 D РТПЙЪŒЕДЕОЙЕD НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ РТПŒПДЙНПУФШ, ЮФП ДБЕФ ЙУЛПНПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (11.37) ДМС РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК ДŒХНЕТОПЗП НЕФБММБ.

пУФБОПŒЙНУС ОБ ЖЙЪЙЮЕУЛПН УНЩУМЕ ТЕЪХМШФБФБ (11.86). фХООЕМШОБС РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ПРЙУЩŒБЕФ ТЕБЛГЙА ЬМЕЛФТПООПК ЦЙДЛПУФЙ ОБ ДПВБŒМЕОЙЕ Œ ОЕЕ ЬМЕЛФТПОБ. тПМШ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ЬФПН РТПГЕУУЕ УПУФПЙФ Œ УМЕДХАЭЕН. уТБЪХ РПУМЕ ФПЗП, ЛБЛ ЬМЕЛФТПО РТПФХООЕМЙТПŒБМ Œ НЕФБММ, ЕЗП ЪБТСД ОЕЪБЬЛТБОЙТПŒБО Й УПЪДБЕФ ЛХМПОПŒУЛПЕ РПМЕ. рПД ДЕКУФŒЙЕН ЬФПЗП РПМС ПУФБМШОЩЕ ЬМЕЛФТПОЩ ОБЮЙОБАФ ДŒЙЗБФШУС ФБЛ, ЮФПВЩ ЪБЬЛТБОЙТПŒБФШ ŒОПŒШ РТЙВЩŒЫЙК ЬМЕЛФТПО. нБЛТПУЛПРЙЮЕУЛЙ ЬФПФ РТПГЕУУ РТЙŒПДЙФ Л НБЛУŒЕММПŒУЛПК ТЕМБЛУБГЙЙ ЪБТСДБ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ФХООЕМЙТПŒБОЙЕ ПДОПЗП ЬМЕЛФТПОБ УПРТПŒПЦДБЕФУС ЛПММЕЛФЙŒОЩН ТБУФЕЛБОЙЕН ЪБТСДБ НОПЗЙИ ДТХЗЙИ ЬМЕЛФТПОПŒ, ЮФП РТЙŒПДЙФ Л ХНЕОШЫЕОЙА ŒЕТПСФОПУФЙ ФХООЕМЙТПŒБОЙС. œ ЮЙУФПН НЕФБММЕ НБЛУŒЕММПŒУЛБС ТЕМБЛУБГЙС РТПЙУИПДЙФ РПЮФЙ НЗОПŒЕООП (ЪБ ŒТЕНС РПТСДЛБ ПВТБФОПК РМБЪНЕООПК ЮБУФПФЩ). уППФŒЕФУФŒЕООП Œ ЬФПН УМХЮБЕ РПРТБŒЛЙ Л G(t − t ) ЙЪ-ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ДПУФБФПЮОП ВЩУФТП ЪБФХИБАФ ОБ ВПМШЫЙИ ŒТЕНЕОБИ, Й УЙОЗХМСТОПУФЙ Œ G(") РТЙ " → 0 ОЕ ŒПЪОЙЛБЕФ. œ ФП ЦЕ ŒТЕНС Œ ОЕХРПТСДПЮЕООПК УЙУФЕНЕ, ИБТБЛФЕТЙЪХАЭЕКУС ПНЙЮЕУЛПК РТПŒПДЙНПУФША, НБЛУŒЕММПŒУЛБС ТЕМБЛУБГЙС РТПЙУИПДЙФ ВПМЕЕ НЕДМЕООП. рПЬФПНХ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒМЙСОЙЕ ЙОДХГЙТПŒБООПЗП ФХООЕМЙТХАЭЙН ЬМЕЛФТПОПН ТБУФЕЛБОЙС ЪБТСДБ ОБ БНРМЙФХДХ ФХООЕМЙТПŒБОЙС ПЛБЪЩŒБЕФУС УХЭЕУФŒЕООЩН Й УППФŒЕФУФŒХАЭБС РПРТБŒЛБ Л РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК ТБУИПДЙФУС ОБ НБМЩИ ЬОЕТЗЙСИ. нПЦОП УЛБЪБФШ, ЮФП РМПИП РТПŒПДСЭБС УЙУФЕНБ УЙМШОЕЕ ĂУПРТПФЙŒМСЕФУСĄ РПРЩФЛБН ДПВБŒЙФШ Œ ОЕЕ ЬМЕЛФТПО. ьФПФ ЬЖЖЕЛФ Й РТЙŒПДЙФ Л ХНЕОШЫЕОЙА ПДОПЮБУФЙЮОПК РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК.

рПРТБŒЛБ (11.86) РТЙŒПДЙФ Л УРЕГЙЖЙЮЕУЛПК ФЕНРЕТБФХТОПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ, Б ФБЛЦЕ Л ЕЗП ОЕПНЙЮОПУФЙ. рПŒФПТЙŒ РТПДЕМБООПЕ ŒЩЫЕ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ‹ (") РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ, ОЕФТХДОП ХВЕДЙФШУС Œ ФПН, ЮФП ТЕЪХМШФБФ (11.86) ПУФБЕФУС Œ УЙМЕ У ФПЮОПУФША ДП ЪБНЕОЩ " → "m = ıT (2m + 1). уППФŒЕФУФŒХАЭБС ЪБŒЙУЙНПУФШ ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ ПФ T Й V ПЛБЪЩŒБЕФУС УМЕДХАЭЕК:

dI	= G0		‹ ("T ;eV )	; "T ;eV = max [T; eV ] :
G = dV		1 +			(11.87)

лБЛ ŒЙДОП ЙЪ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС, РТЙ ХНЕОШЫЕОЙЙ ФЕНРЕТБФХТЩ Й ОБРТСЦЕОЙС ЙНЕЕФ НЕУФП РПДБŒМЕОЙЕ ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ, РТЙЮЕН ОБУЩЭЕОЙС РТЙ eV; T → 0 ОЕ РТПЙУИПДЙФ. уЙОЗХМСТОПЕ РПŒЕДЕОЙЕ ФХООЕМШОПЗП УПРТПФЙŒМЕОЙС РТЙ НБМЩИ ФЕНРЕТБФХТБИ

ЙМЙ ОБРТСЦЕОЙСИ, ŒПЪОЙЛБАЭЕЕ ŒУМЕДУФŒЙЕ УЙОЗХМСТОПУФЙ (") РТЙ " → EF , ОБЪЩŒБЕФУС ФХООЕМШОПК БОПНБМЙЕК.

348	змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб

рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 72. оБКДЕН УЕЮЕОЙЕ ТБУУЕСОЙС ОЕКФТПОБ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЗП У ЖМХЛФХБГЙСНЙ РМПФОПУФЙ УТЕДЩ. уПЗМБУОП ЪПМПФПНХ РТБŒЙМХ жЕТНЙ ДМС ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛЙИ РЕТЕИПДПŒ, ПВЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ŒЕТПСФОПУФЙ РЕТЕИПДБ Œ ЕДЙОЙГХ ŒТЕНЕОЙ ЙНЕЕФ ŒЙД

wi→f =	h—2	| f; p |Hint|i; p |2 ‹	Ef + 2mn	− Ei	− 2mn					;	(11.88)
	2ı		p 2			p2
ЗДЕ p Й p | ОБЮБМШОЩК Й ЛПОЕЮОЩК ЙНРХМШУЩ ОЕКФТПОБ, Б					|	É	|	f		| ЙУИПДОПЕ Й
					i

ЛПОЕЮОПЕ УПУФПСОЙС УТЕДЩ. оПТНЙТХЕН ОБЮБМШОХА ŒПМОПŒХА ЖХОЛГЙА ОЕКФТПОБ ОБ

ЕДЙОЙЮОЩК РПФПЛ, (r) = eipr=√v, ЗДЕ v = p=m. жХОЛГЙА ЦЕ, ПРЙУЩŒБАЭХА ЛПОЕЮ-

n;i √

ОПЕ УПУФПСОЙЕ, ОПТНЙТХЕН ОБ ‹(p=2ıh—), ЮФП ДБЕФ n;f (r) = eip r= V , ÇÄÅ V | ÏÂ ÅÍ

УЙУФЕНЩ. рТЙ ЬФПН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ŒЕТПСФОПУФЙ РЕТЕИПДБ РТЙПВТЕФБЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:

dwi→f = h—	2vV		—	2a		$ i|	j(r)eiqr d3r|f $		‹(Ef − Ei − h!— ) (2ıh—)	3 ; (11.89)
	2ı		2ıh—		2	$		2	d3p
								$
						$		$
						$		$

ÇÄÅ q = p − p , h!— = p2=2m − p 2=2m | ЙНРХМШУ Й ЬОЕТЗЙС, РЕТЕДБООЩЕ ОЕКФТПОПН УТЕДЕ. ъБРЙУЩŒБС ЬМЕНЕОФ ПВ ЕНБ Œ ЙНРХМШУОПН РТПУФТБОУФŒЕ ЛБЛ

d3p = p 2dp do = hp— 2d!do	;	(11.90)
v

РПМХЮЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС УЕЮЕОЙС ТБУУЕСОЙС, ДБАЭЕЗП РБТГЙБМШОХА ŒЕТПСФОПУФШ РЕ-

ТЕИПДБ:

do

d!

= —2vv V

$ i|

j(r) e

d

r|f $

‹(Ef − Ei − h!— ) :

(11.91)

d i→f

a2p 2

$

iqr

3

2

$

фЕРЕТШ ХУТЕДОЙН (11.91) РП ОБЮБМШОЩН$

УПУФПСОЙСН$

УЙУФЕНЩ Й РТПУХННЙТХЕН РП ЛП-

ОЕЮОЩН:

V p

w(Ei) ‹(Ef − Ei − h!— ) i|j(r)|f f |j(r )|i eiq(r−r )d3r d3r ; (11.92)

do d! =

i;f

d

a2p

4

ÇÄÅ w(Ei) = Z−1e−˛Ei

| ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ зЙВВУБ, Й a = amn=— = a(1 + mn=m). œ ÓÉÌÕ

ŒЩТБЦЕОЙЕ РПД ЪОБЛПН ЙОФЕЗТБМБ ЪБŒЙУЙФ

РТПУФТБОУФŒЕООПК ПДОПТПДОПУФЙ УЙУФЕНЩ

3

4

3

r УПЛТБЭБЕФУС У ПВ ЕНПН УЙУФЕ-

ÌÉÛØ ÏÔ r−r , Й РПЬФПНХ ПДЙО ЙЪ ЙОФЕЗТБМПŒ РП d

r d

НЩ V . рТЙОЙНБС ЬФП ŒП ŒОЙНБОЙЕ, РПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС УЕЮЕОЙС

ТБУУЕСОЙС:

app

w(Ei) ‹(Ef − Ei − h!— ) i|j(r)|f f |j(0)|i eiqr d3r :

do d! =

i;f

(11.93)

d

4

2

юФПВЩ УŒСЪБФШ РПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ УП УФТХЛФХТОЩН ЖБЛФПТПН, ПРТЕДЕМЕООЩН Œ (11.29) ЮЕТЕЪ НОЙНХА ЮБУФШ ДŒХИЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, S(!; q) = 2 Im KR(!; q),

11.4. теыеойс

349

ТБУУНПФТЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ (11.24) ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК ЛПТТЕМСГЙПООПК ЖХОЛГЙЙ РМПФОПУФЙ Й РЕТЕРЙЫЕН ЕЗП Œ ВБЪЙУЕ УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК УЙУФЕНЩ. рПŒФПТСС ŒЩЮЙУМЕОЙС, РПДПВОЩЕ РТПДЕМБООЩН Œ ЪБДБЮЕ 37, ЪБРЙЫЕН ЖХТШЕ-ПВТБЪ KR(!; q) Œ УМЕДХАЭЕН ŒЙДЕ:

KR(!; q) =	if		!| + E|i	E|f + i|0		(w(Ef ) − w(Ei)) eiqr d3r :	(11.94)
				−
			i j(r) f		f j(0) i

тБУУНПФТЙН НОЙНХА ЮБУФШ ЖХОЛГЙЙ (11.94):

Im KR(!; q) = ı i|j(r)|f f |j(0)|i (w(Ei)−w(Ef )) ‹(Ef −Ei −!)eiqr d3r : (11.95)

if

ъБНЕФЙН, ЮФП w(Ei) − w(Ef ) = w(Ei) 1 − e−˛(Ef −Ei) = w(Ei)(1 − e−˛! ТЕЪХМШФБФЩ (11.93) Й (11.95), РПМХЮБЕН

d	= a2p Im KR(!; q)					= a2p	S(!; q)				;
	4	1 −		−	˛!	4	−		−	˛!
do d!	ıp		e			2ıp	1	e

). óÒÁŒÎÉŒÁÑ

(11.96)

ЮФП Й ДПЛБЪЩŒБЕФ УППФОПЫЕОЙЕ (11.28).

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 72. œЩŒЕДЕН УППФОПЫЕОЙЕ (11.28) НЕЦДХ УЕЮЕОЙЕН ТБУУЕСОЙС ОЕКФТПОБ Й ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ KR(!; q), ОЕ ЙУРПМШЪХС ЪПМПФПЗП РТБŒЙМБ. йЪМПЦЕООЩК ОЙЦЕ ŒЩŒПД ПРЙТБЕФУС ОБ РПМХЮЕООЩК Œ ЪБДБЮЕ 40 ПВЭЙК ТЕЪХМШФБФ (7.38), УŒСЪЩŒБАЭЙК НБГХВБТПŒУЛЙЕ Й ЪБРБЪДЩŒБАЭЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ.

йДЕС ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФПВЩ ТБУУНПФТЕФШ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ОЕКФТПОБ, ТБУУЕЙŒБАЭЕЗПУС ОБ ЖМХЛФХБГЙСИ РМПФОПУФЙ УТЕДЩ. œЕТПСФОПУФШ ТБУУЕСОЙС Œ ЕДЙОЙГХ ŒТЕНЕОЙ НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОБ ЙЪ УППФŒЕФУФŒХАЭЕК УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ РП ЖПТНХМЕ 21fi = − Im ˚("; p). рПУЛПМШЛХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ОЕКФТПОБ У БФПНБНЙ УЙУФЕНЩ НПЦОП ПРЙУБФШ У РПНПЭША РУЕŒДПРПФЕОГЙБМБ (11.26), ОБН ВХДЕФ ДПУФБФПЮОП ТБУУНПФТЕФШ ЙЪПВТБЦЕООХА ОБ ТЙУ. 11.10 ДЙБЗТБННХ ДМС УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ ОЙЪЫЕЗП РПТСДЛБ:

òÉÓ. 11.10

оБ ЬФПК ДЙБЗТБННЕ РТСНБС МЙОЙС ПВПЪОБЮБЕФ ЗТЙОПŒУЛХА ЖХОЛГЙА ОЕКФТПОБ

Gn("; p) =	1	;	(11.97)
	" − p2=2mn + —n + i0 sign "

350	змбœб 11. йънетеойе жхолгйк зтйоб

Б ŒПМОЙУФБС | РТПРБЗБФПТ ЖМХЛФХБГЙК РМПФОПУФЙ K(x; x ). œЕМЙЮЙОБ —n ЕУФШ ИЙНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ОЕКФТПОПŒ, ЛПФПТЩК УМЕДХЕФ ХУФТЕНЙФШ Л −∞, РПУЛПМШЛХ Œ УЙУФЕНЕ ПФУХФУФŒХАФ ТБŒОПŒЕУОЩЕ ОЕКФТПОЩ. тБУУНБФТЙŒБС УТЕДХ РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ, ХДПВОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛПК. рТЙ ЬФПН УПВУФŒЕООПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ОЕКФТПОБ ТБŒОБ

˚(i"m; p) =	2—	T	!n	Gn(i"m − i!n; p ) K(i!n; p − p)	(2ıp)3 :	(11.98)
	ıa	2			d3

бОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ (11.98) НПЦЕФ ВЩФШ ŒЩРПМОЕОП НЕФПДПН, ТБУУНПФТЕООЩН Œ ЪБДБЮЕ 40 В).

юФПВЩ ХУФБОПŒЙФШ УППФŒЕФУФŒЙЕ У ЙУРПМШЪПŒБООЩНЙ Œ ЪБДБЮЕ 40 В) ŒЕМЙЮЙОБНЙ, ЪБНЕФЙН, ЮФП ЛПТТЕМСГЙПООБС ЖХОЛГЙС РМПФОПУФЙ K(i!n; q) РП УŒПЙН БОБМЙФЙЮЕУЛЙН УŒПКУФŒБН БОБМПЗЙЮОБ ЖПОПООПНХ РТПРБЗБФПТХ, Б ЖХОЛГЙС зТЙОБ ОЕКФТПОБ | ЬМЕЛФТПООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. œЩТБЦЕОЙЕ (11.98) ЙНЕЕФ ФПФ ЦЕ ŒЙД, ЮФП ЬМЕЛФТПОЖПОПООБС УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ (7.37). рПЬФПНХ Œ ТЕЪХМШФБФЕ БОБМЙФЙ-

ЮЕУЛПЗП РТПДПМЦЕОЙС РПМХЮБЕФУС УМЕДХАЭЕЕ:

—

2

"

−

"

−

! + i0

p )

×

2ıa

3

˚("; p) =

:::

n

K

−

"

!

d p d!d"

× th 2T

+ cth

2T

ı(2ı)4

:

(11.99)

нОЙНБС ЮБУФШ (11.99) ЕУФШ ПВТБФОПЕ ŒТЕНС ТБУУЕСОЙС,

1

= Im ˚("; p), РПЬФПНХ

= 2ı —

(2ı)4

th

2T

2T

2fi

fi

2

+ cth

Im KR(!; p − p )‹ (" − ! − " ) ;

(11.100)

1

2ıa

d3p d!

"

!

ÇÄÅ " = p 2=2mn −—n | ЬОЕТЗЙС ТБУУЕСООПЗП ОЕКФТПОБ. лБЛ ХЦЕ ВЩМП ПФНЕЮЕОП, РЕТЕИПД Л РТЕДЕМХ ПДОПЗП ОЕКФТПОБ УППФŒЕФУФŒХЕФ ВПМШЫЙН ПФТЙГБФЕМШОЩН —n. œ РТЕДЕМЕ |—n| T ЗЙРЕТВПМЙЮЕУЛЙК ФБОЗЕОУ th " =2T Œ (11.100) НПЦОП ЪБНЕОЙФШ ЕДЙОЙГЕК, РПУМЕ ЮЕЗП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ УЛПВЛБИ Œ (11.100) ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒОЩН 2=(1 −e−˛! ). рПУМЕДОЙН ОЕПВИПДЙНЩН ЫБЗПН СŒМСЕФУС ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП |p |, ХУФТБОСАЭЕЕ ПУФБŒЫХАУС ‹-ЖХОЛГЙА. рПМХЮБЕН

fi

ı—2

n|

|

1 − e−!=T

1 =

a2

m

p

Im KR(!; p − p ) d!do ;

(11.101)

2

|

p

|

ПРТЕДЕМСЕФУС ЙЪ

ЪБЛПОБ УПИТБОЕОЙС ЬОЕТЗЙЙ РТЙ ТБУУЕСОЙЙ,

p 2

=2m

n

ÇÄÅ

=

p =2mn − !.

уЕЮЕОЙЕ ТБУУЕСОЙС УŒСЪБОП У ŒТЕНЕОЕН ТБУУЕСОЙС РП ЖПТНХМЕ fi −1 = v, ÇÄÅ v = p=mn | УЛПТПУФШ ОЕКФТПОБ (НЩ УЮЙФБЕН ОПТНЙТПŒПЮОЩК ПВ ЕН ТБŒОЩН ЕДЙОЙГЕ). рПМХЮБЕН

=	a2m2		p Im	K	R(!; p	−	p )	(11.102)
	n		p				d! do :
	ı—2			1	− e−!=T