Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

9.5. теыеойс

251

тЕЫЕОЙЕ 53. уЖПТНХМЙТХЕН ЪБДБЮХ П ЮБУФЙГЕ, ЛПФПТБС РТЙ t < 0 ОБИПДЙМБУШ Œ ОБЮБМЕ ЛППТДЙОБФ, Б РТЙ t > 0 УФБМБ ДŒЙЗБФШУС УŒПВПДОП, УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. тБУУНПФТЙН РПФЕОГЙБМШОХА СНХ V (r) У ГЕОФТПН Œ ОБЮБМЕ ЛППТДЙОБФ, УХЭЕУФŒХАЭХА РТЙ −∞ < t < 0, Б ЪБФЕН НЗОПŒЕООП ЙУЮЕЪБАЭХА. пУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС ЙЪВЩФПЮОПК РМПФОПУФША, РТЙФСОХФПК СНПК (ĂВХЗПТЛПНĄ). рПУМЕ ŒЩЛМАЮЕОЙС РПФЕОГЙБМБ ЬФБ РМПФОПУФШ ОБЮЙОБЕФ ТБУУБУЩŒБФШУС, ДЙЖЖХОДЙТХС Œ РПМЕ РТЙНЕУЕК.

нПЦЕФ РПЛБЪБФШУС, ЮФП ВПМЕЕ ЕУФЕУФŒЕООП | ТБУУНПФТЕФШ ЬŒПМАГЙА ŒП ŒТЕНЕОЙ УПУФПСОЙС +(r = 0; t = 0)|0 , РПМХЮБАЭЕЗПУС ДПВБŒМЕОЙЕН Л ОЕŒПЪНХЭЕООПНХ ЖЕТНЙ-НПТА ПДОПК ЮБУФЙГЩ Œ ОБЮБМЕ ЛППТДЙОБФ Œ НПНЕОФ t = 0. рТЙ ЬФПН, ПДОБЛП, ЬОЕТЗЙС ДПВБŒМЕООПК ЮБУФЙГЩ ЙНЕЕФ ПЮЕОШ ЫЙТПЛЙК УРЕЛФТ Й, ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, ОЕ ВМЙЪЛБ Л ХТПŒОА жЕТНЙ. œ ТЕЪХМШФБФЕ, РПУЛПМШЛХ ŒЩВТБООЩК ЙУФПЮОЙЛ ЙНЕЕФ ВПМШЫХА ОЕНПОПИТПНБФЙЮОПУФШ, РТЙ ФБЛПК РПУФБОПŒЛЕ ЪБДБЮЙ ЙОФЕТЕУХАЭЙК ОБУ

ЬЖЖЕЛФ, ИПФС Й УХЭЕУФŒХЕФ, ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ НБМЩН РП ŒЕМЙЮЙОЕ.

пФЛМЙЛ ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ ОБ РПФЕОГЙБМ, ЪБŒЙУСЭЙК ПФ ЛППТДЙОБФ Й ŒТЕНЕОЙ, ЛБЛ НЩ ŒЩСУОЙМЙ Œ ЪБДБЮЕ 52, ДБЕФУС УŒЕТФЛПК ЛПТТЕМСФПТБ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ У РПФЕОГЙБМПН. œ ДБООПН УМХЮБЕ ХДПВОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ЛППТДЙОБФОП{ЮБУФПФОЩН РТЕДУФБŒМЕОЙЕН, Œ ЛПФПТПН ŒПЪНХЭБАЭЙК ЖЕТНЙ-УЙУФЕНХ РПФЕОГЙБМ ЙНЕЕФ ŒЙД −iV (r)=(! − i0). оБН РПФТЕВХАФУС ŒЩТБЦЕОЙС ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК Й ПРЕТЕЦБАЭЕК ЖХОЛГЙК зТЙОБ:

GR("; r) = −	m
	2ır exp (ip0r + ir"=v − r=2l)	;
GA("; r) = −	m
	2ır exp (−ip0r − ir"=v − r=2l) ;		(9.85)

ЛПФПТЩЕ ОЕФТХДОП РПМХЮЙФШ ЙЪ ŒЩТБЦЕОЙС (9.18) ДМС ХУТЕДОЕООПК РТЙЮЙООПК ЖХОЛГЙЙ, ЕУМЙ ŒУРПНОЙФШ, ЮФП G(r; " > 0) = GR(r; ") É G(r; " < 0) = GA(r; ").

рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ПФЛМЙЛБ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 52, УМЕДХЕФ ТБЪМЙЮБФШ УФБФЙЮЕУЛЙЕ Й ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙЕ ŒЛМБДЩ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ УТЕДОЙН ДŒХИ ПДЙОБЛПŒЩИ ЖХОЛГЙК GRGR É GAGA ЙМЙ ДŒХИ ТБЪМЙЮОЩИ ЖХОЛГЙК GRGA É GAGR . оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП УФБФЙЮЕУЛЙК ŒЛМБД ПРЙУЩŒБЕФ ЮБУФШ РМПФОПУФЙ, УХЭЕУФŒПŒБŒЫХА Œ ФП ŒТЕНС, ЛПЗДБ РПФЕОГЙБМ СНЩ ВЩМ ŒЛМАЮЕО, ОП ОЕ ПРЙУЩŒБЕФ ТБУУБУЩŒБОЙЕ РМПФОПУФЙ ОБ ŒТЕНЕОБИ

t"−F 1. дЙОБНЙЮЕУЛЙК ЦЕ ŒЛМБД, ОБПВПТПФ, ПРЙУЩŒБЕФ ФПМШЛП ДЙОБНЙЛХ ОБ ŒТЕНЕОБИ

t"−F 1 РПУМЕ ŒЩЛМАЮЕОЙС СНЩ.

рПЬФПНХ РТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ ЛПТТЕМСФПТБ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ РП ВЕУРПТСДЛХ ОБН ВХДЕФ ДПУФБФПЮОП ХЮЕУФШ ФПМШЛП ДЙОБНЙЮЕУЛЙК ŒЛМБД. œ ЗМБŒОПН РПТСДЛЕ РП (p0l)−1 | ЬФП МЕУФОЙЮОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ, ТБУУНПФТЕООЩЕ Œ ЪБДБЮЕ 52 (УН. ТЙУ. 9.7). œ УМЕДХАЭЕН ЦЕ РПТСДЛЕ РП (p0l)−1 ŒПЪОЙЛБЕФ ЕЭЕ ПДОБ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ДЙБЗТБНН | ŒЕЕТОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ, РПЛБЪБООЩЕ ОБ ТЙУ. 9.8. тБУУНПФТЙН ЙИ ВПМЕЕ РПДТПВОП.

Б) рХУФШ ОБЮБМШОБС Й ЛПОЕЮОБС ФПЮЛЙ УПŒРБДБАФ. фПЗДБ НЩ НПЦЕН ОБТЙУПŒБФШ МЕУФОЙЮОЩК Й ŒЕЕТОЩК ЗТБЖЙЛЙ, РТПИПДСЭЙЕ ЮЕТЕЪ ПДОЙ Й ФЕ ЦЕ РТЙНЕУЙ (У ОПНЕТБНЙ ПФ 1 ДП N 2), ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 9.16. ъДЕУШ ВХЛŒЩ R Й A ПВПЪОБЮБАФ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА Й ПРЕТЕЦБАЭХА ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ УППФŒЕФУФŒЕООП. уТБŒОЙŒБС, НЩ ŒЙДЙН, ЮФП Œ ПВПЙИ ЗТБЖЙЛБИ ВЕТЕФУС РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПДОЙИ Й ФЕИ ЦЕ ŒЕМЙЮЙО. еДЙОУФŒЕООПЕ ПФМЙЮЙЕ УПУФПЙФ Œ РПТСДЛЕ БТЗХНЕОФПŒ Œ GA(ri; rj ). оП РПУЛПМШЛХ GA ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП

252 змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

ÏÔ |ri − rj |, РПТСДПЛ ri É rj ОЕУХЭЕУФŒЕО, Й ЪОБЮЙФ ЗТБЖЙЛЙ Œ ФПЮОПУФЙ ТБŒОЩ. рПЬФПНХ, У ФПЮОПУФША ДП ПФНЕЮЕООПЗП Œ ХУМПŒЙЙ ЪБДБЮЙ ОЕУППФŒЕФУФŒЙС Œ РЕТŒЩИ ДŒХИ ЮМЕОБИ (N = 0; 1), ŒЕЕТОЩК Й МЕУФОЙЮОЩК ТСДЩ УПŒРБДБАФ.

2

R

A

1

òÉÓ. 9.16

2

R

A

1

0

òÉÓ. 9.17

2

N-1

				R
				A
				1
	A		N
	R
				2
			N-1
				R
				A
				1
		A	N
				0
r		R

N-1

A N R

N-1

A N r R

В) фЕРЕТШ ТБЪДŒЙОЕН ОБЮБМШОХА (0) Й ЛПОЕЮОХА (r) ФПЮЛЙ (УН. ТЙУ. 9.17). œ ЬФПН УМХЮБЕ ПФМЙЮЙЕ ŒЕЕТОПЗП ЗТБЖЙЛБ ПФ МЕУФОЙЮОПЗП ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП БТЗХНЕОФЩ ЖХОЛГЙК GA ОБ ЛПОГБИ ДТХЗЙЕ. ъБНЕФЙН, ЮФП ЮБУФЙ ЗТБЖЙЛПŒ ПФ 1-К РТЙНЕУЙ ДП N -К ЕУФШ Œ ФПЮОПУФЙ ДЙЖЖХЪЙПООБС МЕУФОЙГБ. уМЕДПŒБФЕМШОП, ЛБЛ МЕУФОЙЮОЩК ЗТБЖЙЛ, ФБЛ Й ŒЕЕТОЩК НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ ŒЙДЕ УŒЕТФЛЙ ДЙЖЖХЪЙПООПЗП РТПРБЗБФПТБ, ŒЪСФПЗП Œ ФПЮЛБИ r1 É rN , У ЮЕФЩТШНС ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ. рПУЛПМШЛХ ДЙЖЖХЪЙПООЩК РТПРБЗБФПТ НЕДМЕООП НЕОСЕФУС ОБ ТБУУФПСОЙСИ РПТСДЛБ ДМЙОЩ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ, ФП ДПУФБФПЮОП РТПУФП РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ЖХОЛГЙК зТЙОБ. рПЬФПНХ РПМХЮБЕН, ЮФП ŒЛМБДЩ ЛПОГПŒ МЕУФОЙЮОПЗП Й ŒЕЕТОПЗП ЗТБЖЙЛПŒ УППФŒЕФУФŒЕООП ТБŒ-

ÎÙ 13		GR(r1) GA(r1) GR(rN − r) GA(rN − r) d3r1 d3rN ;
WL(r) =			(9.86)

13йОДЕЛУЩ L É F РТПЙУИПДСФ ПФ БОЗМЙКУЛЙИ УМПŒ ĂladderĄ Й ĂfanĄ.

9.5. теыеойс		253
WF (r) =	GR(r1) GA(rN ) GR(rN − r) GA(r1 − r) d3r1 d3rN ;	(9.87)

РТЙЮЕН ŒУЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ВЕТХФУС РТЙ ЬОЕТЗЙЙ " + !=2, Б ПРЕТЕЦБАЭЙЕ | РТЙ " − !=2.

оБУ ЙОФЕТЕУХАФ ŒПЪŒТБФЩ ОБ ВПМШЫЙИ ŒТЕНЕОБИ t fi , Ф. Е. РТЙ !fi 1. дЙОБНЙЛБ ОБ ФБЛЙИ ŒТЕНЕОБИ ЙНЕЕФ ДЙЖЖХЪЙПООЩК ИБТБЛФЕТ. ьФП РПЪŒПМСЕФ РТЕОЕВТЕЮШ ЪБŒЙУЙНПУФША ЖХОЛГЙК зТЙОБ Œ (9.86) Й (9.87) ПФ !. дЕМП Œ ФПН, ЮФП, ЛБЛ ВХДЕФ ŒЙДОП

ЙЪ ДБМШОЕКЫЙИ ŒЩЮЙУМЕОЙК, ŒУЕ ЮЕФЩТЕ ТБУУФПСОЙС
|r1|; |rN |; |r − r1|; |r − rN |	(9.88)

ПЛБЪЩŒБАФУС РПТСДЛБ ДМЙОЩ РТПВЕЗБ l, ЛПФПТБС РТЙ !fi 1 НОПЗП НЕОШЫЕ ДЙЖЖХ-

'

ЪЙПООПК ДМЙОЩ D=!.

рПЬФПНХ РПМБЗБЕН Œ (9.86)

Й (9.87) ЮБУФПФХ ! = 0 Й, РПМШЪХСУШ ŒЩТБЦЕОЙСНЙ

(9.85), ОБИПДЙН ŒЛМБД ЛПОГПŒ МЕУФОЙЮОПЗП ЗТБЖЙЛБ:

WL(r) =

2ı

−r|

|

2|

d3r

= (4ı)2

2ı

l2

:

(9.89)

m

4

|

2

m

e

r =l

4

œЕЕТОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ РТЕДУФБŒМСАФ ЙОФЕТЕУ Œ ПВМБУФЙ, ЛПЗДБ ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ОБЮБМШОПК Й ЛПОЕЮОПК ФПЮЛПК РПТСДЛБ p−0 1, Ô. Å. ÐÒÉ |r| l. фПЗДБ, РПУЛПМШЛХ ИБТБЛФЕТОЩЕ |r1|, |rN | ПРТЕДЕМСАФУС НЕДМЕООП ХВЩŒБАЭЙНЙ НОПЦЙФЕМСНЙ exp(−|rN |=l), exp(−|r − r1|=l), Й Ф. Р., ЙНЕЕФ НЕУФП УППФОПЫЕОЙЕ |r1|; |rN | |r|. рПЬФПНХ НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ТБУУНБФТЙŒБЕНЩНЙ ФПЮЛБНЙ РП НБМПНХ r:

|r1 − r| = |r1| − rn1 ; |rN − r| = |rN | − rnN ;

(9.90)

ÇÄÅ n1 = r1=|r1|, nN = rN =|rN | | ЕДЙОЙЮОЩЕ ŒЕЛФПТЩ. фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН

F

2ı

−r1 2

rN 2

1

N

W

(r) =

m

4

exp (ip0r(n1

nN ) − |r1|=l − |rN |=l) d3r

d3r

:

(9.91)

|

|

|

|

йУРПМШЪХС ЖПТНХМХ

sin a

eian = 4ı

don ;

(9.92)

a

ЙОФЕЗТЙТХЕН Œ (9.91) РП ОБРТБŒМЕОЙСН:

e−|r1|=l−|rN |=l d|r1| d|rN | :

WF (r) = (4ı)2

2ı

p0r0

(9.93)

m

4

sin p

r

2

∞ ∞

0

0

œЩЮЙУМСС ПУФБŒЫЙЕУС ЙОФЕЗТБМЩ РП |r1| É |rN | Й УТБŒОЙŒБС ТЕЪХМШФБФ У (9.89), ОБИПДЙН ПФОПУЙФЕМШОХА ŒЕМЙЮЙОХ ŒЕЕТОПЗП Й МЕУФОЙЮОПЗП ŒЛМБДПŒ:

WL(r)	=	X		; ÇÄÅ X = p0|r| :	(9.94)
WF (r)		sin X		2

254	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

иБТБЛФЕТОЩК НБУЫФБВ, ОБ ЛПФПТПН ЙОФЕТЖЕТЕОГЙПООБС РПРТБŒЛБ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒБЦОБ, ТБŒЕО h=p— 0, Œ РПМОПН УППФŒЕФУФŒЙЙ У ЙЪМПЦЕООЩНЙ Œ ХУМПŒЙЙ ЛБЮЕУФŒЕООЩНЙ ТБУУХЦДЕОЙСНЙ. пФНЕФЙН УИПДУФŒП НЕЦДХ РПМХЮЕООЩН ПФŒЕФПН Й ЖПТНХМПК ДМС ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЙОФЕОУЙŒОПУФЙ УŒЕФБ РТЙ ЖТБХОЗПЖЕТПŒУЛПК ДЙЖТБЛГЙЙ ОБ ЭЕМЙ. ьФП УИПДУФŒП МЙЫОЙК ТБЪ РПДЮЕТЛЙŒБЕФ ЙОФЕТЖЕТЕОГЙПООХА РТЙТПДХ ТБУУНБФТЙŒБЕНПЗП СŒМЕОЙС.

тЕЫЕОЙЕ 54. лБЛ НЩ ŒЙДЕМЙ Œ ТЕЫЕОЙЙ РТЕДЩДХЭЕК ЪБДБЮЙ, УХННЩ ŒЕЕТОЩИ Й МЕУФОЙЮОЩИ ДЙБЗТБНН ПФМЙЮБАФУС ОЕУХЭЕУФŒЕООП, Б ЙНЕООП, ФПМШЛП РЕТŒЩНЙ ДŒХНС ЮМЕОБНЙ. рПЬФПНХ Œ ДБМШОЕКЫЕН ŒУЕЗДБ РПДТБЪХНЕŒБЕФУС, ЮФП ŒЕЕТОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ РТЕПВТБЪПŒБОЩ (ТБЪŒЕТОХФЩ) ФБЛ, ЮФП РПМХЮБЕФУС МЕУФОЙЮОЩК ТСД. тБУУНПФТЙН УХННХ УППФŒЕФУФŒХАЭЙИ МЕУФОЙЮОЩИ ДЙБЗТБНН C(!; q), ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ЛХРЕТПО 14:

A A A

R R R

òÉÓ. 9.18

ьФБ МЕУФОЙГБ ОБРПНЙОБЕФ ДЙЖЖХЪЙПООХА МЕУФОЙГХ ЙЪ ЪБДБЮЙ 52, Й, ЛБЛ НЩ ХŒЙДЙН, ДБЕФУС РПИПЦЙН ŒЩТБЦЕОЙЕН (9.100). ьФП ОЕ УМХЮБКОП: ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ЛППТДЙОБФ, ЛХРЕТПŒУЛБС Й ДЙЖЖХЪЙПООБС МЕУФОЙГЩ УПŒРБДБАФ, ЕУМЙ УЙУФЕНБ ПВМБДБЕФ ЙОŒБТЙБОФОПУФША РП ПФОПЫЕОЙА Л ПВТБЭЕОЙА ŒТЕНЕОЙ. œ УБНПН ДЕМЕ, ЕУМЙ НЩ ПВТБФЙН ПДОХ ЙЪ ЬМЕЛФТПООЩИ МЙОЙК ОБ ТЙУ. 9.18, ФП НЩ РПМХЮЙН ДЙЖЖХЪЙПООХА МЕУФОЙГХ 15 (ТЙУ. 9.7). пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП Œ ЛХРЕТПОЕ ЪБЛПО УПИТБОЕОЙС ЙНРХМШУБ РТЙŒПДЙФ Л РПУФПСОУФŒХ УХННЩ ЙНРХМШУПŒ Œ ЛБЦДПН ВМПЛЕ ДЙБЗТБННЩ, Й ЛХРЕТПО ПЛБЪЩŒБЕФУС ЖХОЛГЙЕК УХННЩ ЙНРХМШУПŒ q Й ŒОЕЫОЕК ЮБУФПФЩ !. йЪ ДБМШОЕКЫЕЗП ВХДЕФ ŒЙДОП, ЮФП ЗМБŒОЩК ŒЛМБД Œ C(!; q) РТПЙУИПДЙФ ПФ НБМЩИ ЙНРХМШУПŒ |q|l 1.

лХРЕТПООХА МЕУФОЙГХ ОЕФТХДОП УŒСЪБФШ У РПРТБŒЛПК Л РТПŒПДЙНПУФЙ. дМС ЬФПЗП ŒПУРПМШЪХЕНУС ЖПТНХМПК (9.66) ЙЪ ТЕЫЕОЙС ЪБДБЮЙ 51, УŒСЪЩŒБАЭЕК РТПŒПДЙНПУФШ У ЛПТТЕМСФПТПН ˝(i!n). лБЛ НЩ ŒЩСУОЙМЙ Œ ЪБДБЮЕ 51, РТПŒПДЙНПУФШ ПРТЕДЕМСЕФУС ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙН ŒЛМБДПН Œ ˝(i!n), РТПДПМЦЕООЩН У ДЙУЛТЕФОЩИ НОЙНЩИ ЮБУФПФ !n 0 (УН. ФБЛЦЕ ЪБДБЮХ 52). рПЬФПНХ ЪБРЙЫЕН ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙК ŒЛМБД ЛБЛ УТЕДОЕЕ ПФ РТПЙЪŒЕДЕОЙС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК Й ПРЕТЕЦБАЭЕК ЖХОЛГЙК зТЙОБ Й ХУТЕДОЙН РП ВЕУРПТСДЛХ,

14œЕМЙЮЙОХ C(!; q) ОБЪЩŒБАФ ЛХРЕТПОПН, РПФПНХ ЮФП ФПЮОП ФБЛБС ЦЕ ŒЕМЙЮЙОБ ПРЙУЩŒБЕФ ЛХРЕТПŒУЛЙЕ РБТЩ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ Œ РТЙУХФУФŒЙЙ РТЙНЕУЕК (УН. ЗМ. 10). бОБМПЗЙС НЕЦДХ ЛХРЕТПОПН Œ ФЕПТЙЙ МПЛБМЙЪБГЙЙ Й БНРМЙФХДПК ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ УПДЕТЦБФЕМШОПК, РПУЛПМШЛХ Œ ЖЙЪЙЮЕУЛЙИ УŒПКУФŒБИ ЬФЙИ ŒЕМЙЮЙО ЙНЕЕФУС ОЕНБМП ПВЭЕЗП. ьФБ ПВЭОПУФШ РТПСŒМСЕФУС Œ ТБЪОППВТБЪОЩИ ЖЙЪЙЮЕУЛЙИ ЬЖЖЕЛФБИ, ФБЛЙИ ЛБЛ, ОБРТЙНЕТ, ŒМЙСОЙЕ НБЗОЙФОПЗП РПМС, ТБЪОЙГБ НЕЦДХ НБЗОЙФОЩНЙ Й ОЕНБЗОЙФОЩНЙ РТЙНЕУСНЙ, ФЕНРЕТБФХТОБС ЪБŒЙУЙНПУФШ, Й Ф. Р.

15ьФП ЪБНЕЮБОЙЕ ОЕ ПФОПУЙФУС Л УРЙОПŒПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ | Х ЛХРЕТПОБ ПОБ ДТХЗБС.

9.5. теыеойс			255
ŒЩДЕМСС ЛХРЕТПООЩК ŒЛМБД (Ф. Е. ŒЕЕТОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ). œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮЙН
‹ ¸˛ = m2!	!=2	2ı	p¸(q˛ − p˛ ) C(!; q) ×
e2		d"

−!=2

d2q d2p GR("+; p) GR("+; q − p) GA("−; p) GA("−; q − p) (2ı)2 (2ı)2 :

йОФЕЗТЙТХЕН РП p, УЮЙФБС q НБМЩН:

‹ = −

2

2! F

(2ı)2

!=2

2ı

("

‰ + i=C2fi )2

(" ‰

i=2fi )2

(9.95)

2

D e2v2

d2q

d"

(!; q) d‰

−!=2

−

−

−

(ЪДЕУШ 2D = m=2ı | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК Œ ДŒХНЕТЙЙ У ПДОПК РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ). œЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ РП ‰ Й ", ОБИПДЙН

‹ = −	4		2D	2	F	C(!; q) 4ı2 :	(9.96)
				e2	fi 3v2	d2q

фЕРЕТШ ŒЩЮЙУМЙН C(!; q). дМС ЬФПЗП ŒОБЮБМЕ ОБКДЕН, ЮЕНХ ТБŒОБ УФХРЕОШ ЛХРЕ-

ТПООПК МЕУФОЙГЩ:	(" + !=2 − ‰p + i=2fi ) (" − !=2 − ‰q−p − i=2fi ) (2ı)2 :
Bc =			(9.97)
	1	d2p

уЮЙФБС q НБМЩН Й ЪБНЕОСС РПЬФПНХ ‰q−p ≈ ‰p −qv, ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 52, РПМХЮЙН

Bc(!; q) = 2ı 2D fi (1 + fi (i! − Dq2)) ;

(9.98)

ÇÄÅ ÎÁ ÜÔÏÔ ÒÁÚ D = vF2 fi =2 { ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ДЙЖЖХЪЙЙ Œ ТБЪНЕТОПУФЙ 2. лБЛ Й Œ УМХЮБЕ ДЙЖЖХЪЙПООПК МЕУФОЙГЩ, ОБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООПК ПЛБЪЩŒБЕФУС ПВМБУФШ !fi 1,

|q|	l	16
		1, ŒОЕ ЕЕ УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООЩЕ РПРТБŒЛЙ ОЕУХЭЕУФŒЕООЩ. уБНБ ЦЕ МЕУФОЙГБ
ÒÁŒÎÁ			Bc + 2ı 2D fi + · · ·		:	(9.99)
		C(!; q) = (2ı 2D fi )2
		1	B2
			c
фБЛЙН ПВТБЪПН,			1
		C(!; q) = 2ı 2D fi 2(−i! + Dq2)		:		(9.100)
пУФБМПУШ МЙЫШ РПДУФБŒЙФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ (9.96):
		De2	d2			(9.101)
		‹ = − 2ı3	Dq2 q i! :
			−

16нПЦОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ОЕЪБŒЙУЙНП ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ РТПУФТБОУФŒБ d РТЙНЕУОБС МЙОЙС ŒУЕЗДБ ТБŒОБ 1=(2ı dfi ), РПУЛПМШЛХ ПОБ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК УЕЮЕОЙЕ ТБУУЕСОЙС ОБ РТЙНЕУЙ, ŒЪСФПЕ Œ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ОПТНЙТПŒЛЕ (УН. ЪБДБЮХ 11).

256	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

ьФПФ ЙОФЕЗТБМ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ТБУИПДЙФУС. уОЙЪХ ПО ПВТЕЪБЕФУС ОБ ПВТБФОПК ДЙЖ-

'

ЖХЪЙПООПК ДМЙОЕ qmin = !=D, Á ÓŒÅÒÈÕ | ÎÁ qmax ≈ 1=l, ÉÂÏ ÐÒÉ |q|l 1 МЕУФОЙЮОЩК ТСД НБМ. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН ЛŒБОФПŒХА РПРТБŒЛХ Л РТПŒПДЙНПУФЙ:

‹ (!) = −	e2	1	:
	2ı2h— ln	!fi		(9.102)

йОФЕТЕУОП ПФНЕФЙФШ, ЮФП МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС УЙОЗХМСТОПУФШ ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ ОБ НБМПК ЮБУФПФЕ ! ОЕ ТБЪНЩŒБЕФУС РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ. жПТНБМШОП ЬФП РТПСŒМСЕФУС Œ ФПН, ЮФП Œ РТЙŒЕДЕООПН ŒЩЫЕ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ, ŒЩРПМОЕООПН РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ, Œ ЛПОГЕ ЛПОГПŒ ФЕНРЕТБФХТБ РПМОПУФША ŒЩРБДБЕФ. (фПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ РТЙ ŒЩŒПДЕ ЛМБУУЙЮЕУЛПК ЖПТНХМЩ дТХДЕ Œ ЪБДБЮЕ 51.) жЙЪЙЮЕУЛБС РТЙЮЙОБ ЬФПЗП ФБ ЦЕ, ЮФП Й Œ ЪБДБЮЕ 51 | ПДОПЮБУФЙЮОЩК ИБТБЛФЕТ РТПŒПДЙНПУФЙ Œ УМХЮБЕ ХРТХЗПЗП ТБУУЕСОЙС. рТЙ ХРТХЗПН ТБУУЕСОЙЙ УПУФПСОЙС У ТБЪМЙЮОЩНЙ ЬОЕТЗЙСНЙ ОЕ РЕТЕНЕЫЙŒБАФУС Й, РПЬФПНХ, УФЕРЕОШ ТБЪНЩФЙС ЖЕТНЙЕŒУЛПК УФХРЕОШЛЙ ОЕУХЭЕУФŒЕООБ. пДОБЛП, ЕУМЙ Œ УЙУФЕНЕ ЙНЕЕФУС ЛБЛПЕ-МЙВП ОЕХРТХЗПЕ ТБУУЕСОЙЕ, УЛБЦЕН, ЙЪ-ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТПОБНЙ ЙМЙ ЖПОПОБНЙ, УЙОЗХМСТОПУФШ ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ ОБ НБМПК ЮБУФПФЕ ТБЪНЩŒБЕФУС (УН. ТБЪД. 9.4).

дТХЗПЕ МАВПРЩФОПЕ УŒПКУФŒП ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ | ЕЕ МПЛБМШОЩК ИБТБЛФЕТ Œ РТПУФТБОУФŒЕ. еУМЙ ТБУУНПФТЕФШ РТПŒПДЙНПУФШ ОБ ЛПОЕЮОПН ŒПМОПŒПН ŒЕЛФПТЕ, ФП РТПУФТБОУФŒЕООБС ДЙУРЕТУЙС ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ ВХДЕФ ЙНЕФШ НЕУФП РТЙ |q| ≈ p0, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ДМС ЛМБУУЙЮЕУЛПК РТПŒПДЙНПУФЙ дТХДЕ ДЙУРЕТУЙС ЗПТБЪДП УЙМШОЕЕ: |q| ≈ 1=l. рТЙЮЙОБ ЬФПЗП Œ ФПН, ЮФП, ЛБЛ НЩ ŒЙДЕМЙ Œ ЪБДБЮЕ 53, ЙОФЕТЖЕТЕОГЙПООЩК ŒЛМБД Œ ŒЕТПСФОПУФШ ТБУУЕСОЙС ОБЪБД УРБДБЕФ ОБ ПЮЕОШ НБМЩИ НБУЫФБВБИ ≈ p−0 1. рПУЛПМШЛХ ТБУУЕСОЙЕ ОБЪБД | ЬФП Й ЕУФШ НЕИБОЙЪН ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙС ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ, ПОБ ФПЦЕ ДПМЦОБ ЙНЕФШ НБУЫФБВ МПЛБМШОПУФЙ РПТСДЛБ p−0 1. œ ФП ЦЕ ŒТЕНС ЛМБУУЙЮЕУЛБС РТПŒПДЙНПУФШ ПРТЕДЕМСЕФУС ТБУУЕСОЙЕН ОБ (ВПМШЫПК) ДМЙОЕ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ Й РПЬФПНХ ЕЕ РТПУФТБОУФŒЕООБС ДЙУРЕТУЙС ОБНОПЗП УЙМШОЕЕ.

тЕЫЕОЙЕ 55. оБКДЕН ЪБŒЙУЙНПУФШ ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ ПФ НБЗОЙФОПЗП РПМС Œ ФТЕИНЕТОПН УМХЮБЕ. ьФП НПЦОП УДЕМБФШ У РПНПЭША УППФОПЫЕОЙС (9.96), ЛПФПТПЕ Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ РТЙОЙНБЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД: 17

‹ = −4e2 0fi 2D C(!; r = r ) :

(9.103)

œЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЛХРЕТПОБ C(!; r; r ) Œ РТЙУХФУФŒЙЙ НБЗОЙФОПЗП РПМС НПЦОП РПМХЮЙФШ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. лБМЙВТПŒПЮОБС ЙОŒБТЙБОФОПУФШ ФТЕВХЕФ, ЮФПВЩ РТЙ ŒЛМАЮЕОЙЙ НБЗОЙФОПЗП РПМС РТПЙЪŒПДОЩЕ РП ЛППТДЙОБФБН Œ ХТБŒОЕОЙЙЙ ДМС ЛХРЕТПОБ ЙЪНЕОСМЙУШ РП ФБЛПНХ ЪБЛПОХ:

2e	A
−i → −i − c		(9.104)

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП Œ ЛБМЙВТПŒПЮОП ЙОŒБТЙБОФОПН ŒЩТБЦЕОЙЙ (9.104) РПСŒМСЕФУС ХДŒПЕООЩК ЪБТСД ЬМЕЛФТПОБ. ьФП УŒСЪБОП У ФЕН, ЮФП ЛХРЕТПО ПРЙУЩŒБЕФ ЙОФЕТЖЕТЕОГЙА ДŒХИ ЬМЕЛФТПООЩИ ŒПМО, ТБУРТПУФТБОСАЭЙИУС РП ПДОПНХ Й ФПНХ ЦЕ

9.5. теыеойс

257

РХФЙ Œ РТСНПН Й ПВТБФОПН ОБРТБŒМЕОЙСИ.

фЕРЕТШ, ЮФПВЩ РПМХЮЙФШ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС ЛХРЕТПОБ, ŒПУРПМШЪХЕНУС УППФОПЫЕОЙЕН (9.100), РПНОПЦЙŒ ПВЕ ЕЗП ЮБУФЙ ОБ −i! + Dq2. œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, УПЗМБУОП (9.104), УМЕДХЕФ ЪБНЕОЙФШ q ОБ −i − 2e=cA. рПФЕТА ЖБЪПŒПК ЛПЗЕТЕОФОПУФЙ НПЦОП ХЮЕУФШ Œ ХТБŒОЕОЙЙ ДМС ЛХРЕТПОБ ЖЕОПНЕОПМПЗЙЮЕУЛЙ, УДŒЙОХŒ ЮБУФПФХ −i! ОБ ŒЕМЙЮЙОХ fi’−1, ФБЛ ЮФПВЩ ПДОПТПДОПЕ ТЕЫЕОЙЕ ЬФПЗП ХТБŒОЕОЙС ЪБФХИБМП ЛБЛ exp(−t=fi’). фБЛЙН ПВТБЪПН, НЩ РТЙИПДЙН Л УМЕДХАЭЕНХ ХТБŒОЕОЙА:

−i! + D −i − c	A(r)	+ fi’ C(!; r; r ) =	2ı 0fi 2 ‹(r − r )	(9.105)
2e	2	1	1

œ ЛПОЕЮОПК УЙУФЕНЕ ХТБŒОЕОЙЕ (9.105) ДПМЦОП ВЩФШ ДПРПМОЕОП ЗТБОЙЮОЩНЙ ХУМПŒЙСНЙ. œ УМХЮБЕ ОЕРТПОЙГБЕНПК ЗТБОЙГЩ РПФПЛ ЮБУФЙГ ЮЕТЕЪ ЗТБОЙГХ ДПМЦЕО ПФУХФУФŒПŒБФШ. уППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ЗТБОЙЮОПЕ ХУМПŒЙЕ ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФБЛ:

@	+	2ie	n · A	C(!; r; r ) = 0	(9.106)
@n		c

ЗДЕ n | ЕДЙОЙЮОЩК ŒЕЛФПТ ОПТНБМЙ Л ЗТБОЙГЕ. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ŒЕЛФПТОЩК РПФЕОГЙБМ ŒИПДЙФ ОЕ ФПМШЛП Œ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС ЛХРЕТПОБ, ОП Й Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РПФПЛБ.

œ ЛБЮЕУФŒЕ РТПУФЕКЫЕЗП РТЙНЕОЕОЙС ХТБŒОЕОЙС (9.105) ТБУУНПФТЙН ЛŒБОФПŒХА РПРТБŒЛХ Л РТПŒПДЙНПУФЙ ВЕУЛПОЕЮОПЗП ФТЕИНЕТОПЗП НЕФБММБ Œ ПДОПТПДОПН НБЗОЙФОПН РПМЕ B. œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.105) ЙНЕЕФ ŒЙД ХТБŒОЕОЙС ОБ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ДМС ЮБУФЙГЩ У ЪБТСДПН e = 2e Й НБУУПК m = h—2=2D, ОБИПДСЭЕКУС Œ РПМЕ B. уПВУФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС Й УПВУФŒЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ ЬФПК ЪБДБЮЙ ИПТПЫП ЙЪŒЕУФОЩ (ОБРТЙНЕТ, УН. [2], § 112). рПЬФПНХ НПЦОП УТБЪХ ЪБРЙУБФШ ТЕЫЕОЙЕ Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:

C(!; r; r ) =	1			¸;n(r) ¸;n(r )			1 ;	(9.107)
	2ı fi 2		−	i! + Dq2	+ ˙ (n +	1 ) +
				z		2	fi’
	0 n;¸
ЗДЕ ˙ = he— B=m c = 4eDB=hc— ЕУФШ ĂГЙЛМПФТПООБС ЮБУФПФБĄ, Б							¸;n(r) | УПВУФŒЕО-

ОЩЕ ЖХОЛГЙЙ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ХТПŒОСН мБОДБХ (¸ | ЛŒБОФПŒПЕ ЮЙУМП, ТБЪМЙЮБАЭЕЕ УПУФПСОЙС ОБ ПДОПН ХТПŒОЕ мБОДБХ, ОБРТЙНЕТ, ЙНРХМШУ). йЪ-ЪБ ЖХОЛГЙК ¸;n УХННБ Œ (9.107) ŒЩЗМСДЙФ ŒЕУШНБ ХУФТБЫБАЭЕ. оП ОБУ, ЛБЛ УМЕДХЕФ ЙЪ 18 (9.103), ОБ УБНПН ДЕМЕ ЙОФЕТЕУХЕФ ЛХРЕТПО Œ УПŒРБДБАЭЙИ ФПЮЛБИ. рТЙ r = r ЛХРЕТПО ОЕ ДПМЦЕО ЪБŒЙУЕФШ ПФ БВУПМАФОПЗП ТБУРПМПЦЕОЙС ФПЮЕЛ r Й r . рПЬФПНХ, ХУТЕДОСС РП РПМПЦЕОЙА

r Œ ПВ ЕНЕ РТПŒПДОЙЛБ V		Й ЙУРПМШЪХС ХУМПŒЙЕ ПТФПОПТНЙТПŒБООПУФЙ УПВУФŒЕООЩИ
ЖХОЛГЙК, РПМХЮБЕН					i! + Dqz2 + ˙ (n +	21 ) + fi1’	:	(9.108)
V	C(!; r = r ) d3r = 2ı 0fi 2V n;¸			−
1		1
					1

17еУМЙ ŒЩТБЪЙФШ ЛŒБДТБФ ЖЕТНЙЕŒУЛПК УЛПТПУФЙ Œ (9.96) ЮЕТЕЪ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ДЙЖЖХЪЙЙ D = 13 vF2 fi , ФП ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ НОПЦЙФЕМЙ УПЛТБЭБАФУС, Й ЖПТНХМБ (9.103) ПЛБЪЩŒБЕФУС УРТБŒЕДМЙŒПК Œ РТПЙЪŒПМШОПК ТБЪНЕТОПУФЙ.

18йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП q Œ (9.107) ЬЛŒЙŒБМЕОФОП ХУМПŒЙА r = r .

258	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

уХННЙТПŒБОЙЕ РП ¸ (ФП ЕУФШ УХННЙТПŒБОЙЕ Œ РТЕДЕМБИ ПДОПЗП ХТПŒОС мБОДБХ) НПЦОП МЕЗЛП ŒЩРПМОЙФШ, ЙУРПМШЪПŒБŒ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЮЙУМБ УПУФПСОЙК ОБ ХТПŒОЕ мБОДБХ (УН. [2]):

e BV

dN = (2ı)2hc— dqz

фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЛХРЕТПОБ Œ УПŒРБДБАЭЙИ ФПЮЛБИ:

C(!; r = r ) = 4ı2 0hcfi— 2			2ı		n	i! + Dqz2	+ ˙ (n + 21 ) + fi1’		:
eB			dqz			−
							1
у ХЮЕФПН ЬФПЗП РПРТБŒЛБ Л РТПŒПДЙНПУФЙ (9.103) ТБŒОБ								21 ) + fi1’ :
‹ = − ı2hc—		2ı			n	i! + Dqz2 + ˙ (n +
De3B		dqz		−			1

(9.109)

(9.110)

(9.111)

œ ДБМШОЕКЫЙИ ŒЩЛМБДЛБИ НЩ ДМС РТПУФПФЩ ПРХУФЙН ЮБУФПФХ ŒОЕЫОЕЗП РПМС !. œЩЮЙУМЙН ЙОФЕЗТБМ РП qz :

	√De3B		1	+ x	; x =	1		hc—
‹ = −			'n + 2				fi’	= 4eBDfi’ :	(9.112)
	2ı2hc— √˙	n	1			˙

рПМХЮЕООБС УХННБ ТБУИПДЙФУС ОБ ŒЕТИОЕН РТЕДЕМЕ. пЮЕŒЙДОП, ЬФП Œ ФПЮОПУФЙ ФБ ЦЕ ТБУИПДЙНПУФШ, ЮФП Й Œ ЪБДБЮЕ 54 РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМБ РП q, Й РПЬФПНХ Еč УМЕДХЕФ ПВТЕЪБФШ ОБ |q| РПТСДЛБ ПВТБФОПК ДМЙОЩ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ. дМС ЬФПЗП ПВПТŒЕН УХННХ (9.112) ОБ ОЕЛПФПТПН nmax , ПРТЕДЕМСЕНПН УППФОПЫЕОЙЕН

˙ nmax ≈ D=l2

(9.113)

(˙ nmax ЕУФШ УПВУФŒЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ПРЕТБФПТБ Œ (9.107), ЛПФПТПЕ ОЕ ДПМЦОП РТЕŒЩЫБФШ D=l2). фПЗДБ УХННБ ТБŒОБ 2√nmax , Й РПРТБŒЛБ ДБčФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН

		e22	(eB		2√nmax		2
‹ (0) =	−			·		≈ −	e2	:	(9.114)
		4ı	hc—				4ı	hl—

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ОЙ ПФ fi’, ОЙ ПФ НБЗОЙФОПЗП РПМС, РПУЛПМШЛХ ПОП ПРТЕДЕМСЕФУС НБМЩНЙ НБУЫФБВБНЙ РПТСДЛБ l. йОФЕТЕУОЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ (ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ НБЗОЙФОПЗП РПМС Й Ф. Р.) ПРТЕДЕМСАФУС ВПМШЫЙНЙ НБУЫФБВБНЙ Й РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК РПРТБŒЛЙ Л (9.114).

пВТЕЪБОЙЕ УХННЩ РПУМЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП qz НПЦЕФ РПЛБЪБФШУС ŒОЙНБФЕМШОПНХ ЮЙФБФЕМА ОЕЛПТТЕЛФОЩН, РПУЛПМШЛХ РТЙ ЬФПН ДПРХУЛБАФУС ЛБЛ ХЗПДОП ВПМШЫЙЕ qz, ОП ФПМШЛП ЛПОЕЮОЩЕ n. îÏ qz2 É n ЕУФШ ТБЪОЩЕ ЮБУФЙ ЛŒБДТБФБ ŒПМОПŒПЗП ŒЕЛФПТБ q2. нПЦОП ВПМЕЕ ЛПТТЕЛФОП ПВТЕЪБФШ УХННХ ĂŒТБЭБФЕМШОП{ЙОŒБТЙБОФОЩН ПВТБЪПНĄ, ПЗТБОЙЮЙŒБС ЛБЛ НБЛУЙНБМШОЩЕ n, ФБЛ Й НБЛУЙНБМШОЩЕ qz. ьФП ОЕФТХДОП УДЕМБФШ, ОБРТЙНЕТ, ŒŒПДС Œ (9.111) НОПЦЙФЕМШ УИПДЙНПУФЙ exp(−—(Dqz2 +˙ (n+1=2))), ÇÄÅ — | НБМПЕ ЮЙУМП РПТСДЛБ l2=D. рТЙ ЬФПН ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП РТПУФБС РТПГЕДХТБ ПВТЕЪБОЙС РП n ÐÒÉŒÏÄÉÔ Ë ÔÅÍ ÖÅ ÏÔŒÅÔÁÍ.

9.5. теыеойс											259
œЩЮЙФБС ЙЪ ‹ ОЕЪБŒЙУСЭХА ПФ НБЗОЙФОПЗП РПМС ЮБУФШ ‹ (0), РПМХЮБЕН
					2		(eB f (x) ;
‹ (B)		−	‹ (0) =	−	e2	h—					(9.115)
					2ı		hc—
ÇÄÅ			N
f (x) = lim					1			2√N		:	(9.116)
N	→∞		'n + 1=2 + x
			n=0				−

уХННХ Œ (9.116) НПЦОП ОБКФЙ Œ РТЕДЕМЕ УЙМШОЩИ Й УМБВЩИ НБЗОЙФОЩИ РПМЕК. оБЙВПМЕЕ ЙОФЕТЕУЕО УМХЮБК УЙМШОПЗП РПМС (x 1), ЛПФПТЩК НЩ Й ТБУУНПФТЙН. рТЙ НБМЩИ x ЖХОЛГЙС f (x) УФТЕНЙФУС Л РПУФПСООПНХ РТЕДЕМХ, ŒЩТБЦБАЭЕНХУС ЮЕТЕЪ “ -ЖХОЛГЙА тЙНБОБ:

f (x → 0) = −(√2 − 1)“ ( 21 ) ≈ 0:6049					(9.117)
фБЛЙН ПВТБЪПН,	−	2ı2	2 h—	( hc—
‹ (B)		‹ (0) = √2 − 1	“ ( 1 ) e2	eB :	(9.118)

йФБЛ, УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООБС РПРТБŒЛБ Œ ФТЕИНЕТОПН УМХЮБЕ РТПРПТГЙПОБМШОБ ЛПТОА ЙЪ НБЗОЙФОПЗП РПМС. œЩИПД ОБ ЬФПФ ТЕЦЙН РТПЙУИПДЙФ РТЙ ˙ fi’ ≈ 1 Œ УПЗМБУЙЙ У РТЙŒЕДЕООЩНЙ ŒЩЫЕ ЛБЮЕУФŒЕООЩНЙ ТБУУХЦДЕОЙСНЙ.

бОБМПЗЙЮОП НПЦОП ТБУУНПФТЕФШ РПŒЕДЕОЙЕ УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООПК РПРТБŒЛЙ Œ ДŒХНЕТОПН УМХЮБЕ. пО ПФМЙЮБЕФУС ПФ ФТЕИНЕТОПЗП УМХЮБС ФПМШЛП ПФУХФУФŒЙЕН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП qz , Й РПЬФПНХ

e2	nmax		1
‹ 2D (B) = −2ı2h— n=0			n + 1=2 + x :			(9.119)
ьФХ УХННХ НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ ДЙЗБННБ-ЖХОЛГЙА				(x) = ` (x)=`(x) УМЕДХАЭЙН
ПВТБЪПН:			21 + x) −	( 21 + x) :		(9.120)
‹ 2D (B) = −2ı2h— (nmax +
e2
рТЙ x 1 ДЙЗБННБ-ЖХОЛГЙС ТБУФЕФ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ,				(x 1) ≈ ln x, Й РПЬФПНХ Œ
УМБВЩИ РПМСИ
e2	nmax		e2	Dfi’	;
‹ 2D (0) = −2ı2h— ln	x	= −2ı2h— ln l2				(9.121)

ФП ЕУФШ УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООБС РПРТБŒЛБ ПРТЕДЕМСЕФУС fi’ Й Œ РЕТŒПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ НБЗОЙФОПЗП РПМС. œ УЙМШОЩИ ЦЕ РПМСИ НПЦОП РПМПЦЙФШ x = 0:

‹ 2D (B) = −	e2	4hc—	− ( 21 ) :
	2ı2h—	ln eBl2		(9.122)

лБЛ ŒЙДОП ЙЪ ЬФПК ЖПТНХМЩ, Œ ВПМШЫЙИ НБЗОЙФОЩИ РПМСИ РТПŒПДЙНПУФШ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ fi’. ьФП РТПЙУИПДЙФ РПФПНХ, ЮФП НБЗОЙФОПЕ РПМЕ РПДБŒМСЕФ ŒЛМБД ДМЙООЩИ

260	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

ФТБЕЛФПТЙК, Й НЕИБОЙЪНЩ УВПС ЖБЪЩ РТПУФП ОЕ ХУРЕŒБАФ УТБВПФБФШ ОБ ПУФБŒЫЙИУС ФТБЕЛФПТЙСИ. œЩЮЙФБС ЙЪ (9.122) РТПŒПДЙНПУФШ Œ ОХМЕŒПН РПМЕ (9.121), РПМХЮЙН НБЗОЙФПУПРТПФЙŒМЕОЙЕ:

‹ 2D (B) − ‹ 2D (0) = 2ı2h— ln	hc—	− ( 21 ) :	(9.123)
e2	4Dfi’eB

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЛБЛ Œ ДŒХНЕТОПН, ФБЛ Й Œ ФТЕИНЕТОПН УМХЮБЕ ЛŒБОФПŒБС РПРТБŒЛБ Л РТПŒПДЙНПУФЙ РТЙŒПДЙФ Л ŒЕУШНБ ОЕПВЩЮОПНХ РПŒЕДЕОЙА НБЗОЙФПУПРТПФЙŒМЕОЙС Œ ЛМБУУЙЮЕУЛЙ УМБВЩИ РПМСИ, ЮФП РПЪŒПМСЕФ ŒЩДЕМСФШ ЬЖЖЕЛФЩ УМБВПК МПЛБМЙЪБГЙЙ ОБ ЖПОЕ ЛМБУУЙЮЕУЛПЗП НБЗОЙФПУПРТПФЙŒМЕОЙС. рТЙ ЬФПН ТЕЮШ ЙДЕФ ПВ ЙЪНЕОЕОЙЙ РТПŒПДЙНПУФЙ ОБ ŒЕМЙЮЙОХ РПТСДЛБ e2=h Œ ДПŒПМШОП УМБВЩИ РПМСИ РПТСДЛБ Bc, ФБЛ ЮФП ЬЖЖЕЛФ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒРПМОЕ ЙЪНЕТЙНЩН. œДПВБŒПЛ ЛŒБОФПŒПЕ НБЗОЙФПУПРТПФЙŒМЕОЙЕ, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ЛМБУУЙЮЕУЛПЗП, Œ ФТЕИНЕТОПН УМХЮБЕ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ХЗМБ НЕЦДХ ФПЛПН Й РПМЕН Й ПФМЙЮОП ПФ ОХМС ДБЦЕ ЕУМЙ ФПЛ РБТБММЕМЕО РПМА. йЪНЕТСС НБЗОЙФПУПРТПФЙŒМЕОЙЕ, НПЦОП ОБКФЙ ŒТЕНС УВПС ЖБЪЩ fi’, ЛПФПТПЕ ПРТЕДЕМСЕФУС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН ЬМЕЛФТПОПŒ. рПЬФПНХ ДБООЩЕ РП БОПНБМШОПНХ НБЗОЙФПУПРТПФЙŒМЕОЙА | ŒБЦОЩК ЙУФПЮОЙЛ ЙОЖПТНБГЙЙ П ЛŒБОФПŒЩИ ЬЖЖЕЛФБИ Œ НЕФБММБИ.

рПНЙНП ЬФПЗП, ЛŒБОФПŒБС РПРТБŒЛБ ПЛБЪЩŒБЕФУС ЮХŒУФŒЙФЕМШОБ Л МАВЩН ЬЖЖЕЛФБН, ОБТХЫБАЭЙН УЙННЕФТЙА РП ПФОПЫЕОЙА Л ПВТБЭЕОЙА ŒТЕНЕОЙ. оБРТЙНЕТ, УЙМШОПЕ УРЙО-ПТВЙФБМШОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ЙЪНЕОЕОЙА ЪОБЛБ ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ. рПДТПВОПЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ НОПЗПЮЙУМЕООЩИ ЬЖЖЕЛФПŒ УМБВПК МПЛБМЙЪБГЙЙ ОЕ ŒИПДЙФ Œ ЪБДБЮХ ЬФПК ЛОЙЗЙ. йОФЕТЕУХАЭЙКУС ЮЙФБФЕМШ НПЦЕФ ПВТБФЙФШУС Л ПВЪПТБН, РПУŒСЭЕООЩН ЬФПК ФЕНЕ (УН. РТЙНЕЮБОЙЕ ОБ У. 234).

тЕЫЕОЙЕ 56. йФБЛ, РХУФШ ЙНЕЕФУС ФПОЛБС НЕФБММЙЮЕУЛБС РМЕОЛБ, УŒЕТОХФБС Œ ГЙМЙОДТ ТБДЙХУБ R, ЮЕТЕЪ ЛПФПТЩК РТПРХЭЕО НБЗОЙФОЩК РПФПЛ. вХДЕН ТБУУНБФТЙŒБФШ ЪБДБЮХ Œ ГЙМЙОДТЙЮЕУЛЙИ ЛППТДЙОБФБИ, ŒЩВТБŒ ПУШ z ŒДПМШ ПУЙ ГЙМЙОДТБ. œЕЛФПТРПФЕОГЙБМ ŒОХФТЙ РМЕОЛЙ ŒЩВЕТЕН Œ ŒЙДЕ

A’ =	˘	; Ar = Az = 0 :	(9.124)
	2ıR

рПМПЦЙН ЮБУФПФХ ŒОЕЫОЕЗП РПМС ! = 0. фПЗДБ ХТБŒОЕОЙЕ (9.105) РЕТЕРЙЫЕФУС ФБЛ:

D

@22 +

12

@

−

i e˘

2

+

1

(r; r ) =

1

2 ‹(r

−

r ) :

@z

R

@’

ıhc—

fi’

C

2ı 0fi

пОП МЕЗЛП ТЕЫБЕФУС РЕТЕИПДПН Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ жХТШЕ:

		z
C(z; ’; z ; ’ ) =			Cm;kz eikz (z−z )+im(’−’ ) :
		m;k
рПДУФБŒЙŒ (9.126) Œ (9.125), РПМХЮЙН			+ Dkz2 + R2	m −
Cm;kz = 2ı fi 2R	fi’				˘		;
1		1	D		2˘	2	−1
0					0

(9.125)

(9.126)

(9.127)