Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

8.4. ъбдбюй 43 { 49

191

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ МАВПН ŒЕЭЕУФŒЕООПН 0 < ¸ < ı ЙНЕЕФУС ДŒБ ОЕЪБŒЙУЙНЩИ ТЕЫЕОЙС ХЛБЪБООПЗП ŒЙДБ, ПРЙУЩŒБАЭЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС У „ = ±¸. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЛТПНЕ ОЙИ РТЙ F0 > 0 ЙНЕЕФУС ПДОП ТЕЫЕОЙЕ um У ЛПНРМЕЛУОЩН ¸, ЪБФХИБАЭЕЕ РТЙ m → ±∞. ьФП ТЕЫЕОЙЕ ПРЙУЩŒБЕФ ЛПММЕЛФЙŒОХА ОХМШ-ЪŒХЛПŒХА НПДХ. лŒБЪЙЮБУФЙЮОЩЕ ТЕЫЕОЙС ИБТБЛФЕТЙЪХАФУС ЮБУФПФБНЙ |!| < kvF , Б ЮБУФПФБ ЛПММЕЛФЙŒОПК НПДЩ МЕЦЙФ ЪБ РТЕДЕМБНЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП ЛПОФЙОХХНБ: !(k) > kvF .

нПЦОП ЪБНЕФЙФШ БОБМПЗЙА У ЪБДБЮЕК П УРЕЛФТЕ ПРЕТБФПТБ ыТЕДЙОЗЕТБ ДМС РПФЕОГЙБМБ, ХВЩŒБАЭЕЗП ОБ ВЕУЛПОЕЮОПУФЙ. œ ПВЭЕН УМХЮБЕ УРЕЛФТ ЬФПЗП ПРЕТБФПТБ УПДЕТЦЙФ ОЕРТЕТЩŒОХА Й ДЙУЛТЕФОХА ЛПНРПОЕОФЩ. рЕТŒБС УППФŒЕФУФŒХЕФ УПУФПСОЙСН ТБУУЕСОЙС, Б ŒФПТБС | МПЛБМЙЪПŒБООЩН УПУФПСОЙСН.

ъБДБЮБ 44. (рМБЪНЕООЩЕ ЛПМЕВБОЙС.) тБУУНПФТЙН ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 8.3 РТЙ

ЛПОЕЮОПК РЕТЕДБŒБЕНПК ЮБУФПФЕ ! Й ЙНРХМШУЕ k. зПŒПТСФ, ЮФП УХННБ ДЙБЗТБНН ОБ ТЙУ. 8.3 ПРЙУЩŒБЕФ ЬЖЖЕЛФ ДЙОБНЙЮЕУЛПК ЬЛТБОЙТПŒЛЙ ЪБФТБŒПЮОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

Vk, ЙЪПВТБЦЕООПЗП ŒПМОЙУФПК МЙОЙЕК. ъБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЛПММЕЛФЙŒОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК !(k) ПРТЕДЕМСЕФУС РПМАУБНЙ ЪБЬЛТБОЙТПŒБООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

+ +

+

+...

òÉÓ. 8.3

Б) оБКДЙФЕ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!; k) РТЙ |k| p0, ! EF . уЮЙФБС ЪБФТБŒПЮОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЛХМПОПŒУЛЙН, Vk = 4ıe2=k2, РТПУХННЙТХКФЕ ТСД Й РПМХЮЙФЕ ЪБЬЛТБОЙТПŒБООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ V!;k. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Œ ЬФПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РМБЪНЕООЩИ ŒПМО !(k) ДБЕФУС УППФОПЫЕОЙЕН (8.14), РПМХЮЕООЩН ЙЪ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. пРТЕДЕМЙФЕ РПŒЕДЕОЙЕ !(k) РТЙ НБМЩИ

Й ВПМШЫЙИ k.

В) (фПЮЛБ ПЛПОЮБОЙС УРЕЛФТБ.) пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РМБЪНЕООЩИ ŒПМО ЪБЛБОЮЙŒБЕФУС РТЙ ОЕЛПФПТПН kmax, ŒМЙŒБСУШ Œ ЛПОФЙОХХН ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК. юФПВЩ ЙУУМЕДПŒБФШ ЬФПФ ЬЖЖЕЛФ У РПНПЭША ДЙБЗТБНН, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 8.3, ОЕПВИПДЙНП ОБКФЙ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ВПМЕЕ ФПЮОП, ЮЕН ЬФП ВЩМП УДЕМБОП Œ ЮБУФЙ Б).

оБКДЙФЕ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ РТЙ РТПЙЪŒПМШОЩИ ! Й k. тЕЫБС ХТБŒОЕОЙЕ Vk˝(!; k) = 1, ПРТЕДЕМЙФЕ ФПЮЛХ ПЛПОЮБОЙС УРЕЛФТБ kmax, !max.

Œ) хВЕДЙФЕУШ, ЮФП ХТБŒОЕОЙЕ ДМС ЮБУФПФЩ РМБЪНЕООЩИ ŒПМО !(k) УПŒРБДБЕФ У УППФОПЫЕОЙЕН (8.26), РПМХЮЕООЩН Œ ТЕЪХМШФБФЕ ДЙБЗПОБМЙЪБГЙЙ ЗБНЙМШФПОЙБОБ HRPA

ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ.

ъБДБЮБ 45. (лХМПОПŒУЛПЕ ЬЛТБОЙТПŒБОЙЕ.) Б) ьМЕЛФТПОЩ Œ НЕФБММЕ ЬЛТБОЙТХАФ МАВПК ŒОЕЫОЙК ЬМЕЛФТПУФБФЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ. ьФПФ ЬЖЖЕЛФ НПЦОП ЙЪХЮЙФШ,

192	змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

ТБУУНПФТЕŒ ДЙБЗТБННОЩК ТСД, РПЛБЪБООЩК ОБ ТЙУ. 8.3. рТПУХННЙТХКФЕ ЬФПФ ТСД Œ УФБФЙЮЕУЛПН РТЕДЕМЕ k !=vF , УЮЙФБС ФБЛЦЕ, ЮФП k p0. рПМХЮЙФЕ ЖПТНХМХ дЕВБС ДМС ЬЛТБОЙТПŒБООПЗП ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС:

˘(r) = e−κ|r|=|r| ; ÇÄÅ κ2 = 4ıe2 :

(8.28)

тБЪХНЕЕФУС, ЬЛТБОЙТПŒЛБ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ЪБТСЦЕООПК УЙУФЕНЕ ЕУФШ ЮЙУФП ЛМБУУЙЮЕУЛЙК ЬЖЖЕЛФ, ŒПЪОЙЛБАЭЙК ЙЪ-ЪБ ДБМШОПДЕКУФŒЙС РПФЕОГЙБМБ 1=r. дМС ЙММАУФТБГЙЙ ЬФПЗП ПВУФПСФЕМШУФŒБ, ОБРПНОЙН, ЛБЛ ТЕЫБЕФУС ЪБДБЮБ ПВ ЬЛТБОЙТПŒБОЙЙ Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК РМБЪНЕ.

œОЕУЕН Œ РМБЪНХ УФБФЙЮЕУЛЙК ЪБТСД j0(r). œПЪОЙЛБАЭЙК РТЙ ЬФПН РПФЕОГЙБМ ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА рХБУУПОБ 2˘(r) = −4ı(‹j(r) + j0(r)), ÇÄÅ ‹j(r) | РМПФОПУФШ ЬЛТБОЙТХАЭЕЗП ЪБТСДБ,

УŒСЪБООБС У РПФЕОГЙБМПН ЖПТНХМПК вПМШГНБОБ: ‹j(r) = en		e	−	e˘(r)=T	− 1 . рПМХЮЙŒЫХАУС УЙУФЕНХ
ХТБŒОЕОЙК рХБУУПОБ{вПМШГНБОБ ОЕФТХДОП МЙОЕБТЙЪПŒБФШ:
2˘(r) − κ2˘(r) = −4ıj0(r) ; ÇÄÅ	κ2 = 4ıe2n=T :					(8.29)

уМЕДПŒБФЕМШОП, ЬЛТБОЙТПŒБООЩК РПФЕОГЙБМ ФПЮЕЮОПЗП ЪБТСДБ ДБЕФУС ФБЛЙН ЦЕ ŒЩТБЦЕОЙЕН (8.28), ЛБЛ Й РТЙ T = 0. пФМЙЮЙЕ УПУФПЙФ ФПМШЛП Œ ŒЕМЙЮЙОЕ ДМЙОЩ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС κ−1.

дТХЗПЕ СŒМЕОЙЕ, ЙНЕАЭЕЕ НЕУФП ОЕ ФПМШЛП Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, ОП Й Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК РМБЪНЕ, | ЬФП РМБЪНЕООЩЕ ЛПМЕВБОЙС.

В) рПХЮЙФЕМШОП ТЕЫЙФШ ЬФХ ЪБДБЮХ ДТХЗЙН УРПУПВПН, ЙУРПМШЪХС ЗБНЙМШФПОЙБО ДМС ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК (8.21), ŒЩŒЕДЕООЩК Œ ТБЪД. 8.3. тБУУНПФТЙН ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЕ У ЬМЕЛФТПООПК РМПФОПУФША. йУРПМШЪХС РТЕДУФБŒМЕОЙЕ (8.16) ДМС ПРЕТБФПТБ РМПФОПУФЙ, ЪБРЙЫЕН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ У ŒОЕЫОЙН РПМЕН V (ext)(r) ÔÁË:

		(ext)k	k	k)
ext =	V		(cp;k + c+p;		(8.30)
		−
H			− −
	k		p R

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ МЙОЕКОП РП ВПЪЕ-ПРЕТБФПТБН cp;k, Б ЗБНЙМШФПОЙБО (8.21) | ЛŒБДТБФЙЮЕО. рПЬФПНХ НПЦОП ОБКФЙ ПФЛМЙЛ РМПФОПУФЙ ОБ ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ, УРТПЕГЙТПŒБŒ ŒПЪНХЭЕОЙЕ (8.30) ОБ ОПТНБМШОЩЕ НПДЩ УЙУФЕНЩ ПУГЙММСФПТПŒ, ОБКДС ПФЛМЙЛ ЛБЦДПК ЙЪ ЬФЙИ НПД, Б ЪБФЕН РТПУХННЙТПŒБŒ РП ŒУЕН НПДБН. оБКДЙФЕ ФБЛЙН УРПУПВПН ПФЛМЙЛ ЬМЕЛФТПООПК РМПФОПУФЙ ОБ ЛХМПОПŒУЛЙК РПФЕОГЙБМ Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП ТЕЪХМШФЙТХАЭЙК

ЪБЬЛТБОЙТПŒБООЩК РПФЕОГЙБМ УПŒРБДБЕФ У (8.29).

ъБДБЮБ 46. (рБТБНБЗОЙФОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ.) тБУУНПФТЙН ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФШ УП УРЙОПН 1=2 Й ЛПОФБЛФОЩН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ: V (r−r ) = g‹(r−r ). л УЙУФЕНЕ РТЙМПЦЕОП ПДОПТПДОПЕ ŒОЕЫОЕЕ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ B. вХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ЖЕТНЙПОЩ ОЕЪБТСЦЕОЩ, ФБЛ ЮФП РПМЕ ДЕКУФŒХЕФ ФПМШЛП ОБ УРЙО. œ ЬФПН УМХЮБЕ ЖЕТНЙЦЙДЛПУФШ ПРЙУЩŒБЕФУС ЗБНЙМШФПОЙБОПН (8.1), Л ЛПФПТПНХ ДПВБŒМЕО ЮМЕО

HB = !B		ap+;↑ap;↑ − ap+;↓ap;↓ ;	(8.31)
	p

ÇÄÅ !B = —B | ЪЕЕНБОПŒУЛБС ЬОЕТЗЙС. рПУЛПМШЛХ ЬОЕТЗЙЙ УПУФПСОЙК УП УРЙОПН ŒŒЕТИ Й ŒОЙЪ ПФМЙЮБАФУС ОБ 2!B , ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ УЙУФЕНЩ ПРЙУЩŒБЕФУС ДŒХНС ЖЕТНЙ-УЖЕТБНЙ, ЙНЕАЭЙНЙ ТБЪОЩЕ ТБДЙХУЩ p0;↓ É p0;↑. œ ПФУХФУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

ТБДЙХУЩ ЖЕТНЙ-УЖЕТ ДБАФУС УППФОПЫЕОЙСНЙ p2 ↓ ↑=2m = EF ± !B .

0; =

8.4. ъбдбюй 43 { 49

193

Б) (нЕФПД УТЕДОЕЗП РПМС.) оБКДЙФЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G↑("; p) É G↓("; p). дМС ЬФПЗП ŒЩЮЙУМЙФЕ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ Œ ОЙЪЫЕН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА g, ТБУУНПФТЕŒ ДŒБ ŒЛМБДБ, РТСНПК Й ПВНЕООЩК, РПЛБЪБООЩЕ ОБ ТЙУ. 8.4.

òÉÓ. 8.4

пРТЕДЕМЙФЕ РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ n↑ É n↓. тБУУНПФТЙФЕ РПМСТЙЪБГЙА ‹n = n↓ − n↑ Œ УМБВПН РПМЕ —B EF Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП РБТБНБЗОЙФОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЕУФШ

=	0	(8.32)
	1 − g 0

ÇÄÅ 0 = —2 | ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ (УН. ЪБДБЮХ 24). ъОБНЕОБФЕМШ Œ (8.32) ПРЙУЩŒБЕФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПЕ ПВНЕООПЕ ХУЙМЕОЙЕ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ, ŒПЪ-

ОЙЛБАЭЕЕ ЙЪ-ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

В) (уРЙОПŒБС МЕУФОЙГБ.) рПХЮЙФЕМШОП РПМХЮЙФШ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ (8.32) ДТХЗЙН УРПУПВПН, ОЕ ТБУУНБФТЙŒБС ЙЪНЕОЕОЙЕ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС Œ УФБФЙЮЕУЛПН ŒОЕЫОЕН РПМЕ. œНЕУФП ЬФПЗП НПЦОП ОБКФЙ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ОЕРПУТЕДУФŒЕООП, ŒЩЮЙУМСС МЙОЕКОЩК ПФЛМЙЛ УРЙОПŒПК РПМСТЙЪБГЙЙ ОБ УМБВПЕ ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ ОБ ЖПОЕ ОЕРПМСТЙЪПŒБООПЗП ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС.

σx

σx + σx

σx + σx

σx +...

òÉÓ. 8.5

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ УХННЙТПŒБОЙЙ МЕУФОЙЮОЩИ ДЙБЗТБНН, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 8.5, ŒПУРТПЙЪŒПДЙФУС ТЕЪХМШФБФ (8.32). œЩЮЙУМЕОЙЕ ХДПВОП РТПŒПДЙФШ УЮЙФБС, ЮФП ŒПЪНХЭБАЭЕЕ РПМЕ ОБРТБŒМЕОП ŒДПМШ ПУЙ x, Й ЙУРПМШЪХС ЗТЙОПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ ЙЪ ЮБУФЙ Б), Ф. Е. РТПЛŒБОФПŒБŒ z-РТПЕЛГЙА УРЙОБ 7. йОФЕТРТЕФЙТХКФЕ ТБУИПДЙНПУФШ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ (8.32) РТЙ g 0 → 1.

7рТЙ ЙОПН ŒЩВПТЕ ОБРТБŒМЕОЙС ŒПЪНХЭБАЭЕЗП РПМС ПФОПУЙФЕМШОП ЛППТДЙОБФОЩИ ПУЕК ОЕПВИПДЙНП ВЩМП ВЩ ТБУУНБФТЙŒБФШ ДЙБЗТБННЩ, Œ ЛПФПТЩИ УРЙОПŒЩК ЙОДЕЛУ НПЦЕФ НЕОСФШУС ПФ ПДОПК УФХРЕОЙ МЕУФОЙГЩ Л УМЕДХАЭЕК. пФŒЕФ РТЙ ЬФПН, ТБЪХНЕЕФУС, РПМХЮЙМУС ВЩ ФПЮОП ФБЛЙН ЦЕ.

194	змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

ъБДБЮБ 47. (уРЙОПŒЩЕ ŒПМОЩ.) œ ЖЕТНЙ ЗБЪЕ, ОБИПДСЭЕНУС ŒП ŒОЕЫОЕН НБЗОЙФОПН РПМЕ (УН. ЪБДБЮХ 46) НПЦОП ОБВМАДБФШ РБТБНБЗОЙФОЩК ТЕЪПОБОУ. дМС ЬФПЗП РТЙЛМБДЩŒБАФ УМБВПЕ РЕТЕНЕООПЕ РПМЕ Œ РМПУЛПУФЙ, РЕТРЕОДЙЛХМСТОПК РПУФПСООПНХ РПМА, Й ŒЩВЙТБАФ ЮБУФПФХ ! РЕТЕНЕООПЗП РПМС ФБЛ, ЮФПВЩ ! ТБŒОСМПУШ ЪЕЕНБОПŒУЛПК

ЬОЕТЗЙЙ 2!B , ФТЕВХЕНПК ДМС РЕТЕŒПТПФБ УРЙОБ.

Б) (фЕПТЕНБ мБТНПТБ.) оБКДЙФЕ РПРЕТЕЮОХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ (!; k), УХННЙТХС МЕУФОЙЮОЩК ТСД, ЙЪПВТБЦЕООЩК ОБ ТЙУ. 8.5. уЮЙФБКФЕ РЕТЕНЕООПЕ РПМЕ РТПУФТБОУФŒЕООП ПДОПТПДОЩН, Ф. Е. РЕТЕДБŒБЕНЩК ЙНРХМШУ k = 0. йУРПМШЪХКФЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ОБКДЕООЩЕ Œ ЪБДБЮЕ 46 a. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РПРЕТЕЮОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЙНЕЕФ РПМАУ РТЙ ! = 2!B , ОЕЪБŒЙУЙНП ПФ ŒЕМЙЮЙОЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС g.

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЬФПФ ТЕЪХМШФБФ ПЛБЪЩŒБЕФУС УРТБŒЕДМЙŒЩН ОЕ ФПМШЛП ДМС ФПЮЕЮОПЗП, Б ДМС РТПЙЪŒПМШОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ (8.1), ОЕЪБŒЙУСЭЕЗП ПФ УРЙОПŒ. пВЭЕЕ ХФŒЕТЦДЕОЙЕ ПВ ПФУХФУФŒЙЙ УДŒЙЗБ ЮБУФПФЩ РБТБНБЗОЙФОПЗП ТЕЪПОБОУБ ŒУМЕДУФŒЙЕ НЕЦЬМЕЛФТПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОБЪЩŒБЕФУС ФЕПТЕНПК мБТНПТБ.

бОБМПЗЙЮОПЕ ХФŒЕТЦДЕОЙЕ, ЙЪŒЕУФОПЕ РПД ОБЪŒБОЙЕН ФЕПТЕНЩ лПОБ, ЙНЕЕФ НЕУФП ДМС ГЙЛМПФТПООПЗП ТЕЪПОБОУБ. оЕЪБŒЙУЙНП ПФ ŒЕМЙЮЙОЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ЗБНЙМШФПОЙБОЕ (8.1), ЮБУФПФБ ГЙЛМПФТПООПЗП ТЕЪПОБОУБ Œ ПДОПТПДОПН РПМЕ B ÅÓÔØ !c = eB=mc, ÇÄÅ m | ЙУФЙООБС (Б ОЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОБС!) НБУУБ ЬМЕЛФТПОБ.

В) (ъБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ УРЙОПŒЩИ ŒПМО.) рПМАУЩ ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ УŒСЪБОЩ У ЛПММЕЛФЙŒОЩНЙ НПДБНЙ. рПМАУ Œ РПРЕТЕЮОПК ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ (!; k) УППФŒЕФУФŒХЕФ УРЙОПŒЩН ŒПМОБН | УРЕГЙЖЙЮЕУЛПК ЛПММЕЛФЙŒОПК НПДЕ, ŒПЪОЙЛБАЭЕК Œ УРЙО-РПМСТЙЪПŒБООПК ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ.

оБКДЙФЕ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ УРЙОПŒЩИ ŒПМО. дМС ЬФПЗП РТПУХННЙТХКФЕ ДЙБЗТБННОЩК ТСД, РПЛБЪБООЩК ОБ ТЙУ. 8.5, РТЙ ЛПОЕЮОЩИ ! Й k. тБУУНПФТЙФЕ РПМАУ (!; k),

ДБŒБЕНЩК ! = 2!B ÐÒÉ k = 0.

ъБДБЮБ 48. (ьОЕТЗЙС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ Œ НЕФБММЕ.) рТЙ ŒЩУПЛПК ЬМЕЛФТПООПК РМПФОПУФЙ НЕФБММ СŒМСЕФУС РПЮФЙ ЙДЕБМШОЩН ЖЕТНЙ-ЗБЪПН. ьЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС НБМЩ, Й ЙИ НПЦОП ŒЩЮЙУМСФШ, ТБЪМБЗБС ЙОФЕТЕУХАЭЙЕ ŒЕМЙЮЙОЩ Œ

ТСД РП УФЕРЕОСН e2=hv— F .

Б) (пВНЕООБС ЬОЕТЗЙС.) рПРТБŒЛЙ Л ЬОЕТЗЙЙ УЙУФЕНЩ РЕТŒПЗП РПТСДЛБ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ДБАФУС ДŒХНС ДЙБЗТБННБНЙ, РПЛБЪБООЩНЙ ОБ ТЙУ. 8.6.

òÉÓ. 8.6

рЕТŒЩК ŒЛМБД, ОБЪЩŒБЕНЩК ЬОЕТЗЙЕК иБТФТЙ, ИПФС ЖПТНБМШОП Й ТБУИПДЙФУС, ОБ УБНПН ДЕМЕ Œ ДБООПН УМХЮБЕ РПМОПУФША ЛПНРЕОУЙТХЕФУС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН У РПМПЦЙФЕМШОЩН ЖПОПН Й ŒЛМБДБ ОЕ ДБЕФ. œФПТПК ЦЕ ŒЛМБД, ОБЪЩŒБЕНЩК ПВНЕООПК ЬОЕТЗЙЕК, ЙМЙ ЬОЕТЗЙЕК жПЛБ, ПФМЙЮЕО ПФ ОХМС. œЩЮЙУМЙФЕ ЕЗП Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП ПВНЕООБС

ЬОЕТЗЙС ПФТЙГБФЕМШОБ Й ЪБŒЙУЙФ ПФ РМПФОПУФЙ ЬМЕЛФТПОПŒ n, ЛБЛ −e2n4=3.

В) (юМЕОЩ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ.) œП ŒФПТПН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ЕУФШ ДŒБ

8.4. ъбдбюй 43 { 49

195

УХЭЕУФŒЕООЩИ ŒЛМБДБ:

a) b)

òÉÓ. 8.7

пУФБМШОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ УПЛТБЭБАФУС ВМБЗПДБТС ЛПНРЕОУЙТХАЭЕНХ ЖПОХ, РПДПВОП РЕТŒПНХ ЗТБЖЙЛХ ОБ ТЙУ. 8.6.

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП УХННБ ŒЛМБДПŒ, ЙЪПВТБЦЕООЩИ ОБ ТЙУ. 8.7, ЕУФШ

k	q q	−		−
	Vq (2Vq − Vk−k )				;	(8.33)
q	R ;k R ‰k + ‰k +q		‰k+q		‰k

ÇÄÅ ‰p = p2=2m − EF . рЕТŒПЕ Й ŒФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ Œ ЛŒБДТБФОЩИ УЛПВЛБИ УППФŒЕФУФŒХЕФ ДЙБЗТБННБН a) Й b) ОБ ТЙУ. 8.7.)

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РЕТŒЩК ŒЛМБД ТБУИПДЙФУС МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ОБ НБМЩИ q, Б ŒФПТПК

ЛПОЕЮЕО. йОФЕТРТЕФЙТХКФЕ ОБКДЕООХА ТБУИПДЙНПУФШ.

ъБДБЮБ 49. a) (лПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙС 8.) лБЛ НЩ ХВЕДЙМЙУШ Œ ЪБДБЮЕ 48, ОБЮЙОБС УП ŒФПТПЗП РПТСДЛБ, ЖПТНБМШОЩК ТСД ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК РП e2=hv— F ДМС ЬОЕТЗЙЙ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММЕ УПДЕТЦЙФ ТБУИПДСЭЙЕУС ЮМЕОЩ. пВЭЙК РПТСДПЛ ДЕКУФŒЙК Œ РПДПВОЩИ УМХЮБСИ | ОБКФЙ ОБЙВПМЕЕ УЙМШОП ТБУИПДСЭЙЕУС ЗТБЖЙЛЙ Œ ЛБЦДПН РПТСДЛЕ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК Й РТПУХННЙТПŒБФШ ЙИ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Œ ДБООПН УМХЮБЕ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ОБЙВПМЕЕ УЙОЗХМСТОЩИ ЗТБЖЙЛПŒ ЙНЕЕФ ŒЙД

+

+

+

+...

òÉÓ. 8.8

œЩЮЙУМЙФЕ УХННХ ЬФЙИ ЗТБЖЙЛПŒ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП У МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША РП e2=hv— F ПФŒЕФ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ЪБНЕОЙŒ ЙУИПДОПЕ ЛХМПОПŒУЛПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ОБ ЪБЬЛТБОЙТПŒБООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Vk;!, ТБУУНПФТЕООПЕ Œ ЪБДБЮЕ 44 (УН. ТЙУ. 8.3). у ЬФПК ФПЮОПУФША ЬОЕТЗЙС ДБЕФУС ЗТБЖЙЛПН a) ОБ ТЙУ. 8.7, Œ ЛПФПТПН ПДОБ ЙЪ МЙОЙК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС УФБОЕФ ЦЙТОПК, Б ДТХЗБС ПУФБОЕФУС ФПОЛПК.

8лПМШГЕŒЩЕ ДЙБЗТБННЩ ДМС ЛПТТЕМСГЙПООПК ЬОЕТЗЙЙ ВЩМЙ ŒРЕТŒЩЕ ТБУУНПФТЕОЩ Œ ТБВПФЕ: M. Gell-Mann and K. A. Brueckner, Phys. Rev., v. 106, p. 364 (1957).

196	змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

В) ьФХ ЪБДБЮХ НПЦОП ТЕЫЙФШ Й ДТХЗЙН УРПУПВПН, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ ЗБНЙМШФПОЙБОПН ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ (8.21), ЛŒБДТБФЙЮОЩН РП ВПЪЕ-ПРЕТБФПТБН cp;k. лБЛ ПВУХЦДБМПУШ Œ ТБЪД. (8.3), ЬФПФ ЗБНЙМШФПОЙБО У РПНПЭША ЛБОПОЙЮЕУЛПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБŒМЕО Œ ŒЙДЕ УХННЩ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ПУГЙММСФПТПŒ. йОФЕТЕУХАЭБС ОБУ ЮБУФШ ЬОЕТЗЙЙ УЙУФЕНЩ НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБŒМЕОБ ЛБЛ УХННБТОБС ЬОЕТЗЙС ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК ŒУЕИ ПУГЙММСФПТПŒ.

œЛМБД ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ЬОЕТЗЙА УЙУФЕНЩ НПЦЕФ ВЩФШ ЪБРЙУБО Œ ŒЙДЕ

´E =		1	−	k;	k	1
	¸ 2h!— ¸				p R	2h!— p;k ;	(8.34)

ÇÄÅ !p;k | ЮБУФПФЩ ОПТНБМШОЩИ ЛПМЕВБОЙК Œ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ, Б !¸ | ЮБУФПФЩ ЛПМЕВБОЙК ŒП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ. оБКДЙФЕ ЬОЕТЗЙА ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ (8.34) Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП ТЕЪХМШФБФ УПŒРБДБЕФ У ЛПТТЕМСГЙПООПК

ЬОЕТЗЙЕК, ОБКДЕООПК Œ ЮБУФЙ Б).

Œ) (лПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙС ЛМБУУЙЮЕУЛПК РМБЪНЩ.) тБУУНПФТЙН РТЕДЕМ ŒЩУПЛПК ФЕНРЕТБФХТЩ T EF . œЩЮЙУМЙФЕ ЛПТТЕМСГЙПООХА ДПВБŒЛХ Л ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПНХ РПФЕОГЙБМХ ˙ËÏÒ. пФŒЕФ МЕЗЛП РПМХЮЙФШ ЙЪ ЗТБЖЙЛПŒ ТЙУ. 8.8, ПУФБŒЙŒ ПДЙО ЮМЕО У !n = 0 ЙЪ ŒУЕК НБГХВБТПŒУЛПК УХННЩ (УН. [1], § 22; [6], § 85).

8.5. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 43. хТБŒОЕОЙЕ (8.27) ЙОŒБТЙБОФОП ПФОПУЙФЕМШОП ЪБНЕОЩ m → −m, РПЬФПНХ ТЕЫЕОЙС НПЦОП ЙУЛБФШ Œ ŒЙДЕ ЮЕФОЩИ Й ОЕЮЕФОЩИ ЖХОЛГЙК:

	cos(¸m	−	–)	ÐÒÉ m > 0,
umОЕЮЕФ = sin ¸m ; umÞÅÔ = cos(¸m			–)	ÐÒÉ m < 0,	(8.35)
				ÐÒÉ m = 0.
u0

рПДУФБŒМСС ŒЩТБЦЕОЙС (8.35) Œ ХТБŒОЕОЙС (8.27) РТЙ |m| > 1, ОБИПДЙН ! = kvF cos ¸. рТЙ ЬФПН ОЕЮЕФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ uОЕЮЕФm ХДПŒМЕФŒПТСЕФ (8.27) БŒФПНБФЙЮЕУЛЙ РТЙ ŒУЕИ m. юЕФОПЕ ЦЕ ТЕЫЕОЙЕ, ЕУМЙ РПДУФБŒЙФШ ЕЗП Œ (8.27) РТЙ m = 0; 1, ДБЕФ

!u0 = kvF cos(¸ + –) ;

1

! cos(¸ + –) = 2 kvF ((1 + F0)u0 + cos(2¸ + –)) :

тЕЫБС ЬФЙ ХТБŒОЕОЙС УПŒНЕУФОП У УППФОПЫЕОЙЕН ! = kvF cos ¸, ОБИПДЙН

tan – tan ¸ =	F0	;	u0 =	cos –	:	(8.36)
	1 + F0			1 + F0

хЗМПŒБС ЪБŒЙУЙНПУФШ uÞÅÔ(„) É uОЕЮЕФ(„) ПЛБЪЩŒБЕФУС ДПŒПМШОП ЙОФЕТЕУОПК. жХОЛГЙС uОЕЮЕФ ЕУФШ РТПУФП УХРЕТРПЪЙГЙС ДŒХИ УŒПВПДОЩИ ПДОПЮБУФЙЮОЩИ УПУФПСОЙК:

uОЕЮЕФ(„) =	i	(‹(„ − ¸) − ‹(„ + ¸)) :	(8.37)
	2

8.5. теыеойс	197
жХОЛГЙС ЦЕ uÞÅÔ(„) ŒЩЗМСДЙФ ВПМЕЕ УМПЦОП. пОБ ЙНЕЕФ РТЙ „ =	±¸ ËÁË ‹-
ЖХОЛГЙПООЩЕ, ФБЛ Й РПМАУОЩЕ ПУПВЕООПУФЙ, Œ УППФŒЕФУФŒЙЙ У (8.9).
тЕЫЕОЙЕ, ПРЙУЩŒБАЭЕЕ ЛПММЕЛФЙŒОХА НПДХ, ВХДЕН ЙУЛБФШ Œ ŒЙДЕ

e−¸m

um = e¸m

u0

ÐÒÉ m > 0,

ÐÒÉ m < 0, (8.38) ÐÒÉ m = 0.

хТБŒОЕОЙЕ (8.27) ХДПŒМЕФŒПТСЕФУС РТЙ |m| > 1, ÅÓÌÉ ! = kvF ch ¸, Б РТЙ m = 0; 1 ДБЕФ УЙУФЕНХ ХТБŒОЕОЙК ДМС ¸ Й u0. тЕЫБС ЙИ, ОБИПДЙН

u0 =	1	; e2¸ = 1 + 2F0 :	(8.39)
	1 + F0

фБЛЙН ПВТБЪПН, УЛПТПУФШ ОХМШ-ЪŒХЛПŒПК НПДЩ ЕУФШ

s = k =	2	(1 + 2F0)1=2 + (1 + 2F0)−1=2 :	(8.40)
!	vF

œЩРЙЫЕН СŒОП ХЗМПŒХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ОХМШ-ЪŒХЛПŒЩИ ЛПМЕВБОЙК:

u(„) =	−	F0	+	(!2 − k2vF2 )1=2	:	(8.41)
		1 + F0		! − kvF cos „

лБЮЕУФŒЕООБС ЛБТФЙОБ ФБЛПŒБ. рТЙ F0 1 Œ ОХМШ-ЪŒХЛПŒЩИ ЛПМЕВБОЙСИ РТЙОЙНБЕФ ХЮБУФЙЕ НБМБС ПВМБУФШ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ У „ ≈ F0. á ÐÒÉ F0 1 ŒУС ЖЕТНЙРПŒЕТИОПУФШ ЛПМЕВМЕФУС ЛБЛ ГЕМПЕ: u(„) cos „.

тЕЫЕОЙЕ 44. ъБЬЛТБОЙТПŒБООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ V!;k ДБЕФУС УПŒПЛХРОПУФША ДЙБЗТБНН, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 8.3. ьФПФ ТСД УХННЙТХЕФУС, ЛБЛ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛБС РТПЗТЕУУЙС:

	V!;k = Vk + Vk2˝(!; k) + Vk3˝2(!; k) + ::: =		Vk	:	(8.42)
			− Vk˝(!; k)
	рПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ЕУФШ	1
		G("−; p−)G("+; p+) (2ıh—)4 ;
	˝(!; k) = 2i				(8.43)
		d3p d"

ÇÄÅ "± = " ± !=2, p± = p ± k=2, Б НОПЦЙФЕМШ 2 ŒПЪОЙЛБЕФ РТЙ УХННЙТПŒБОЙЙ РП УРЙОБН.

йОФЕЗТЙТХС РП ЮБУФПФЕ ", ОБИПДЙН 9

	! − ‰(p+) + ‰(p−) (2ıh—)3
˝(!; k) = 2	n(p−) − n(p+)	d3p	;	(8.44)

ЗДЕ n(p) | ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ жЕТНЙ (УТ. У ŒЩŒПДПН (7.85)).

9ъДЕУШ Й ДБМЕЕ РПДТБЪХНЕŒБЕФУС, ЮФП ЮБУФПФБ Œ РПМСТЙЪБГЙПООПН ПРЕТБФПТЕ ˝(!; k) ЙНЕЕФ ВЕУЛПОЕЮОП НБМХА НОЙНХА ЮБУФШ: ! + i0 sign !. œ ЬФПН УМХЮБЕ ˝(!; k) ЙНЕЕФ БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ РТЙЮЙООПК ДŒХИЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ.

198 змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

тЕЫЕОЙЕ 44 Б. тБУУНПФТЙН УМХЮБК НБМЩИ |k| p0. рТЙВМЙЦЕООП НПЦОП ЪБРЙ-

ÓÁÔØ
n(p−) − n(p+) = k cos „‹(|p| − p0) ;	(8.45)

ЗДЕ „ | ХЗПМ НЕЦДХ ŒЕЛФПТБНЙ p Й k. йЪ-ЪБ ‹-ЖХОЛГЙЙ ЙОФЕЗТБМ Œ (8.44) ПЛБЪЩŒБЕФУС ПЗТБОЙЮЕО ОБ РПŒЕТИОПУФШ ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ:

ı

˝(!; k) = 2 0

0

йОФЕЗТЙТХС РП „, ОБИПДЙН

˝(!; k) = 2 0

	kvF cos „
! − kvF cos „ d cos „ :					(8.46)
	2 ln s −+		1 − 1	;	(8.47)
	s	s	1

ÇÄÅ s = !=kvF . нЩ ХВЕЦДБЕНУС, ЮФП ХТБŒОЕОЙЕ Vk˝(!; k) = 1, ПРТЕДЕМСАЭЕЕ РПМАУ ЪБЬЛТБОЙТПŒБООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС V!;k, ФПЦДЕУФŒЕООП УППФОПЫЕОЙА (8.14), ŒЩŒЕДЕООПНХ ЙЪ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ.

ъБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РМБЪНПОБ РТЙ НБМЩИ k НПЦОП РПМХЮЙФШ, ТБЪМПЦЙŒ ŒЩТБЦЕ-

	ÎÉÅ (8.47) ÐÏ 1=s:			1		1	+ ::: :
	˝(!; k) = 2 0				+			(8.48)
				3s2		5s4
	фПЗДБ ХТБŒОЕОЙЕ Vk˝(!; k) = 1 РТЙОЙНБЕФ ŒЙД
	!2	1 +	3 k2v2
	0			F
	!2		5	!2	= 1 ;			(8.49)

ÇÄÅ !02 = 4ıne2=m (n = p30=(3ı2) | РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ). уМЕДПŒБФЕМШОП, ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РТЙ НБМЩИ k ЕУФШ

!2(k) = !02 + 5 k2vF2	+ O	!4		:	(8.50)
3		(kvF )4
		0

ъБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РТЙ ВПМШЫЙИ k НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.47) УФТЕНЙФУС Л ВЕУЛПОЕЮОПУФЙ РТЙ s → 1. рПЬФПНХ ХТБŒОЕОЙЕ Vk˝(s) = 1 ЙНЕЕФ ТЕЫЕОЙЕ РТЙ РТПЙЪŒПМШОП ВПМШЫПН k, РТЙЮЕН s → 1 ÐÒÉ k → ∞. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП !(k) РТЙВМЙЦБЕФУС Л vF k РТЙ ВПМШЫЙИ k, ŒУЕ ŒТЕНС ПУФБŒБСУШ ŒЩЫЕ ЗТБОЙГЩ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП ЛПОФЙОХХНБ !(k) = vF k.

тЕЫЕОЙЕ 44 В. лБЛ НЩ УЕКЮБУ РПЛБЦЕН, ОБ УБНПН ДЕМЕ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РМБЪНЕООЩИ ŒПМО ЙНЕЕФ ФПЮЛХ ПЛПОЮБОЙС РТЙ ОЕЛПФПТПН kmax, ЗДЕ РТПЙУИПДЙФ УМЙСОЙЕ У ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩН ЛПОФЙОХХНПН. дЕМП Œ ФПН, ЮФП РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ (8.44) ОБ УБНПН ДЕМЕ ПУФБЕФУС ЛПОЕЮОЩН ОБ ЗТБОЙГЕ ЛПОФЙОХХНБ. тБУИПДЙНПУФШ ЦЕ ˝(s → 1) → ∞, РПМХЮЕООБС Œ ЮБУФЙ Б), ЕУФШ УМЕДУФŒЙЕ РТЙОСФПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС (8.45). лПОЕЮОПУФШ РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ РТЙŒПДЙФ Л ФПНХ, ЮФП ХТБŒОЕОЙЕ Vk˝(!; k) = 1 ОЕ ЙНЕЕФ ТЕЫЕОЙК ЪБ РТЕДЕМБНЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП ЛПОФЙОХХНБ РТЙ ДПУФБФПЮОП ВПМШЫЙИ |k|.

8.5. теыеойс

199

оБКДЕН ˝(!; k) ФПЮОП, ОЕ ЙУРПМШЪХС РТЙВМЙЦЕОЙЕ (8.45). дМС ЬФПЗП РЕТЕРЙЫЕН

ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.44) Œ ŒЙДЕ		=2m − kv	− ! + k2=(2m − kv	(2ıh—)3 ;
˝(!; k) = 2	! − k2				(8.51)
	n(p)		n p)	d3p

ЗДЕ v = p=m. œ ЬФПН ŒЩТБЦЕОЙЙ ХДПВОП УОБЮБМБ РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП ЛПНРПОЕОФБН p РЕТРЕОДЙЛХМСТОЩН ŒЕЛФПТХ k. рПМХЮБЕФУС

	! k2=2m kpx=m
p0		ı(p02 − px2 )
˝(!; k) = 2	−
−p0		−

− ! + k2=2m − kpx=m	(2ıh—)3
ı(p02 − px2 )	dpx	;	(8.52)

ÇÄÅ px ЕУФШ ЛПНРПОЕОФБ p ŒДПМШ k. пУФБŒЫЕЕУС ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП px ŒЩРПМОСЕФУС ЬМЕНЕОФБТОП. тЕЪХМШФБФ ХДПВОП ЪБРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ

˝(!; k) =							k
	8a	(F (s − a) − F (s + a)) ;				a =	2p0 ; s =
ÇÄÅ				u− x dx = 2u + (1 − u2) ln u +				1 :
F (u) =
			1	1	x2		u	1
			−1		−		−

!	;	(8.53)
vF k
		(8.54)

œЩТБЦЕОЙС (8.53), (8.54) ПРТЕДЕМСАФ ФПЮОЩК РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ. рТПŒЕТЙН, ЮФП РТЙ k p0 РПМХЮБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.47), ОБКДЕООПЕ ŒЩЫЕ. дЕК-

УФŒЙФЕМШОП, РТЙ a = k=2p0 → 0 ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.53) ХРТПЭБЕФУС:

˝(!; k) = −4 F (s) = −	4	4 − 2s ln s	+	1		;	(8.55)
		s		1

−

ЮФП УПŒРБДБЕФ У (8.47).

фЕРЕТШ ŒПУРПМШЪХЕНУС ŒЩТБЦЕОЙСНЙ (8.53), (8.54) Й ПРТЕДЕМЙН ФПЮЛХ ПЛПОЮБОЙС УРЕЛФТБ РМБЪНПОПŒ. зТБОЙГБ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП ЛПОФЙОХХНБ ЕУФШ ! = vF k + k2=2m. ьФП ХУМПŒЙЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ ЛБЛ s − a = 1. рПЬФПНХ ФПЮЛБ ПЛПОЮБОЙС УРЕЛФТБ, ЕУМЙ ФБЛПŒБС ЙНЕЕФУС, ДПМЦОБ ХДПŒМЕФŒПТСФШ ХТБŒОЕОЙА

	(F (1) − F (1 + 2a)) =	k2
8a		4ıe2 :	(8.56)

ьФП ХТБŒОЕОЙЕ ОЕФТХДОП РЕТЕРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ

	1 + a	− 1 =	2k2
(1 + a) ln	a		κ2 ;	(8.57)

ÇÄÅ κ2 = 4ıe2 . рПЛБЦЕН, ЮФП Œ ЙОФЕТŒБМЕ 0 < a 1 Х ХТБŒОЕОЙС (8.57) ŒУЕЗДБ ЙНЕЕФУС ТПŒОП ПДОП ТЕЫЕОЙЕ. дЕКУФŒЙФЕМШОП, МЕŒБС ЮБУФШ (8.57) РТЙ 0 < a < 0:5 НПОПФПООП ХВЩŒБЕФ ПФ ∞ ДП ЪОБЮЕОЙС РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ РТБŒБС ЮБУФШ (8.57) НПОПФПООП ŒПЪТБУФБЕФ ПФ 0 ДП ЪОБЮЕОЙС РПТСДЛБ p20=κ2. œ ÔÏ ÖÅ ŒÒÅÍÑ e2=hv— F 1,

200 змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

РПУЛПМШЛХ НЩ ЪБОЙНБЕНУС ФЕПТЙЕК ŒПЪНХЭЕОЙК Œ РТЕДЕМЕ ВПМШЫПК РМПФОПУФЙ. рПЬФПНХ p20=κ2 1, Й ЪОБЮЙФ Х ХТБŒОЕОЙС (8.57) ЙНЕЕФУС ЛПТЕОШ, РТЙЮЕН ТПŒОП ПДЙО.

йЪ УЛБЪБООПЗП ФБЛЦЕ УМЕДХЕФ, ЮФП ТЕЫЕОЙЕ МЕЦЙФ Œ ПВМБУФЙ a 1. рПЬФПНХ ХТБŒОЕОЙЕ (8.57) НПЦОП ХРТПУФЙФШ, ПФВТПУЙŒ Œ МЕŒПК ЮБУФЙ НБМЩЕ ЮМЕОЩ. рПМХЮБЕН ln(2p0=ek) = 2k2=κ2, ЗДЕ e = 2; 71828:::. у МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША ТЕЫЕОЙЕ ЬФПЗП ХТБŒОЕОЙС ЕУФШ

	1	p		1=2
kmax = κ
	2 ln	κ0			:			(8.58)
оБИПДЙН ЮБУФПФХ РТЙ k = kmax:
			3		p		1=2
!max = vF kmax = !0			2 ln		κ0		:	(8.59)

ðÒÉ e2=hv— F 1 ЮБУФПФБ Œ ФПЮЛЕ ПЛПОЮБОЙС УРЕЛФТБ !0 !max "F .

рПДЮЕТЛОЕН ЕЭЕ ТБЪ, ЮФП ЛМАЮЕŒЩН ПВУФПСФЕМШУФŒПН СŒМСЕФУС ПФУХФУФŒЙЕ ТБУИПДЙНПУФЙ ˝(!; k) ОБ ЗТБОЙГЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП УРЕЛФТБ. пГЕОЙФШ ŒЕМЙЮЙОХ РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ НПЦОП Й ОЕ ŒЩЮЙУМСС ˝(! = vF |k|) ФПЮОП. дПУФБФПЮОП ЪБНЕФЙФШ, ЮФП ЫЙТЙОБ РПСУЛБ, Œ ЛПФПТПН УПУТЕДПФПЮЕОБ ЖХОЛГЙС n(p−) − n(p+) РТЙ НБМЩИ k РПТСДЛБ |k|. рПЬФПНХ ‹−ЖХОЛГЙС Œ (8.45) ЙНЕЕФ ОЕОХМЕŒХА ĂЫЙТЙОХĄ РПТСДЛБ |k|. œ ТЕЪХМШФБФЕ, РТЙ s = !=vF k = 1 МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ТБУИПДЙНПУФШ ŒЩТБЦЕОЙС (8.47) ПВТЕЪБЕФУС ОБ s − 1 ≈ k=p0, Й РПМХЮБЕФУС ˝(! = vF |k|) = 0 ln(p0=k). оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ХТБŒОЕОЙЕ Vk˝ = 1 У МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША УПŒРБДБЕФ У (8.57).

тЕЫЕОЙЕ 44 Œ. тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ЛПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ, РПМШЪХСУШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕН ПУГЙММСФПТПŒ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ. зБНЙМШФПОЙБО HRPA, ДБŒБЕНЩК УХННПК (8.23) Й (8.24), ЛŒБДТБФЙЮЕО. рПЬФПНХ ДЙБЗПОБМЙЪБГЙС РТПЙЪŒПДЙФУС ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ П НОПЗПНЕТОПН ЛМБУУЙЮЕУЛПН ПУГЙММСФПТЕ. хТБŒОЕОЙС ОБ УПВУФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС

ЙНЕАФ ŒЙД	;k’p;k + 2!p1=;k2Vk							!p1=;2k’p ;k :
!2’p;k = !p2									(8.60)
						p		k
							R
оБИПДЙН		2	p;k2 Vk				!p1=;2k’p ;k		(8.61)
’p;k =
		2!1=2				p
	!		−	!p;k			k
						R

хНОПЦБС ЬФЙ ТБŒЕОУФŒБ ОБ !p1=;k2 Й УХННЙТХС РП k, p Й УРЙОБН, РПМХЮБЕН ХТБŒОЕОЙЕ

УБНПУПЗМБУПŒБОЙС:	p k		−
1 = 2Vk		2!p;k			;	(8.62)
		!2		!2
	R
				p;k

(ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ 2 РЕТЕД Vk | УРЙОПŒПЕ ŒЩТПЦДЕОЙЕ).

йФБЛ, НЩ ХВЕДЙМЙУШ Œ УРТБŒЕДМЙŒПУФЙ УППФОПЫЕОЙС (8.26). рТПŒЕТЙН ФЕРЕТШ, ЮФП ПОП УПŒРБДБЕФ У 1 = Vk˝(!; k). дМС ЬФПЗП Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (8.44) ДМС РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ ТБЪДЕМЙН ПВМБУФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП p ОБ ДŒЕ РПД-ПВМБУФЙ: n(p−) > n(p+) = 0 É n(p−) < n(p+) = 1. рТПУФЩН УДŒЙЗПН p → p + k=2 Œ РЕТŒПН УМХЮБЕ, Й p → p − k=2 | ŒП ŒФПТПН, РПМХЮБЕН ПВМБУФЙ Rk É R−k . дЕМБС Œ