Борман Теория разделения изотопов 2007

В классической монографии К.Коэна [1] доказана теорема: при отклонении потока реального каскада L от идеального

(оптимального) L* на величину eL* , L − L* = eL* , отклонение интегрального потока I по каскаду от суммарного потока идеального каскада I * пропорционально e2I * и

I − I *

≤ e2I * .

(1.210)

Из этого следует, что даже при больших отклонениях потоков от потоков в идеальном каскаде, например, e = 0, 2 , ре-

зультирующее отклонение суммарного потока I от I * составит всего несколько процентов: e2 = 0, 22 = 0, 04 , т.е. 4%. По-

этому сумма потоков в ПСК, аппроксимирующая соответствующую часть идеального каскада, незначительно отличается от суммарного потока в идеальном каскаде. Последнее обстоятельство позволяет строить ПСК, близкие по свойствам к идеальным.

Величина суммарного потока ПСК ∑Lj S j будет больше

суммы потоков соответствующего идеального каскада. Мерой проигрыша служит коэффициент полезного действия формы – отношение суммарного потока идеального каскада к суммарному потоку ПСК [7]:

	η =	∑L*	=	8PФ(cP , cF , cW )		=	PФ(cP , cF			.cW )	, (1.211)
		∑Lj S j		ε2	∑Lj S j		∑	ε2Lj		S j
								8

где S j – число ступеней в j-й секции.

Из (1.211) видно, что КПД формы равен также отношению работы разделения, которую каскад совершает в единицу времени (нагрузки) к сумме разделительных способностей ступеней, т.е. характеризует использование разделительной способности каскада. Если считать, что все ступени компо-

91

нуются из одинаковых элементов, то (1.211) можно переписать в виде

η =	PФ(cP, cF , cW )	,		(1.212)
	ZδUЭ
где Z – суммарное число элементов в каскаде, δUЭ				– разде-
лительная способность элемента, и, следовательно,
Z =	PФ(cP, cF , cW )		.	(1.213)
	ηδUЭ

Из (1.213) непосредственно вытекает, что разделительная способность элемента при заданных внешних условиях (величинах внешних потоков и концентраций) и КПД формы определяет полное число элементов в каскаде, а значит, общие затраты на производство изотопного продукта. Тем самым разделительная способность является важнейшей характеристикой элемента.

Связь между внешними и внутренними параметрами произвольной i -й секции ПСК можно найти, используя уравне-

ние (1.85) при L = Li = const .

Si	cik		cik				dc
Si = ∫ds = ∫ dc dc = ∫										=
								2P	(cP −c)
0	ciн	ds	ciн εc(1−c) −							(1.214)
								Li
	=	1		ln		1+ Xi	,
		ε∆Ψi				1− Xi

где Si – число ступеней в i -й секции, ciн – концентрация ценного изотопа в начале секции; cik – концентрация ценного изотопа в конце секции;

X i	=		(cik −ciн)∆Ψ i		;
		(1	+Ψ i)(ciн +cik ) −2ciнcik
				−2Ψ icP

∆Ψi = [(1+Ψi )2 − 4ΨicP ]12 ;

92

Ψi = 2εLP .

Вобласти малых концентраций ( c <<1, cP <<1) решение

будет иметь более простой вид

S

=

1

ln

(1+Ψi )cik

−ΨicP

.

(1.215)

ε(1+Ψ

)

i

(1+Ψ

)c

−Ψ

i

c

P

i

i

iн

Формулы (1.214) и (1.215) справедливы и для секцией, расположенных в обеднительной части каскада, если произвести в них следующие замены:

P → −W , cP → cW .

(1.216)

Частным случаем ПСК является прямоугольный каскад (ПК). Прямоугольным называется каскад с постоянной производительностью L на всех ступенях каскада. Если обозначать через SP и SW числа ступней в обогатительной и обед-

нительной частях ПК, то решение уравнений (1.214) и (1.215) может быть представлено в виде:

	Si =	1	ln	1	+ X	,	(1.217)
		ε∆Ψ		1	− X

где для обогатительной части каскада ( S = SP )

X =	(cP − cF )∆Ψ	,
	(1 +Ψ )(cP + cF ) − 2cPcF − 2ΨcP
	∆Ψ = [(1 +Ψ )2 − 4ΨcP ],

Ψ= 2εLP ,

адля обеднительной части ( S = SW )

X =	(cF − cW )∆Ψ						.
	(1+Ψ )(c	+ c	F	) − 2c c	F	− 2Ψc
	W			W		W

Ψ = 2εWL .

93

В случае очень “короткого” ПК, когда	cP − cF	<<1 и
	cF

cF − cW

<<1, можно считать, что c(1− c) ≈ const = cF (1− cF )

cF

и решения уравнений (1.217) принимает вид:

SP =

cF (1

− cF )

,

(1.218)

c

F

(1

− c

F

) −

2P

(c

P

− c

F

)

ε L

SW

=

cF (1

− cF )

.

(1.219)

c

(1

− c

) −

2W (c

F

F

F

− c )

ε L

W

1.9.2. Противоточная ступень. Представление разделительной колонны как прямоугольного каскада из противоточных ступеней

Противоточной разделительной ступенью назовем разделительную ячейку, в которую встречно подают два потока питания L1 и L2 , и из которой выводят два потока – обога-

щенный L1′ и обедненный L2′′, причем концентрации ценного

компонента в выходящих потоках c′ и c′′ связаны соотношением

	c′	/		c′′	= q	,	(1.220)
	′			′′
					t
1−c			1−c
где qt – «первичный» (термодинамический)							коэффициент

разделения.

Например, в случае дистилляции покидающие ступень пары равновесны стекающей из этой ступени жидкости, так что концентрации в этих потоках связаны соотношением (1.220). При этом величина qt показывает, во сколько раз относительная концентрация ценного изотопа в одной фазе превышает

94

эту концентрацию в другой фазе, при условии, что фазы приведены в соприкосновение и находятся в состоянии термодинамического равновесия.

Любая разделительная колонна может быть схематически представлена рядом противоточных ступеней (рис. 1.17). Такую ступень обычно называют «теоретической», а длину участка колонны, на которой относительная концентрация ценного изотопа возрастает в qt раз принято называть «высотой

эквивалентной теоретической ступени» или сокращенно ВЭТС.

Как правило, в разделительных колоннах поперечный (радиальный) поток вещества отсутствует, так что для всех ступеней выполняется соотношение

L1 = L1′ и L2 = L1′′. (1.221)

Покажем, что при сделанных предположениях противоточная колонна представляет собой прямоугольный каскад, теория которого рассмотрена в разделе 1.9.1.

Рис. 1.17. Разделительная колонна как последовательность противоточных разделительных ступеней. ВЭТС – высота эквивалентной теоретической ступени, на которой концентрация ценного компонента

увеличивается в qt раз

95

Ввведем обозначения	L = L1 + L2 ,					(1.222)
θ =	L1	, 1−θ =		L2		(1.223)
				L
	L
и понятие средней концентрации cs			на входе в s-ую ступень
Lcs = L1c1s + L2c2s ,						(1.224)

где c1s, c2s – концентрации ценного изотопа на входе в s-ую

	ступень.
	С учетом выражения (1.223)
	концентрацию cs можно пере-
	писать в виде
	cs =θc1s +(1−θ)c2s . (1.225)
	Уравнения материального и
	компонентного	баланса		для
	произвольной	s-й	ступени
	(рис. 1.18) в обогатительной
	части колонны (каскада из про-
	тивоточных ступеней), рабо-
	тающей в стационарном режи-
	ме, запишутся в виде
	L1 − L2 = P ,		(1.226)
	L1c′s − L2c′s =		, (1.227)
	= L1c1s − L2c′′s = PcP
	где c′s и c′s′ – концентрации
	ценного изотопа в выходящих
Рис. 1.18. Схема соедине-	из s-й ступени потоках;		P – по-
ния противоточных ступе-	ток отбора из колонны;			cP –
ней в колонне («внутреннее	концентрация ценного изотопа
каскадирование»)	в потоке отбора.

96

С учетом (1.223) соотношение (1.226) можно переписать в виде

θ −(1−θ) =					P		.	(1.228)
Откуда следует, что						L
	1			P
θ =	2	1	+			.		(1.229)
				L

Аналогично, соотношение (1.227) может быть записано

	как				P
	′		′′
		−(1−θ)c2s		=	L cP .		(1.230)
	θcs		=θc1s −(1−θ)cs

Используя понятие средней концентрации (1.225) и обозначение для приращения концентрации ценного компонента на s-й ступени δs = cs′ −c1s , преобразуем выражение (1.230) к

виду

θδ	s	+ 2θc	=	PcP	+ c	s	.	(1.231)
		1s		L

Используя определение коэффициента разделения qt (1.220), можно найти разность концентраций ценного изотопа

в потоках, выходящих из ступени

q

′′

(q

′′

′′

)

c′s −c′′s

c

s

−c′′s =

t

−1)c

(1−c

=

t

s

s

.

(1.232)

1

+(qt

−

′′

′′

1)cs

1+(qt −1)cs

Комбинируя выражения (1.232) с уравнением баланса (1.230), и учитывая, что c′s = c1s +δs , получаем

c

=

1−θ

δ

+

(1−θ)(qt −1)c′s′(1−c′′s)

−

PcP

. (1.233)

1s

1−2θ

s

(1−2θ) 1

+(q

′′

(1−2θ)L

t

−1)c

s

Подставляя (1.233) в (1.231) с учетом (1.229), после несложных алгебраических преобразований находим

97

P

(q

′′

(1

′′

)

2P(c

−c

)

t

−1)c

−c

P

δ

=

1

−

s

s

−

s

.

(1.234)

′′

P

s

L

1+(qt −1)cs

L 1+

L

Для случая слабого обогащения на ступени должны вы-

	полняться следующие	P	условия: qt −1 = εt <<1,	c′′s (1−c′′s ) ≈
	≈ c′s(1−c′s) ≈ cs(1−cs),		<<1 . Учитывая также,	что число
		L

теоретических ступеней в колонне для получения высококонцентрированного изотопа велико, приращение концентрации

	ценного компонента на одной ступени δs						можно заменить
	производной	dc , а уравнение (1.234) переписать в виде
		ds
		dc = εtc(1	−c) − 2P (cP −c),				(1.235)
		ds	L
	где концентрация c = c(s)		является непрерывной функцией
	номера теоретической ступени s, а				L	= L = L .
				2
						1	2
	Уравнение	(1.235) совпадает		с		уравнением (1.85) при

L = const, т.е. с уравнением прямоугольного каскада. Таким образом, математическое описание процесса разделения в установке с «внутренним» каскадированием (т.е. в противоточной колонне) совпадает с описанием процесса разделения в прямоугольном каскаде из однофазных дискретных ступеней.

Если через h обозначить величину ВЭТС – высоту, эквивалентную теоретической ступени, через z продольную координату в единицах длины (ds = h−1dz) и считать, что величина h

от z не зависит, то уравнение (1.235) примет вид
h dc = ε		c(1−c) − 2P (c	P	−c) .	(1.236)
dz	t	L

Величину h для каждого метода разделения изотопов находят, решая задачу конвективной диффузии в противоточной колонне [7]. Анализ показывает, что ВЭТС определяется

98

гидродинамическим режимом течения в колонне, физикохимическими свойствами разделяемой смеси и геометрическими параметрами колонны. Следует отметить, что при использовании 2-фазных колонн (дистилляция, химический изотопный обмен) на их торцах устанавливают специальные устройства, предназначенные для создания противоточного движения фаз путем перевода разделяемой изотопной смеси из одной фазы в другую. Эти устройства называют узлами обращения потоков (УОП) (рис. 1.19а, б) ).

Заметим, что изменение потоков от ступени к ступени (секционирование) в одиночной колонне осуществить невозможно. Поэтому в этом случае соединяют последовательно ряд колонн (секций), в каждой из которых потоки постоянны по длине, но меняются от колонны к колонне. В случае 2-фазных методов каждая колонна (секция) имеет УОП для того, чтобы вернуть в нее ту часть потока, которая не поступает в последующую колонну (секцию). Возможность сокращения потоков позволяет уменьшить объем аппаратуры, а также количество разделяемого вещества, находящегося в этом объеме. Такая установка по сути дела представляет собой прямоугольно-секционированный каскад, процесс разделения в котором описан в разделе 1.9.1. Таким образом, теории каскадов для разделения бинарных изотопных смесей оказывается весьма универсальной. Т.е., с точки зрения теории, не принципиально является ли каскад установкой, состоящей из последовательно соединенных разделительных ступеней, или одиночной противоточной колонной, а также состоит ли ступень из одного или нескольких параллельно соединенных элементов. Равным образом для теории не имеет значения, каким образом организованы потоки внутри элемента: является ли он противоточным, как это имеет место, например, на участке насадочной или пленочной дистилляционной колонны, или работает со смешением потоков, что реализуется при использовании элементов однократного разделительного действия.

99

Рис. 1.19 а. Разде-	Рис. 1.19 б. Схема прямоугольно-секцио-
лительная колонна	нированного каскада из 2-фазных колонн
в 2-фазных мето-	(секций), предназначенных для концен-
дах разделения с	трирования легкого (в случае дистилля-
устройствами об-	ции более летучего) компонента. Секци-
ращения потоков	ей обеднения является нижняя часть пер-
	вой колонны, концентрирование проис-
	ходит в верхней части первой и всех по-
	следующих колонн (секций)

1.9.3. Оптимизация ПК и ПСК в случае «слабого обогащения» [3, 5, 7]

Целью оптимизации при заданных внешних параметрах каскада является определение таких его внутренних параметров, при которых КПД формы каскада имеет максимальное значение.

При оптимизации каскадов, помимо КПД формы, используют понятие КПД ступени (или локального КПД). Опреде-

100