Борман Теория разделения изотопов 2007

Одно из основных свойств преобразования (П2.1) – его линейность: изображение суммы равно сумме изображений, т.е.

[f1 + f2 ]* = f1* + f2* ,	(П2.3)
если λ =const, то
[λ f ]* = λ f * ,	(П2.4)

и в соответствии с (П2.1) изображения первой и второй производной функции имеют вид

f

'

*

= p

f

*

,

(t)

( p) − f (0)

"

*

*

f

'(0)

f

(t)

= p2

f

( p) − f (0) −

,

p

где f *( p) – по-прежнему изображения функции, f ′(0) – значения функции и ее производной при t = 0 . Нетрудно убедиться также, что

t		*	f	*	( p)
∫	f (t)dt	=				.
				p
0

(П2.5)

(П2.6)

f (0) и

(П2.7)

соотношения (П2.3) – (П2.8) позволяют, например, найти изображение решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с помощью чисто алгебраической операции. Пусть, например, уравнение имеет вид

f ′′(t) + a f ′(t) + b f (t) =Ψ (t) ,

(П2.8)

трансформируя уравнение (П2.8) с помощью интеграла Лапласа (П2.1) и учитывая свойства линейности (П2.3), (П2.4), получим

′′	*	′	*	*	=Ψ	*	(t) .	(П2.9)
[ f (t)]		+ a[ f (t)]		+ b[ f (t)]

Подставляя в (П2.9) изображения производных (П2.5) и (П2.6) и решая полученное алгебраическое уравнение относи-

тельно f * (P) , найдем изображение решения

171

Ψ *

( p)

+

( p

2

+

ap) f (0)

+

′

F ( p)

f *( p) =

pf (0)

≡

1

, (П2.10)

p2 +ap +b

F

( p)

2

чтобы получить решение в виде функции от t , необходимо перейти от изображения к оригиналу, т.е. осуществить обратное преобразование.

Если задано уравнение с частными производными (от двух переменных), можно произвести преобразование по одной из переменных, (например, по времени); одновременно трансформируются и граничные условия. Тогда уравнение превратится в обыкновенное и может быть сравнительно легко решено.

Отыскание оригинала

После нахождения операционного изображения решения, необходимо определить соответствующую ему функцию переменной t , т.е. оригинал. Это можно сделать с помощью таблиц изображений и оригиналов [26]. В приведенной ниже таблице даны формулы операционного исчисления, которые могут быть использованы при решении задач описания переходных (нестационарных) процессов в каскадах для разделения бинарных изотопных смесей.

Таблица преобразований Лапласа ( a,b, d, k – различные постоянные)

	Изображение							Оригинал (искомая функция)
			p					e−a t	(П2.11)
		p + a
	1	=1−				p		1 − e−a t	(П2.12)
	p + a					p + a
			b					1 − e−t b	(П2.13)
		1−bp
			1					t	(П2.14)
			p

172

Изображение

Оригинал (искомая функция)

1

( n – целое)

t

(П2.15)

pn

n!

1

2

t

(П2.16)

p

π

1

2

t

+ b

2

erf (b

t ) −1

(П2.17)

p +b

p

b

π

b2

2 t

e

−k 2 4t

−

1 − bk

k

+

d −k p

b π

b2

erf

2

t

(П2.18)

p +b

p

+

1

k

+ b t

erf

b2d bk +b2t

2

t

В приведенной таблице функция erf ошибок определяется соотношением

	2	x
erf x =		∫e−t 2 dt ,	(П2.19)
	π	0

так что erf (0) =1 и erf (∞) = 0 .

Существует также ряд правил и теорем, позволяющих анализировать полученное изображение или переходить от него к оригиналу. Особенно важной является теорема разложения:

если f *( p) – рациональная алгебраическая функция, выра-

женная отношением двух многочленов, т.е.

f * ( p) =

F

( p)

=

a pm

+ a pm−1

+L + a

m

,

1

0

1

F

( p)

b pn

+b pn−1

+L +b

2

0

1

n

где n ≥ m , то искомая функция будет

F1(0)

n

F1(

pk )

f (t)

=

+ ∑

,

'

)

F

(0)

k=1

p

F

( p

k

2

k 2

(П2.20)

(П2.21)

где p1, p2 ,K, pn – корни знаменателя (П2.20), т.е. уравнения

F2 ( p) = 0 .

(П2.22)

173

Приложение 3

Значения корней трансцендентного уравнения [36]

	yP(1−Ψ )					Корни
			µ1	µ2	µ3		µ4	µ5	µ6
2
0			1,570	4,712	7,853		10,995	14,137	17,278
0,1			1,505	4,691	7,841		10,986	14,130	17,272
0,2			1,432	4,669	7,828		10,977	14,123	17,266
0,3			1,352	4,647	7,815		10,968	14,116	17,260
0,4			1,263	4,625	7,802		10,959	14,109	17,255
0,5			1,165	4,603	7,789		10,950	14,102	17,249
0,6			1,052	4,581	7,776		10,940	14,094	17,243
0,7			0,920	4,559	7,762		10,931	14,087	17,237
0,8			0,758	4,537	7,751		10,922	14,080	17,232
0,9			0,541	4,515	7,738		10,913	14,073	17,226
1,0			0	4,492	7,725		10,904	14,066	17,220
1,5			1,128	4,382	7,660		10,858	14,031	17,191
2,0			1,915	4,274	7,596		10,812	13,995	17,162
4,0			3,997	3,916	7,355		10,636	13,856	17,047
6,0			5,999	3,693	7,156		10,475	13,725	16,937
8,0			8,000	3,560	7,002		10,337	13,606	16,834
	∞		0	3,142	6,283		9,424	12,566	15,708
0			1,570	4,712	7,853		10,955	14,137	17,278
-0,1			1,630	4,733	7,866		11,004	14,143	17,284
-0,2			1,688	4,754	7,879		11,014	14,151	17,290
-0,3			1,741	4,775	7,892		11,023	14,157	17,296
0,4			1,790	4,795	7,904		11,032	14,165	17,301
-0,5			1,836	4,815	7,917		11,041	14,172	17,307
-0,6			1,879	4,835	7,929		11,050	14,179	17,313
-0,7			1,920	4,855	7,941		11,058	14,186	17,319
-0,8			1,958	4,874	7,954		11,068	14,193	17,324
-0,9			1,994	4,894	7,966		11,076	14,200	17,330
-1,0			2,028	4,912	7,978		11,085	14,206	17,336
-1,5			2,174	5,003	8,038		11,129	14,241	17,364
-2,0			2,288	5,086	8,096		11,173	14,275	17,393
-4,0			2,570	5,353	8,303		11,335	14,407	17,503
-6,0			2,716	5,537	8,470		11,477	14,528	17,607
-8,0			2,804	5,666	8,603		11,599	14,643	17,702
	∞		3,142	6,283	9,424		12,566	15,708	18,849

174

Часть 2

ТЕОРИЯ КАСКАДОВ ДЛЯ РАЗДЕЛЕНИЯ

МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ

2.1.Разделительная ступень.

Основные характеристики и уравнения ступени [1]

Приведем общие характеристики разделительных ступеней (элементов), предназначенных для разделения однофазных многокомпонентных смесей. Состав смеси, содержащей m химически не реагирующих между собой компонентов, будем

определять их мольными долями (концентрациями) ci = nni

(n – мольная плотность смеси, ni – мольная плотность i-го компонента, i =1, 2,..., m ). Из определения концентраций следует тождество

m
∑c j = 1.	(2.1)

j=1

Из (2.1) следует, что число независимых концентраций равно m −1. Наряду с ci удобно применять относительные концентрации, определяемые по отношению к концентрации "опорного" компонента с фиксированным номером, например, k, то есть

R =	ci	,	i =1, 2,..., m	(2.2)
ik	ck

Поскольку в качестве "опорного" может быть выбран любой из компонентов смеси, всего имеется m таких наборов. Однако каждый набор, например Rik , может быть получен из

175

любого другого, например Rij , по следующим формулам преобразования:

R

=

ci

=

ci

c j

= R R

jk

,

(2.3)

ik

ck

c j

ck

ij

относительные концентрации Rik

и концентрации c j

связаны

соотношениями

Rik

ci

=

, i = 1, 2,..., m .

(2.4)

m

∑Rjk

j=1

Обычно номера компонентов принято располагать в порядке возрастания мольных масс или массовых чисел компонентов, начиная с самой легкой.

Заметим, что при разделении изотопов в виде химических соединений кроме основного процесса в разделительной ступени (элементе) может происходить обмен изотопами между молекулами компонентов, вследствие чего число молекул отдельного компонента не сохраняется. Влияние этого процесса на разделение определяется его относительной скоростью. Дальнейшее рассмотрение будет ограничено случаем отсут-

							ствия обмена (нулевой
							скоростью	обмена), к
					L′ = θL		которому	сводится
L							большинство практиче-
							ских задач разделения.
ci					ci′
							Так же,	как и в слу-
							чае разделения бинар-
L′′ = (1 −θ)L							ной смеси,	рассмотрим
							простую	разделитель-
			ci′′				ную ступень (элемент),
							имеющий один вход и

	Рис. 2.1. Схема разделительной	два выхода (рис. 2.1).
	ступени (элемента)

176

На вход поступает смесь m компонентов, поток питания (производительность ступени) L с концентрациями ci . Из

ступени (элемента) выходят два потока: легкая фракция (поток, обогащенный легкими компонентами) или отбор ступени L′ и тяжелая фракция (поток, обедненный легкими компонентами) или отвал ступени L′′. Концентрации компонентов в отборе равны ci′, а в отвале – ci′′.

Коэффициент деления потоков смеси (срез) θ , парциаль-

ные потоки компонентов Li, Li′,

Li′′

и срезы ϕi

парциальных

потоков определим по формулам

′

θ

=

L

,

′

′

′

,

′′

′′ ′′

L

Gi = Lci, Gi = L ci

Gi

= L ci,

ϕ

i

=

Gi′

, 1−ϕ

i

=

Gi′′

, i =1,

2,..., m.

(2.5)

Li

Li

Балансовые уравнения ступени в стационарном режиме работы в отсутствие потерь имеют вид

L = L′+ L′′,

Gi = Gi′ +Gi′′, i = 1, 2,..., m .

(2.6)

Введенное в (2.5) определение среза дает возможность

уравнения (2.6) представить в виде

c

= θc′

+ (1 −θ)c′′.

(2.7)

i

i

i

Из выражений (2.5) и (2.6) непосредственно следует

m

m

m

L = ∑G j,

L′ =

∑G′j, L′′ =

∑G′′j,

(2.8)

j=1

j=1

j=1

ci =

Gi

,

c′i

=

Gi′

,

c′′i =

Gi′′

, i = 1, 2,..., m .

(2.9)

m

m

m

∑G j

∑G′j

∑ G′′j

j =1

j =1

j =1

m

∑Gi′

(2.10)

θ =

j =1

.

m

∑G j

j =1

177

Для каждого компонента i с относительной концентрацией Rik определяются относительные коэффициенты разделения:

полный qik , в отборе αik

и в отвале βik

и соответствующие

′

′′

коэффициенты обогащения εik , εik

, εik

R′

R′

R

q

=

ik

, α

ik

=

ik

,

β

ik

=

ik

,

R′′

R

R′′

ik

ik

ik

ik

1

ε

ik

= q

−1,

ε′

= α

ik

−1,

ε′′

=1 −

.

(2.11)

ik

ik

ik

βik

При разделении изотопов молекулярно-кинетическими методами величины относительных коэффициентов разделения

можно аппроксимировать соотношениями qij = q0 M j −Mi , где q0 – коэффициент разделения, приходящийся на единицу разности массовых чисел, M i , M J – массовые числа i-го и j-го

компонентов соответственно.

Из определений (2.11) непосредственно следует:

qik = αik βik , qkk = 1, αkk =1, βkk = 1.

(2.12)

При фиксированном номере "опорного" компонента существует набор из m −1 независимых qik (или αik , βik ). По оп-

ределению Rik всего имеется m таких наборов. Однако каждый из них, например qik , может быть преобразован в другой набор, например, qij по формулам

	qij = qik qkj .	(2.13)
Если k ≠ m ,	то при всех i < k значения всех коэффициен-
тов разделения	qik , αik , βik будут больше единицы,	а при
всех i > k – меньше единицы.

Полные коэффициенты разделения qik , как правило, не зависят от состава смеси. В некоторых случаях коэффициенты

178

qik могут зависеть от среза θ . В соответствии с определени-

ем (2.11) уравнения разделения могут быть представлены в виде

c′

=

αik Rik

=

αik ci

,

(2.14)

i

m

m

∑α jk Rjk

∑α jk c j

j=1

j=1

c′′=

(β

ik

)

−1R

(β

ik

)−1c

ik

=

i

,

(2.15)

m

m

i

∑(β jk )−1R jk

∑(β jk )−1c j

j=1

j=1

c′ =

q

R′′

q

c′′

ik

ik

=

ik

i

, i =1, 2,..., m .

(2.16)

m

i

m

∑q jk R′jk′

∑q jk c′′j

j=1

j=1

Из (2.14) – (2.16) следует, что значения ci′ и ci′′ (i =1, 2,..., m)

не зависят от номера «опорного» компонента k . Введем обозначения:

g =

ϕi

=

Gi′

, i ≠ k,

1

Gi′′

i

−ϕi

g

k

=

ϕk

=

G′k

.

1

−ϕk

G′k′

(2.17)

(2.18)

Нетрудно показать, используя (2.5) и (2.8), что величины gi и gk связаны с величинами относительных коэффициентов разделения следующими соотношениями

gi = αik (βik −1) , i ≠ k (2.19)

αik −1

				β	ik	−1			ε′′
g	k	=						=	ik	.	(2.20)
			(α	ik	−1)β		ik		ε′
									ik

179

При этом	gi	= q .	(2.21)
		ik
	gk

Величина gk ( k – номер «опорного» компонента) инвари-

антна	относительно номера компонента, т.е. для всех
i ≠ j	gk будет иметь одно и то же значение.

Приращения концентраций i-го компонента в отборе ступени (положительное или отрицательное) δi′ = ci′ − ci и в от-

вале ступени δi′′= ci − ci′′ (положительное или отрицательное) с учетом (2.11) можно представить в виде

εik′

m

− ∑ε′jk c j

δ′ = c

j=1

,

(2.22)

m

i

i

′jk c j

1 + ∑ε

j=1

εik′′

m

− ∑ε′jk′ c j

δ′′= c

j=1

,

(2.23)

m

i

i

′jk′ c j

1 − ∑ε

j=1

m

(1 + gk )(εik′ − ∑ε′jkc j )

δ

i

= δ′+δ′′

= c

j=1

.

(2.24)

m

m

i i

i

(1 + ∑ε′jkc j )(1 −

∑ε′jk′ )

j=1

j=1

Всоответствии с уравнениями баланса (2.7) величины δi′′

иδi′ должны удовлетворять цепочке равенств:

′= δ2′′′ = ... = δm′′′−1 = 1−θ . (2.25)

δ1 δ2 δm−1 θ

Величины θ и срезы парциальных потоков в соответствии с (2.5), (2.22), (2.23) и (2.24) равны

180