Борман Теория разделения изотопов 2007

лить его можно как отношение приращения ценности, создаваемого ступенью, к ее разделительной способности (мощности):

ηст =

P[V (cP, c) −V (cP,c + ∆c)]

,

(1.237)

Lε 2

8

где

cP

V (cP, c) = P

(2cP

−1) ln

−

1

−c

P

(1.238)

c

(c

−c)(1−

2c)

−(2cP

−1) ln

+

P

.

1

−c

c(1−c)

а ∆c – приращение концентрации на ступени.

Разлагая разность в квадратных скобках (1.237) в ряд вбли-

зи c ,

ограничиваясь первым членом разложения и учитывая,

что

приращение концентрации

на

одной

ступени

∆c = dc

∆s = dc (поскольку ∆s =1), найдем:

ds

ds

4P

∂V (cP, c)

dc .

η

ст

= −

(1.239)

Поскольку

Lε 2

∂c

ds

dc

= εc(1

−c) −

2P(cP

−c)

=

εc(1−c)

−

L*

2

,

ds

L

2

L

*

4P(cP −c)

где L

=

, а производная разделительного потенциа-

εc(1−c)

ла по концентрации с равна

∂V (cP, c)

= −

cP −c

, то КПД

c2(1−c)2

∂c

ступени принимает следующий вид:

η

=

L*

(2 −

L*

) .

(1.240)

ст

L

L

101

Нетрудно видеть, что ηст = 0 при LL* = 0 , т.е. при очень больших потоках ( L → ∞) и при LL* = 2 , т.е. при значении по-

тока, при котором dcds = 0 .

Решение задачи об определении оптимальных условий разделения начнем с простейшего случая – прямоугольного каскада (ПК).

Математический анализ показывает, что чем “короче” ПК, тем выше его КПД формы. Выясним, величину максимального КПД, которую может иметь ПК. Для “короткого” ПК можно принятьc(1− c) ≈ const = cF (1− cF ) , и, следовательно, для

обогатительной части идеального каскада

L* = 4P(cP − c) , εcF (1− cF )

для обеднительной части идеального каскада

L* = 4W (c − cW ) . εcF (1 − cF )

(1.241)

(1.242)

Соответственно, вычисляя суммарные потоки обогатительной и обеднительной частей «короткого» идеального каскада имеем:

		IP =		SP	L*ds =		CP L* (c)dc				=
				∫			∫	dc *
				0			CF				(1.243)
					CP			ds
		8P							1
=					∫	(cP − c)dc =					(L* (cF ))2.
	ε2c2	(1− c	F	)2					4P
	F				CF

102

I

= SW

L*ds = CF

L* (c)dc

=

W

∫

∫

dc *

0

CW

(1.244)

CF

ds

=

8W

(c − c

)dc =

1

(L* (c

))2 ,

ε2cF2 (1− cF )2 C∫

F

W

4W

где

W

dc *

1

εcF (1− cF ) ,

*

4P(cP

−cF )

4W (cF

−cW )

=

L (cF ) =

=

.

2

εcF (1−cF )

εcF (1−cF )

ds

Суммарный поток «короткого» идеального каскада соста-

вит

1

1

1

*

*

2

I = ∑L

= IP + IW

=

+

(L (cF ))

.

(1.245)

4

P

W

Решения (1.218) и (1.219), перепишем в виде:

SP =

L

ln

2

,

(1.246)

2P

*

2 −

L (cF )

L

L

S

=

ln

2

.

(1.247)

2W

W

2

−

L* (cF )

L

Тогда величина КПД формы «короткого» ПК с учетом

(1.245)-(1.247) запишется в виде

η =

∑

L*

=

ς 2

,

(1.248)

L SP + L SW

2 ln

2

2

−ς

где

ς =

L* (cF )

.

L

Величина КПД имеет максимум в зависимости от безразмерного параметра ς , а именно η =ηmax = 0,814 (т.е. 81,4%)

при ςопт =1,43. Величина 81,4% представляет верхний предел КПД, который может быть достигнут в ПК.

103

В общем случае оптимизацию ПК целесообразно проводить следующим образом. По формулам (1.217) с учетом

(1.77) и (1.78) рассчитываем зависимость ε(SP + SW ) от ε2PL .

а)

б)

Рис.1.20. Определение оптимальных параметров каскада при сле-

дующих исходных данных: cp = 3,5%, cF = 0,719%, cw = 0,2%, F/P = 6,353, W/P = 5,353 [4]

104

Далее, используя эти результаты и построив зависимость КПД формы от той же переменной, находим оптимальные

значения ε2Lp и ε(SP + SW ) (рис. 1.20, а, б).

Рис. 1.21. Профили идеального и оптимизированного прямоугольного каскада (потоки выражены в относительных единицах).

Исходные условия: cp = 3,5%, cF = 0,719%, cw = 0,2%, F/P = 6,353, W/P = 5,353 [4]

На рис. 1.21 для заданных значений cp , cF и cw представ-

лены распределения потоков питания ступеней в идеальном каскаде и аппроксимирующем его оптимизированном прямоугольном каскаде. Здесь же приведено распределение Lмин(s) , соответствующее минимальному потоку через каж-

дую ступень. Очевидно, что величина потока прямоугольного каскада (в том числе и оптимизированного) должна превышать величину потока Lмин(cF ) , равную

105

L	(c	F	) =	2P(cp −cF )		=	2W (cF −cw)	.	(1.249)
мин				εcF	(1−cF )		εcF (1−cF )

На рис.1.22 представлено распределение локального КПД по длине оптимизированного прямоугольного каскада. На двух ступенях этого каскада величина локального КПД достигает 100% (на входе в каждую из этих ступеней концентра-

ции c таковы, что L = L*(c) . Монотонное уменьшение ηст у концов каскада, очевидно, связано с тем, что на концевых ступенях каскада ( c → cp , c → cw ) и, соответственно, L* → 0 (см. формулу 1.240).

Рис. 1.22. Распределение КПД ступени (локального КПД) по длине прямоугольного каскада. Исходные данные: cp = 3,5%, cF = 0,719%,

	cw = 0,2%, F/P = 6,353, W/P = 5,353,	εL	= 5, 45 [4]
		2P

106

С ростом длины каскада, величина КПД прямоугольного каскада снижается, что наглядно демонстрируют данные, приведенные в табл. 1.4

Таблица 1.4

Параметры ПК, оптимизированных по величине КПД формы (разделяемая смесь 235UF6/238UF6) [4]

	cP ,%			3,5	5,0	20	20	93,5	93,5	93,5
	cF ,%			0,7	0,7	0,7	3,5	0,7	3,5	5,0
	cW ,%			0,2	0,2	0,2	0,7	0,2	0,7	0,7
	∆U / P			5,356	8,765	45,397	8,261	235,285	26,583	45,286
	F/P			6,353	9,241	38,121	6,934	179,630	33,367	21,675
	εL/2P			5,443	8,241	35,094	6,869	155,644	33,468	24,091
	εSP			2,438	2,948	5,092	2,860	9,432	7,716	7,386
	εSW			2,672	2,628	2,8562	3,268	3,334	3,894	4,688
	ε(S	P	+ S )	5,010	5,576	7,764	6,128	12,766	11,610	11,966
			W
	η, %			78,6	76,3	66,7	78,5	47,4	58,2	62,8

Задача оптимизации ПСК для заданных величин P , cP , cF , cW , ε , числа прямоугольных секций в обогатительной и

обеднительной частях каскада сводится к определению оптимальных параметров, соответствующих максимальному значению КПД формы, а именно потоков во всех секциях, концентраций на границах («стыках») секций и соответственно чисел ступеней во всех секциях.

Оптимальные значения “стыковых” концентраций находят следующим образом. Для ПСК, состоящего из k прямоугольных участков, сумму потоков можно записать виде:

107

k	k	ci
		K
∑LiSi	= ∑Li ∫		dc	,	(1.250)
			dc ds
i=1	i=1	ci
		H

где cHi , cKi – концентрация ценного изотопа в начале и конце i -й секции соответственно. Для нахождения оптимума (минимума) соотношения (1.250) продифференцируем его по cKi ,

учитывая, что cKi входит в уравнение дважды: как верхний предел интеграла для секции i и как нижний – для секции i +1 (так как cHi+1 = cKi ). Поскольку производная интеграла по

нижнему пределу отрицательна, условие оптимума (минимума) будет иметь вид:

∂

k

L

L

∑LiSi

=

i

−

i+1

= 0 ,

(1.251)

∂c

dc

i

i+1

i i=1

dc

ds

K

ds H

dc i

dc i+1

где

,

– значения производных в конце i -й сек-

ds K

ds H

ции и в начале i +1-й секции соответственно.

Учитывая соотношения (1.85) и (1.144), условие (1.251)

можно преобразовать к виду
		ηi	=ηi+1	,	(1.252)
		CT,K	CT ,H
где η i	, ηi+1	– локальные КПД в конце секции i			и вна-
CT , K	CT ,H

чале секции i +1 соответственно. Полученное условие (1.252) означает, что при оптимальном соединении секций в ПСК локальные КПД в точке перехода от предыдущей секции к последующей должны быть равны.

Подставляя в (1.252) значенияηCTi ,K , ηCTi+1,H , после несложных преобразований получим:

108

L* =

2Li

,

(1.253)

где

i

σi

+

1

*

4P(cP − cKi )

4P(cP − cHi+1

L

=

=

(1.254)

εcKi (1− cKi )

εcHi+1(1− cHi+1

i

– идеальный поток в точке перехода,σi =

Li

– величина,

Li+1

называемая коэффициентом

ступенчатости.

Обозначая

ci

= ci+1

= c , соотношение (1.253)

с учетом (1.254) приво-

K

H

*

дим к квадратному уравнению:

c2

− (1 + ϕ

)c

+ ϕ

c

P

= 0 ,

(1.255)

*

i

*

i

где

ϕi =

2P(σi +1)

.

Корни этого уравнения определяют оп-

ε Li

тимальные значения концентраций в точках перехода:

1+ϕ

i

1+ 2(1−2C

P

)ϕ

i

+ϕ2

c

=

±

i

.

(1.256)

*

2

2

Для секций обогатительной части каскада в формуле (1.256) следует выбирать знак минус.

Зная значения Li во всех секциях обогатительной части

ПСК по формуле (1.256) определяют значения всех «стыковых» концентрации. Далее по формуле (1.214) находят числа ступеней на прямоугольных участках ПСК, и тогда расчет обогатительной части оптимального ПСК будет завершен. Аналогично проводится расчет обеднительной части оптимального ПСК. При этом необходимо во всех формулах про-

извести соответствующие замены ( P → −W ,	cP → cW ), а в
формуле (1.256) следует выбрать знак плюс.
Для случая малых концентраций ( c <<1,	cP <<1 ) соот-

ношение (1.256) упрощается и может быть приведено к виду

109

Рис. 1.23. Схемы ПСК, оптимизированные по исходным данным: cp = 3,5%, cF = 0,719%, cw = 0,20%, FP = 6,3535, WP = 5,3535

(Каскад 1 – прямоугольный; каскад 2 – одна секция в обеднительной части, две – в обогатительной; каскад 3 – две секции в обеднительной, две секции в обогатительной; каскад 4 – две секции в обеднительной, три – в обогатительной; каскад 5 – три секции в обеднительной части, три – в обогатительной) [4]

110