Борман Теория разделения изотопов 2007

считаем известными) можно рекомендовать следующую последовательность расчета:

1.Для целевого компонента задаем величину Qn (точнее,

всоответствии с (2.113) величину M .

2.По соотношению (2.113) определяем все остальные Qi .

3. Решая совместно (2.107) – (2.108) для i = n , находим

SP и SW .
4. Далее по	(2.107)-(2.108) находим все остальные
ciP (i ≠ n) и ciW	(i ≠ n) , а по (2.109) и (110) потоки отвала и
питания.

5.По формулам (2.100) и (2.103) определяем распределения потоков в отборной и отвальной частях каскада, а соотношение (2.121) позволяет вычислить суммарный поток каскада.

6.Оптимальную величину М следует определять из усло-

вия ∑L = min .

На рис.2.7 представлена зависимость относительного суммарного потока ε0∑L2P Q-каскада, разделяющего природ-

ную смесь изотопов криптона (см. табл. 2.3), от величины параметра М при фиксированном значении концентрации ключевого компонента 78Kr в потоке отвала c1W =0,12 для трех

значений концентрации этого компонента в потоке отбора: c1P =20% (кривая 1), c1P =30% (кривая 2) и c1P =50% (кри-

вая 3).

Таблица 2.3

Природный состав изотопов криптона.

Номер компонента	1	2	3	4	5	6
Изотоп	78Kr	80Kr	82Kr	83Kr	84Kr	86Kr
Концентрация, ciF , %	0,35	2,27	11,56	11,52	56,90	17,40

211

Все кривые имеют минимум. Отметим, что в каждом случае оптимальная величина параметра М, соответствующая минимуму суммарного потока, равна полусумме величин массовых чисел ключевого компонента и одного из соседних

компонентов. Для кривой 1 Мопт = 81 = (М1 + М5)/2 = (78 + + 84)/2, для кривой 2 Мопт = 80,51 = (М1 + М4)/2 = (78 + 834)/2, а для кривой 3 Мопт = 80 = (М1 + М3)/2 = (78 + 82)/2.

Из информации, приведенной в разделе 2.3.4.2, станет ясно, что в рассмотренных примерах оптимальные условия разделения соответствуют Q-каскадам, на входах в ступени которых имеет место несмешение по относительным концентрациям Rnk = cn ck , где n – номер ключевого (целевого)

компонента, k – номер опорного компонента, выбор которого для каждого примера обеспечивает условие ∑L = min .

Рис. 2.7. Зависимость относительного суммарного потока в Q-каскаде при обогащении 78 Kr от величины параметра M. Кривая 1 для C1P = 20% , 2 для C1P = 30% и 3 для C1P = 50%

212

Отметим, что для получения по формулам (2.101), (2.102), может быть использован подход, предложенный Б.В. Жигаловским [3]. В нем автор постулирует, что срезы парциальных потоков в каскаде могут быть представлены в виде

ϕ	i	=	1 (1	+ε	), 1 =1, 2, ..., m ,	(2.122)
			2	i

где εi – константы, не меняющиеся по величине при перехо-

де от ступени к ступени.

Нумеруя, как и раньше, ступени отборной части каскада от отборного конца к точке подачи питания, обозначим поток i-го компонента, проходящий через сечение между (l +1) -й и

l-й ступенями через Ji = PciP . Тогда в отсутствие потерь на ступенях балансовые уравнения можно записать в виде

′

′′

i =1, 2, ..., m

(2.123)

Gi(l +1) −Gi

(l) = Ji,

или

ϕiGi(l +1) −(1−ϕi )Gi(l) = Ji.

(2.124)

С учетом (2.122) уравнения (2.124) преобразуются к виду

G (l +1) −G (l) = 2

εi

G

(l) +

2Ji

, i =1, 2, ..., m . (2.125)

1+ε

1+ε

i

i

i

i

i

Для случая, когда εi

<<1, уравнение (2.125) можно пере-

писать в виде

dGi

== −2ε

G

+ 2J

,

i =1, 2, ..., m .

(2.126)

dl

i

i

i

Решение

этого

уравнения,

удовлетворяющее

условию

Gi(0) = PciP , есть

G

(l) =

PciP

1−exp(−2ε

i

l) ,

i =1, 2, ..., m.

(2.127)

i

εi

(

)

Полный поток через ступень определяется выражением

m

c

jP

L(l) = P∑

1

−exp(−2ε jl) .

(2.128)

ε

j=1

j

213

Для концентрации i-го компонента получаем выражение:

ci(l) = mGi (l)

∑G j (l)

j=1

		ciP
						1−exp(−2εil)
=		ε		i
									.	(129)
	m		c
	∑				jP		1	−exp(−2ε jl)
	j=1			ε
						i

Каскад, производительность ступени которого определяется формулой (2.128), в работе [3] назван «свободным» каска-

дом. Сравнение (2.99) и (2.127), (2.100) и (2.128), (2.101) и (2.129) показывает, что при условии Qi ≡ 2εi введенные выше

понятия Q − каскада и «свободного» каскада идентичны.

На примере диффузионной ступени в работе [3] выявлен

физический смысл констант εi (или Qi ).
εi −εk = ε′ik = εik / 2 ,	(2.130)

то есть 2εi ≡ Qi, 2εk ≡ Qk .

Определение «свободный» каскад согласно [3] означает, что суммарный (по всем компонентам смеси) поток L(l) от

ступени к ступени изменяется в соответствии с изменением величины потока каждого из компонентов при прохождении через разделительную ступень. При этом перенос каждого компонента не зависит от переноса других компонентов.

2.3.4.2. R-каскады и их свойства

В случае многокомпонентной смеси создать каскад, в котором не происходит смешения потоков с разными концентрациями всех компонентов или нескольких (больше 2) компонентов невозможно, строго говоря, вследствие различия в величинах Qi (или εi ), определяющих изменения количества

i-ого компонента при движении по каскаду. Однако, как показывает анализ соотношений (2.100) – (2.108) и (2.113), можно, оставаясь в рамках Q − каскадов («свободных» каскадов)

214

построить такие каскады, в которых не происходит смешения по парам концентраций cn и ck (точнее по относительным

концентрациям Rnk = cn /ck ). Очевидно, должно существовать

m (m −1) каскадов для m – компонентов смеси, каждый из

2

которых для пары произвольных компонентов ( cn , ck ) явля-

ется «идеальным». Покажем, что случай

M ≡ M * = M n + M k

2

	=	1		(2.131)
или Qn		2	εnk

соответствует каскаду, на входах в ступени которого смешиваются потоки с одинаковым отношением концентраций n-го и k-го компонентов Rnk = cn / ck . Такой каскад, детально изу-

ченный для 3-компонентной изотопной смеси в классической работе [13] был назван R-каскадом. Если параметр М задан в виде (2.131), то выражение (113) может быть переписано в виде

Q = ε		(	M n + M k	− M		)	(2.132)
i	0	2			i
и в частности,		Qk = −Qn .					(2.133)

При задании Qi в виде (2.132) из (2.107) и (2.108) с учетом уравнений баланса (2.43) можно непосредственно получить

RP

≡

cnP

cnF

= exp(Q

S

p

) ;

(2.134)

nk

ck P

ck F

n

RW

≡

cnW

cnF

= exp(−Q S

W

) ,

(2.135)

nk

ckW

ck F

n

где индексы P и W показывают, что значения относительных концентраций Rnk взяты для потоков отбора и отвала соот-

ветственно.

215

Уравнения (2.134) и (2.135) означают, что в выбранном

	каскаде относительные концентрации R	nk	=	cn	на входах в
				ck

разделительную ступень одинаковы, т.е. выполняется условие несмешивания относительных концентраций Rnk .

Из соотношений (2.134) и (2.135) следует, что задание относительных концентраций Rnk в потоках отбора и отвала

позволяет однозначно определить количество ступеней SP и SW , и следовательно, в соответствии с формулами (2.99) –

(2.104), (2.107) – (2.110) полностью рассчитать каскад. Одновременно при задании Qi в виде (2.132) выражение

для суммарного потока (2.121) существенно упрощается. Действительно, из (2.107) и (2.108) с учетом условия (2.133) имеем

Pc

(exp(−Q S

) −1) = −Pc

ci, f

Qi

(exp(Q S

−1)) (2.136)

iP

P

k P c

Q

P

i

k, f

n

n

Pc

(exp(Q S

) −1)

= −Wc

ci, f

Qi

(exp(Q S

−1)) . (2.137)

iW

W

k W c

Q

W

i

k, f

n

n

Суммируя (2.136) и (2.137) с учетом (2.43), (2.134) и (2.135), можно получить равенство

PciP(exp(−QiSP −1)) +WciW (exp(QiSW −1)) = 0 ,	(2.138)
справедливое для любого i. Кроме того, непосредственно из
соотношений (2.134), (2.135) с учетом уравнений	баланса

(2.43) следует:

Pc S

P

−Wc S

Pc ln RP

+Wc

ln RW

−Fc

ln RF

iP

iW

W

=

iP

nk

iW

nk

iF

nk

,(2.139)

Qi

QiQn

где RP

=

cnP

,

RW

=

cnW

,

RF

=

cnF

.

nk

ckP

nk

ckW

nF

ckF

216

Подставив соотношения (2.138) и (2.139) в выражение для суммарного потока (2.121) и заменив Qn и Qi по формулам

(2.131), (2.132), получим

2

m

Pc

jP

ln RP

+Wc

jW

ln RW

− F ln RF

∑L =

∑

nk

nk

iF nk

. (2.140)

2

M − M

ε

0 j=1

(M k − M n)

k

n

− M j

2

Уравнение (2.130) с учетом (2.134), (2.135) и (2.43) легко преобразуется к виду

PciP (RnkP )−di +WciW (RnkW )−di − FciF (RnkF )−di = 0 ,

				Qi	(2.141)
	d	i	=		, i =1.K, m, i ≠ n, k.
				Qn

Уравнения (2.141), связывающие внешние потоки R- каскада и концентрации компонентов в этих потоках, носят названия Н-баланса [13]. Следует иметь в виду, что уравнения (2.141) содержат m − 2 независимых соотношений, так как при i = n и i = k они трансформируются в уравнения покомпонентного баланса для n-го и k-го компонента. Уравнения (2.141), совместно с уравнениями покомпонентного баланса (2.43) (m уравнений) и очевидными соотношениями

m	m
∑c jP =1 и	∑c jW =1 образуют систему m − 2 + m + 2 = 2m
j=1	j=1

независимых алгебраических уравнений, содержащую 2m + 3 неизвестных параметра ( 2m выходных концентраций: ciP и

ciW , потоки P, W и F). Таким образом, проектировочный расчет R-каскада предполагает задание (2m + 3) − 2m = 3 параметров (например, ciP , ciW и P), остальные параметры опре-

деляются из решения указанной алгебраической системы.

В разделительной практике могут встречаться варианты расчета каскада из заданного числа разделительных элемен-

217

тов, т.е. каскадов с известным суммарным потоком. В этом случае система алгебраических уравнений должна быть дополнена уравнением (2.140), после чего для её решения достаточно задать лишь два параметра (например, cnP и P).

Заметим, что при k = n +1 получается R-каскад, позволяющий выделять в потоке отбора целевой (n-й) компонент вместе с 1-м, 2-м, …, (n-1)-м компонентами и препятствовать появлению в этом потоке компонентов с номерами n + 1, n + 2, … , m.

Рассмотренный частный случай Q-каскада (R-каскад) при переходе к двухкомпонентной смеси позволяет получить формулы для идеального каскада без смешения концентраций на входах в ступень. Это непосредственно следует из формул (2.134), (2.135). Легко показать, что в этом случае формула для суммарного потока (2.140) также превращается в известную формулу для идеального каскада.

2.3.4.3.Решение системы уравнений каскада с несмешением по относительной концентрации для выбранной пары компонентов методом Б.В. Жигаловского [3]

Рассмотрим некоторую пару компонентов с номерами n и k как опорную. Отсчет ступеней будем вести от отборного конца каскада. Для k-го компонента уравнение обогащения может быть записано в виде

dck

m

2P (ckP −ck )

= −ck ∑εijc j +

,

(2.142)

dl

j=1

L

где l = SP − s,

SP

– число ступеней в отборной секции кас-

када.

Уравнение (2.142) перепишем в виде

1

dc

m

2Pc

2P

= −∑εijc j +

k

kP

−

L .

(2.143)

c

k

dl

Lc

j=1

k

218

Аналогично для n-го компонента имеем

1					dc	m		2Pc		2P
						= −∑εijc j
					n		+	nP	−	L .
	c	n			dl			Lc
						j=1		n
Вычитая (2.142) из (2.143) и учитывая, что
m							m	(εnj −ε jk )c j =
−∑			(εnj −εkj )c j = −∑
j=1							j=1
					m		m
		= ∑εnkc j = −εnk ∑c j = −εnk ,
					j=1		j=1

(2.144)

(2.145)

получим

1

dcn

1

dck

2P

ckP

−

= −ε

nk

+

cnP

−

.

(2.146)

cn dl

ck dl

L

cn

ck

Примем, что величина потока L равна

4P

ckP

L =

cnP

−

.

(2.147)

cn

ck

εnk

Подставляя выражение (2.147)в (2.146), получаем

d

ln

cn

= −

εnk ,

(2.148)

dl

c

2

k

откуда, учитывая, что cn(0) = cnP

и ck (0) = ckP , следует соот-

ношение

c	n	=	c	nP		−	ε	nk		(2.149)
					exp
ck			ckP
								2

или

R

=

RP

exp

εnk

l

,

(2.150)

nk

nk

2

cn

cnP

где R =

,

RP

=

.

nk

ck

nk

ckP

Решения (2.149) и (2.150) соответствуют аналогичному решению для двухкомпонентной смеси, разделяемой идеальным каскадом:

219

	c		c		ε	12
	1	=	1P	exp			l	,	(2.151)
	c2		c2P		2

а соотношение (2.147) является обобщением соотношения для распределения потока в идеальном каскаде:

4P

c

−c

4P

c

c

L =

1P

1

или

L =

1P

−

2P

,

ε

12

c (1

−c )

ε

12

c

c

2

1

1

1

где c2 =1−c1, c2P =1−c1P .

Найдем решение уравнения

,

dci = −ci ∑εijc j + 2P (ciP −ci )

m

dl

j=1

L(cn, сk )

(2.152)

(2.153)

где L(cn, сk ) определяется соотношением (2.146) для прочих

компонентов в каскаде с несмешением по Rnk = cn (i ≠ n, k) . ck

Умножая (2.153) на cn , а уравнение для n-го компонента

	dcn	m	2P (cnP −cn)
		= −cn∑εnjc j +		(2.154)
	dl		L(cn, ck )
		j=1

на ci и вычитая (2.153) из (2.154) с учетом того, что поток L(cn, сk ) определяется соотношением (2.147) , получаем

d

ci

= ε

ci

−

εnk

ck

ciP

/ cnP −ci / cn

.

(2.155)

ni

2

/ cnP −ck / cn

dl cn

cn

cn ckP

Из соотношения (2.149), логарифмируя и дифференцируя,

	находим
		2	1			ck
	dl =				d		.	(2.156)
		εnk ck / cn
					cn

Используя выражение (2.156), преобразуем уравнение

(2.155) к виду

220