Борман Теория разделения изотопов 2007

		β s(β 2 −1) Y + β s(β −1) Y			= β s −1,	(1.404)
		θsLs	s	s−1
где Y	=		.
s		W

Уравнение (1.404) представляет собой неоднородное разностное уравнение первого порядка, общее решение которого имеет вид [26]

= k

1

s−1

β −s

1

Ys

−

−

+

.

(

)(

)

(

)(

)

(1.405)

β +1

β −1 2β +1

β −1 β +

2

1 ≤ s ≤ f −1.

Константу k определяют, используя граничное условие:

Y

=

θ1L1

=

θ1

=

1

:

β (β +1)

1

W 1−θ1

k =

1

+

1

−

1

.

(1.406)

β (β +1)

β (β −1)(2β +1)

(β −1)(β + 2)

Для обогатительной части каскада комбинирование урав-

нений (1.393) и (1.394) с учетом (1.400) и (1.401) дает

(

)

s

(β −1)X

s−1

(

)

(

)

β

2

−1 X

+

=

β N

−s+2

−1

+γ

β N −s+1 −1 ,

(1.407)

где X

s

=

θsLs

,

γ =

P1

.

P1

P2

θN LN

Учитывая, что

X

N

=

, решение (1.407) можно запи-

P1

сать следующим образом

X

= −(β +1) N−s −

β(β +γ)

−(β +1) N−s −β N−s

+

s

(β −1)(2β +1) {

}

(1.408)

1+γ

(β +1) N−s

+

−

−1 ,

f −1≤ s ≤ N.

(β −1)(β +2)

{

}

Для (N – 1)-й и (N – 2)-й ступеней решение (1.408) преображается к виду

151

			XN −1 = γ,				(1.409)
	X		=		1	= β 2 + β +1.	(1.410)
		N −2		θ

При s = f −1 справедливы соотношения (1.405) и (1.406),

так что можно записать равенство

X

f −1

= Y

W .

(1.411)

f −1

P

1

С другой стороны, из общих уравнений баланса следует

F = P1 + P2 +W ,

(1.412)

Fc

F

= Pc

+ P c

+Wc

.

(1.413)

1

P1

2 P 2

W

С учетом (1.400) и (1.401) получаем

W

=

β +γ +(1+γ)/ β N − f +1

.

(1.414)

P1

1

1

β N − f +1 −

β N +1

Исключая из выражений (1.390) и (1.393) отношение W ,

P

окончательно имеем

1

d − βl −a + r

γ =

,

(1.415)

b +l −r

β N − f +2 −1

где

a =

Y

,

(1.416)

1−1/ β f

f −1

β N − f +1 −1

,

(1.417)

b =

1−1/ β f

Y

f

−1

d = −(β +1) N − f +1 ,

(1.418)

β

−(β +1) N − f +1 − β N − f

+1

l =

{

}

,

(1.419)

(β −1)(β + 2)

152

	−(β +1) N − f +1		−1
r =					.	(1.420)
		(β −1)(β + 2)

Таким образом, если заданы величины β, N, f , соотноше-

ния (1.400), (1.401), (1.408), (1.411) и (1.412) образуют пол-

ную систему для определения величин P1/P2 и W /P1 , а также

распределения концентраций и потоков по длине каскада. Распределения концентраций c′s и потоков по ступеням иде-

ального несимметричного каскада при значениях параметров k = 2, p = 2 N = 7; f = 4; β =1,303; θ = 0,25 для разделяемой смеси 235UF6/238UF6 [14] приведены в табл. 1.6.

Таблица 1.6

Распределение концентраций c′s и потоков в идеальном несимметричном каскаде (значения параметров приведены в тексте)

γ = P1/P2 = 2,868	W /P1 =12, 479	cW = 0, 246%
Номер ступени	c′s , %	θsLs /P1
1	0,545	4,160
2	0,710	5,546
3	0,925	7,400
4	1,205	8,473
5	1,570	4,000
6	2,045	2,868
7	2,664	1,000

В соответствии с формулами (1.62), (1.398), (1.399) и (1.409) удельная разделительная способность ступени несимметричного каскада при значениях параметров k = 2, p = 2 бу-

дет рассчитываться по формуле
δUo =δU / L = (1−3θ) ln β .	(1.421)

153

Подстановка данных, приведенных в табл. 1.6, в выражение для удельной разделительной способности (1.421) дает значение δU0 = 0,198 .

Суммарное число разделительных элементов в каскаде может быть рассчитано по формуле

	∑Z =		∆U					,			(1.422)
			δU				0
∆U = PV (c	) + P V (c		) +WV (c ) − Fv(c							F	),
1	P1 2	P 2							W
где							c
V (c) = (2c −1) ln									≈ ln c.
				1		−c

1.12.2.Несимметричный идеальный каскад

смалым обогащением на ступени

Для малых обогащений на ступени можно считать концентрации всех отборов и соответственно всех отвалов приближенно одинаковыми. Это значительно упрощает условия на концах каскада ( P = P1 +L+ Pk , W = W1 +L+WP−1, cP = cP1 = L = cPK , cW = cW1 = L = cWP−1 ).

Составляя уравнения баланса потоков для смеси и для одного из компонентов в сечении между s -й и s +1-й ступенью получим:

As + As−1 +L+ As−k +1 − Bs+1 − Bs+2 −L− Bs+ p−1 = P ,

(1.423)

A (c

s

+

δ′) + A

(c

s−1

+δ

′

−1

+L

+ A

(c

s−k +1

+

s

s

s−1

s

s−k +1

+δ′

) − B

(c

s+1

−δ′′

) − B

(c

s+2

−δ′′

) −L

(1.424)

s−k +1

s+1

s+1

s+2

s+2

L− B

(c

s+ p−1

−δ′′

) =

Pc

P

,

s+ p−1

s+ p−1

где As , Bs – обогащенный и обедненный потоки на s-й ступени. Будем, как и раньше, обозначать разность cs+1 − cs че-

154

рез dcdss . Так как величины δ и dcdss по определению малы по

сравнению с cs , а числа p и k невелики (не больше не-

скольких единиц), то с точностью до малых второго порядка можно принять.

δs′ = δs′−1 = K = δs′−k +1 = δ′,

′′

′′

=

′′

′′

= δ

δs+1

δs+2

= K = δs+ p−1

,

(1.425)

dcs

=

dcs−1

= K =

dc

,

ds

ds

ds

cs = cs−1 = K = c.

Для каскадов с непрерывным распределением параметров можно также считать

As = As−1 = K = As−k +1 = A = θ L, (1.426)

Bs+1 = Bs+2 = K = Bs+ p−1 = B = (1−θ)L.

Величина θ в этих равенствах может быть найдена из уравнения (1.423), которое с учетом принятых приближений может быть переписано в виде:

k A − ( p −1)B = P . (1.427)

Считая P малым по сравнению с L , получим из (1.426) и (1.427):

A

=

θ

p −1

,

(1.428)

1

−θ

k

B

откуда

p −1

θ

.

(1.429)

k + p −1

Формула (1.429) получена с такой же степенью приближения, с какой в симметричном каскаде θ = 12 . Это значение θ

очевидно получается из (1.429) при k =1 и p = 2. С учетом

выражений (1.425) и (1.426) уравнение (1.424) перепишется в виде:

155

k Ac + k Aδ′− A dc [(1+ 2 + 3 +K+ (k −1)] − ( p −1)Bc +

ds

(1.430)

+ ( p −1)Bδ′′ − B dc [(1 + 2 + 3 +K+ ( p −1)] = Pc

,

p

ds

k(k −1)

а поскольку

[1 + 2 + 3 +K+ (k −1)] =

, [1 + 2 + 3 +K+

p( p −1)

2

K+ ( p −1)] =

, то

2

k Ac + k Aδ′− 1 dc [k(k −1)A + p( p

−1)B]

−

2 ds

(1.431)

− ( p −1)Bc + ( p −1)Bδ′′ = Pc

P

.

Умножая выражение (1.427) на c и вычитая его из (1.431),

получим:

1 dc[k(k −1)A + p( p −1)B] =

(1.432)

2 ds

= kAδ′+ ( p −1)Bδ′′− P(cP − c).

Решая это уравнение относительно dc

с учетом (1.426) и

(1.428), будем иметь

ds

2P

dc =

2θ

εc(1− c) −

(c

p

− c) .

(1.433)

k( p −1)L

ds

p −1

Уравнение для приращения концентраций (1.433) является обобщением уравнения (1.85) на случай несимметричного каскада.

Рассмотри теперь условия, которым должен подчиняться идеальный каскад. Точно так же, как и для симметричных каскадов, условие несмешения может быть записано в виде:

c	s−k	+ δ′	−k	= c	s	= c	s+ p−1	−δ′′	,	(1.434)
		s						s+ p−1

или с учетом принятых приближений, вытекающих из малости обогащения на ступени

c	− k dc +δ′ = c	s	= c	s	= ( p −1) dc −δ′′.	(1.435)
s	ds				ds

156

Условия (1.435) можно также переписать в виде:
	δ′+δ′′			= δ′ =		δ′′		,
	p + k −1					p −	1
				k						(1.436)
	dc =	δ′+δ′′			.
	ds	p + k −1

Легко проверить, что первое из условий (1.436) с учетом (1.430) совпадает с условием баланса. Таким образом, первое условие в несимметричном каскаде с произвольными p и k

выполняется автоматически так же, как и для симметричного каскада.

Из сравнения второго условия (1.436) с уравнением (1.433) следует, что для выполнения условия несмешения второй член справа от знака равенства уравнения (1.433) должен

равняться половине первого, т.е.
k L* =	2P(cp − c)
		.	(1.437)
	θεc(1− c)

Формула (1.437) дает распределение потоков в идеальном несимметричном каскаде в зависимости от концентрации. Второе из соотношений (1.436) дает зависимость концентрации от номера ступени. Суммарный поток в каскаде составит:

	∑L	*	cF	2W (c − cW )dc	c p	2 p(cp − c)
			= C∫		+ c∫
							. (1.438)
				θ(1−θ)ε2c2 (1− c)2		θ(1 −θ)ε2c2 (1− c)2
			W		F

Вынося за знак интегрирования не зависящую от c величину θ(1−θ)ε2 , можно вычислить оба интеграла в выражении (1.438). В результате получим:

	*				2
	∑L		=				PФ(сP , cF , cw)	(1.439)
				ε
					2θ(1−θ)
или	∑	θ(1−θ)Lε2				= PФ(сP , cF , cW ),		(1.440)
				2

157

где Ф(cP ,cF ,cW ) – функция ценности, определяемая форму-

лой (1.130).

Соотношения (1.439) и (1.440) могут быть получены также из условия минимума суммарного потока. Таким образом, в каскаде с произвольными значениями параметров p и k все-

гда можно найти распределение L* , обеспечивающее отсутствие смешения различных концентраций (или минимальность суммарного потока). Для каскада с известными внешними параметрами произведение РФ есть величина заданная; для того, чтобы каскад при заданных внешних условиях имел наименьшее число элементов, необходимо, чтобы выражение

1в соотношении (1.439) было минимальным. Это

θ(1−θ)ε2

условие позволяет найти наивыгоднейшую величину θ , а, следовательно, и наилучший коэффициент несимметричности. Так, для элементов, в которых разделение происходит вдоль некоторого канала, можно принять, что [5, 7]

ε = ε		1	ln	1	,	(1.441)
				1−θ
	* θ

где ε* – постоянная величина, определяемая отношением раз-

ности масс изотопов к средней массе изотопной смеси. В данном случае функция

1		=	θ
	θ(1−θ)ε2(θ)		(1−θ) ln	2	1
					θ(1−θ)

имеет минимум при θ ≈ 0,8 , что соответствует несимметричному каскаду с одним потоком «вперед» и четырьмя потока-

	p = 5, θ	=	4
ми «назад» k = 1,			5	.

158

1.12.3. Прямоугольный несимметричный каскад

В случае слабого обогащения уравнение обогатительной части несимметричного прямоугольного каскада в соответствии с (1.433) имеет вид

dc 2θε				2p(cP −c)
ds =		c(1	−c) −		,	(1.442)
	p −1			k( p −1)L

где L = const . Общее решение уравнения (1.442) позволяет найти SP – число ступеней в обогатительной части несим-

метричного ПК

p −1

1+ Χ

S

=

ln

,

(1.443)

P

2θε∆Ψ

P

1− Χ

где величина Х определяется формулами:

Χ =

(cP −cF )∆Ψ P

,

(1.444)

(1+Ψ

P

)(c

P

+c

F

) −2c

P

c

F

− 2c

Ψ

P

P

∆Ψ P =

+Ψ P)

2

12

,

(1.445)

(1

−4Ψ PcP

Ψ

=

p

.

(1.446)

P

kθεL

Соответственно,

число ступеней SW

в обеднительной час-

ти несимметричного ПК будет равно

S

=

p −1

ln 1+ Χ ,

(1.447)

W

2θε

ΨW

1− Χ

где

Χ =

(cF −cW )∆ΨW

,

(1.448)

(1+Ψ

W

)(c

F

+c

) −2c

c

− 2c

Ψ

W

F W

W

W

∆Ψ

=

+Ψ

)

2

−4Ψ

c

12

,

(1.449)

W

(1

W

W W

Ψ

=

W

.

(1.450)

W

kθεL

159

При k = 1 и p = 2 уравнения (1.442), (1.443) и (1.447) пре-

образуются в соотношения для прямоугольного симметричного каскада.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какую величину называют коэффициентом деления потока ступени?

2.Дайте определение полного коэффициента разделения ступени, коэффициентов разделения по обогащенной и обедненной фракции.

3.При каком значении концентрации в случае «слабого

обогащения» обогащение δ′ и обеднение δ′′ достигают максимального значения?

4.Как, согласно теории Дирака–Пайерлса, вводится понятие разделительной способности (мощности) ступени?

5.Опишите подход определения явного вида разделительного потенциала в случае «слабого обогащения».

6.Как в случае слабого обогащения связана величина разделительной способности с уменьшением энтропии при разделении на ступени?

7.Как определяют разделительный потенциал в случае произвольных обогащений на ступени?

8.Дайте определение симметричного противоточного разделительного каскада.

9.Перечислите основные параметры симметричного противоточного каскада.

10.Из каких соображений можно получить конечноразностные уравнения, описывающие процесс разделения в каскаде?

11.Как выглядят уравнения противоточного симметричного каскада в случае «слабого обогащения»?

12.Из каких соображений можно найти минимальный поток питания каждой ступени в случае слабого обогащения?

160