Борман Теория разделения изотопов 2007

перепишется в виде					−
	∂c	−		∂c		−(χk − χk +1)c f (1−c f ) =
χk		− χk +1					(1.282)
	∂y			∂y

= (c f −cF )(P +W ),

где c f – концентрация на входе в ступень, в которую подают поток питания F с концентрацией cF .

Краевые условия для концов каскада описываются следующими равнствами.

J0 = −WcW (τ) ,	(1.283)
JS = PcP (τ) ,	(1.284)

где cP (τ) и cW (τ) – нестационарные значения концентраций

на отборном и отвальном концах каскада соответственно.

Подставляя (1.277) и (1.278) в (1.283) и (1.284), краевые усло-

вия приводим к виду

∂c				= c(1	−c)				y=0	,	(1.285)
∂y
				y=0
∂c				= c(1	−c)			y=y		.	(1.286)
∂y
		y=y								0
			0

Для решения краевой задачи необходимо также задать начальное условие в виде распределения концентрации по каскаду в начальный (нулевой) момент времени. В частности, если каскад заполнен однородной смесью с концентрацией cF , начальное условие имеет вид

c( y,0) = cF . (1.287)

Уравнения (1.277) и (1.278) с условиями связи (1.280) и (1.282), краевыми условиями (1.285), (1.286) и начальным условием (1.287) представляют собой краевую задачу, описывающую нестационарный процесс разделения в каскаде, состоящем из участков с непрерывным распределением χ (y) , в

частности в прямоугольно-секционированном каскаде (ПСК).

121

При расчете каскадных установок, основанных на использовании двухфазных систем (таких, как дистилляция, химический обмен), необходимо учитывать процесс накопления ценного изотопа в устройствах обращения потоков. В этом случае уравнения имеют вид, аналогичный (1.277) и (1.278), а условия связи и краевые условия могут быть записаны в форме

∂c −

∂c

−

)c (1

−c )

+ E

dc

χ

i

− χ

−(χ

−

χ

*

= 0 ,

i+1

i

i

∂y

i

+1 *

*

dt

∂y

∂c

dc

χ0 ∂y

− χ0cW (1−cW ) = E0

W

,

dt

у=0

dcP

−χ

∂c

χ

c

(1−c

) = E

−

,

S ∂y

у=εS

S

P

P

S dt

(1.288)

(1.289)

(1.290)

где Ei – емкость устройства обращения потоков на «стыке» между i -й и i +1-й секциями, E0, ES – емкости устройств обращения потоков на концах каскада, c*(t), cW (t), cP(t) –

концентрации, усредняемые по объему устройств обращения потоков.

Таким образом, нестационарный процесс разделения описывается нелинейной краевой задачей, причем условия связи и краевые условия могут быть заданы в виде обыкновенных дифференциальных уравнеий. В общем случае аналитическое решение подобных краевых задач получить невозмо жно.

В приложении 1 описана численная модель нестационарного процесса, коорую используют для численного решения системы уравнений (1.277), (1.278), (1.281) – (1.290) [29]. За-

метим, что для решения ряда частных задач эту систему можно существенно упростить, что позволяет получить аналитическое решение, позволяющее оценить время достижения стационарного режима работы каскада. Однако общие зако-

122

номерности переходных режимов работы могут быть выявлены только в результате численного решения рассмотренной выше краевой задачи.

Рассмотрим некоторые результаты, иллюстрирующие особенности нестационарных процессов в каскадх для разделения бинарных смесей и некоторые закономерности ведения переходных процессов [30, 31]. Расчеты показывают, что, вопервых, динамика изменения концентрации ценного компонента на отборном конце трехпоточного каскада, имеющего потоки питания, отбора и отвала, может значительно отличаться от классических представлений, согласно которым концентрация монотонно возрастает, постепенно приближаясь к своему стационарному значению. Ключевым параметром, определяющим изменение конценрации в потоке отбора каскада, является величина относительного накопления

∆M% отн =

M% ∞ − M%

0

,

(1.291)

M%

0

2hcF

y

где

M%

0 =

∫0

χ(y)dy ,

(1.292)

2

ε

0

l

M% ∞

=

2h2 ∫0 cст(y)χ(y)dy

(1.293)

ε

0

начальное и конечное содержание ценного компонента в каскаде соответственно; cст(l) – стационарное распределение

концентрации; y0 = εS .

Величина относительного накопления зависит от профиля каскада и от соотношения объемов его обогатительной и обеднительной частей. Если каскад суживающийся (в предельном случае – идеальный каскад), то относительное накопление может принимать отрицательные значения. Для идеального каскада относительное накопление, рассчитываемое по формуле (1.291), имеет вид

123

∆M%

отн =

, (1.294)

=

(QW −1)(QP +1) ln QP −(QP −1)(QW +1) ln QW

(Q

−1)(R

Q

P

−1) ln Q

P

−(Q

P

−1)(R

F

−Q ) ln Q

W

F

W

W

где QP = RP /RF ,

QW = RF /RW ,

RF =cF /(1−cF ), RP = cP /(1−cP),

RW = cW /(1−cW ) , cF , cP, cW – стационарные значения кон-

центрации ценного компонента в потоках питания, отбора и отвала соответственно.

Анализ формулы (1.294) показывает, что переход к отрицательным значениям накопления, соответствующим

∆M% отн < 0 , имеет место при соблюдении условия QW > QP .

Численные исследования показали, что достаточным условием возрастания в начальные моменты времени концентрации cP для каскадов любого профиля является условие

∆M% отн ≤ 0 .

Влияние относительного накопления на особенности нестационарного процесса можно проследить на примере разделения изотопов неона в каскадах различного профиля, обеспечивающих значения QP = 15 и QW = 33.

На рис. 1.27 приведены зависимости концентрации целевого изотопа 22Ne на отборном конце каскада от безразмерного времени τ для разных значений относительного накопления. Видно, что с увеличением относительного накопления происходит сокращение периода времени, за который может быть достигнуто расчетное значение концентрации cP , а при

∆M% отн < 0 , когда в начальный момент времени ценного изо-

топа в каскаде содержится больше, чем в стационарном состоянии, в зависимости cP (τ) появляется максимум. При

достаточно большой величине первоначального избытка ценного изотопа (например, при ∆M% отн < −0,15 для концен-

124

Рис. 1.27. Зависимость концентрации на отборном конце каскада от времени разделения изотопной смеси 22Ne/20Ne

( Qp =15, Qw = 33) при различных значениях параметра ∆M% отн :

1 – ∆M% отн = 0,1; 2 – 0; 3 – -0,1; 4 – -0,17 (идеальный каскад) [30]

траций питания cF <<1) среднее по времени τ* , отсчитываемого от момента запуска каскада, значение концентрации сP в точке отбора оказывается не ниже расчетного значения cP , т.е.

τ*

∫cP (τ)dτ

cP =	0		≥ cP .	(1.295)
		τ*

Другими словами, в суживающемся каскаде (идеальный каскад, ПСК) потери от существования переходного процесса могут быть сведены к минимуму. Во-вторых, иссследования показали, что если переходной процесс проводят при выключенном отборе, то в начальные моменты времени всегда происходит уменьшение концентрации, за счет чего реализуется

125

повышенная скорость накопления ценного изотопа, а расчетное (номинальное) значение концентрации cP может быть

получено за существенно более короткое время, чем при работе с отбором. Это обстоятельство в основном связано с тем, что отключение потока отбора способствует избыточному накоплению ценного изотопа на ступенях каскада, в основном в отборной (обогатительной) его части. Включение потока отбора в моменты времени, соответствующие приближению концентрации на отборном конце cP(τ) к расчетному

значению cP приводит к тому, что нестационарный процесс

относительно концентрации ценного компонента в отборе практически завершается. Имеют место непродолжительные (по сравнению с переходным периодом) изменения концентрации на отборном конце каскада. Характер этих изменений

таков, что в каскадах с ∆M% отн > 0 поток отбора рекомендует-

ся включать с некоторым запаздыванием относительно момента времени τP , при котором реализуется условие

cP(τP) = cP .

Особое влияние на нестационарный процесс в каскаде с выключенным потоком отбора оказывает величина потока вещества в обеднительной части каскада, обусловленная по-

током отвала W *. Причем в общем случае W * ≠W , где W –

расчетное значение потока отвала из каскада в стационарном режиме.

Приведенные выше закономерности нестационарного массопереноса являются общими, выбор конкретного режима обычно проводят по результатам численных расчетов.

126

1.11.2.Приближенные решения уравнения нестационарного процесса

Получение аналитического решения уравнения (1.273) возможно лишь в случае его линеаризации. Приведем некоторые характерные решения линеаризованного уравнения

(1.273).

1. Нестационарный процесс в идеальном каскаде [32, 33]

Рассмотрим нестационарный процесс в идеальном каскаде с бесконечным резервуаром на входе в исходную ступень (на «отрицательном» конце каскада) при постоянном отборе

(рис. 1.28).

			L*	+ P
			0
		2
						P
	V = ∞
	c = c0

L*0

2

Рис. 1.28. Схема идеального каскада с бесконечным резервуаром на «отрицательном» конце каскада

Рассмотрим	случай		c <<1 .				Интегрируя в этом частном
		dc			=	1	εc и подставляя результат в
случае уравнение						2
		ds	стац.
*		4P(cP	− c)
выражение L	=				, получим формулу для распреде-
		εc

ления потоков идеального каскада в рассматриваемом случае:

*	=	2P			−	εs			,	(1.296)
L		ε	QP exp			2		−1

где QP = cP / c0 .

127

Тогда, дифференцируя выражение (1.296), имеем

dL*	= −P −	εL* .	(1.297)
ds		2

Подставляя результат в уравнение (1.273) и переходя к

безразмерным переменным ς = cL* ,	y = εs, τ =	ε 2t , где c –
c0P		ω	0

начальная (исходная) концентрация обогащаемого изотопа, уравнение нестационарного процесса можно записать в виде

∂ς	=	∂2ς	−	1	∂ς .	(1.298)
∂τ		∂y2		2	∂y

Считая, что в начальный момент времени концентрация

извлекаемого изотопа во всем каскаде равна c0 , имеем

2

y

ς(y, 0) =

QP exp

−

−1 .

(1.299)

ε

2

Начальные и граничные условия для переменной ς

запи-

шутся в виде

ς(0,τ) =

2

Q

−1 ,

ς(y

,τ) = 0 .

(1.300)

ε

P

P

Краевую задачу (1.298)-(1.300) решаем методом разделе-

ния переменных [33]:
ς( y,τ) = u( y) +v( y,τ) ,	(1.301)
где u( y) – член, описывающий стационарный	режим,

v( y,τ) – “добавка”, соответствующая нестационарному процессу. Возвращаясь к переменной c( y,t) , можно это решение записать в виде

y

t

sin

πny

c

y

∞

yP

= exp

+ ∑An exp

−

,

(1.302)

y

c

2

n=1

4

t

0

n

QP exp

−1

2

128

где

4Q

P

(ln Q

P

)2

(−1)nQ

−1,5

−1

A =

n

P

, (1.303)

π 3

n

3ln QP

2

2

+ n

2

ln QP

+ n2

2π

2π

1

ε

2

2πn

2

=

(1.304)

t

n

32ω

ln Q

P

Устремляя в выражении (1.304)

y → yP = εSP ,

где SP –

число ступеней в каскаде, и раскрывая неопределенность, получим формулу для степени разделения каскада в произвольный момент времени t :

	∞	−0,5 πn(−1)n			t
QP(t) = QP 1	+ ∑AnQP				exp			. (1.305)
			ln Q
	n=1				t
				P
							n

Аналогично можно получить решение уравнения (1.273) для случая больших концентраций, когда 1− c <<1. Опуская промежуточные преобразования, запишем окончательный результат в виде

−1

−1

∞

0,5

πn(−1)n

t

QP

(t) = QP

1

+ ∑AnQP

exp

−

,

ln Q

t

n=1

P

где

n

A =

4QP−1(ln QP)2

n

(−1)n+1QP1,5 +1

,

n

π 3

3ln QP

2

ln QP

2

+ n2

+ n2

2π

2π

1 определяется формулой (1.304). tn

(1.306)

(1.307)

Для концентрации в диапазоне 0,3 < c < 0,7 часто полагают a = c(1− c) = const. В этом случае уравнение нестацио-

129

нарного процесса после аналогичных преобразований можно выразить следующим образом:

∂ς

=

∂2ς

+

a

(1.308)

∂τ

∂y2

εc0

с начальными и краевыми условиями

1

ς(y, 0) = ε

(yP − y);

y

ς(0,τ) =

;

(1.309)

ε

ς(yP,τ) =

0.

Решение имеет вид

c

= c

+ a y

−

0

2

(1.310)

16a2 (ln Q )2

∞

1

t

π(2n −1)

−

P

∑

exp

−

sin

2ln Q

y,

π3 ( y

P

− y)

(2n −1)3

t

n

n=1

P

1

1

2

где

=

επ(2n −1)

.

(1.311)

t

3ω

n

ln Q

P

Переходя к пределу при y → yP = εSP и учитывая, что для

рассматриваемого случая

+ a ln Q

(c

P

)

стац

= с

0

P

,

(1.312)

2

получим формулу для избыточной концентрации в конце кас-

	када ∆ = cP (t) − c0 в момент времени t
			8a ln QP	∞	exp (t / tn)
	∆ = ∆стац 1	+		∑		,	(1.313)
			2		2
			π	n=1	(2n −1)

где ∆стац = (cP)стац −c0 .

130