Борман Теория разделения изотопов 2007

Если для каждой секции ПСК обеспечить постоянство коэффициента деления потока, то значения λ должны быть выбраны:

для отборной части каскада

L

+ P

λ =1−

sl +1

,

+ P

L

s

l

1

P

при этом

θs

=

+

;

2

L

1

sl

для отвальной части каскада

L

+W

λ =1−

sl +1

,

+W

L

s

l

1

W

при этом

θs

=

−

;

2

L

1

в точке подачи питания

sl

θf −1

=

1

−

W

1

,

2

L

f −1

θf

=

1

+

P

1

,

2

L

f

при этом вариант (а) (рис. 2.27)

λ =1−

Lf

+ P

,

Lf −1 + P

вариант (б) (рис. 2.27)

λ =1−

Lf −1 +W

.

Lf +W

(2.312)

(2.313)

(2.314)

(2.315)

(2.316)

291

2.4.2.Обзор численных методов решения системы уравнений переноса в каскадах заданного профиля

Для расчета каскадов заданного профиля, как правило, ПК и ПСК используют различные итерационные методы с уточнением ориентировочно принятых приближений, либо квазилинеаризацию уравнений каскада и совместное их решение с уравнениями покомпонентного баланса. Очевидно, что эффективность метода определяется его устойчивостью к заданию начальных приближений для концевых концентраций и сходимостью итерационного процесса.

Обзор методов расчета можно свести к следующим основным случаям.

2.4.2.1. «Классический» итерационный метод [35, 36]

Рассмотрим применение метода на примере прямоугольного каскада, расчет которого производится от отвального конца к отборному. Алгоритм расчета имеет следующий вид.

1.	Задают	θ (например		θ	=	1		W	по	формулам
						2	1−	)
		1		1				L
(1.262) или (1.263) находят распределение θs									по длине каска-
да.	По соотношениям (2.300) определяют T								и T′.
2.
								3	3
3.	Задают	начальные						′′		например,
			приближения ci						(1) ,
′′	= ciF .
ci(1)
4.	Последовательно с использованием рекуррентной фор-
мулы (2.301) определяют			′′	на всех ступенях, включая по-
			ci(s)
следнюю (s = N ) .
5.	По соотношению (2.296 б) или (2.297 б) находят все
c′i (N) .
6.	Проверяют выполнены ли условия материального ба-
ланса

292

	′	′′
			− FciF , i =1, m.			(2.317)
	Pci	(N) +Wci (1)

7. Если условия баланса (2.296) на ν -м шаге итерации не выполнены, то начальные приближения для следующего (ν +1) -го шага задают в виде

′′	ν +1			FciF	′	ν
		=ω		(c′(N))ν		(1)) , i =1, 2,..., m , (2.318)
(ci(1))					+(1−ω) (ci
			P	i
				(c′(1))ν
				i

где ω – коэффициент, находящийся в пределах от 0 до 1.

8. Шаги 2.286–2.289 ÷ 2.286–2.292 повторяют до тех пор,

пока (2.317) не будут выполнены с заданными точностями. «Классический» метод весьма чувствителен к выбору на-

чальных приближений, что приводит либо к необходимости разработки сложных и громоздких алгоритмов для их определения, либо к значительным затратам машинного времени.

2.4.2.2. «Матричный» метод [37, 38]

В работе [37] система (2.291), (2.294) представлена в виде

L1ci(1) −(1−θ2)L2ci′′(2) −[W −(1−θ1)L1]ciW = 0, i =1, 2,..., m.

Lsci(s) −θs−1Ls−1ci′(s −1) −

−(1−θs+1)Ls+1ci′′(s +1) −δsk FciW = 0, s = 2, 3,..., N −1, i =1, 2,..., m.

LNci(N) −θN −1LN −1ci′(N −1) −[P −θN LN ]ciP = 0,

		i =1, 2,..., m ,
где	δsk =		0,	s ≠ k			;
				s	= k .
			1,
c′(s) =		f (c	(s), θ		s	, L	);
	i	i				s
c′′(s) =		[c (s) −θ c′(s)]/1−θ						s	.
	i	i		s		i

(2.319)

(2.320)

(2.321)

(2.322)

(2.323)

293

Конкретный вид функциональной зависимости в системе (2.323) определяется используемым методом разделения и режимом работы каждой ступени (см. формулы (2.296) – (2.297)). Для замыкания системы (2.319)–(2.321) из mxN урав-

нений, как и ранее, из числа неизвестных с помощью (2.298) исключаем коэффициенты деления потока на ступенях (один из коэффициентов θs является свободным параметром).

Для решения системы (2.319)–(2.321) в работе [37] применен демпфированный метод Ньютона [39], в котором используется итеративный процесс в виде

′ ν	ν	ν	(2.324)
F (x	)∆x	= −ωF(x ) ,

где F(xν ) – значения левых частей системы (2.319) – (2.321) в точке с неизвестными координатами xν ; F′(xν ) – матрица

Якоби системы в этой же точке; ∆xν = xν +1 −xν ; ω – коэффициент демпфирования. При такой записи определение нового приближения xν +1 сводится к решению системы нелинейных уравнений вида A∆x = b . Для определения ∆x согласно [6] целесообразно использовать алгоритм Гауссова исключения с компактным хранением матрицы A в оперативной памяти. Компактная организация хранения матрицы A возможна, поскольку, как видно из уравнений системы (2.319)–(2.321), матрица Якоби F′(xν ) принадлежит к системе

ленточных матриц с шириной ленты 2(2m −1) +1 , причем в

процессе итерации (2.324) ленточная структура матрицы сохраняется [40]. Алгоритм должен быть составлен так, чтобы элементы якобиана F′(x) , не входящие в ленту указанной

ширины, в вычислениях не участвовали. Это позволяет в несколько раз сократить время вычислений. Элементы якобиана предпочтительно вычислять аналитически, поскольку при этом скорость сходимости итеративного процесса (2.324) квадратична. Если вид функциональной зависимости для ci′(s) в системе (2.323) не позволяет получить аналитическое

294

выражение дл производных, то в алгоритме элементы якобиана следует вычислять численно по двухточечной схеме.

Схема расчета каскада заданного профиля по матричному методу включает в себя:

1) задание исходных данных m, N, f, F, P,

f (ci (s), θs, Ls ), Ls, θ1 ;

2) определение коэффициентов деления потоков на ступе-

нях θs (s = 2,3,..., N) ;

3) решение системы уравнений (2.319) – (2.321). Согласно [38] расчет каскада с двумя потоками питания

различного состава и тремя потоками отбора, состоящего из 50-ти ступеней, при разделении пятикомпонентной модельной смеси заключается в решении системы (2.319) – (2.321) из 250 уравнений. Решение осуществляется за несколько итераций и требует около 30 с машинного времени для персональных компьютеров типа РС/АТ386. В качестве начальных приближений для неизвестных концентраций на каждой ступени были взяты концентрации компонентов в одном из потоков питания. Расчеты прямоугольно-секционированных каскадов, предназначенных для разделения различных многокомпонентных смесей показали, что при указанном выборе начальных приближений расчет неизвестных концентраций с точностью не ниже 0,1% требует не более 10 итераций.

2.4.2.3. Метод, основанный на решении системы уравнений переходного (нестационарного) процесса в каскаде [36]

Суть метода: для нахождения концевых концентраций ciP, ciW противоточного симметричного каскада заданного

профиля решают систему уравнений переходного (нестационарного) процесса применительно к случаю немалых обогащений на ступенях. [41]. Считаем, что с момента запуска каскада включены расчетные значения внешних потоков P, W и F. Считая по-прежнему, что время установления гидравличе-

295

ских характеристик много меньше времени достижения стационарного накопления компонентов на ступенях и задержки ступеней не зависят от времени, систему уравнений каскада, описывающих переходной (нестационарный) процесс, можно записать в виде

	θsLsci′(s, t) −(1−θs+1)Ls+1ci′′(s +1, t) = Js,i(t) ,							(2.325)
где Js,i (t)	– перенос i-го компонента через мысленную линию
раздела	между		s-й		и	s +1-й	ступенями; i =1,	2,...,m;
s =1, 2,..., N −1							′′
					′			(2.326)
	ci (s,t) =θsci					(s,t) + (1−θs )ci (s, t) ;
			i =1,	2,..., m; s =1,			2,..., N .
	Hs	∂ci(s, t)			= Js−1,i − Js,i		+δ(s, f )FciF	(2.327)
			t
			i =1,	2,..., m; s =1,			2,..., N .

Граничные условия в рассматриваемом случае могут быть

записаны в следующем виде					′′
	′						(2.328)
	JN,i = Pci(N, t),	J0,i = +Wci(1, t) ,
	i = 1, 2,..., m .
Подстановка (2.325), (2.326) и (2.328) в (2.327) дает
∂ci(s,t)	′				′′
Hs ∂t	=[1−δ(s,1)]{θs−1Ls−1ci(s −1,t) −(1−θs)Lsci					(s,t)}−
[1−δ	′				′′		(2.329)
	(s, N)]{θsLsci(s,t) −(1−θs+1)Ls+1ci(s +1,t)}+
	+δ(s, f )FciF −δ(s,		′
		N)PciP(N,t);
	i =1, 2,..., m;	s =1,		2,..., N ,
где	δ(s, j) =	0,	j	≠ s			(2.330)
			j	= s.
		1
Подставляя (2.296 а) в (2.326), получим
	ci (s,t) =θsci′(s, t) + (1−θs )				ci′(s,t)	,	(2.331)
					m
					∑qijc′j (s, t)

j=1

296

i =1,

2,..., m;

s =1,

2,..., N.

Дифференцирование уравнения (2.331) по t дает:

∂c (s, t)

m

∂c (s, t)

∂c′j(s, t)

i

= ∑

i

;

(2.332)

′

∂t

j=1

∂cj (s, t)

∂t

i =1,

2,..., m;

s =1,

2,..., N,

где

m

∑qilcl′(s, t) −ci′(s, t)

l=1

, (i = j)

θs + (1 −θs )

m

2

∂c (s, t)

∑qilcl′(s, t)

i

= a(i, j) =

l=1

∂c′j (s, t)

qilcl′(s, t)

−(1 −θs ) m

2 , (i ≠ j)

′

(s, t)

∑qilcl

l=1

i =1,

2,..., m;

j =1, 2,..., m;

s =1,

2,..., N.

(2.333)

Подставляя соотношения (2.296, а) и (2.333) в (2.329), получаем

m

∂c′j (s, t)

H s ∑a(i, j)

=

∂t

j=1

′

c′i(s, t)

=

1

−δ(s,1)

θ

L

c

(s −1, t) −(1−θ

)L

−

s

s

m

[

]

s−1

s−1 i

∑q jlc′l (s, t)

l=1

′

c′i(s +1, t)

1

−

δ(s, N)

θ

L c

(s, t) −(1

−

θ

)L

+

s

s+1

s+1

m

[

]

s i

∑q jlc′l (s +1, t)

l=1

+δ(s, f )FciF −δ(s, N)Pc′i(N, t);

297

i =1, 2,..., m; j =1, 2,..., m; s =1, 2,..., N .

(2.334)

Приближенное решение системы (2.334) основано на использовании явного метода Эйлера, согласно которому производные в (2.334) заменяют простейшими конечноразностными формулами

	∂ci′(s, t)	=	[ci′(s,t)]ν +1 −[ci′(s, t)]ν	,	(2.335)
	∂t
			∆t
	i =1,	2,..., m; s =1, 2,..., N ,

где [ci′(s,t)]ν – значение соответствующей концентрации i-го компонента в потоке Ls на ν-м «временнóм» шаге. С учетом (2.335) уравнения (2.334) преобразуются к виду

m

ν

c′(s, t) ν +1

− c′(s, t) ν

Hs ∑[a(i, j)]

i

i

=

[1−δ(s,1)]×

∆t

j=l

′

ν

′

ν

ci(s, t)

× θs

−1Ls−1

− (1

−θs)Ls m

−

ci(s

−1, t)

ν

∑

q

′

jl

i

j=l

−[1−δ(s, N)]−

(2.336)

′

ν

′

ν

ci

(s +1, t)

− θsLs ci

(s, t)

− (1−θs+1)Ls+1

+

m

ν

′

(s +

∑q jl ci

1, t)

j=l

+δ(s, f )Fc

−δ(s, N)P

′

ν

c (N, t) ;

iF

i

Таким образом,

298

Hs

m

Hs

m

∑[a(i, j)]ν [ci′(s, t)]ν+1

=

∑[a(i, j)]ν [ci′(s, t)]ν +[1−δ(s,1)]×

∆t

∆t

j=l

j=l

ν

ν

[c′(s, t)]

× θ

L

′

−(1−θ

)L

i

−

c (s −1, t)

s−1

s−1

[ i

]

s

s m

ν

∑qjl [ci′(s, t)]

j=l

ν

[c′(s

ν

+1, t)]

′

i

− 1−δ(s, n)

θ

−(1−θ

)L

+

L c (s, t)

[

]

s s [ i

]

s+1

s+1 m

′

∑

q

+1, t)

ν

jl

[

i

]

j=l

+δ(s, f )Fc

′

ν

;

−δ(s, N)P c (N, t)

iF

[ i

]

i =1, 2,..., m; s =1, 2,..., N .

(2.337)

Начальные приближения для «нулевого» временного шага (ν = 0) можно задать, например, следующим образом:

[ci′]0 = ciF , где ciF – концентрации компонентов смеси в по-

токе питания.

При выбранном временном шаге ∆t , последовательно используя уравнения (2.337), находят стационарные значения концентраций по длине каскада. В качестве практического критерия достижения стационарных значений концентраций может быть использовано одно из 2-х условий:

1) концевые концентрации каждого из компонентов смеси

(с заданной точностью) на ν* -м временном шаге удовлетворяют уравнениям покомпонентного баланса

′	ν*	′′	ν*	= 0,
FciF − P[ci	(N,t)]	−W [ci (1,t)]			(2.338)

i =1, 2,..., m.

299

2) при переходе от ν *-го к ν *+1-му временному шагу ве-

		c (N, t) ν*+1		− c (N,t)		ν*
личина δ	=	[ i	]	[ i	]		достигает заданного зна-
			[c (N,t)]ν*+1
			i

чения.

Рассмотренный метод имеет первый порядок точности относительно шага ∆t . Уменьшение шага ∆t увеличивает точность расчета. Сверху «временнóй» шаг ограничен величиной

[41]:

		Hs
	∆t < min		.	(2.339)
		Ls

Распределение θs в (2.337) задается соотношением (2.298) и произвольным значением коэффициента деления

потока			на		одной		из		ступеней каскада, например,
θ = 1			− W				= 1			P
		1			или θ			1	+		).
						N
1	2		L1				2
										LN

В работе [36] приведен пример реализации метода при расчете прямоугольного каскада, предназначенного для разделения четырехкомпонентной смеси изотопов хрома: 50Cr,

52Cr,

53Cr, 54Cr

( c

=0,0431,

c

2F

= 0,8376, c

=0,0955,

1F

3F

c

= 0,0238). Исходные данные:

P

= 0,2;

F

= 0,2;

q

=1,12;

F

4F

H

L

0

N =15, f = 12,

= 0,03 ч. Условием достижения концевыми

L

FciF −

концентрациями

стационарных

значений

являлось

′

′′

−6

(i =1, 2, 3, 4) . При использовании

−Pci

(N, t) −Wci(1, t) <10

персонального компьютера с процессором на 66 МГц и «временнóго» шага ∆t = 0,02 ч для достижения заданной точности потребовалось примерно 1000 шагов и 20 с машинного времени.

300