Борман Теория разделения изотопов 2007

Если i-й компонент накапливается в потоке отвала, то со-

отношения (2.364) – (2.366) преобразуются к виду:
	P	=	ciF	−(ciW )пред			,		(2.368)
W					c
						iF
		W =		m
				∑ c jF ,					(2.369)
		F		j=l+1
(ciW )пред				=		ciF		.	(2.370)
						m
						∑ cjF
						j=l+1
Формулы (2.366) и (2.369) могут быть переписаны в виде:
	(ciP )пред = ciF (P F),								(2.371)
(ciW )пред = ciF (1 − P F ),									(2.372)

где величина P F определяется соотношением (2.366).

Можно показать, что формулы (2.366), (2.369) (или (2.371), (2.372)) позволяют оценить предельные значения концентраций компонентов в потоках отбора и отвала и соответствую-

щие им значения P	F		(или P	W		) в каскаде с произвольным
обогащением на ступени и конечной (небольшой) длины.
Введем в рассмотрение функцию
		P	l		W		m
D =			∑cjP +				∑ cjW ,	(2.373)
		F			F
			j=1				j=l+1

где l – число компонентов в отборе (т.е. принадлежащих «легкой» группе компонентов). Нетрудно видеть, что

D ≤ 1, (2.374)

причем знак равенства в (2.374) будет иметь место только в случае, если смесь в каскаде полностью разделена на «легкую» (в отборе) и «тяжелую» (в отвале) группы, т.е. одновременно выполнены условия:

311

	P		m	W		P		m
		=	∑ cjF ,		=1−		=	∑ cjW ,	(2.375)
	F			F		F
			j=l+1					j=l +1
			l		m
			∑c jP =1,		∑ c jW =1.				(2.376)
			j=1		j=l+1

При выполнении условий (2.375), (2.376) функция D достигает своего максимального значения, равного единице.

На рис. 2.29 приведены зависимости функции D от величины P F для прямоугольных каскадов, предназначенных для

разделения природной смеси изотопов ксенона, состав которой приведен в табл. 2.10 при следующих исходных данных:

Таблица 2.10

Концентрации компонентов природной смеси изотопов ксенона

Изотоп	124Xe	126Xe	128Xe	129Xe	130Xe	131Xe	132Xe	134Xe	136Xe
и номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9
компо-
нента

Концен- 0,00093 0,0109 0,01917 0,2664 0,0408 0,3118 0,2689 0,1044 0,0887

трация

FP = 10, q0 =1,4; N =5, 11, 21, 41 и 61: в каждом случае

поток питания подают на вход ступени, находящейся в центре каскада. Число компонентов в «легкой» группе выбрано равным четырем (l = 4).

Из рис. 2.29 следует, что при всех значениях n максимум величины D имеет место при одном и том же значении вели-

чины P F = 0,2854. Эта величина в точности совпадает с ве-

4

личиной суммы ∑c jF . В табл. 2.11 приведены максималь-

j=1

ные значения функции D при различном числе ступеней в прямоугольном каскаде.

312

313

Рис. 2.29. Зависимость величины D от параметра P/F для прямоугольного каскада (L/P = 10, q0 = 1,4) при различных эначениях полного числа ступеней n.

«Легкую» группу компонентов составляют: 126Xe, 128Xe и 129Xe

= 10,

Таблица 2.11

Максимальные значения функции D при различных значениях полного числа ступеней в прямоугольном каскаде ( FP

		q0 = 1,4; l = 4 )
N	5	11	21	41	61
Dmax	0,88586	0,964870	0,991783	0,999580	0,999980

Следует отметить, что на рис.2.29 кривые для N =41 и

N=61 практически совпадают.

Из приведенных результатов следует, что при небольших

обогащениях на ступени в каскадах ограниченной длины для заданного значения величины l-числа компонентов, обога-

l

щаемых в отборе, подбором величины P = ∑c jF ,

F j=1

				l
				∑c jF
		P	=	j=1		можно достичь разделения смеси на «легкую»
				m
	W
				∑c jF
				j=l +1

и «тяжелую» группы ( l -число компонентов «легкой» группы, т.е. число компонентов, обогащаемых в отборе). При этом формулы (2.367) и (2.369) позволяют оценивать значения концентраций в потоках отбора и отвала. В частности, в рассматриваемом примере при расчета каскада из пяти ступеней ( N =5), относительное различие между расчетной концентрацией произвольного промежуточного компонента и значением, полученным по выражению (2.367), не превышает 10– 12 отн. %. В работе [48] показано также, чем длиннее каскад, тем меньше влияют на достижение функцией D максимального значения, равного 1, такие факторы, как профиль каскада и номер ступени, на вход которой подают поток питания.

314

Для иллюстрации в табл. 2.12 для прямоугольного каскада, предназначенного для разделения изотопов ксенона, ( FL =10,

q0 = 1,4; l = 4 ; N = 41) приведены максимальные значения функции D для случаев f = 11, 21, 31.

Таблица 2.12

Значения Dmax при различных величинах f

для прямоугольного каскада при разделении изотопов ксенона

F	11	21	31
Dmax	0,999087	0,999580	0,999137

Рассмотренные закономерности позволяют не только определить оптимальные рабочие параметры каскада заданного профиля, но и оценить требования к точности их поддержания.

2.4.4. Модельные каскады и их свойства

Под модельными каскадами будем понимать каскады, математические модели которых адекватны процессу разделения, но позволяют существенно упростить анализ закономерностей массопереноса в каскаде и соответствующие расчеты. При таком подходе искусственным подбором профиля потока можно добиться наиболее эффективного обогащения целевого компонента.

2.4.4.1.Каскад с постоянными относительными коэффициентами разделения на ступенях («квазиидеальный» каскад) [1, 4, 49, 50]

Рассмотрим противоточный симметричный каскад, состоящий из N ступеней и предназначенный для разделения m- компонентной смеси. Поток исходной смеси F с концентрациями компонентов ciF (i =1, 2,..., m) подают на вход ступе-

315

ни с номером f. В потоках отбора P и отвала W, выходящих из ступеней с номерами s =N и s = 1, концентрации компонентов соответственно равны ciP и ciW (i =1, 2,..., m) .

Рассмотрим случай каскада с постоянными по его длине относительными коэффициентами разделения qik , αik , βik

(i = 1, 2,..., m; k – номер «опорного» компонента). Уравнения

коммутации потоков на входе в произвольную s-ую ступень каскада с учетом обозначений (2.5) имеют вид

′	(s −1)		′′				−Gi(s) +δsf FciF , i ≠ k ;		(2.377)
Gi			+Gi	(s +1)
	′				′′				(2.378)
	Gk	(s −1) +Gi				(s +1) −Gk (s) +δsf FckF ,
где				δ		=	0,	s ≠ f ,
					sf			s = f .
							1,

С учетом соотношений (2.17–2.18) уравнения (2.377),

(2.378) приводятся к виду

Gi′(s −1) +

1

Gi′(s +1) −

gi +1

Gi (s) +δsf FciF

= 0,

i ≠ k . (2.379)

gi

gi

G′ (s −1) +

1

G′

(s +1) −

gk +1

G (s) +δ

sf

Fc

kF

= 0, (2.380)

k

k

k

gk

gk

где gi и gk определяются по формулам (2.19) и (2.20).

Уравнения (2.378) – (2.379) представляют собой нелинейные разностные уравнения второго порядка относительно неизвестных функций Gi′(s) .

Граничные условия имеют вид:

G′(0)			= G′(N	+1) = 0, i =1, 2,..., m
	i		i
	′	(N) = PciP		, i =1, 2,..., m
Gi					(2.381)
	′		= giWciW , i ≠ k
Gi		(1)
	′′		= gkWci,W .
Gk (1)

316

Ступени с номерами s = 1 и s = N являются крайними ступенями каскада, что делает возможным формально запи-

сать Gi′(0) = Gi′(N +1) = 0 .

Фундаментальное решение (2.378) – (2.379) в случае постоянства коэффициентов gi и gk может быть представлено

в виде

G′(s) = Aωs + B ωs		,	(2.382)
i	i 1 i 2

где ω1(gi ) и ω2 (gi ) – корни характеристических уравнений

ω2 − (g	i	+1)ω + g	i	= 0	,	(2.383)

соответственно равные

ω1(gi ) = gi ,	(2.384)
ω2 (gi ) =1,	(2.385)

Ai , Bi – константы.

Используя уравнения баланса (2.287) и граничные условия (2.382), в результате получим:

для отборной части:

′

gi

s−N −1

)

G

(s) = Pc

1

− g

,

i

≠ k, s = f ,..., N

(2.386)

iP g

−

i

i

1 (

i

1− g − f

PciP = FciF

i

,

i ≠ k

(2.387)

1− g

−N −1

для отвально части:

i

gi

′

s

G

(s) =Wc

g

−1

,

s = f ,..., N ,

(2.388)

g

−1 (

i

iW

i

i

)

g N +1− f

−1

WciP = FciF

i

.

(2.389)

g N +1

−1

i

В соотношениях (2.386) – (2.387) и далее величины gi для

i ≠ k определяются соотношениями (2.19), а для i = k форму-

лой (2.20).

317

Из (2.386) – (2.389) можно получить

P

− f

m

1− g j

= ∑c jF

,

s = f ,..., N .

F

1

− g

−N −1

j=1

j

W

N +1− f

−1

m

g j

=

∑c jF

,

s =1,..., f −1.

F

g

N +1

−1

j=1

j

1− gi− f

ciP

1− g −N −1

m

− f

,

i =1,

2,..., m .

= ciF

i

1− g j

∑c jF

1− g

−N −1

j=1

j

g N +1− f −1

i

ciW

= ciF

g N +1 −1

m

N +1− f

,

i =1,

2,..., m .

i

g j

−1

∑c jF

g

N

+1

−1

j=1

j

(2.390)

(2.391)

(2.392)

(2.393)

Далее с использованием решений (2.386)–(2.389) и соотношений (2.8) – (2.10), (2.17) определяем распределение потока L(s) , концентраций компонентов и коэффициента деле-

ния потоков по ступеням каскада

L(s) = ∑G′j(s) 1+ g j =

m

j=1

g j

m

g

j

+1

P∑

c jP (1

− g sj−N −1), s = f ,..., N,

(2.394)

g j

j=1

−1

=

m

g j

+1

c jW (g sj −1),

W ∑

s =1,..., f −1.

g j

j=1

−1

318

1+ g

j

′′

c (s) =

Gi

(s)

=

i

g j

Gi(s)

g

(1− g sj−N

−1)

ciP

j

g j −1

, s = f ,...,

m g

j

+1

s−N

−1

∑j=1

c jP (1− g j

)

g j −1

=

g j

s

ciW

(g j −

1)

g j −

1

,

s = f +1,...,

m

g

+1

c jW (g sj −1)

∑j=1

j

g

−1

j

N,

(2.395)

N.

m

∑G′j (s)

θ(s) =

j=1

=

G (s)

i

m

g

j

cjP (1

− gsj −N −1 )

∑

g j −1

j=1

, s = f ,..., N,

g

+1

m

j

(2.396)

∑

cjP (1

− gsj −N −1 )

g j

j=1

−1

=

m

g

cjW (gsj −1)

∑j=1

j

g j

−

1

s =1,..., f −1.

,

∑g j +1cjW (gsj −1)

m

j=1

g j

−1

Формулу для расчета суммарного потока в каскаде легко получить, суммируя (2.394) по всем ступеням каскада

N	L(s)	m				+1		W
			g		i
∑		= ∑							ciW	( f ) +ciP (N +1− f )	. (2.397)
	P					−1
s=1		i=1	g		i			P

319

Рассмотренный выше каскад отличается тем, что относительные коэффициенты разделения qik , αik , βik (и, соответст-

венно, срезы парциальных компонентов ϕi , ϕk и параметры gi , gk ) остаются постоянными по длине каскада. Для каска-

дов такого типа в работе [1] введен термин «квазиидеальный» каскад.

Если ввести обозначения

Qi = ln gi ,	(2.398)
SP = N +1− f ,	(2.399)
SW = f ,	(2.400)

то формулы (2.392) и (2.393) переходят в соответствующие соотношения для концевых концентраций Q-каскадов [17].

	1−exp(Qs )
ciP =	i W		ciF
	exp(−Qs )−exp(Qs )
	i P	i W

m	1−exp(QjsW)
∑				cjF (2.401)
	exp(−Q s )−exp(Q s		)
j=1	j P	j W

i =1, 2,...,m,

c = exp(−Qsi P)−1 c iW exp(−Qsi P)−exp(Qsi W) iF

m	exp(−QjsP)−1
∑				cjF
	exp(−Q s )−exp(Q s		)		(2.402)
j=1	j P	j W

i =1, 2,...,m.

Другими словами, понятия «Q-каскад», «квазиидеальный» каскад оказываются идентичными с уточнением лишь выбора параметров gi (или Qi ) для случаев «слабого разделения» и

произвольного (немалого) обогащения на ступенях каскада. При заданных величинах ci,F , N, f , qik , αik , βik формулы

(2.386) – (2.387) позволяют решить задачу расчета «квазиидеального» каскада (Q-каскада или «свободного» каскада с произвольным (немалым) обогащением на ступенях).

Разделительные свойства «квазиидеальных» каскадов идентичны свойствам Q-каскадов: выбор номера «опорного» компонента полностью определяет распределение потока в

320