Борман Теория разделения изотопов 2007

каскаде и, соответственно, направление обогащений компонентов разделяемой смеси.

2.4.4.2.Квазиидеальный каскад с несмешением относительных концентраций двух заданных компонентов смеси (R-каскад) [4, 49–52]

Рассмотрим так называемый R-каскад, в котором выполняется несмешение относительных концентраций n-го и k-го

компонентов смеси, т.е. Rnk = cn ck

′	′′	(2.403)
Rnk (s −1)	= Rnk (s) = Rnk (s +1) .

Если значения полных коэффициентов разделения qik

одинаковы для всех ступеней каскада, то из условия (2.403) следует, что ступени должны быть симметричными относительно пары компонентов с номерами n, k , т.е.

αnk = βnk = qnk ,	(2.404)
при этом на всех ступенях каскада αik ≠ βik	(i ≠ n) .

Так как соотношение (2.220) справедливо для любого i, включая i = n , то, следовательно, учитывая (118), имеем

	gk =		1			,	(2.405)
				qnk
а учитывая, что gi = qik gk i ≠ k) , получим
	g =		gik		,	и	(2.406)
	i			qnk
в частности,	gn =			qnk .			(2.407)

Из (2.393) и (2.394) с учетом (2.405), (2.407) непосредст-

	венно получается			RP
		1
	N − f +1 =		ln	nk	,	(2.408)
		ln gn		RnkF

321

1

RF

f

=

ln

nk

,

(2.409)

ln gl

RnkW

P

cnP

W

cnW

F

clF

где

R

=

,

R

=

, R

=

.

nk

ckP

nk

ckW

nk

ckF

Соотношения (2.408) – (2.409) позволяют исключить числа ступеней N и f из числа параметров решаемой задачи. С уче-

том (2.405) – (2.409) формулы (2.391) – (2.394) могут быть переписаны виде:

ciF

ciP =

ciF

ciW =

где

P

m

W

)

−d j

− (R

F

)

−d j

= ∑cjF

(R

nk

nk

,

F

(RnkW )−d j

− (RnkP )−d j

j=1

W

m

(RF )−d j

− (RP )−d j

= ∑cjF

nk

nk

,

F

(RnkW )−d j

− (RnkP )−d j

j=1

(RW )−di − (RF )−di

nk

nk

(RW )−di − (RP )−di

nk

nk

m

W

)

−d j

− (R

F

−d j

∑cjF

(R

)

nk

−d j

nk

−d j

W

)

− (R

P

j=1

(R

)

(RF )−di − (RP )−di

nk

nk

nk

nk

(RW )−di − (RP )−di

nk

nk

m

(RF )−d j

−

(RP )−d j

∑cjF

nk

nk

W

−d j

−

(R

P

)

−d j

j=1

(R )

ln qik

nk

nk

d

=

−1

i

ln gn

(2.410)

(2.411)

,(2.412)

,(2.413)

(2.414)

Поскольку при решении уравнения каскада (2.387) – (2.389) для отборной и отвальной частей каскада должны совпадать при s = f , то

PciP (1− gif −N −1)=WciW (gif −1).

(2.415)

322

Используя уравнения баланса (2.2), соотношения (2.408), (2.409), уравнения (2.415) легко привести к виду

PciP (RnkP )−di +WciW (RnkW )−di − FciFF (RnkF )−di = 0 . (2.416)

Соотношения типа (2.416) получили название уравнений H-баланса [16]. Следует иметь в виду, что уравнения (2.416) при i = n и i = k вырождаются в обычные уравнения покомпонентного баланса по каскаду, и выражение (2.416) имеет место именно для тех компонентов, по которым следует выполнить условие несмешения. Суммарный поток каскада

N

∑L(s) можно получить, используя соотношения (2.2),

s=1

(2.395), (2.405)–(2.409). Простые преобразования приводят к следующему результату

N

∑L(s)

s=1

m	Pc	ln RP	+Wc			ln RF			− Fc	ln RF
= ∑	iP	nk		iW				nk	iF	nk	. (2.417)
j=1				g j	−	1		ln gn
				g j	−	1

Выясним, из каких соображений целесообразно задавать номера "опорных" компонентов n и k. Будем считать, что полный относительный коэффициент разделения qij можно

аппроксимировать соотношением
q	= qM j −Mi ,	(2.418)
ij	0

где Mi и M j – массовые числа i-го и j-го компонентов, q0 –

коэффициент разделения, приходящийся на разность массовых чисел, равную единице.

В этом случае формулы (2.405)–( 2.406) могут быть представлены в виде

	−	Mk −Mn
gk	= q0		2		;	(2.419)
g = qM* −Mn ,						(2.420)
i	0

323

	где	M* =	Mn + Mk	.	(2.421)
			2

Из (2.420) – (2.420) непосредственно следует, что для всех компонентов с Mi < M * величины gi >1, если же Mi > M *, то gi <1. Анализ соотношений (2.393) и (2.394) показывает, что в достаточно длинном R-каскаде (N − f +1 >>1, f −1 >>1) компоненты с gi >1 ( Mi < M * ) обогащаются в отборе каска-

да, а компоненты gi <1 ( Mi > M * ) обогащаются в отвале кас-

када. Возможность изменения числа компонентов, концентрируемых в потоках отбора или отвала за счет соответствующего выбора номеров ключевых компонентов (а, следова-

тельно, и параметра M * ), позволяет решить проблему обогащения смеси промежуточными компонентами. Например,

при k = n +1 ( M* = Mn + Mn+1 ), как и в случае «слабого обо- 2

гащения» в отборе R-каскада обогащаются все компоненты с номерами от 1 до n и «подавляются» с номерами от n + 1 до m, и обедняется легкая группа.

Таким образом, величина параметра M * полностью определяет направление обогащения компонентов смеси в R-каскаде с немалыми обогащениями на ступенях.

По формулам (2.412) – (2.413) можно рассчитать концен-

трации компонентов	в потоках отбора ciP		и отвала ciW при
заданных значениях	c	, f , N, g (или	M * ). Дальнейший
	iF	i

расчет R-каскада (нахождение распределений потоков по формуле (2.395), концентраций по формуле (2.396) и коэффициента деления потока по ступеням каскада по формуле (2.397)) трудности не представляет. Более сложным является расчет R-каскада с заданными концентрациями обогащаемого ценного компонента с номером n в потоках отбора и отвала

324

cnP и cnW , который назовем целевым, так как в этом случае

требуется найти решение системы нелинейных алгебраических уравнений (2.401)–(2.402) при i = n относительно неизвестных N и f.

При решении системы (2.401) – ( 2.402) следует иметь в виду два следующих обстоятельства. Во-первых, при заданных величинах ciF , f , N, q0 величины концентраций целе-

вого компонента в потоках отбора и отвала будут существенным образом зависеть от номера опорного компонента

( k = n +1, ..., m ) или выбранной величины M * . Если же заданными величинами являются cnP и cnW (выбранные из об-

ласти допустимых значений), то задача их нахождения может быть в принципе решена при различных значениях k (или

M * ), т.е. в разных R-каскадах, отличающихся друг от друга числами ступеней, характером распределения потока питания ступеней по длине каскада и, наконец, величиной суммарного потока. Во-вторых, для решения системы (2.401) – (2.402) необходимо предварительно определить области допустимых концентраций в потоках отбора и отвала cnP и cnW при за-

данных параметрах gi (i = 1, m), q0 и ciF (i =1, m) .

Для определения способа нахождения области существования решений системы (2.401) – (2.402) целесообразно выявить характер зависимости концентрации целевого компонента в потоке отбора cnP от числа разделительных ступеней

в отборной и отвальной частях каскада, считая, что целевой компонент вместе с компонентами с номерами от 1 до n-1 обогащается на отборном («легком») конце каскада. Для выполнения последнего условия достаточно пронумеровать компоненты в порядке возрастания их массовых чисел, в качестве опорного принять компонент с номером k = n + 1, а в

325

узлах квазиидеального каскада потребовать отсутствия смешения по относительной концентрации Rn,n+1 = cn cn+1 .

На рис. 2.30 представлена зависимость концентрации cnP в

потоке отбора целевых компонентов n = 4 (83Kr) (рис. 2.30 а) и n = 5 (84Kr) (рис. 2.30, б) от числа разделительных ступеней в обогатительной части квазиидеального каскада с несмешением по относительной концентрации Rn,n+1 = cn cn+1 при

фиксированном числе ступеней в отвальной части каскада в случае разделения природной смеси изотопов криптона (см. табл. 2.3). Коэффициент разделения, приходящийся на единичную разность массовых чисел q0, в расчетах был принят равным 1,2. Из приведенных зависимостей следует, что на величину cnP существенно влияет длина отвальной части

каскада.

Рис. 2.30. Зависимость концентрации целевых

компонентов а – n = 4 (83Kr) и б – n = 5 (84Kr) в

потоке отбора cnP от чис-

ла разделительных ступеней в обогатительной части квазиидеального каскада с несмешением по относительной концентра-

ции Rn,n+1 = cn cn+1 при

фиксированном числе ступеней в отвальной части: 1 ступень (1), 5 (2), 20 (3) и 200 (4) ступеней для случая разделения природной смеси изотопов криптона и q0 = 1,2

Рис. 2.31 иллюстрирует зависимость относительного приращения концентрации целевого компонента cnP − cnF cnF

от длины обогатительной части каскада при фиксированном

326

числе ступеней в отвальной части для случая разделения природной смеси изотопов криптона при различных значениях

m	n
параметра h = ∑ ciF − ∑ciF и номера целевого компонента
i=n+1	i=1

n, равного 3, 4, 5 соответственно. Как можно видеть из полученных зависимостей, при фиксированном конечном числе ступеней в отвальной части каскада обогащение целевого компонента на «легком» (отборном) конце каскада целесообразно проводить при выполнении условия

m	n
h = ∑ ciF − ∑ciF >0. При этом, чем больше величина h, тем
i=n+1	i=1

выше концентрация целевого компонента в потоке отбора.

Рис. 2.31. Зависимость относительного приращения концентрации целевого компонента cnP − cnF cnF от длины обогатительной части каскада при фиксированном числе ступеней в отвальной части (f=10) для случая разделения природной смеси изотопов криптона при различных значениях параметра

m	n
h = ∑ciF	− ∑ciF : 0,7158 (1);
i=n+1	i=1

0,486 (2), –0,654 (3) и номере целевого компонента n, равном 3,4,5 соответственно; q0 = 1,2.

При фиксированном числе ступеней в отвальной части квазиидеального каскада максимальная концентрация целевого компонента в потоке отбора может быть найдена предельным переходом N → ∞ в формуле (2.393)

327

max		1− gn− f
cnP	≈		cnF .	(2.422)
		n
		∑(1− gn− f )ciF

i=1

Концентрацию целевого компонента в потоке отвала можно рассчитать по формуле

cnW	=		gn− f	cnF .	(2.423)
		m	n
		∑ ciF − ∑gi− f ciF
		i=n+1	i=1

С уменьшением числа ступеней в обогатительной части каскада при фиксированной величине f концентрация целевого компонента в потоке отбора cnP снижается.

Рассмотрим два предельных случая. В первом обогатительная секция состоит всего из одной ступени, на вход которой подают поток питания. В этом случае выражения для определения концентраций в потоках отбора и отвала (2.393) и (2.394) приводятся к виду

min

1− gn− f

m

1− gi− f

cnP

≈

cnF

∑

ciF ,

(2.424)

1

− g− f −1

1

− g− f −1

n

i=1

i

1− g

m

1− g

cnW

≈

n

cnF

∑

i

ciF .

(2.425)

1− g f +1

1

− g f +1

n

i=1

i

Во втором случае при стремлении f → ∞ формула (2.422)

для определения концентрации целевого компонента в потоке отбора приводится к известному виду [5]

n
cnPmax ≈ сnF ∑ciF ,	(2.426)
i=1

а при стремлении f → 0 формула (2.424) будет иметь вид

		n	ln gi
	cnPmin ≈ сnF	∑			ciF gi .	(2.427)
		i=1	ln g	n

328

При этом	отношение логарифмов параметров gi	и gn
в формуле	(2.427) будет больше или равно	1:

ln gi ln gn ≥1 (i =1,2, ... , n) . Из формул (2.422) и (2.427) сле-

дует, что допустимую концентрацию целевого компонента в потоке отбора можно рассчитать по соотношению

	n			ciF < cnPmax < cnF	n
cnF	∑ ln gi				∑ciF .	(2.428)
	i=1	ln g	n		i=1

Таким образом, формулы (2.422) – (2.428) при возможных значениях длин отборной и отвальной частей каскада позволяют построить кривые, ограничивающие область существо-

вания решения системы (2.412) – (2.413) (рис. 2.32).

Рис. 2.32. Область допустимых значений концентрации целевого компо-

нента в потоке отбора cnP и отвала cnW квазиидеаль-

ного каскада при равенстве относительной концентра-

ции R45 = c4 c5 в потоках, поступающих на вход ступеней, для коэффици-

ента разделения, приходящегося на единичную разность массовых чисел q0, равного 1,1 (1), 1,3 (2) (кривые, описывающие ограничение сверху для случаев 1 и 2 совпадают)

Отметим, что поведение кривой, описывающей ограничение на cnP сверху при заданной величине cnW , которое рас-

считывается по формулам (2.422) и (2.423), не зависит от величины коэффициента разделения, приходящегося на единицу массовых чисел q0, и определяется только исходным составом разделяемой смеси.

329

Сравнение величин концентраций, рассчитанных по формулам (2.426), (2.427), показывает, что в квазиидеальном каскаде с немалой отвальной частью ( f−1>>1) можно достичь заметно большего обогащения промежуточного компонента по сравнению со случаем отсутствия отвальной части. В некоторых случаях в каскаде без отвальной части промежуточные компоненты почти не обогащаются. Такой случай имеет место, например, при обогащении изотопа 84Kr из природной смеси в каскаде с несмешением по относительной концентрации R56 = c5 c6 (рис. 2.30, n = 5). В случае «слабого обога-

щения» на ступенях каскада формулы (2.422) – (2.2425) переходят в соответствующие соотношения для Q-каскада, приведенные в разделе 2.3.4.1.

По формулам (2.423), (2.425) для расчета концентрации целевого компонента в потоке отвала при заданной концентрации в потоке отбора cnP можно определить минимальную

длину отвальной секции каскада и тем самым максимально возможную концентрацию целевого компонента в потоке отвала, при которой возможно получить заданное обогащение. Поскольку при (f−1) → (f−1)min возрастает длина обогати-

тельной части каскада giN → ∞ при i = 1, n ; giN → ∞ при

i = n +1, m суммарный поток в квазиидеальном каскаде (или в

частном случае R-каскада) в соответствии с соотношением (2.397) будет стремиться к бесконечности. В то же время требуемая концентрация в потоке отбора cnP может быть полу-

чена при любых значениях ( f − 1) → ( f − 1) min. Причем с ростом величины ( f − 1) длина обогатительной части (N − f + 1)

будет уменьшаться. При ( f − 1) → (т.е. при cnW → 0) сум-

марный поток в каскаде будет неограниченно возрастать. Другими словами, при фиксированной концентрации целевого компонента в отборе в интервале значений, определяющих длину отвальной части ( f − 1) min < (f − 1) < , находится оп-

330