Борман Теория разделения изотопов 2007

Ls′ =	J1,s − c1′(s −1)Ts	,	(2.434)
	cs′′(1) − cs′′−1(1)

где J1,s и Ts определяются соотношениями (2.292) и (2.293),

а c1′(s) рассчитывают по формуле (2.412).

Далее проводят последовательный расчет всех внутренних параметров каскада, начиная, например, с первой отвальной ступени. Для этого используют рекуррентные соотношения для ступеней, основывающиеся на формулах (2.286)–(2.298). В конце расчета проверяют выполнение граничных условий на отборном конце каскада. Если они не выполняются, то итерационный процесс продолжают до выполнения этих условий.

В процедуре оптимизации перебор концентраций c1′′(2), c1′′(3), ... c1′′(N −1) целесообразно проводить с исполь-

зованием известных методов нелинейного программирования и, если необходимо, сочетать их с методом случайного поиска [57, 58].

В работе [56] для сравнения R-каскада и оптимального каскада с одинаковыми концевыми концентрациями целевого компонента в качестве разделяемой смеси рассмотрена 4-ком- понентная модельная смесь со следующими параметрами:

M1 = 298, M2 = 299, M3 = 300, M4 = 301, c1F = 10%, c2F = 30%, c3F = 30%, c4F = 30%. За целевой принят самый легкий компонент (n = 1), q0 = 2. Концентрации целевого компонента в потоках отбора c1P = 91,42 % и отвала c1W = 0,33% были получены из предварительного расчета R-каскада с несмешением по относительной концентрации R12 =c1/c2 (M *= 298, 5)

с 10 ступенями в отборной и 9 ступенями в отвальной секциях каскада. Расчет показывает, что "наилучшим" R- каскадом для заданных концентраций оказывается каскад с

(M *)опт = 298,6. Сравнение характеристик R-каскада и

341

оптимального каскада, разделяющих 4-компонентную мо-

дельную	смесь	(M1 = 298,	M2 = 299,	M3 = 300	и	M4 = 301,
c1F = 10%,	c2F = 30%, c3F = 30%, c4F = 310%,				q0 = 2)		при
фиксированных		значениях	целевого	компонента		(n = 1)	на

концах каскада c1P = 91,42%, c1W = 0,33 % приведено в табл. 2.14.

Таблица 2.14

Сравнение оптимального и R-каскадов при одинаковых значениях концентрации целевого компонента в потоках отбора и отвала

Каскад			N	f	∑L / P
M*=298,5			19	10	306,12
(M*)опт=298,6			19,71 (~20)	8,46 (~8)	302,26
Оптимальный			18	8	298,5
В табл. 2.14	приведены характеристики двух R-каскадов с
M* = 298,5 и		(M*)опт = 298,6,		а также	каскада с

оптимизированными по критерию минимальности суммарного потока параметрами с указанными выше концентрациями целевого компонента в потоках отбора и отвала. Как видно из приведенных в таблице данных, значения суммарных потоков во всех рассмотренных случаях близки друг к

другу. Превышение суммарного	потока R-каскада с
M* = 298,5 над суммарным потоком	оптимального каскада

составляет 2,6%, а в случае (M*)опт = 298,6 – на 1,26%.

В работах [54, 55] также приведены результаты расчета центробежных каскадов для обогащения изотопов 28Si в виде тетрафторида кремния SiF4 с массовыми числами компонентов M1 = 104, M2 = 105, M3 = 106 и концентрациями компонентов в потоке питания c1F = 92,21%, c2F = 4,70%,

c3F = 3,09%. Коэффициент разделения на единицу разности

массовых чисел	принят равным	q0 = 3 . Для	R-каскада с
несмешением по	относительной	концентрации	R13 = c1 / c3

342

(M* = 105) с числом ступеней N = 81 и подачей потока питания в ступень с номером f = 21 были найдены следующие концевые концентрации целевого компонента c1P = 98,71%,

c2W = 1,4·10-2 %, а относительный суммарный поток в каскаде был равен ∑L / P =291,8.

Параметры оптимального каскада с заданными внешними концентрациями целевого компонента c1P = 98,71%, c2W = = 1,4·10-2 % оказались равны N = 42 и f = 38, а суммарный поток ∑L / P = 51,1. Расчет показывает, что характеристики

наилучшего R-каскада	были равны: (M*)опт = 104,5, что
означает несмешение	по	относительной концентрации
R12 = c1 / c2 , N = 45 и f = 41,		∑L / P = 51,17. Таким образом

различие в величинах суммарного потока в оптимальном и R-каскадах с (M*)опт не превышает 0,14%, в то время как в R-каскаде с M* = 105 он в несколько раз больше.

Отсюда следует важный вывод. Опираясь на теорию модельных каскадов для разделения многокомпонентных изотопных (в частности R-каскадов) можно получать исходные данные (начальные приближения) для определения оптимальных параметров многоступенчатых разделительных установок с заданными внешними концентрациями целевого изотопа.

2.4.4.4.Квазиидеальный каскад с потерями рабочего вещества на ступенях [59–62]

Схема каскада для разделения многокомпонентных смесей с потерями рабочего вещества приведена на рис. 2.34.

Так же, как и в случае разделения бинарных смесей, будем считать, что потери на каждой ступени каскада ∆Ls пропорциональны потоку на ее входе, т.е.

343

Рис. 2.34. Схема противоточного разделительного каскада с потерями в «узлах» каскада

∆Ls = yL(s) ,

(2.435)

где y – величина, называемая коэффициентом потерь, которую принимают одинаковой для всех ступеней каскада.

Уравнение коммутации потоков на входе в произвольную s -ую ступень в этом случае имеет вид:

'

(s −1)

"

'

"

i =1,

2,K, m. (2.436)

G

+G (s +1)

= (1+ y) G

(s) + G (s) ,

i

i

i

i

с учетом:

G'

"

g

+1

'

i

i

G

=

,

G

=

G

,

(2.437)

i

gi

i

gi

i

соотношения (2.436) для квазиидеального каскада могут быть переписаны в виде:

G'(s −1) +		1	G'(s +1) = (1+	1	)(1+ y)G'(s), i =1, 2,K, m , (2.438)
i		gi	i		i
				gi
где gi – константы.
	Соотношения (2.438) представляют конечно-разностные
уравнения			2-го порядка	с постоянными коэффициентами

относительно функций Gi'(s) . Граничные условия могут быть представлены в виде:

344

Gi'(0)

Gi'( f

Gi'(N Gi'(1)

i =1,

= G'(N +1) = 0,
i
−1) +	1	G'( f +1) − (1+	1	)(1	+ y)G'( f ) + Fc		= 0,
		i	gi		i	iF
	gi
) = PciP,							(2.439)

= gi (1)WciW , 2,K, m.

Кроме того, решения уравнений (2.438) для отборной и отвальной частей каскада должны совпадать при s = f .

Фундаментальные решения уравнений (2.438) могут быть записаны в виде

G'(s) = Aωs		+ B ωs	, i =1, 2,K, m ,	(2.440)
i	i 1i	i 2i

где Ai и Bi – константы, которые должны быть найдены из граничных условий, а ω1i , ω2i – являются решениями квадратных уравнений

			ω2	−(g +1)(1+ y)ω + g = 0		,				(2.441)
			i	i	i i
имеющими вид
		(g +1)(1+ y) +			((g +1)(1+ y)2		− 4g
ω	=		i		i		i	,		(2.442)
1					2
			(g +1)(1+ y) −		((g +1)(1+ y)2		− 4g
ω	=		i		i		i		,	(2.443)
2					2

i =1, 2,K, m .

Использование граничных условий (2.439) позволяет решение уравнений (2.438) записать в виде:

для отвальной части каскада

'		ω1iω2i				s		s
G	(s) =Wc			ω			−ω		,	(2.444)
			−ω
i	iW ω			(	2i		1i )
		2i	1i

s =1, 2,K, f −1, i =1, 2,K, m .

345

			ωN +1− f	−ωN +1− f
	Wc	=	2i	1i	Fc ,	(2.445)
			ωN +1	−ωN +1
	iW				iF
			2i	1i

s =1, 2,K, f −1, i =1, 2,K, m .

для отборной части каскада

G'(s) = Pc

ωs−N −1

−ωs−N −1

2i

1i

,

(2.446)

ω−1

−ω−1

i

iP

2i

1i

s = f ,K, N , i =1, 2,K, m .

PcP

ω− f −ω− f

=

2i

1i

Fc ,

(2.447)

ω−N −1 −ω−N −1

iP

iF

2i

1i

s = f ,K, N , i =1, 2,K, m .

m

Учитывая, что ∑cj =1, из (2.445)–(2.447) получаем:

j=1

W

m ωN +1− f

−ωN +1− f

∑

2 j

1j

ciF ,

=

(2.448)

F

ωN +1

−ωN +1

j=1

2 j

1j

P

m

ω

− f

−ω− f

2 j

1j

= ∑

ciF ,

(2.449)

F

ω

−N −1 −ω−N −1

j=1

2 j

1j

ω2Ni +1− f

−ω1Ni +1− f

m ω2Nj+1− f −ω1Nj +1− f

ciW =

ciF

∑

c jF , (2.450)

ωN +1

−ωN +1

ωN +1 −ωN +1

2i

1i

j=1

2 j

1j

ω2−if −ω1−i f

m

ω2−jf −ω1−jf

ciP =

ciF

∑

c jF .

(2.451)

ω−N −1 −ω

−N −1

ω−N −1

−ω−N −1

2i

1i

j=1

2 j

1j

Далее, используя решения (2.444) (2.446) и соотношения (2.437), можно определить распределение потоков L(s) ,

концентраций компонентов ci (s) и коэффициента деления потока θ(s) по длине квазиидеального каскада с потерями на ступенях.

346

Ci (s)

Ci (s)

m

1

ω ω

2 j

(ω2s j −ω1sj )c jW ,

W

∑

1+

1j

j=1

gi ω2 j −ω1j

s =1, 2,K, f −1,

L(s) =

m

1

ω2s−j N −1−ω1sj−N −1

P∑

1

+

c jP,

g

i

ω

2 j

−ω

j=1

1j

s = f , f +1,K, N.

ω ω

(ω2si

−ω1si )ciW

m

ω ω

(ω2s j −ω1sj )cjW ,

1i 2i

∑

1 j 2 j

ω −ω

ω −ω

2i

1i

j =1

2 j

1 j

s =1,

2,K, f −1,

=

ω2si−N −1 −ω1si−N −1

m

ω2s−j N −1 −ω1sj−N −1

−1

−1

ciP

∑

cjP ,

−1

−1

ω2i −

ω1i

j =1

ω2 j

−

ω1 j

s = f , f +1,K, N.

ω ω

(ω2si

−ω1si )ciW

m

ω ω

(ω2s j −ω1sj )cjW ,

1i 2i

∑

1 j 2 j

ω −ω

ω −ω

2i

1i

j =1

2 j

1 j

s =1,

2,K, f −1,

=

ω2si−N −1 −ω1si−N −1

m

ω2s−j N −1 −ω1sj−N −1

−1

−1

ciP

∑

cjP ,

−1

−1

ω2i −

ω1i

j =1

ω2 j

−

ω1 j

s = f , f +1,K, N.

(2.452)

(2.453)

(2.454)

Формулы (2.448) – (2.454) позволяют, например, при заданных величинах gi , f , N , y рассчитать квазиидеальный каскад с потерями на ступенях, т.е. определить значения W F , PF , значения концентраций компонентов в

потоках отбора и отвала CiP , CiW , распределение потока на входе в ступень L(s) и концентрации компонентов Ci (s) по длине каскада.

347

Другую разделительную задачу-расчет параметров квазиидеального каскада с потерями при заданных концентрациях целевого изотопа CiP и CiW решают по тому же алгоритму,

который для случая y = 0 описан в разделе 2.4.6.2.

Рис. 2.35. Зависимость относительного изменения суммарного потока в R-каскаде при обогащении изотопа 180W в виде гексафторида вольфрама от коэффициента потерь y при заданных

величинах концентрации целевого изотопа в потоке отбора

CP (180) ≥ 0.5,	и коэффициенте извлечения	PCP(180)	≈ 0.9
	FCF (180)

В качестве иллюстрации на рис. 2.35 представлена зависимость относительного изменения суммарного потока в R-каскаде, предназначенному для концентрирования изотопа 180W в виде WF6 , от коэффициента потерь y . Исходные

данные расчета были приняты те же, что и в работе [50] для случая отсутствия потерь (y = 0) . Из представленной

зависимости видно, что, например, при yln2 q0 = 5×10−3 ,

348

относительное увеличение (по сравнению со случаем отсутствия потерь y = 0 ) суммарного потока составляет ≈ 24,5% .

В случае малых потерь в разделительной ступени, когда выполнено условие y << ln q0 , раскладывая (2.441) и (2.442) в ряд, получаем

ω

= y

1+ gi

,

i =1, 2,K, m ,

(2.455)

1i

1− gi

ω

= g

1

− y

1+ gi

,

i =1, 2,K, m .

(2.456)

2i

i

1− gi

y

Учитывая малость величины

по сравнению с единицей,

соотношения (2.455), (2.456) можно преобразовать к виду

ln ω

= y

1+ gi

,

i =1, 2,K, m ,

(2.457)

1i

1− gi

lnω2i = ln gi − y

1+ gi

,

i = 1, 2,K, m .

(2.458)

1− gi

Откуда находим, что

ω1si

1+ gi

= exp y

s

,

(2.459)

1− gi

1+ gi

ω2si = gis exp −y

s ,

(2.460)

1− gi

Подставляя (2.447) – (2.448) в (2.434) и (2.435) получим:

W

m

N+1− f

exp[−yj (N +1− f )]−exp[yj(N +1− f )]

g j

= ∑

%

%

cjF , (2.461)

F

N+1

%

%

j=1

g j

exp[−yj(N +1)]

−exp[yj(N +1)]

P

m

− f

exp(y j f ) −exp(−y j f )

g j

= ∑

%

%

cjF , (2.462)

F

−N −1

%

%

j=1 g j

exp[y j (N +1)] −exp[−y j (N +1)]

349

N+1− f

~

~

+1− f )]

gi

exp[−yi (N +1− f )]−exp[yi (N

C F

N +1

~

~

i

CW =

gi

exp[−yi

(N +1)]−exp[yi (N +1)]

,(2.463)

N +1− f

i

m

g

~

~

(N +1

− f )

i

exp[−y

j

(N +1− f )]−exp[y

∑

j

C jF

N +1

~

(N +

~

j=1

gi

exp[−y j

1)]−exp[y j (N +1)]

− f

%

%

f )

gi

exp( yi

f ) −exp(−yi

ciF

−N

−1

%

%

ciP =

gi

exp[ yi

(N +1)] −exp[−yi (N +1)]

, (2.464)

m

− f

exp( y j f ) −exp(−y j

f )

g j

∑

%

%

cjF

−N −1

exp[ y j (N

+1)] −exp[−yj (N +1)]

j=1

g j

%

%

i = 1, 2,K, m ,

где yi = y

gi +

1

.

%

gi −1

Если количество ступеней в каскаде достаточно велико, так что gif >>1, giN >>1, то из формулы (2.464) можно по-

лучить следующие асимптотические приближения для концентраций компонентов, обогащаемых по направлению к «легкому» (отборному) концу каскада ( gi > 0 )

exp

−y

gi −1

(N +1−

f )

gi +1

c

=

c .

(2.465)

iP

g j −1

iF

∑ exp −y

(N +1

− f )

g j +1

g j

>

0

Данное соотношение является обобщением на случай каскада с потерями формулы для предельных концентраций, полученной в работе [5]:

[ciP]пред. =	ciF
	∑ c jF .	(2.466)

g j >0

Из формулы (2.465) следует, что «потери» промежуточных компонентов по сравнению с крайними в достаточно длинном

350