Борман Теория разделения изотопов 2007

тимальное число ступеней, при котором суммарный поток в квазиидеальном каскаде (или R-каскаде, являющемся частным его случаем) будет минимален. Чем большее обогащение в квазиидеальном каскаде необходимо получить, тем больше будет величина ( f − 1)min, т.е. тем больше должна быть длина отвальной части, при которой суммарный поток в каскаде минимален. В силу того, что целевой компонент в отвальной части обедняется, его оптимальная концентрация в потоке отвала будет также уменьшаться с ростом концентрации целевого компонента в потоке отбора.

Наличие оптимальной отвальной части в каскадах для разделения многокомпонентных изотопных смесей существенно отличает их от каскадов для разделения бинарных смесей, в которых минимум суммарного потока всегда соответствует случаю отсутствия отвальной части и в которых нет ограничения на предельную концентрацию обогащаемого компонента.

При заданных величинах M * , q0 , cjF ( j =1, 2,..., m) алго-

ритм расчета R-каскада на заданные концентрации целевого компонента cnP и cnW имеет вид:

	1. Рассчитывают все значения параметра d j =	ln qjk	−1
		ln gn

(n – номер целевого компонента, k-номер «опорного» компонента).

2. Задают требуемые концентрации целевого компонента в отводимых из каскада потоках cnP , cnW из определенной заранее области допустимых значений.

3. Решая систему (2.412) – (2.413) для ключевого (целевого) компонента, находят величины относительных концен-

траций RnkP и RnkW .

331

4.По соотношениям (2.412) – (2.413) рассчитывают остальные концентрации компонентов в отводимых из каскада потоках F/P и W/P по формулам (2.410), (2.411), а по соотно-

шениям (2.408) – (2.409) величины N и f.

5.Расчет суммарного потока проводят по формуле (2.417).

В качестве иллюстрации ниже приведены результаты расчета R-каскада для обогащения потока изотопа 180W (в виде гексафторида вольфрама) с использованием газовых центрифуг, полученные в работе [61].

Исходные данные расчета:

1.Коэффициент разделения ступени, приходящийся на единичную разность

	массовых чисел q0 ...................................................			1,16306
2.	Поток питания одиночной центрифуги,
	г W/с............................................................................			0,074
3.	Концентрации компонентов в потоке питания:			0,00140
	cF (180) .......................................................................
	cF (182) .......................................................................			0,26416
	cF (183) .......................................................................			0,14440
	cF (184) .......................................................................			0,30618
	cF (186) .......................................................................			0,28417
4.	Величина M * ...................................................................			181
5.	Поток отбора, кг · W/сут..................................................			1,0
6.	Концентрация целевого изотопа (180W)
	в потоке отбора..............................................................			≥ 0,5
7.	Коэффициент извлечения целевого изотопа,
		PcP (180)
			, % ....................................................................	~ 90
		FcF (180)

332

Результаты расчета:
1.	Число ступеней в обогатительной
	части каскада, N – f + 1 .....................................................	35
2.	Число ступеней в обеднительной
	части каскада, f – 1 ............................................................	14
2.	Концентрации компонентов в потоке отбора:
	cP (180) .........................................................................	0,5194
	cP (182) .......................................................................	0,48756
	cP (183) .......................................................................	0,00148
	cP (184) .......................................................................	0,00002
	cP (186) .......................................................................	0,00000
3.	Концентрации компонентов в потоке отвала:
	cW (180) ......................................................................	0,00014
	cW (182) ......................................................................	0,26361
	cW (183) ......................................................................	0,14444
	cW (184) ......................................................................	0,30693
	cW (186) ......................................................................	0,28487
5.	Поток отвала, W, кг · W/сут............................................	406
6.	Поток питания F, кг · W/сут ...........................................	407
7.	Число центрифуг, соединенных в параллель
	в «головной» ступени каскада (s = f).............................	645
8.	Суммарное число центрифуг
	в обогатительной части каскада..................................	3210
9.	Суммарное число центрифуг в обеднительной
	части каскада.................................................................	7018
10. Общее число центрифуг в каскаде...........................		10228
В табл. 2.13 представлены распределения концентраций
компонентов, величин Ls и θs по ступеням каскада

333

Таблица 2.13

Концентрации компонентов, величины потоков и коэффициенты среза на ступенях R-каскада для концентрирования 180W

		Номер		Ls,		Число
		сту-				центри-		θ	s		c	s	(180)		c	s	(182)		c	s	(183)		c	s	(184)		c	s	(186)
		пени,		гWF6/c		фуг в
		s				ступени
		1		12,655		171		0,399		0,00019					0,24489				0,15111				0,301196				0,25186
		2		21,206		287		0,403		0,00024					0,32278				0,15683				0,29473				0,22092
		3		27,261		368		0,407		0,00031					0,35579				0,16304				0,28590				0,19767
		4		31,721		429		0,410		0,00038					0,38054				0,16214				0,27664				0,18030
		5		35,115		475		0,413		0,00047					0,40183				0,16274				0,26766				0,16730
		6		37,765		510		0,415		0,00057					0,42007				0,16250				0,25938				0,15749
		7		39,877		539		0,416		0,00069					0,43563				0,16172				0,25196				0,15001
		8		41,588		562		0,418		0,00083					0,44888				0,16061				0,24545				0,14423
		9		42,990		581		0,419		0,00098					0,46816				0,15934				0,23981				0,13970
		10		44,152		597		0,420		0,00117					0,46976				0,15801				0,23496				0,13610
		11		45,123		610		0,421		0,00138					0,47791				0,15667				0,23082				0,13321
		12		45,940		621		0,421		0,00163					0,48483				0,15539				0,22729				0,13086
		13		46,631		630		0,422		0,00192					0,49070				0,15418				0,22427				0,12893
		14		47,220		638		0,422		0,00226					0,49567				0,15305				0,22170				0,12732
		15		47,725		645		0,423		0,00265					0,49987				0,15201				0,21249				0,12598
		16		35,467		479		0,432		0,00356					0,57784				0,15121				0,18773				0,07965
		17		27,255		368		0,439		0,00463					0,64592				0,14547				0,15528				0,04871
		18		21,490		290		0,444		0,00587					0,70355				0,13639				0,12517				0,02903
		19		17,278		233		0,448		0,00729					0,75139				0,12540				0,09896				0,01696
		20		14,097		191		0,452		0,00892					0,79061				0,11362				0,07709				0,00977
		21		11,631		157		0,454		0,01079					0,82246				0,10179				0,05939				0,00556
		22		9,678		131		0,456		0,01294					0,84811				0,09044				0,04537				0,00314
		23		8,105		110		0,458			0,01541				0,86857				0,07982				0,03443				0,00176

334

Номер	Ls,	Число
сту-		центри-	θ	s	c	s	(180)	c	s	(182)	c	s	(183)	c	s	(184)	c	s	(186)
пени,	гWF6/c	фуг в
s		ступени
24	6,823	92	0,459		0,01826			0,88467			0,07009			0,02600			0,00098
25	5,766	78	0,460		0,02153			0,89706			0,06130			0,01955			0,00055
26	4,889	66	0,461		0,02530			0,90629			0,05344			0,01466			0,00030
27	4,155	56	0,462		0,02964			0,91276			0,04648			0,01096			0,00017
28	3,538	48	0,463		0,03462			0,91677			0,04033			0,00818			0,00009
29	3,018	41	0,464		0,04035			0,91856			0,03494			0,00610			0,00005
30	2,577	35	0,464		0,04691			0,91829			0,03023			0,00454			0,00003
31	2,202	30	0,465		0,05443			0,91606			0,02613			0,00338			0,00002
32	1,884	25	0,466		0,06302			0,91191			0,02256			0,00251			0,00001
33	1,612	22	0,467		0,07281			0,90587			0,01946			0,00186			0,00000
34	1,379	19	0,468		0,08393			0,89790			0,01678			0,00139			0,00000
35	1,180	16	0,469		0,09654			0,88798			0,01446			0,00103			0,00000
36	1,009	14	0,470		0,11077			0,87602			0,01245			0,00076			0,00000
37	0,862	12	0,471		0,12676			0,86195			0,01072			0,00057			0,00000
38	0,735	10	0,473		0,14465			0,84570			0,00922			0,00042			0,00000
39	0,626	8	0,474		0,16456			0,82719			0,00793			0,00031			0,00000
40	0,531	7	0,476		0,18657			0,80637			0,00682			0,00023			0,00000
41	0,448	6	0,478		0,21076			0,78320			0,00587			0,00018			0,00000
42	0,376	5	0,480		0,23714			0,75769			0,00504			0,00013			0,00000
43	0,312	4	0,482		0,25569			0,72988			0,00433			0,00010			0,00000
44	0,256	3	0,485		0,29631			0,69989			0,00372			0,00008			0,00000
45	0,205	3	0,487		0,32887			0,66788			0,00320			0,00006			0,00000
46	0,159	2	0,490		0,36313			0,63408			0,00275			0,00004			0,00000
47	0,116	2	0,492		0,39883			0,59877			0,00236			0,00003			0,00000
48	0,076	1	0,495		0,43563			0,56232			0,00202			0,00003			0,00000
49	0,038	1	0,498		0,47313			0,52511			0,00174			0,00002			0,00000

335

В рассмотренном примере в качестве целевого компонента выступает изотоп 180W, а в качестве опорного изотоп 182W. Если концентрация целевого изотопа 180W, являющегося крайним компонентом, меняется монотонно от первой до последней ступени каскада, то концентрация изотопа 182W достигает максимального значения на ступени с номером s = 29 и далее убывает по направлению к «легкому» концу каскада. Другими словами, «отделение» целевого изотопа 180W от остальных компонентов смеси происходит на участке каскада с номерами ступеней s от 29 до 49. Из табл. 2.13 видно, что поток Ls имеет максимальное значение в «головной» ступени

каскада (s = 15) и убывает по направлению к «легкому» и «тяжелому» концам каскада. Коэффициент деления потоков θs монотонно растет от первой до последней ступени; отно-

сительное изменение этой величины составляет ~ 25%. Результаты расчета позволяют оценить общее количество одиночных разделительных аппаратов, необходимое для решения поставленной задачи.

Оптимизационный расчет R-каскада с заданными концентрациями cnP и cnW (n – номер целевого компонента) сво-

дится к нахождению параметра M* , при котором суммарный поток минимален.

При решении этой задачи систему (2.410)–(2.412) с учетом

(2.408), (2.409), (2.420) и (2.421) целесообразно представить в виде

	P		m		−(M *−M j ) f
			= ∑cjF		1− q0		,		(2.429)
	F				*
			j=1		−(M	−M j )(N +1)
					1− q0
W			m		−(M *−M j )(N − f +1)
		= ∑cjF		1− q0				,	(2.430)
F					*
			j=1		−(M	−M j )(N +1)
					1− q0

336

−(M*−Mi) f

m

1

−(M *−M j ) f

ciP = ciF

1− q0

∑cjF

− q0

,

(2.431)

*

−Mi)(N +1)

*

−(M

j=1

−(M

−M j )(N +1)

1− q0

1− q0

−(M*−M )(N− f +1)

m

−(M*−M j)(N − f +1)

1−q0

i

1−q0

ciW = ciF

∑cjF

,(2.432)

−(M*−M )(N+1)

−(M*−M )(N+1)

1

−q0

i

j=1

1

−q0

j

а для суммарного потока использовать соотношение (2.397). Заданными величинами являются: состав исходной смеси

cjF ( j =1, m) , массовые числа компонентов разделяемой смеси M j ( j =1, m) , коэффициент разделения, приходящийся на единицу разности массовых чисел q0 , концентрации целевого компонента (i = n) в потоках отбораcnP и отвала cnW , поток отбора P.

К неизвестным величинам относятся: полное число ступеней в каскаде N, номер ступени, на вход которой подают поток питания f, M* – параметр, при оптимальном значении которого R-каскад имеет минимальный суммарный поток.

При решении оптимизационной задачи можно считать, что величина M* непрерывно меняется от самой легкой до самой

тяжелой массы разделяемой изотопной смеси M1 < M * < Mm .

Формально это означает, что в рассмотрение вводятся фиктивные компоненты с массовыми числами, лежащими в диапазоне M1 < Mi(фикт) < Mm , с исчезающе малыми

концентрациями ci(фикт) → 0 .

На рис. 2.33 представлены зависимости относительного суммарного потока ∑L / P от величины параметра M* при

обогащении в R-каскаде промежуточного компонента 83Kr из природной смеси изотопов при различных концентрациях целевого компонента в потоке отбора (а: cnP =15%, б: 20%, в:

337

30%, г: 40%) и фиксированном значении концентрации целевого компонента в потоке отвала cnW =5%. Величина

коэффициента q0 принята равной 1,1; (c4P)max =44,7%.

Рис. 2.33. Зависимости относительного суммарного потока Σ L / P

от величины параметра M * при обогащении в R-каскаде промежуточного компонента 83Kr (n = 4) из природной смеси изотопов криптона при различных концентрациях целевого компонента в потоке отбора

Приведенные зависимости подтверждают полученный ранее вывод для случая «слабого обогащения» (см. раздел 2.3.4.1) о том, что заданные значения концентрации целевого компонента в потоках отбора cnP и отвала cnW могут быть

338

получены в R-каскаде при значении параметра M* = (M *)опт ,

обеспечивающем минимальный суммарный поток. Отметим, что в рассмотренном примере в случаях а, б и в минимальные потоки соответствуют R-каскадам, для которых в роли опорных выступают фиктивные компоненты. Для R-каскада,

для которого (M*)опт = 83,5 (случай г), имеет место не-

смешение по относительной концентрации c (83Kr)c (84Kr) . Численные исследования показали, что при фиксированных значениях концентраций cnP и cnW оптимальное значение

величина (M *)опт от величины q0 практически не зависит.

2.4.4.3.Оптимальный каскад с заданными концентрациями по целевому изотопу. Сравнение с R-каскадом

Одной из важных задач, представляющих как теоретический, так и практический интерес является определение параметров наилучшего (оптимального) каскада с заданными внешними концентрациями по целевому компоненту. Под наилучшим (оптимальным) каскадом будем понимать каскад, характеристики которого соответствуют критерию минималь-

N

ности суммарного потока, т.е. ∑Ls → min , без дополнитель-

s=1

ных требований, налагаемых на внешние и внутренние параметры каскада.

Особый интерес представляет сравнение оптимальных каскадов с R-каскадами, свойства которых рассмотрены в предыдущем разделе. Возможные подходы к оптимизации многокомпонентных каскадов с заданными внешними концентрациями целевого изотопа рассмотрены в работах [53– 56]. Суть подхода, предложенного, например, в работе [53] состоит в следующем. Анализ соотношений (2.286) – (2.298)

339

показывает, что если известны параметры внешнего питания ( F, cjF , j =1, m ), концентрации целевого компонента в

потоках отбора cnP и отвала cnW , а также фиксированы

параметры N и f, то количество свободно выбираемых параметров каскада равно N-2. Эти параметры могут быть определены исходя из принятого критерия эффективности – минимума суммарного потока в каскаде. В случае, когда коэффициенты разделения qij на ступенях каскада являются

N

константами, для решения задачи оптимизации ∑Ls → min

s=1

при выполнении условий (2.286) – (2.298) в качестве свободных N-2 параметров предложено использовать

отвальные концентрации на ступенях cs′′(s = 2, N) . При этом в

качестве целевого выбиран самый легкий компонент с номером 1. Исключение переменных преобразует критерий

N

минимальности суммарного потока ∑Ls → min к следую-

s=1

щему выражению

N

∑Ls (N, f , c1(1), c1(2), ... , c1(N −1)) → min . (2.433)

s=1

Для нахождения связи параметров каскада с величинами c1′′(2), c1′′(3), ... c1′′(N −1) применяют итерационный подход, с

помощью которого уточняют значения неизвестных отвальных концентраций на ступенях по второму и всем последующим компонентам. На каждой итерации по заданным концентрациям c1′′(2), c1′′(3), ... c1′′(N −1) и при-

ближенно выбранным концентрациям других компонентов находят потоки по формуле

340