Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

Применяем Правило 5.1 для вычисления Aтраектории1 и Aтраектории2, т.е. амплитуд вероятности перехода квантовой системы по

каждой траектории.

В данном случае эти амплитуды вероятности есть

Aтраектории1= (i 2 ) (−1)f (0) (i 2 )= − 12 (−1)f (0) ;

Aтраектории2= (1 2 ) (−1)f (1) (1 2 )= + 12 (−1)f (1) .

Применяем Правило 5.2 для вычисления A00 — амплитуды вероятности перехода системы из 0 в 0. В данном случае эта амплитуда вероятность есть

A00 = Aтраектории1+ Aтраектории2 = − 12 (−1)f (0) + 12 (−1)f (1)

или

A00 = 12 {(−1)f (1) −(−1)f (0)}.

Применяем Правило 5.3 для вычисления вероятности P00 перехода системы из 0 в 0. В данном случае эта вероятность есть

P00 =| A00 |2 = 12 {(−1)f (1) −(−1)f (0)}2 .

2). Заметим следующую важную закономерность. Для этого выпишем все возможные значения вероятности P00 при 4 различных возможных вариантах рассматриваемой функции:

для постоянной функции

при f1(0)= f1(1)=0 значение P00=0;

при f2(0)= f2(1)=1 значение P00=0;

для НЕпостоянной функции

при f3(0)=0, f3(1)=1 значение P00=1;

при f4(0)=1, f4(1)=0 значение P00=1.

421

3). Вычислим другие 3 оставшиеся вероятности

P10 — выхода 0 на входе 1;

P01 — выхода 1 на входе 0;

P11 — выхода 1 на входе 1.

Согласно той же диаграмме (см. рис. 5.18б) из 1 в 0, или из 0 в 1, или из 1 в 1 можно также прийти только по 2-м соответствующим траекториям.

Применяем Правило 5.1 и Правило 5.2, вычислим

A10 = 2i {(−1)f (0) +(−1)f (1)};

A01= 2i {(−1)f (0) +(−1)f (1)};

A11 = 12 {(−1)f (0) −(−1)f (1)}.

Применяем Правило 5.3, вычислим

P10 = | A10 |2 = 2i {(−1)f (0) +(−1)f (1)}2 ;

P01 = | A01 |2 = 2i {(−1)f (0) +(−1)f (1)}2 ;

P11 = | A11 |2 = 12 {(−1)f (0) −(−1)f (1)}2 .

Заметим следующую аналогичную закономерность:

для постоянной функции

P10=1; P01=1; P11=0;

для НЕпостоянной функции

P10=0; P01=0; P11=1.

4). Таким образом, подав на вход схемы (см. рис. 5.18а), например нуль, т.е. | 0 , на ее выходе для постоянной функции с вероят-

ностью P01=1 будет единица, т.е. |1 , а для НЕпостоянной функции будет нуль, т.е. | 0 с вероятностью P00=1 .

5). И тем самым задача решена▄

422

5.6. Двухкубитовые схемы

«Современное понимание квантовой механики похоже на представления начинающего шахматиста. Правила известны более 70 лет, и у нас есть несколько остроумных приемов, пригодных в некоторых ситуациях, но мы пока не можем похвастаться мастерством.»

М. Нильсен [5]

Двухкубитовые схемы, которые будем далее рассматривать, содержат следующие компоненты:

•два кубита;

•набор однокубитовых гейтов;

•набор двухкубитовых гейтов;

•квантовые провода;

•специальные графические символы на квантовых проводах;

•измеритель (иногда на квантовых схемах не показывают).

Втабл. 5.2 приведены условные обозначения наиболее распространенных квантовых элементов (двухкубитовых гейтов).

На рис. 5.19 приведены дополнительные соглашения, связанные

свозможными обозначениями 2-кубитовых гейтов.

Так на рис. 5.19а, г черная точка (у квантового провода верхнего кубита) заменена на светлую точку (светлый кружок).

На рис. 5.19а изображен гейт, реализующий несколько измененную операцию CNOT. Верхняя линия отвечает по-прежнему управляющему кубиту, а нижняя — управляемому кубиту. Светлый кружок и крест, расположенные на этих линиях и соединенные вертикальной прямой, и есть измененная операция CNOT. Светлый кружок стоит на линии управляющего кубита, а крест, изображающий операцию НЕ (NOT), расположен на линии управляемого кубита. Измененная операция CNOT заключается в том, что со-

стояния 0 и 1 управляющего кубита поменялись своими функциями. Теперь управляемый кубит подвергается операции НЕ в том случае, когда управляющий кубит находится в состоянии 0 .

423

Таблица 5.2. Двухкубитовые гейты (см. [1, с.16,46,229-230; 11])

Наиме-	Возможное условное																						Унитарная матрица гейта
нование					обозначение
гейта
Элемент
CNOT																								1	0	0	0
(управ-																		X
ляемый																								0	1	0	0
NOT)																									0	0
																								0			1
							CNOT																	0	0	1	0
Элемент
Тожде-																								1	0	0	0
ственно-
								I
го преоб-																								0	1	0	0
разова-																								0	0	1	0
ния
																								0	0 0 1
Элемент
Управ-																								1	0	0	0
ляемое
U																								0	1	0	0 ,
(CU)																									0	w	s
								U																0
																								0	0	z	t
																									w s
																								U =
																									z		t
Элемент
Общего																							a00		a01	a02		a03
вида																							a		a	a		a
								M
																								10	11	12		13
																							a20		a21	a22		a23
																									a	a		a
																							a
																								30	31	32		33

424

а)				б)	в)		г)				д)

U Z

Рис. 5.19

На рис. 5.19г изображен гейт, реализующий несколько измененную операцию Управляемое U из табл. 5.2. Смысл введенных изменений тот же, что и для элемента на рис. 5.19а (нижний, т.е. управляемый кубит подвергается операции НЕ в том случае, когда

управляющий кубит (т.е. верхний) находится в состоянии 0 ).

Черная точка (для гейтов из табл. 5.2) означает, что управляемый кубит (в данном случае он изображен как нижний кубит) подвергается операции, когда управляющий кубит (в данном случае он

изображен как верхний кубит) находится в состоянии 1 .

Светлый кружок (для гейта CNOT на рис. 5.19а, для гейта CU на рис. 5.19г) означает, что управляемый кубит (в данном случае он изображен как нижний кубит) подвергается операции НЕ (см. рис. 5.19а) или операции U (см. рис. 5.19г), когда управляющий кубит (в данном случае он изображен как верхний кубит)

находится в состоянии 0 .

На рис. 5.19б изображен гейт [1, с.45], реализующий операцию обмена состояний двух кубитов.

На рис. 5.19в представлено специальное изображение гейта, реализующего операцию Управляемое Z (рис. 5.19д).

Гейты [1, с.16] на рис. 5.19в и 5.19д полностью эквивалентны и обозначают одно и то же.

Управляемое Z называется управляемым фазовым сдвигом.

425

В табл. 5.2 (в последней строке) приведен квантовый элемент (2-кубитовый гейт) в самом общем виде со своей унитарной матрицей M, где ее элементы есть некоторые комплексные числа.

Ниже приведены следующие унитарные матрицы для гейтов, представленных на рис. 5.19:

1		0	0	0
0		0	1	0 — Обмен [1, с.16];
0		1	0	0
0		0	0	1
1		0	0	0
0		1	0	0		— Управляемый Z [1, с.16];
		0	1
0				0
0		0	0	−1
0		1	0	0
1		0	0	0	— Управляемый X на рис. 5.19а (см. раздел 2.5);
0		0	1	0
0		0	0	1
w		s	0	0
z		t	0	0		w	s
	0	0	1		— Управляемый U на рис. 5.19г, где U =		.
				0		z	t
	0	0	0	1

Перейдем к подробному рассмотрению наиболее простых примеров двухкубитовых квантовых схем.

426

Пример5.15а. Вычисление вектора состояния 2-х кубитов. Имеется система двух кубитов (т.е. квантовый регистр из 2-х

кубитов на квантовой схеме). Каждый k-й кубит (k=1, 2) может иметь один из двух векторов состояний

| ψk ={| 0, |1},

где | 0	=	1	,	|1	=	0
						.
		0				1

Требуется найти вектор состояния | ψ системы этих двух кубитов (n=2), т.е. квантового регистра (ср. с Примером5.0г).

Решение

1). Пусть | ψ1 =| 0 и | ψ2 =| 0 . Нумерацию квантовых систем

(кубитов) примем, как в условии примера, и будем полагать, что верхний кубит на схеме имеет номер 1, а нижний — 2.

Применяя Правило 5.0б, получаем следующий вектор | ψ :

| ψ=| 00 =| ψ1 | ψ2 =

										1				1
	1			1 | ψ2					1						0
=			| ψ2						=	0				=		.
	0			=	0	| ψ
							2			1				0
									0
											0
														0

2). Пусть 1-й кубит имеет вектор состояния | ψ1 =| 0 .

Пусть 2-й кубит имеет вектор состояния | ψ2 =|1 .

Применяя Правило 5.0б, получаем следующий вектор | ψ :

| ψ=| 01 =| ψ1 | ψ2 =

										0				0
	1			1 | ψ2					1						1
=			| ψ2						=	1				=		.
	0			=	0	| ψ
							2			0				0
									0
											1
														0
						427

3). Пусть 1-й кубит имеет вектор состояния | ψ	=|1	= 0 .
1			1
Пусть 2-й кубит имеет вектор состояния | ψ2	=| 0	=	1 .
			0

Применяя Правило 5.0б, получаем следующий вектор | ψ :

| ψ=|10 =| ψ1 | ψ2 =

				1				0
0	0 | ψ2		0						0
			=	0				=		.
= | ψ2	=			1
1	1 | ψ2							1
			1		0
								0
4). Пусть 1-й кубит имеет вектор состояния | ψ								=|1			= 0 .
							1					1
Пусть 2-й кубит имеет вектор состояния | ψ2								=|1			=	0 .
												1

Применяя Правило 5.0б, получаем следующий вектор | ψ :

| ψ=|11 =| ψ1 | ψ2 =

						0				0
0		0	| ψ2		0						0
	| ψ2				=	1				=		.
=		=				0
1		1 | ψ2								0
					1		1
										1

5). На этом закончим рассмотрение данного примера ▄

428

Пример5.15б. Вычисление вектора состояния 2-х кубитов. Имеется система двух кубитов (т.е. квантовый регистр из 2-х

кубитов на квантовой схеме). Каждый k-й кубит (k=1, 2) может иметь один из двух векторов состояний

							| ψk ={| 0 , |1 },
	где | 0		1	1		| 1		1		1
		=			,		=			.
			2					2
				1						−1

Требуется найти вектор состояния | ψ системы этих двух кубитов (n=2), т.е. квантового регистра (ср. с Примером5.0г).

Решение

1). Пусть | ψ1 =| 0 и | ψ2 =| 0 . Нумерацию квантовых систем

(кубитов) примем, как в условии примера, и будем полагать, что верхний кубит на схеме имеет номер 1, а нижний — 2.

Применяя Правило 5.0б, получаем следующий вектор | ψ :

						| ψ =					=| ψ1		| ψ2						=
										| 00
																			1					1			0.5
	1			1		1			1 | ψ2				1			2	1						1					0.5
																			1					1
=				| ψ2 =								=										=				=				.
	2 1					2 1 | ψ2							2						1				2					0.5
																								1
																	1
																			1					1			0.5
2). Пусть 1-й кубит имеет вектор состояния | ψ																					=| 0 .
																			1
Пусть 2-й кубит имеет вектор состояния | ψ2																						=| 1 .
Применяя Правило 5.0б, получаем следующий вектор | ψ																													:
						| ψ =					=| ψ1		| ψ2						=
										| 01
																						1					1
			1		1			1		1 | ψ2			1					2	1						1
																				−1							−1
	=				| ψ2	=						=								1				=	2			.
			2					2
					1					1 | ψ2			2														1
																										−1
																			1 −
																						1
											429

3). Пусть 1-й кубит имеет вектор состояния | ψ												=| 1	=				1					1 .
																	2
											1									−1
Пусть 2-й кубит имеет вектор состояния | ψ2												=| 0	=				1			1				.
																	2 1
Применяя Правило 5.0б, получаем следующий вектор | ψ																						:
			| ψ =							=
					| 10 =| ψ1 | ψ2
												1										1
	1	1		1	1 | ψ2		1			2		1					1					1
												1											.
=		| ψ2	=				=							=
	2 −1			2 −1 | ψ2		2						1					2
																					−1
											−1
												1						−1
4). Пусть 1-й кубит имеет вектор состояния | ψ												=| 1	=				1					1 .
																	2
											1									−1
Пусть 2-й кубит имеет вектор состояния | ψ2												=| 1	=				1					1 .
																	2 −1

Применяя Правило 5.0б, получаем следующий вектор | ψ :

| ψ=| 11 =| ψ1 | ψ2 =

														1					1
	1	1			1	1 | ψ2		1			2		1				1
													−1						−1
=			| ψ2	=				=								=			.
	2 −1				2 −1 | ψ2		2						1				2
																			−1
													−1
														−1					1

5). На этом закончим рассмотрение данного примера ▄

430