Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

Кратко обсудим разобранные выше примеры. В Примерах 5.15а, б вычисляются векторы состояния | ψ системы двух куби-

тов (n=2), т.е. квантового регистра (по аналогии с рассмотренным ранее Примером 5.0г). Полученные векторы являются базисными векторами. Далее эти полученные векторы используются в Примерах 5.15в, г уже для представления различных вычислительных базисов.

В Примере 5.15в найдена унитарная матрица, соответствующая унитарному преобразованию для квантового элемента — гейта CNOT. Действительно, сравнивая матрицу из табл. 5.2 (для гейта CNOT) и матрицу

	1	0	0	0
M =	0	1	0	0	,
		0	0
	0			1
	0	0	1	0

полученную (в Примере 5.15в) в результате синтеза, можно заметить, что эти матрицы идентичны.

Важно отметить, что унитарные матрицы, полученные (для разных базисных векторов и соответственно для разных вычислительных базисов) в Примерах 5.15в, г, не совпадают.

Действительно, сравнивая матрицу из Примера 5.15в

	1	0	0	0
		1
M =	0		0	0
		0	0
	0			1
	0	0	1	0

и матрицу из Примера 5.15г

	1	0	0	0
M =	0	0	0	1	,
		0	1
	0			0
	0	1	0	0

можно заметить, что эти матрицы не идентичны.

441

Теперь вернемся к Примеру 5.0д и рассмотрим вычисление унитарной матрицы для квантовых схем из 2-х кубитов (рис. 5.20).

а) б)

| ψ1

H

| ψ1′

| ψ1

H{2}

| ψ′2

| ψ2

H

| ψ2

в)

г)

| ψ1

| ψ1′

| ψ1

I{2}

| ψ2

| ψ′2

| ψ2

д)

е)

| ψ1′

| ψ

H

| ψ

1

1

E{2}

| ψ2

| ψ′2

| ψ2

ё)

ж)

| ψ1

| ψ1′

| ψ1

W {2}

| ψ2

H

| ψ′2

| ψ2

| ψ1′

| ψ′2

| ψ1′

| ψ′2

| ψ1′

| ψ′2

| ψ1′

| ψ′2

Рис. 5.20

442

Пример 5.16г (задача на вычисление унитарной матрицы) Известны следующие унитарные матрицы H и I:

	H =	1	1	1		1	0
					,	I =	.
		2
			1	−1		0	1

Имеется система двух кубитов. Над кубитом выполняется преобразование, характеризующееся известной унитарной матрицей (т.е. известен гейт и его унитарная матрица).

Требуется найти результирующую унитарную матрицу H{2} , I{2}, E{2}, W {2} для каждой системы на рис. 5.20 этих двух кубитов (n=2).

Решение

1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входные векторы | ψ1 , | ψ2 , выход-

ные векторы | ψ1′ , | ψ′2 и матрицы преобразования H и I соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

2). Нумерацию квантовых систем (кубитов) примем, как показано на рис. 5.20, т.е. верхний кубит имеет номер 1, а нижний — 2. Применяя ранее введенное Правило 5.0в, получим следующие унитарные матрицы:

для схемы на рис. 5.20а								1	1	1			1
			1 1 H		1 H 1			1 −1 1				−1
H	{2}	= H H =				=								,
			2				2			−1
				1 H	(−1) H			1 1				−1
									−1	−1
								1					1
для схемы на рис. 5.20в (см. Пример 5.14б)
								1	0	0		0
		1 0			1 I 0 I			0 1 0			0
I {2}= I I =				I =		=					0		,
		0 1			0 I 1 I			0 0 1
									0	0
								0				1
					443

	для схемы на рис. 5.20д (см. Пример 5.14б)
							1		0	1	0
			1 I	1 I
	E{2}= H I =	1			=	1	0 1			0	1		,
		2	1 I	(−1) I		2	1	0		−1	0
									1	0
							0				−1

	для схемы на рис. 5.20ё (см. Пример 5.14б)
								1	1	0	0
		0		1 H 0 H			1		−1 0
	W {2}= I H = 1		H =			=		1			0 .
						2		0 0		1	1
	0	1		0	H 1 H
									0	1
								0			−1

3). Таким образом, установлено следующее, что:

схема на рис. 5.20а эквивалентна схеме на рис. 5.20б;

схема на рис. 5.20в эквивалентна схеме на рис. 5.20г;

схема на рис. 5.20д эквивалентна схеме на рис. 5.20е;

схема на рис. 5.20ё эквивалентна схеме на рис. 5.20ж.

4). И тем самым задача решена▄

444

Пример 5.17 (эквивалентные схемы на двух кубитах)

Известна квантовая схема из 2-х последовательно соединенных двухкубитовых гейтов с соответствующими унитарными матрица-

ми Ma и Mb.

Требуется определить один двухкубитовый гейт, который эквивалентен этим двум последовательно соединенным двухкубитовым гейтам. Другими словами, требуется определить унитарную матрицу Mc результирующего преобразования и установить, что следующие две квантовые схемы эквивалентны:

′	| B′
| A

| ψ Ma Mb | ψ1′

?
≡ | ψ	Mc	| ψ′2

Решение

1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходные векто-

ры | ψ1′ , | ψ′2 и матрицы преобразования Ma, Mb и Mc соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

2). Эквивалентность двух схем понимается в том смысле, что при подаче одного и того же входного вектора | ψ на вход каждой из этих схем на их выходе получается один и тот же выходной вектор, т.е. | ψ1′ =| ψ′2 , при этом матрица Mc результирующего

преобразования является (как и матрицы Ma и Mb) также унитарной. Специально еще раз отметим, что результирующее преобразование с матрицей Mc зависит, вообще говоря, от порядка, в котором выполняются операции с матрицами Ma и Mb (т.е. от порядка, в котором выполняются гейты).

3). Так как из главы 2 следует, что результат произведения унитарных операторов есть унитарный оператор, значит, результат умножения двух унитарных матриц Mb ×Ma = Mc есть унитарная матрица, т.е. свойство унитарности матрицы Mc выполняется.

445

4). Пусть

	a00	a01	a02	a03
Ma =	a	a	a	a		,
	10	11	12	13
	a20	a21	a22	a23
		a	a	a
	a
	30	31	32	33

b00	b01	b02	b03
b	b	b	b		,
Mb = 10	11	12	13
	b21	b22	b23
b20
b	b	b	b
30	31	32	33

тогда результирующая матрица Mc=Mb ×Ma (именно в таком порядке — Mb на Ma, хотя сами гейты в квантовой схеме идут в обратном порядке — сначала преобразование с матрицей Ma, а затем преобразование с матрицей Mb) есть

b00

b01

b02

b03

a00

a01

a02

a03

b

b

b

b

a

a

a

a

=

10

11

12

13

×

10

11

12

13

b21

b22

b23

a20

a21

a22

a23

b20

b

b

b

b

a

a

a

a

30

31

32

33

30

31

32

33

c00

c01

c02

c03

c

c

c

c

= 10

11

12

13

= Mc,

c21

c22

c23

c20

c

c

c

c

30

31

32

33

где

c00 = b00a00 +b01a10 +b02a20 +b03a30 , c01 = b00a01 +b01a11 +b02a21 +b03a31 , c02 = b00a02 +b01a12 +b02a22 +b03a32 c03 = b00a03 +b01a13 +b02a23 +b03a33 ,

…………………………………………..

cij = bi0a0 j +bi1a1 j +bi 2a2 j +bi3a3 j ,

…………………………………………..

c33 = b30a03 +b31a13 +b32a23 +b33a33 .

446

V

5). Пусть входной вектор есть | ψ = WQ . Тогда при подаче этого

⎣K

вектора на вход первого гейта с матрицей Ma на его выходе будет следующий вектор | A′ :

a a a a									V			a V + a W + a Q + a K
	00	01		02			03					00	01	02	03
a10		a11		a12		a13			W			a10V + a11W + a12Q + a13K						′
a		a		a		a		×	Q			= a V + a W + a Q + a
	20		21		22		23									23	K =| A .
												20	21	22
a a a a										K		a V + a W + a Q + a K
30		31		32		33						30	31	32	33

6). Далее (для квантовой схемы из двух гейтов) при подаче уже этого вектора | A′ на вход второго гейта с матрицей Mb на его

выходе будет вектор | B′ , который определяется следующим образом:

b00

=b10b20b30

b00 b01b10 b11b20 b21b30 b31

b01	b02	b03
b	b	b
11	12	13		×
b21	b22	b23
b	b	b
31	32	33

b02	b03
b	b		′
12	13
			×| A	=
b22	b23
b	b
32	33
a00V + a01W + a02Q + a03K
a V + a W				+ a Q + a K				=
	10		11	12		13
a V + a W				+ a	22	Q + a K
	20		21			23
a V + a W				+ a Q + a K
	30		31	32		33

447

e0
e		= | B′	=| ψ1′
= 1				,
e2
e
3

где

e0 = b00 {a00V + a01W + a02Q + a03K}+

+b01 {a10V + a11W + a12Q + a13K}+ +b02 {a20V + a21W + a22Q + a23K}+ +b03 {a30V + a31W + a32Q + a33K},

e1, e2, e3 вычисляются аналогично, как и e0.

Таким образом, результирующий выходной вектор | ψ1′ всей
квантовой схемы из двух последовательно соединенных гейтов
есть | ψ1′ =| B′ .
V
7). Далее при подаче вектора | ψ = W		на вход другой квантовой
Q
K

схемы из одного гейта с матрицей									Mc на его выходе будет сле-
дующий вектор | ψ′2				:
					Mc × | ψ =
c	c	c	c		V			c V +c W +c			Q +c K
00	01	02	03					00	01	02	03
= c10	c11	c12	c13		× W			= c10V +c11W +c12Q +c13 K					=
c c c c					Q			c V +c W +c Q +c K
20	21	22	23					20	21	22	23
c c c c						K		c V +c W +c Q +c K
30	31	32	33					30	31	32	33
								448

x0
x		=| ψ′2 ,
= 1
x2
x
3
где cij = bi0a0 j +bi1a1 j +bi 2a2 j		+bi3a3 j , а i=0, 1, 2, 3; j=0, 1, 2, 3.

8). Сравним первые (самые верхние строки) компонент e0 и x0 векторов | ψ1′ , | ψ′2 и покажем, что они равны.

Так как для вектора | ψ1′ справедливо соотношение e0 = b00 {a00V + a01W + a02Q + a03K}+

+b01 {a10V + a11W + a12Q + a13K}+ +b02 {a20V + a21W + a22Q + a23K}+ +b03 {a30V + a31W + a32Q + a33K} =

={b00a00 +b01a10 +b02a20 +b03a30}V +

+{b00a01 +b01a11 +b02a21 +b03a31}W +

+{b00a02 +b01a12 +b02a22 +b03a32}Q +

+{b00a03 +b01a13 +b02a23 +b03a33}K,

для вектора | ψ′2 справедливо соотношение

x0 = c00V +c01W +c02Q +c03 K =

={b00a00 +b01a10 +b02a20 +b03a30}V +

+{b00a01 +b01a11 +b02a21 +b03a31}W +

+{b00a02 +b01a12 +b02a22 +b03a32}Q +

+{b00a03 +b01a13 +b02a23 +b03a33}K,

то e0 =x0.

Сравнение всех остальных компонент e1, e2, e3 и x1, x2, x3 для векторов | ψ1′ и | ψ′2 показывает, что они идентичны, а значит и сами схемы эквивалентны.

449

9). Есть еще один способ вывода результирующей матрицы.

Как хорошо известно [8, с.18], умножение сцепленных матриц ассоциативно (т.е. обладает сочетательным свойством). В данном случае используемые Ma, Mb и Mc — квадратные

V

матрицы размерностью 4×4 . Вектор | ψ = WQ — это тоже

⎣K

матрица, но уже размерностью 4×1. Тогда

| A′ = Ma × | ψ ,

| B′ = Mb × | A′

или

| B′ = Mb × | A′ = Mb ×{ Ma × | ψ }=| ψ1′ .

Введем следующее обозначение: M=Mb ×Ma.

Воспользуемся теперь свойством, что умножение матриц ассоциативно, и окончательно получим следующее соотношение (изменив расположение фигурных скобок):

| ψ1′
	= Mb × | A′ = Mb × Ma × | ψ	=

		× | ψ = M× | ψ .
=	Mb × Ma

Таким образом, если в качестве матрицы Mc взять матрицу M, то выходные векторы | ψ1′ и | ψ′2 будут идентичны, так как

Mc × | ψ =| ψ′2 .

10). И тем самым задача решена▄

450