Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

Из Примера 5.17 и главы 2 следует, что результат произведения унитарных операторов есть унитарный оператор, а значит последовательное применение нескольких двухкубитовых гейтов эквивалентно некоторому результирующему двухкубитовому гейту (квантовому элементу).

Для рассмотрения далее очередных примеров сформулируем следующее важное правило.

Правило 5.4(2)

Последовательное применение нескольких двухкубитовых гейтов (расположенных в заданном порядке) эквивалентно некоторому результирующему двухкубитовому гейту. Унитарная матрица этого результирующего преобразования получается как результат последовательного (в инверсном (т.е. обратном) порядке по отношению к порядку следования гейтов) перемножения унитарных матриц этих гейтов ▄

На практике порой требуется упрощать квантовые схемы на двух кубитах. Один из возможных способов упрощения квантовой схемы — это замена одной ее части (или даже целиком ее) другой эквивалентной квантовой схемой. Для этого необходимо заменять группу гейтов в квантовой схеме на один или несколько других гейтов, которые реализуют то же самое унитарное преобразование. Следующий пример показывает, как это можно делать.

Пример 5.18 (схема обмена на двух кубитах)

Известна квантовая схема из 3-х последовательно соединенных двухкубитовых гейтов CNOT с соответствующими унитарными

матрицами Ma и Mb.

Требуется определить один двухкубитовый гейт, который эквивалентен этим трем последовательно соединенным двухкубитовым гейтам.

Другими словами, требуется определить унитарную матрицу Mc (рис. 5.21б) результирующего преобразования и установить, что

451

следующие две квантовые схемы (рис. 5.21а) эквивалентны:

а)	| A					′
						| A		?
	| ψ						| ψ1′	≡
	| B					| B′
б)
	| ψ			Mc			| ψ′2	≡

Рис. 5.21

Решение

1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входные векторы | ψ и | A , | B , вы-

ходные векторы | ψ1′ , | ψ′2 и | A′ , | B′ , а также и матрицы

преобразования Ma, Mb и Mc соответствуют одному и тому же вычислительному базису

2). Эквивалентность двух схем понимается в том смысле, что матрица Mc (гейта обмена) эквивалентна матрице Еc результирующего преобразования трех гейтов CNOT (два гейта имеют матрицу Ma, а один гейт CNOT, включенный наоборот, имеет матрицу Mb). Специально еще раз отметим, что результирующее преобразование с матрицей Mc зависит, вообще говоря, от порядка, в котором выполняются операции с матрицами Ma и Mb (т.е. от порядка, в котором выполняются гейты).

3). Таким образом, применяя Правило 5.4(2), необходимо сначала вычислить матрицу Еc, где

Еc=Ma ×Mb ×Ma,

и затем сравнить Еc с матрицей Mc. Если Еc ≡ Mc, то схемы эквивалентны.

452

4). Матрица (табл. 5.2) для гейта CNOT есть

	1	0	0	0
Ma =	0	1	0	0	,
		0	0
	0			1
	0	0	1	0

матрица (см. далее Пример 5.23) для гейта CNOT, включенного наоборот, есть

	1	0	0	0
Mb =	0	0	0	1	,
		0	1
	0			0
	0	1	0	0

матрица для гейта обмена была приведена ранее и есть

	1	0	0	0
Mc =	0	0	1	0 .
		1	0
	0			0
	0	0	0	1

5). Тогда для Еc=Ma ×Mb ×Ma имеем

1 0 0 0					1	0	0	0
Е00= Mb ×Ma= 0 0 0 1				×	0	1	0	0	=
	0	1			0	0	0
0			0					1
0	1	0	0		0	0	1	0

1+0 0 +0			0 +0	0 +0	1 0 0			0
= 0	+0 0 +0		1+0 0 +0		= 0 0 1			0	,
	+0	0 +0	0 +0			0	0
0				1+0	0			1
0 +0		1+0	0 +0	0 +0	0	1	0	0
				453

тогда окончательно получаем следующее выражение:

1 0		0 0			1	0	0	0
Еc=Ma ×Е00= 0 1		0 0		×	0	0	1	0	=
	0	0			0	0	0
0			1					1
0	0	1	0		0	1	0	0

1+0 0 +0			0 +0	0 +0	1 0 0			0
= 0	+0 0 +0		1+0 0 +0		= 0 0 1			0 .
	+0	1+0	0 +0			1	0
0				0 +0	0			0
0 +0		0 +0	0 +0	1+0	0	0	0	1

6). Таким образом, если сравнить матрицу Еc с матрицей Mc, то легко заметить, что эти две матрицы идентичны, т.е.

Еc ≡ Mc.

7). Отметим следующее.

В Примере 5.15г для нахождения унитарной матрицы, удовлетворяющей условиям для гейта CNOT

Ma | 00 =| 00 , Ma | 01 =| 01 , Ma |10 =|11 , Ma |11 =|10 ,

была составлена и затем решена система уравнений. В результате была найдена требуемая матрица Ma. Аналогичным образом для гейта CNOT, уже включенного наоборот, была найдена унитарная матрица Mb, удовлетворяющая условиям

Mb | 00 =| 00 , Mb | 01 =|11 , Mb |10 =|10 , Mb |11 =| 01 .

8). И тем самым задача решена▄

454

Пример 5.19 (факторизация вектора)

V

Известен вектор состояния | ψ = WQ для двухкубитовой схемы.

⎣K

Требуется разложить этот вектор на 2 множителя (вектора), т.е. факторизовать его.

Решение

1). Эта задача является обратной по отношению к задаче из

Примеров 5.15а, б.

2). Опираясь на квантовую механику, отметим следующее. Если кубит находится в чистом состоянии, то он имеет вектор со-

стояния | ψ , а если кубит находится в смешанном состоя-

нии, то он не описывается вектором состояния. Если оба кубита находятся в чистом состоянии (т.е. каждый из них имеет свой

вектор состояния | ψ1 , | ψ2 ), то соответственно существует

| ψ — вектор состояния квантового регистра (как квантовой системы из 2-х кубитов). Причем | ψ=| ψ1 | ψ2 . Однако, ес-

ли известно, что квантовый регистр находится в чистом состоянии (т.е. имеет некоторый вектор состояния), то это еще не означает, что сами кубиты по отдельности (как подсистемы составной квантовой системы в виде квантового регистра) имеют свои векторы состояния (например, оба кубита находятся в смешанном состоянии, а квантовый регистр — в чистом состоянии).

3). Предположим, что оба кубита находятся в чистом состоянии. Тогда состояние 1-го кубита есть

| ψ1 = a| 0+b|1 (где |a|2 + |b|2 =1),

а состояние 2-го кубита есть

| ψ2 = c| 0+ d |1 (где |c|2 + |d|2 =1)

455

и должно выполняться следующее соотношение:

| ψ=| ψ1 | ψ2 .

4). Выберем некоторый вычислительный базис, например

| 0	1	|1	=	0
	= ,			,
тогда	0			1
			1			0	a
| ψ1 = a| 0 +b|1 = a					+b
							=	,
			0			1	b
| ψ2 = c| 0 + d |1 = c			1		+ d	0	c
							=	,
			0			1	d

c

ac

V

a

c

a

ad

| ψ =| ψ

| ψ

=

=

d

=

W

,

2

=

1

c

bc

Q

b d

b

d

bd

K

т.е., найдя решение следующей системы уравнений:

ac =V

ad =W

bc = Q ,

bd = K

можно определить и сами векторы состояний | ψ1 , | ψ2 ,

конечно, в том случае, если решение этой системы уравнений существует (a, b, c, d — это комплексные числа).

5). И тем самым задача решена▄

456

Из Примера 5.19 и Правила 5.0б следует:

•состояние составной системы (квантового регистра) описывается вектором | ψ , который может быть вычислен путем

тензорного умножения векторов состояния каждой из систем (кубитов), входящих в составную систему, т.е.

|ψ= |ψ1 |ψ2 ... |ψn ;

• для того чтобы найти все векторы | ψi , зная вектор | ψ ,

необходимо решить обратную задачу, т.е. факторизовать вектор состояния, если это возможно; один из возможных способов решения этой обратной задачи заключается в том, что не-

обходимо составить некоторую систему уравнений, а затем попытаться ее решить; если решение существует и оно найдено, то задача факторизации считается решенной.

Сформулируем следующее важное правило.

Правило 5.5

Вектор состояния | ψi для каждого i–го кубита (i изме-

няется от 1 до n) из квантового регистра может быть найден (при условии, что этот вектор существует) путем

факторизации | ψ — вектора состояния квантового регистра (для этого необходимо решить обратную задачу по отношению к задаче нахождения вектора | ψ по

совокупности n векторов | ψi ) ▄

Данное правило позволяет для конкретного вектора состояния квантовой составной системы (в данном случае квантового регистра, состоящего из кубитов) найти векторы состояний самих подсистем (т.е. векторы состояний кубитов), входящих в эту составную систему, или убедиться в их отсутствии. Важно понять, что квантовый регистр (находящийся в чистом состоянии) имеет вектор состояния, при этом кубиты, входящие в этот регистр, могут каждый по отдельности иногда не иметь вектора состояния (хотя вектор состояния квантового регистра существует). Следующий пример показывает, как можно применять это правило.

457

Пример 5.20 (факторизация конкретного вектора)

−1

Известен вектор состояния | ψ = 1 1 для двухкубитовой схемы.

2 1

−1

Требуется разложить этот вектор на 2 множителя (вектора), т.е. факторизовать его.

Решение

1). Сначала будем искать решение среди действительных чисел (действительных амплитуд). Если решение среди действительных чисел не будет найдено, то будем искать решение среди комплексных чисел.

2). Применим Правило 5.5, опираясь на Пример 5.19. Учтя, что |a|2+|b|2=1 и |c|2+|d|2=1, составим и решим следующую систему уравнений:

| ψ =| ψ1 | ψ2	a
	=
	b

		c				ac
c	a						ad
	=	d				=			=
		c
d						bc
	b		d
						bd

−1 1 1

2 1

−1

или

2ac = −1

2ad = 12bc = 1 ,

2bd = −1

из этой системы следует (для действительных амплитуд), что

a2c2				= 1				1			1			1
					4		a2 (c2 + d 2 )=			a2 1 =			a = ±
								2			2				,
														2
	2	d	2	=	1
a					4
							458

b2c2					= 1										1						1								1
						4	b2 (c2 + d 2 )						=					b2 1 =				b = ±
															2						2													.
																															2
	2	d		2	=	1
	b					4
Аналогично можно получить, что
a2c2					= 1									1						1								1
						4	c2 (a2 +b2 )=											c2 1 =				c = ±
														2						2												,
																													2
	2	c	2		=	1
	b					4
a2d 2					= 1										1						1										1
						4	d 2 (a2				+b2 )=							d	2 1 =			d = ±
															2						2														.
																															2
	2	d		2	=	1
	b					4
3). Таким образом, получены два решения:
		первое решение										1														−1
| ψI	= a| 0 +b|1 = +								1				, | ψI				= c| 0 + d |1 = +						1												,
1							2									2						2
												−1																		1
		второе решение										1																−1 .
| ψII	= a| 0 +b|1 = −							1					, | ψII				= c| 0 + d |1 = −							1
1							2									2						2
												−1																			1
4).	Отметим, что									| ψI =(–1)| ψII								,	| ψI			=(–1)| ψII							,						а
												1					1				2	2

exp(iπ)= −1 . Для | ψ , амплитуд вероятностей a и b справедливо следующее соотношение:

| ψ =	iγ		θ	| 0 +	e	iφ	sin	θ		,
	e	cos	2					2	|1

где θ, φ, γ — действительные числа, причем множитель eiγ в об- щем-то можно игнорировать, так как [1, с.35] он «не приводит к наблюдаемым эффектам».

5). И тем самым задача решена▄

459

Комментарий к задачам о факторизации двухкубитового состояния

Пусть задан кэт-вектор Ψ чистого двухкубитового состояния. Как обычно, его можно представить в разных формах:

V

Ψ =V 00+W 01+Q 10+ K 11 ≡ WQ . (K1)

⎣K

Единственное ограничение, накладываемое на комплексные амплитуды V, W, Q, K, есть условие нормировки

V

2 +

W

2 +

Q

2 +

K

2 =1.

(K2)

Нас интересует, можно ли Ψ представить в факторизованном виде как тензорное произведение

	Ψ2	(К3)
Ψ = Ψ1

однокубитовых кэт-векторов Ψ1 и Ψ2 ?

Сформулируем необходимые и достаточные условия, накладываемые на V, W, Q, K (помимо условия нормировки (К2)), при которых это возможно. Для этого вычислим матрицу плотности одной из подсистем (для определенности, первого кубита). Согласно

результатам последнего раздела главы 1, матрица плотности ρˆ1 первой подсистемы определяется следующим выражением:

ρˆ1 = Sp2				,	(К4)
		Ψ Ψ
460