Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ =| ψ′	A	,
	=
	B

то, зная M и | ψ , а также применяя Правило 5.0а, вычислим

								′		=		A
выходной вектор | ψ													на выходе квантовой схемы:
												B
												M ×| ψ =
																							1
	1	1 1						0				1	0 +1			1		1								A
																							2
=							×			=					=					=		−1			=		,
	2											2				2
		1			−1			1					0	−1				−1								B
																							2
																				1
				1						−1						A									1	1
															′					2
т.е. A =							B	=						| ψ				=					=
						,						или			=					−1							.
				2						2															2
																B										−1
																				2

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

1			2	+		−1			2	=	1	+	1	=	2	=1,
2						2					2		2		2

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

не требуется, так как это прямо следует из самого решения. 6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

	′	=	1		1	=	1	1−0		=	1	1	−	1	0	=	1	| 0 −	1
	| ψ																			|1 .
			2				2				2			2			2		2
				−1				0	−1			0			1

7). И тем самым задача решена▄

391

Пример 5.9в (задача прямого анализа)
						1		,		0
Известен вычислительный базис, т.е. | 0 =										|1 =	. Извес-
						0				1
тен входной вектор | ψ = a| 0					+b|1	(где |a|2 + |b|2 =1) и квантовый
одновходовой				элемент	с	матрицей				преобразования
M =	1	1	1
			.
	2
		1	−1
							′		=	A
Требуется определить выходной вектор | ψ										в вычисли-
										B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

a| 0 +b|1		M		| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходной вектор

| ψ′ и матрица преобразования M соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

2). Проверим корректность исходных данных.

Условие нормировки для входного вектора | ψ выполняется

(так как |a|2 + |b|2 =1).

				†					1				1 1 †									1			1 1
	M				M =																×								=
									2															2
													1			−1									1		−1
							1					1			1				1		1				1
						=															×	1					=
							2 2
															1			−1							−1
	1			1+1				1−1										1			2 0 1 0								≡ I ,
=						−1	1		−(−1)								=				0 2				=	0 1
	2																	2
				1

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

392

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ =| ψ′	A	,
	=
	B

то, зная M и

| ψ = a| 0

+b|1

1

0

a

, вычислим

= a

+b

=

0

1

b

′

=

A

выходной вектор | ψ

на выходе квантовой схемы:

B

a +b

1

1 1

a

1

a +b

2

A

M ×|ψ =

×

=

=

=

,

2

2

1

−1

b

a

−b

a −b

B

a −b

a +b

2

т.е. A =

,

B =

или

2

2

a +b

A

2

1

a +b

′

= =

=

.

| ψ

a −b

2

B

a −b

2

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ

′

a +b

2

+

a −b

2

=1, где |a|2 + |b|2 =1,

2

2

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовле-

творяет условиям задачи: M ×| ψ =| ψ′ , не требуется, так как это прямо следует из самого решения.

6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

′

=

1

a +b

=

a +b 1

+

a −b 0

=

a +b

| 0 +

a −b

| ψ

|1 .

2

2

2

2

2

a −b

0

1

7). И тем самым задача решена▄

393

	Пример 5.10а (задача прямого анализа)			1					1
	Известен вычислительный базис, т.е. | 0		1			| 1 =	1
		=			,				−1	.
			2				2
				1

Известен входной вектор | ψ =| 0 и квантовый одновходовой

элемент с матрицей преобразования M =	1	1	1
			.
	2
		1	−1
		′	A	в вычисли-
Требуется определить выходной вектор | ψ			=
			B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

| 0		M		| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходной вектор

		′			и матрица										преобразования M соответствуют одному и то-
| ψ
му же вычислительному базису.
2). Проверим корректность исходных данных.
Условие													нормировки												для					входного							вектора		| ψ
		1			2	+		1					2	=	1	+	1			= 2			=1 выполняется.
		2						2							2		2
																				2
								M					†	M			1				1 1 †										1			1 1
															=															×								=
																																	2
																		2 1						−1										1		−1
																1				1			1				1			1				1
															=															×	1			=
																	2 2
																							1			−1								−1
								1			1+1 1−1															1				2 0 1 0								≡ I ,
						=														(−1)					=					0 2				=	0 1
								2																		2
													1−1 1−

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

394

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ =| ψ′ =

A

,

B

′

A

на

то, зная M и | ψ , вычислим выходной вектор | ψ

=

выходе квантовой схемы:

B

M

1 1

1 1 1

1

1+1

1

2 1 A

×|ψ =

× =

2

=

2

=

= ,

2 2

1

−1 1

1−1

0 0 B

т.е.

A =1 , B =

0

′

A

1

или | ψ =

=

.

B

0

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

1 2 + 0 2 =1+0 =1,

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

не требуется, так как это прямо следует из самого решения. 6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

				1	=	1	1+1				=	1	1		+	1	1		=
	| ψ′ =					2						2				2
				0			1−1						1				−1
=	1 1			1	+	1 1					1		=	1		| 0 +			1	| 1 .
	2 2					2 2									2				2
				1							−1

7). И тем самым задача решена▄

395

	Пример 5.10б (задача прямого анализа)			1					1
	Известен вычислительный базис, т.е. | 0		1			| 1 =	1
		=			,				.
			2				2
				1					−1

Известен входной вектор | ψ =| 1 и квантовый одновходовой

элемент с матрицей преобразования M =	1	1	1
			.
	2
		1	−1
		′	A	в вычисли-
Требуется определить выходной вектор | ψ			=
			B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

| 1		M		| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем

далее предполагать,																					что входной вектор | ψ , выходной вектор
		′			и матрица													преобразования M соответствуют одному и то-
| ψ
му же вычислительному базису.
2). Проверим корректность исходных данных.
Условие													нормировки																для					входного							вектора		| ψ
		1			2	+			−1						2		=	1	+		1			= 2				=1 выполняется.
		2																2			2
										2														2
										M			†			M					1				1 1 †										1			1 1
																		=																×								=
																																					2
																						2 1						−1										1		−1
																			1					1			1				1			1				1
																		=																×	1			=
																			2 2
																											1			−1								−1
										1			1+1 1−1																	1				2 0 1 0								≡ I ,
						=											−1 1				−(−1)								=					0 2				=	0 1
										2																				2
													1

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

396

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ =| ψ′	A	,
	=
	B

′

A

на

то, зная M и | ψ , вычислим выходной вектор | ψ

=

выходе квантовой схемы:

B

M ×|ψ =

1 1

1 1

1

1

1−1

1

0 0 A

×

=

2

=

2

= =

,

2 2

1

−1

−1

1

+1

2 1

B

т.е. A = 0 , B =1

′

A

=

0

или | ψ

=

.

B

1

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

0 2 + 1 2 = 0 +1 =1,

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

не требуется, так как это прямо следует из самого решения. 6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

	| ψ′ =				0			1		1−(+1)				=		1	1		−	1		1	=
					=			2								2				2
					1					1−(−1)							1				−1
=	1 1					1	−			1 1			1		=		1		| 0 −			1	| 1 .
										2 2							2					2
		2 2 1											−1

7). И тем самым задача решена▄

397

	Пример 5.10в (задача прямого анализа)						1					1
	Известен вычислительный базис, т.е. | 0 =					1		, | 1		1
									=			.
						2				2
							1					−1
	Известен входной вектор				| ψ = a| 0 +b| 1 (где |a|2+|b|2=1) и кван-
	товый		одновходовой		элемент с матрицей			преобразования
	M =	1	1	1
				.
		2
			1	−1
							′	A	в вычисли-
	Требуется определить выходной вектор | ψ =
								B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

a| 0 +b|1		M		| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходной вектор

| ψ′ и матрица преобразования M соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

2). Проверим корректность исходных данных.

Условие нормировки для входного вектора | ψ выполняется

(так как |a|2+|b|2 =1).

				†					1				1 1 †									1			1 1
	M				M =																×								=
									2															2
													1			−1									1		−1
							1					1			1				1		1				1
						=															×	1					=
							2 2
															1			−1							−1
	1			1+1				1−1										1			2 0 1 0								≡ I ,
=						−1	1		−(−1)								=				0 2				=	0 1
	2																	2
				1

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

398

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ =| ψ′

=

A

,

B

то, зная M и | ψ

| ψ = a| 0 +b| 1

1

1

1

1

1

a +b

= a

+b

=

, вычис-

2

2

2

1

−1

a −b

′

A

на выходе квантовой схемы:

лим выходной вектор | ψ

=

B

M ×|ψ =

1

1 1

1

a +b

1

(a +b)+(a −b)

a A

=

×

=

2

= =

,

2

2 1

−1

a

−b

(a +b)−(a −b)

b B

т.е.

A = a , B = b

или

A

a

′

| ψ

=

=

.

B

b

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

|a|2+|b|2 =1,

которое выполняется по условию задачи.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовле-

творяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

не требуется, так как это прямо следует из самого решения. 6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

| ψ′

a

1

2a

1

(a +b)+(a −b)

=

= =

2

=

2

b

2b

(a

+b)−(a −b)

=

a +b 1

1

+

a −b 1

1

=

a +b

| 0 +

a −b

| 1 .

2

2

2 2

2

2

1

−1

7). И тем самым задача решена▄

399

Пример 5.11а (задача прямого анализа)

Известен вычислительный базис, т.е. | 0 = 10 , | 1 = 10 . Извес-

тен входной вектор | ψ =| 0 и квантовый одновходовой элемент с

	матрицей преобразования M =	1	1	1
				.
		2
			1	−1

′	A	в вычисли-
Требуется определить выходной вектор | ψ	=
	B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

| 0		M		| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем

далее предполагать,

что входной вектор | ψ , выходной вектор

| ψ

′

преобразования M соответствуют одному и то-

и матрица

му же вычислительному базису.

2). Проверим корректность исходных данных.

Условие

нормировки

для

входного

вектора

| ψ

0

2 +

1

2 = 0 +1 =1 выполняется.

M

†

M

1

1 1 †

1

1 1

=

×

=

2

1

−1

2 1

−1

1

1

1

1

1

1

=

×

1

=

2 2

1

−1

−1

1

1+1 1−1

1

2 0 1 0

=

−(−1)

=

0 2

=

0 1

≡ I ,

2

2

1−1 1

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

400