Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ =| ψ′	A	,
	=
	B

то, зная M и | ψ , а также применяя Правило 5.0а, вычислим

								′		=		A
выходной вектор | ψ													на выходе квантовой схемы:
												B
												M ×| ψ =
																							1
	1	1 1						0				1	0 +1			1		1								A
																							2
=							×			=					=					=		−1			=		,
	2											2				2
		1			−1			1					0	−1				−1								B
																							2
																				1
				1						−1						A									1	1
																				2
															′
т.е. A =					,		B	=				или		| ψ				=					=				.
										2					=					−1					2
				2												B										−1
																				2

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

1			2	+		−1			2	=	1	+	1	=	2	=1,
2						2					2		2		2

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

не требуется, так как это прямо следует из самого решения. 6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

′	=	1		1	=	1	1−0		=	1	1	−	1	0	=	1		−	1
| ψ		2				2				2			2			2	| 0		|1 .
				−1			0	−1			0			1					2

7). И тем самым задача решена▄

401

Пример 5.11б (задача прямого анализа)	0				1
			,				. Извес-
Известен вычислительный базис, т.е. | 0	=			| 1	=
	1				0

тен входной вектор | ψ =| 1 и квантовый одновходовой элемент

	с матрицей преобразования M =	1	1	1
				.
		2
			1	−1

′	A	в вычисли-
Требуется определить выходной вектор | ψ	=
	B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

| 1		M		| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем

далее предполагать,																	что входной вектор | ψ , выходной вектор
| ψ				′										преобразования M соответствуют одному и то-
						и матрица
му же вычислительному базису.
2). Проверим корректность исходных данных.
Условие												нормировки													для						входного							вектора		| ψ
	1		2+			0		2=1+0 =1 выполняется.																				†
									M			†	M				1				1 1											1			1 1
														=																	×								=
																	2																	2
																					1			−1											1		−1
															1					1			1				1				1				1
														=																	×	1			=
															2 2
																							1			−1									−1
									1			1+1 1−1														1					2 0 1 0								≡ I ,
				=													−(−1)								=						0 2				=	0 1
									2																	2
												1−1 1

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

402

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

								M ×					| ψ =| ψ′								A			,
																					=
																					B
																																′			A	на
то, зная M и | ψ , вычислим выходной вектор | ψ																																		=
выходе квантовой схемы:																																			B
																															1
			1			1 1							1					1		1+0				1		1									A
																															2
M	×|ψ =										× =										−0	=				=					1			=		,
			2															2							2
						1	−1						0							1						1									B
																															2
																												1
			1								1											A											1		1
																												2
																				′
т.е.	A =				,		B =														=				=						=				.
			2								2											B						1						2	1
																												2
																																			′
4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ
							1			2	+		1			2		=	1 + 1			= 2			=1,
							2						2
																			2		2	2

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

не требуется, так как это прямо следует из самого решения. 6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

	′	=	1	1	=	1	1+0		=	1	1	+	1	0	=	1		+	1
	| ψ																| 0			|1 .
			2			2				2			2			2			2
				1			0	+1			0			1

7). И тем самым задача решена▄

403

Пример 5.11в (задача прямого анализа)				0		1
Известен вычислительный базис, т.е.
			| 0 = ,		| 1	=	.
Известен входной вектор | ψ = a| 0			+b| 1	1		0
				(где |a|2+|b|2=1) и кван-
товый одновходовой элемент с матрицей преобразования
M =	1	1	1
			.
	2
		1	−1
				′	A
Требуется определить выходной вектор | ψ					=	в вычисли-
					B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

a| 0 +b|1		M		| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходной вектор

| ψ′ и матрица преобразования M соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

2). Проверим корректность исходных данных.

Условие нормировки для входного вектора | ψ выполняется

(так как |a|2+|b|2 =1).

				†					1				1 1 †									1				1 1
	M				M =																×									=
									2															2
													1			−1										1		−1
							1					1			1				1		1					1
						=															×	1						=
							2 2
															1			−1							−1
	1			1+1				1−1										1		2 0						1 0
=						−1	1		−(−1)								=				0 2				=		0 1		≡ I ,
	2																	2
				1

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

404

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ =| ψ′	A	,
	=
	B

то, зная M и | ψ = a| 0

0

1

b

, вычислим

+b|1 = a

+b

=

1

0

a

′

A

выходной вектор | ψ =

на выходе квантовой схемы:

B

b + a

1

1 1

b

1

b + a

A

2

M ×|ψ =

×

=

=

=

,

2

2

1

−1

a

b

−a

b −a

B

b + a

b −a

2

т.е. A =

,

B =

или

2

2

b + a

A

1

b + a

2

′

=

=

=

.

| ψ

b

−a

2

B

b −a

2

′

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ

b + a

2

b −a

2

+

=1 , где |a|2 + |b|2 =1,

2

2

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовле-

творяет условиям задачи: M ×| ψ =| ψ′ , не требуется, так как это прямо следует из самого решения.

6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

′

=

1

b + a

=

b −a 0

+

b + a 1

=

b −a

+

b + a

| ψ

| 0

|1 .

2

2

2

2

b −a

1

0

2

7). И тем самым задача решена▄

405

Пример 5.12 (задача синтеза квантовой схемы)
	0		,		1		. Есть
Известен вычислительный базис, т.е. | 0	=			| 1	=
	1				0

квантовая схема, состоящая из одного квантового элемента с мат-

w	s	, причем w, s, z, t — это ком-
рицей преобразования M =
z	t

плексные числа. Известно, какой выходной вектор | ψ′ должен быть на выходе, если на вход этой квантовой схемы подан соответствующий входной вектор | ψ . Входные и выходные векторы свя-

заны с помощью матрицы M так M| ψ =| ψ′ или более подробно следующим образом:

		1						1						1			0					1			1			1					0 +1			1			1
M| 0 =					| 0	+				|1	=									+						=								=							,
		2						2						2								2								2							2
																	1								0								1+0						1
		1						1					1			0						1		1				1			0 −1				1		−1
M| 1 =				| 0		−			|1		=					−								=										=							,
		2						2						2								2						2								2
																1								0							1−0								1
или это же можно записать по-другому																																			−1
														1
			w s 0																						w s 1
														2																							2
		=									=																							=						.
M| 0								×						1					, M| 1						=								×		1
			z			t 1																			z				t 0
																																					2
															2

Требуется определить w, s, z, t, т.е. синтезировать матрицу M квантового элемента:

| ψ		M		| ψ′ ,

т.е. достаточно найти хотя бы одно решение (т.е. одну матрицу M).

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходной вектор

| ψ′ и матрица преобразования M соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

406

2). Так как по условию задачи																													−1
												1			1										1
								M| 0	=						, M| 1 =
												2														2
															1														1
и выполнимы соотношения																																				1
								w s 0 w 0 + s 1 s
																																				2
																															=								,
		M| 0						=		×						=										=										1
								z	t 1 z										0 +t 1 t
																																				2
																																	−1
								w s				1					w 1+ s 0											w
																																				2
																															=								,
		M| 1 =									×	=														=										1
								z	t 0 z 1+t 0 z
																																				2
то можно сразу найти все элементы матрицы M:
								s =t =			1				и		w = −				1		, z =							1		.
											2
																				2											2
3). Проверим условие, что синтезированная матрица M унитарна:
	†		1					−1 1			†				1		−1 1									1	−1 1											−1 1
M		M =										×											=													×				=
					2											2										2
								1 1										1 1									1 1												1 1
					1			1+1 1−1										1	2 0								1 0						≡ I ,
			=														=			0 2					=				0 1
					2													2
								1−1 1−(−1)

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

4). Проверим, что найденная (синтезированная) матрица M действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′

407

или
			1					−1 1 0									1					−1 0 +1 1										1						1
| 0 M| 0 =									×					=						(			)							=											=
			2														2								1 1									2
								1 1 1														1 0 +																1
			1			0 +1					1		0						1			1			1									1
=									=								+					=						| 0 +											|1 ,
			2								2										2				2												2
						1+			0				1									0
			1			−1 1 1											1					−1 1+1 0										1					−1
| 1 M| 1 =									×					=					(				)					=									=
			2														2															2
								1 1 0														1 1 +1 0																		1
			1					0 −1			1			0							1		1		1												1
=									=								−						=						| 0			−								|1 ,
			2								2											2			2												2
								1−0						1									0
т.е. условия задачи выполнены. Аналогично для входного вектора
a| 0 +b| 1 так						как			a| 0		+b|1						=a		0				1		0					b b												,
																							+b		=					+							=
																			1				0 a							0							a

то	M{a| 0 +b|1 }=
		1		−1 1 b				1				−1 b +1 a
	=				× =						(		)			=
		2						2
				1 1 a									1 b +1 a
	=	1		0	+	1	a −b				=
								0
		2				2
			a +b
	=	a +b 0			a −b		1	=	a +b					+	a −b
		2		+		2					2		| 0		2	|1
				1			0

Таким образом, найдено одно решение

1 a −b =

2 a +b

.

	M =	1		−1	1
				1	.
		2
					1

5). И тем самым задача решена▄

408

Кратко обсудим разобранные выше примеры. В Примерах 5.9, 5.10, 5.11 был выбран разный вычислительный базис (т.е. то, что считается нулем и единицей) и одна и та же унитарная матрица. Каждый раз на вход квантовой схемы подавался либо нуль, либо единица, либо суперпозиция.

′

=

1

+

1

2

| 0

2 |1

в Примерах 5.9а,

Выходной вектор | ψ

5.10а совпадает (см. также табл. 5.1, элемент

Адамара при a=1 и

′

1

1

=

2 | 0 −

2 |1 в

b=0), но отличается от выходного вектора | ψ

Примере 5.11а.

1

1

′

=

2

| 0

−

2 |1

в Примерах 5.9б,

Выходной вектор | ψ

5.10б совпадает (см. также табл. 5.1, элемент

Адамара при a=0 и

′

1

1

=

2 | 0 +

2 |1 в

b=1), но отличается от выходного вектора | ψ

Примере 5.11б.

a +b

a −b

′

=

+

Выходной вектор | ψ

2

| 0

2 |1

в Примерах 5.9в,

5.10в совпадает (см. также табл. 5.1, элемент Адамара), но отлича-

′

=

b −a

| 0 +

b + a

ется от

выходного вектора | ψ

2

2

|1

в Примере

5.11.

Примере 5.12

выполнен успешно синтез унитарной мат-

В

рицы

M =

1

−1

1

, которая

в

отличие

от

матрицы

2

1

1

M =

1

1

1

обеспечивает для

Примера 5.11 такие же выход-

2

1

−1

ные векторы, как и в Примерах 5.9, 5.10.

Рассмотрим еще один простой пример, который позволит далее сформулировать еще одно правило для квантовых схем.

409

Пример 5.13 (эквивалентные схемы на одном кубите)

Известна квантовая схема из 2-х последовательно соединенных однокубитовых гейтов с соответствующими унитарными матрица-

ми Ma и Mb.

Требуется определить один однокубитовый гейт, который эквивалентен этим двум последовательно соединенным однокубитовым гейтам. Другими словами, требуется определить унитарную матрицу Mc результирующего преобразования и установить, что следующие две квантовые схемы эквивалентны:

′	| B′
| A

	?
| ψ Ma	Mb | ψ1′ ≡ | ψ	Mc	| ψ′2

Решение

1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходные векто-

ры | ψ1′ , | ψ′2 и матрицы преобразования Ma, Mb и Mc соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

2). Эквивалентность двух схем понимается в том смысле, что при подаче одного и того же входного вектора | ψ на вход каждой из этих схем на их выходе получается один и тот же выходной вектор, т.е. | ψ1′ =| ψ′2 , при этом матрица Mc результирующего

преобразования является (как и матрицы Ma и Mb) также унитарной. Специально отметим, что результирующее преобразование с матрицей Mc зависит, вообще говоря, от порядка, в котором выполняются операции с матрицами Ma и Mb (т.е. от порядка в котором выполняются гейты).

3). Так как из главы 2 следует, что результат произведения унитарных операторов есть унитарный оператор, а значит, результат умножения двух унитарных матриц Mb ×Ma= Mc есть унитарная матрица, то свойство унитарности матрицы Mc выполняется.

410