Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

Само состояние кубита | ψ = a | 0 +b |1 можно записать в виде

вектор-столбца (см. [1, с.93]):

| ψ ≡ a ,b

т.е.

			a
a | 0 +b |1 ≡ .
			b
Базисные состояния | 0	и |1 есть частный случай выражения
| ψ = a | 0 +b |1 . Действительно,
если b = 0,	a =1	,	то | ψ =| 0 ;
если b =1,	a = 0	,	то | ψ =|1 .

Кубит, который находится в состоянии | ψ = a | 0 +b |1 , очень

удобно представлять (рис. 5.13) как [1, с.33-37, 225] некоторую точку с координатами (θ, φ) на единичной сфере (сфере Блоха).

Причем амплитуды вероятностей a и b представляются для человека не знакомого с квантовой механикой очень странным образом, а именно следующим соотношением [1, с.35, 225]:

iγ		θ	| 0 +	e	iφ	sin	θ		,
| ψ = e	cos	2					2	|1

где θ, φ, γ — действительные числа, причем общий фазовый множитель eiγ можно игнорировать, так как [1, с.35] он «не приводит к наблюдаемым эффектам», т.е. можно полагать, что [1, с.225]:

a= cos θ2 ; b = eiφ sin θ2 .

Странность (но только на первый взгляд) этих формул для указанных амплитуд вероятностей состоит в том, что угол θ делится на 2, что никак не следует из школьного курса геометрии. Можно показать, что наличие множителя 1 связано именно с тем, что спин есть

2

1 , т.е. с так называемым спинорным представлением группы вра-

2

щений.

361

| 0

z

| ψ

θ

y

x φ

| 1

Рис. 5.13. [1, с.36]

Два числа θ и φ на единичной сфере (см. рис. 5.13) в трехмерном пространстве определяют конкретную точку (состояние | ψ

кубита). На рис. 5.13 показаны следующие точки:

точка (в самом верху сферы), соответствующая состоянию, обозначенному как | 0 ;

точка (в самом низу сферы), соответствующая состоянию, обозначенному как |1 ;

промежуточная точка с координатами (θ, φ), соответствующая некоторому состоянию кубита | ψ = a | 0 +b |1 , где

a = cos θ2 ; b = eiφ sin θ2 .

362

Применение некоторого гейта к одиночному кубиту, находящемуся в состоянии | ψ (с координатами (θ, φ) на сфере Блоха), мо-

жет изменить его состояние с | ψ на | ψ′ (и тем самым изменить

его координаты с (θ, φ) на какие-то другие координаты). Действие гейта соответствует некоторому унитарному преобразованию, а в итоге некоторым вращениям на сфере Блоха.

Специалисты по квантовым вычислениям нас предупреждают [1, с.36]: «…Многие операции над одиночными кубитами, рассматриваемые далее в этой главе, изящно описываются с использованием сферы Блоха. Однако нужно иметь в виду, что возможности этого представления ограничены, так как не известно простого обобщения сферы Блоха на случай нескольких кубитов». По этой причине на этом и закончим рассмотрение сферы Блоха.

Измерение состояния кубита, находящегося в суперпозиции | ψ = a | 0 +b |1 , изменяет состояние кубита.

В	частности			кубит может находиться		в	состоянии
| ψ =	1	| 0 +	1	|1 , которое (см. [1, с.34])	иногда обозначают
	2
		2
как | + .		В результате измерения, как говорят				специалисты [1,
с.36], «… он коллапсирует из суперпозиции					| 0	и |1	в опреде-

ленное состояние, соответствующее результату измерения. Например, если измерение | + дает 0, то после измерения кубит останет-

ся в состоянии | 0 . Почему происходит этот коллапс — никто не

знает».

Для понимания работы с кубитами в квантовых схемах важно знать следующее.

Если кубит находится в состоянии | 0 , то измерение этого со-

стояния с вероятностью 1 покажет, что кубит находится в этом состоянии.

Аналогично, если кубит находится в состоянии |1 , то измере-

ние этого состояния также с вероятностью 1 покажет, что кубит находится в этом состоянии.

Это мало чем отличается от классического случая при измерении состояния логических элементов комбинационной схемы.

363

Однако, если кубит (как квантовый объект) уже находится в состоянии суперпозиции, например в состоянии | ψ = a | 0 +b |1 , то

измерение (в вычислительном базисе | 0 , |1 ) этого состояния с вероятностью

|a|2 покажет результат m=0, а кубит окажется в состоянии | 0 , |b|2 покажет результат m=1, а кубит окажется в состоянии |1 ,

причем |a|2+|b|2=1.

Другими словами, можно полагать, что в результате измерения суперпозиционного состояния кубита с вероятностью |a|2 у него наблюдается состояние | 0 , а с вероятностью |b|2 — состояние |1 .

В квантовых вычислениях не последнюю роль играет такая операция как измерение. Для измерения веден специальный графический символ в виде измерительного прибора, как на рис. 5.14.

| ψ = a | 0 +b |1 M

Рис. 5.14

Можно полагать, что эта операция (на квантовой схеме ее обозначают специальным элементом — измерителем) преобразует состояние кубита | ψ = a | 0 +b |1 , как говорят специалисты [1,

с.46-47], «… в вероятностный классический бит M (изображаемый двойной линией, чтобы отличить его от кубита)… ». Этот вероят-

ностный классический бит M имеет значение

0 с вероятностью |a|2;

1 с вероятностью |b|2.

На практике очень удобно представлять квантовые элементы (гейты) в матричном виде. Для этого (в качестве простого наглядного примера) определим некоторую матрицу X для представления гейта NOT (квантового элемента), являющегося аналогом классического логического элемента НЕ в комбинационных схемах, следующим образом [1, с.39]:

0	1	,
X ≡
1	0

где X ≡ σ1 , а σ1 — матрица Паули.

364

На рис. 5.15 показано одно из возможных графических представлений квантового элемента NOT (гейта X, обозначаемого исторически как X [1, с.40]).

| ψ и | ψ′ — это, в общем-

то, разные состояния одного и того же кубита

| ψ		X		| ψ′

Рис. 5.15

Выходом квантовой схемы (см. рис. 5.15), состоящей только из одного гейта X, есть состояние | ψ′ того же кубита, чье состояние являлось входом этого гейта. На выходе гейта X будет состояние | ψ′, описываемое (см. [1, с.40]) следующим выражением:

′	a	b
| ψ	= X	= .
	b	a

По определению единичная матрица, соответствующая тождественному преобразованию над одним кубитом, есть

1	0
I ≡	.
0	1

На выходе гейта I будет состояние | ψ′, описываемое следующим выражением:

′	a	a
| ψ	= I	= .
	b	b

365

Относительно унитарных матриц можно сделать два важных утверждения.

Утверждение 5.4

Существует бесконечно много унитарных матриц размера 2 × 2, а следовательно, бесконечно много однокубитовых элементов [1,

с.42]▄

Утверждение 5.5

Произвольная унитарная матрица U размера 2 × 2 может быть представлена в виде следующего произведения:

γ

γ

e

−iβ/ 2

0

cos

−sin

e

−iδ/ 2

0

2

2

U =eiα

eiβ/ 2

γ

γ

eiδ/ 2

,

0

0

sin

cos

2

2

где α, β, γ, δ, — действительные числа (2-я матрица описывает обычное вращение, а 1-я и 3-я матрицы тоже описывают вращения, но в другой плоскости) [1, с.42]▄

Таким образом, Утверждение 5.4 дает представление о количестве унитарных матриц и однокубитовых гейтов. Оказывается, их очень много. Согласно Утверждению 5.5 в квантовой схеме однокубитовый гейт может быть эквивалентно представлен как три идущих подряд однокубитовых гейта с унитарными матрицами, связанными с преобразованием вращений.

Фаза Важно четко себе представлять, что же является фазой при выпол-

нении квантовых вычислений. Этот термин достаточно часто используют в квантовой механике.

Различают [1, с.130-131] фазу, связанную с общим фазовым множителем, и относительную фазу. Введем ряд определений,

которые приняты в квантовых вычислениях и соответственно будут далее полезны и для квантовой схемотехники.

366

Определение 5.12

Будем говорить, что состояние eiγ| ψ совпадает с состоянием | ψ

с точностью до общего фазового множителя eiγ, где γ —

действительное число (так как одинакова статистика измерений, которая предсказывается как для eiγ | ψ , так и для | ψ ) [1,

с.130].

Имеется еще другой вид фазы, которую принято называть

относительной фазой.

Для того чтобы понять относительную фазу, рассмотрим следующие два состояния

| ψ =	1	| 0 +	1	|1 ,	| ψ	2	=	1	| 0 −	1	|1 .
1	2	2					2			2
Сравнивая для двух этих состояний | ψ1 и | ψ2										амплитуды у

|1 , можно заметить, что они отличаются только знаком (у одного знак плюс, а у другого знак минус). Абсолютная величина одна и та же, но знак разный. Эти состояния | ψ1 и | ψ2 совпадают с точностью до сдвига фазы, так как амплитуды при | 0 одинаковы

(при них относительный фазовый множитель есть +1), а ампли-

туды при |1 не одинаковы (эти амплитуды различаются фазовым

множителем, который есть –1).

Важно понимать, что разница между относительными фазами и общими фазовыми множителями состоит в том, что в отличие от общих фазовых множителей именно фазовые множители бывают различными у разных амплитуд. От выбора базиса зависят относительные фазы, а не общие фазы.

Определение 5.13

Принято говорить, что две амплитуды a и b различаются относительными фазами, если существует такое действительное число γ,

что a = eiγb [1, с.130].

367

Определение 5.14
Принято говорить, что два состояния | ψ1	и | ψ2	различаются
относительными фазами в некотором базисе, если			все их
амплитуды в этом базисе получаются	одна	из	другой

умножением на фазовые множители вида eiγ, где γ — действительное число [1, с.130].

В табл. 5.1 приведены условные обозначения наиболее распространенных квантовых элементов (однокубитовых гейтов).

Амплитуды вероятностей a и b в общем случае есть комплексные числа вида

w + id,

где

i = −1= exp (iπ2), i = exp (iπ4).

Вообще надо отметить, что однокубитовых гейтов может быть очень много, причем столько, сколько существует унитарных матриц размером 2 ×2.

Каждая унитарная матрица соответствует некоторому физическому процессу, отражающему преобразование вектора состояния кубита. Сама реализация на практике однокубитового гейта с заданной унитарной матрицей, вообще говоря, не такая простая задача (см. главу 2, главу 4).

Далее будет рассмотрен достаточно ограниченный набор однокубитовых гейтов, но который позволит получить основное представление об однокубитовых квантовых схемах.

Было выяснено, что для практического выполнения заданных квантовых вычислений достаточно уметь реализовывать только ограниченный (небольшой) набор однокубитовых квантовых элементов (гейтов), который можно назвать универсальным. Таким универсальным набором является набор из элемента Адамара H, сдвига фазы S [1, с.225], элемента π/8 — T. Эта универсальность понимается в том смысле, что с помощью этого набора можно [1, с.241] любой однокубитовый гейт (оператор) аппроксимировать с любой точностью.

368

Таблица 5.1. Однокубитовые гейты (см. [1, с.15-16,225; 10])

Наиме-

Возможное

Выход гейта при

Унитарная

нование

условное

входе

матрица

гейта

обозначение

a | 0 +b |1

гейта

Элемент

Адамара

a +b

| 0 +

a −b

|1

1

1

1

H

H=

2

2

2

1

−1

Элемент

Паули X

b | 0 + a |1

0

1

X

σ1

=

1

0

Элемент

Паули Y

Y

−i{b | 0 −a |1 }

0

−i

σ2

=

i

0

Элемент

Паули Z

Z

1

0

a | 0 −b |1

σ3

=

−

0

1

Фазовый

элемент

1

0

S

S

a | 0 +ib |1

=

0

i

Элемент

1

0

π/8

T

a | 0 + e

i π/ 4

b |1

T =

0 ei π/ 4

Элемент

Тожде-

I

a | 0 +b |1

I =

1 0

ственно-

го преоб-

0

1

разова-

ния

369

ОТМЕТИМ (см. [1, с.225]). Можно заметить, что у гейта T несколько странное название — π/8. Это связано с общей фазой элемента и с матрицей, на диагонали которой стоят элементы именно exp(±i π/8) следующим образом:

exp		(−i π/ 8)	0
T = exp(i π/8)	0			.
			exp(i π/ 8)

ВАЖНО [1, с.15, 40]. Строки и столбцы (см. табл. 5.1) унитарных матриц (унитарных преобразований) нумеруются слева направо и сверху вниз как 00…0, 00…1, …, 11…1; самый нижний провод соответствует самому младшему биту. Для любой унитарной мат-

рицы U должно выполняться условие U †U =I , где U † — эрмитово

сопряженная матрица (т.е. по отношению к U она транспонирована и комплексно сопряженная), I — это единичная матрица. Для практики очень важен тот факт, что любая унитарная матрица описывает некоторый физически возможный квантовый элемент (гейт).

Рассмотрим следующие простые, но важные примеры.

Пример 5.4. Вычисление выхода одокубитового гейта.

На вход одокубитового гейта (см. табл. 5.1) поступает состояние кубита в виде суперпозиции | ψ = a | 0 +b |1 , причем выполнимо

условие нормировки |a|2 + |b|2 =1.

Требуется построить диаграмму переходов и найти выход | ψ′ каждого гейта из табл. 5.1, если на его вход поступило это состояние | ψ .

Решение

1). На рис. 5.16 приведен одокубитовый гейт (рис. 5.16в), его диаграмма переходов (рис. 5.16а) и унитарная матрица U для общего случая (рис. 5.16б). На вход этого гейта поступает вектор

| ψ , а на его выход — вектор | ψ′. Каждый гейт из табл. 5.1

может быть представлен подобным образом. Так, аналогичное представление для гейта H показано на рис. 5.17.

370