Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

Рис. 4.5

На проекции, показанной на рис. 4.5б, перепутанной паре отвечают зачерненные области. Так работает источник ЭПР-пар.

Вкачестве анализатора состояний Белла был использован простой оптический элемент – светоделитель, схематически представленный на рис. 4.6. Он представляет собой пластину, изготовленную из диэлектрического материала, которая с вероятностью 50 на 50 % пропускает или отражает свет. Принцип работы светоделителя как анализатора поляризационных состояний Белла состоит в следующем. Пусть, как показано на рис. 4.6, два фотона с ортогональными поляризациями попадают на светоделитель с разных сторон, т.е. в двух входных каналах системы. Если процессы отражения и похождения не меняют поляризацию, то для пары фотонов, которая покидает систему так, что в двух выходных каналах (справа и слева) есть по одному фотону, поляризация каждого из них не имеет определенного значения.

Вразделе 2.4 мы показали, что такая пара оказывается в перепу-

танном поляризационном состоянии Ψ(−) . Антисимметричное состояние Ψ(−) является единственным из полного набора двух-

кубитовых состояний Белла, которое реализуется, когда выходящие фотоны находятся с разных сторон от светоделителя.

311

Рис. 4.6

Два детектора D1 и D2 в выходных каналах регистрируют со-

бытие совпадения фотоотсчетов. Регистрация такого события означает, что пара фотонов находится в перепутанном состоянии

Ψ(−) . Другими словами, происходит проектирование двухчас-

тичного поляризационного состояния на состояние Белла Ψ(−) .

Поскольку такое состояние является только одним из четырех возможных состояний Белла, то данная простейшая схема, использованная в рассматриваемом эксперименте, обеспечивала лишь частичный анализ перепутанных поляризационных состояний.

Для полноты картины скажем еще, что в качестве внешнего фотона, поляризационное состояние которого было объектом квантовой телепортации, брался один из партнеров другой ЭПР-пары, которая возникала в кристалле под действием того же светового импульса накачки.

В заключение хотелось бы обратить внимание, что даже весьма схематичное описание эксперимента, приведенное выше, показывает, как много разнообразных физических явлений вовлечено в реализацию протокола квантовой телепортации.

312

Список используемой литературы (источники)

1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука, 2006.

2.Давыдов А.С. Квантовая механика. — М.: Физматгиз, 1963.

3.Физика квантовой информации /Под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта, А. Цайлингера. – М.: Постмаркет, 2002.–376с.

4.Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация

/Пер. с англ. – М.: Мир, 2006.–824с.

5.Яковлев В.П., Кондрашин М.П. Элементы квантовой информатики. –

М.: МИФИ, 2004.–80с.

313

«…квантовая механика кажется новичку трудной и до некоторой степени таинственной дисциплиной. Тайна постепенно уменьшается по мере того, как разбирается все большее число примеров, но никогда не исчезает полностью ощущение, что у этого предмета есть что-то необычное.»

Р. Фейнман, А. Хибс [3, с.34]

«…Понимание того, как выполнять классические вычисления при условии обратимости, станет решающим шагом в понимании того, как использовать возможности квантовой механики для вычислений.»

М. Нильсен, И. Чанг [1, с.44]

«Материал, изложенный далее, в общем-то, отражает действительность. Однако надо признать, что он больше соответствует тому, как он был понят.»

С.Д. Кулик

Квантовая схемотехника

Г л а в а 5

КВАНТОВАЯ СХЕМОТЕХНИКА

______________________________________________________

Содержание

Квантовая механика для кибернетики. Амплитуда вероятности. Понятие схемы. Понятие однокубитовой схемы. Понятие двухкубитовой схемы. Понятие трех и более кубитовой схемы. Квантовая схема для алгоритма Дойча.

5.1. Квантовая механика для кибернетики

«Если человек не шокирован квантовой теорией, он ее просто не понял.»

Н. Бор [1, с.152]

«…Принципы квантовой механики просты, но даже специалисты находят их противоречащими интуиции.»

М. Нильсен, И. Чанг [1, с.20]

«Постулаты квантовой механики были получены в результате долгого процесса проб и (по большей части) ошибок, который в значительной степени заключался в угадывании и нащупывании исходных положений теории. Не удивляйтесь, что мотивировки постулатов не всегда достаточно ясные; даже специалисты считают постулаты квантовой механики удивительными. Ознакомившись с несколькими следующими разделами, необходимо понять, как и когда следует применять эти постулаты.»

М. Нильсен, И. Чанг [1, с.114]

Вернемся к основным положениям аппарата квантовой механики. С точки зрения кибернетики и квантовых вычислений, его можно рассматривать как формальную математическую структуру, заданную своими постулатами и правилами. Это позволит сформулировать далее важный набор правил и свойств, которые будут использоваться для анализа и синтеза простейших квантовых схем.

315

В основе аппарата квантовой механики лежат следую-

щие постулаты.

Постулат I

С каждой изолированной физической системой связывается комплексное векторное пространство со скалярным произведением (т.е. гильбертово пространство), которое называется пространством состояний системы. Система полностью описывается вектором состояний, который представляет собой единичный вектор в пространстве состояний системы1 [1,

с.114-115] ▄

Постулат II

Эволюция замкнутой квантовой системы описывается унитарным преобразованием. Другими словами, состояние | ψ

системы в момент времени t1 связано			с ее		′
				состоянием | ψ
в момент времени	t2=t1+τ	посредством			унитарного
оператора U, который из-за однородности времени зависит
только от интервала	времени τ,	т.е.	| ψ′	=U(τ)| ψ (см. и

ср. с [1, с. 116]) ▄

Постулат IV

Пространство состояний составной системы представляет собой тензорное произведение пространств состояний входящих в нее подсистем. Если эти подсистемы пронумерованы от 1 до

n, и подсистема с номером i находится в состоянии | ψi , то состояние составной системы описывается вектором

| ψ1 | ψ2 ... | ψn . (см. и ср. с [1, с. 131]) ▄

1 Каждое возможное состояние системы описывается вектором (с единичной нормой), принадлежащим этому пространству. Поскольку гильбертово пространство является линейным многообразием, то для векторов со-

стояний имеет место принцип суперпозиции.

316

Постулат III

Квантовые измерения описываются набором {Mm} операторов измерения. Это операторы, действующие в пространстве состояний системы, подлежащей измерению. Индекс обозначает результаты измерения, которые могут получиться в эксперименте. Если непосредственно перед этим квантовая система

находилась в состоянии | ψ , то вероятность того, что в ре-

зультате измерения будет получен результат m, задается выражением

p(m) = ψ Mm† Mm ψ ,

а после измерения система будет находиться в состоянии

Mm | ψ

.

ψ Mm† Mm ψ

Операторы измерения удовлетворяют условию полноты

∑Mm† Mm = I .

m

Условие полноты означает, что сумма вероятностей различных исходов измерения равна единице:

1 = ∑p (m)= ∑ψ Mm† Mm ψ

m m

[1, с. 120] ▄

317

Особо подчеркнем, что мы говорим здесь о квантовой механике не как о физической теории, а как о математической структуре, которая лежит в основе квантовых вычислений.

Сама по себе эта математическая структура не сообщает, каким физическим законам подчинена та или иная физическая система, каков смысл абстрактных векторов состояний и каким должно быть устройство пространства состояний. Не касаясь здесь также достаточно сложного вопроса о выборе и формулировке полноты набора постулатов абстрактного аппарата квантовой механики, заметим, что для конечномерных гильбертовых пространств, которые используются в квантовых вычислениях, изложенная математическая структура является совершенно корректной.

Прежде чем рассматривать постулаты, дадим следующее (не полное) определение аппарата квантовой механики, являющегося основой для квантовых вычислений.

Определение 5.0а

Аппарат квантовой механики (АКМ) (см. и ср. [1, с.114]) — ма-

тематическая конструкция для построения физических теорий (сам по себе АКМ не сообщает, каким физическим законам подчинена та или иная физическая система, однако он дает математические конструкции и понятия для формулировки этих законов).

ОТМЕТИМ. Аппарат квантовой механики был сформулирован, существует и применяется в следующих трех формах:

•матричная механика (В. Гайзенберг);

•волновая механика (Э. Шрёдингер);

•абстрактная векторная форма (П.А.М. Дирак).

Эти три формы эквивалентны в том смысле, что все они приводят к одинаковым физическим результатам и одна форма может быть преобразована в другую.

Первый постулат указывает место действия величин, описывающих квантово-механические процессы.

Эти величины действуют в абстрактном линейном комплексном векторном пространстве (КВП) со скалярным произведением.

Это гильбертово пространство и есть пространство состояний квантовой системы.

Рассмотрим следующий пример квантовой системы.

318

Пример 5.0а. Простейшая квантовая система [1, с.115].

В случае квантовых вычислений простейшей квантовомеханической системой является кубит.

Для квантовых компьютеров кубит является наиболее распространенной такой системой. Для кубита характерно то, что его пространство состояний является двумерным. Если ввести базис-

ные векторы | 0 и |1 , то произвольный вектор состояния | ψ в

гильбертовом пространстве (т.е. в абстрактном векторном пространство со скалярным произведением) есть

| ψ = a | 0 +b |1 ,

(5.0а)

причем a и b — комплексные числа (КЧ). Совокупность пар КЧ образуют КВП. Из требований Постулата I следует, что вектор

состояния | ψ должен быть единичным вектором, т.е. ψ|ψ =1 ,

что эквивалентно условию |a|2+|b|2=1. Отметим, что ϕ|ψ — ска-

лярное	произведение векторов | ϕ и | ψ . Формально можно по-
лагать,	что для кубита его состояния | 0 и |1 представляют

значения 0 и 1, которые может принимать классический бит (или рассмотренный ранее в книге 1 RS триггер). Принципиальное отличие кубита от классического бита состоит в том, что кубит (как квантово-механическая система) может находиться помимо

базисных состояний (т.е. | 0 или |1 )	еще в состоянии		так
называемой суперпозиции, т.е. кубит	может находиться	в	су-
перпозиции 2-х этих базисных состояний
| ψ = a1 | 0 + a2 |1 ,		(5.0б)
где a1 и a2 — комплексные амплитуды для состояний | 0		и	|1

соответственно. Например, если кубит находится в суперпозиции

| ψ

=

| 0 −|1

, то амплитудами являются следующие числа: a1=

+1

2

2

и

a2=

−1

, так как эту суперпозицию можно представить в виде

2

1

1

(5.0б) следующим образом: | ψ =

| 0 −

|1 .

2

2

На этом закончим рассмотрение данного примера ▄

319

По результатам рассмотрения предыдущего примера сформулируем следующие определения.

Определение 5.0б

Амплитуда — в суперпозиционном состоянии, т.е. в линейной

комбинации	∑i ai | ψi каждое состояние | ψi представлено с
амплитудой	ai .

Определение 5.0в

Условие нормировки [1, с.115] — условие ψ|ψ =1 называется

условием нормировки для вектора состояния | ψ .

Таким образом, Постулат I позволяет понять, в каком состоянии может находиться одиночный (изолированный) кубит — квантовый триггер, т.е. элемент, из которого состоит квантовый регистр для квантового вычислителя.

Второй постулат позволяет понять, как одно состояние замкнутой квантовой системы связано с другим ее состоянием. В случае квантового вычислителя важно [1, с.116], что для одиночного

кубита именно любой унитарный оператор можно в принципе реализовать в некоторой реальной системе. Замкнутость системы означает, что она никак не взаимодействует с другими системами.

Для представления преобразований (эволюции квантовой системы) имеются две формы — операторная (из теории линейных операторов) и матричная форма (из теории матриц). Операторная и матричная формы являются эквивалентными и могут применяться на равных правах, в том числе одновременно и порой смешиваться.

ВАЖНО. Формальный АКМ не конкретизирует вида оператора U, который описывает динамику физической системы. Можно сказать, что он [1, с.116]: «… просто “гарантирует” надежное средство описания замкнутой квантово-механической системы».

Для Постулата II существует еще один эквивалентный вариант этого постулата. Приведем и его формулировку.

320