Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

где символом Sp2 обозначена операция вычисления следа опера-

тора ΨΨ , который представляет собой матрицу плотности

чистого состояния (К1) двухкубитовой системы, по квантовым числам второго кубита.

Подставляя в (К4) выражение (К1), получаем (индексами 1 и 2 для удобства отмечены бра- и кэт-векторы 1-го и 2-го кубитов)

ρˆ1 = Sp2 (V * 1 0																											2			0						+W * 1 0						2 1				+Q* 1 1						2 0						+ K* 1 1		2 1				)×
×(V						0 1										0 2 +W													0 1							1 2 +Q				1 1				0 2 + K						1 1				1 2 )=													(К5)
= (				V								2 +				W				2 )				0 1 1 0														+(VQ* +WK* )										0 1 1 1								+(V *Q +W *K)						1 1 1 0				+
+(		Q						2 +						K				2 )				1			1 1					1		.

В последних двух строчках индекс 1, конечно, можно опустить, коль скоро здесь остались только операторы, относящиеся к 1-му кубиту. Операторное выражение (К5) означает, что матрица опера-

тора ρˆ1 , т.е. матрица плотности первого кубита в базисе 0 и 1 , имеет вид

ρˆ

V

2

+

W

2

VQ* +WK*

=

.

(К6)

1

*

*

K

Q

2

+

K

2

V Q +W

Она, очевидно, удовлетворяет всем необходимым требованиям, а именно

ρˆ†1 = ρˆ1 ,

т.е. это эрмитовая матрица,

Sp ρˆ1 = V 2 + W 2 + Q 2 + K 2 =1,

и удовлетворяет условию нормировки, как это видно из (К2).

461

Теперь сформулируем условие возможности факторизации состояния Ψ в (К1).

Факторизация означает, что не только вся система, но и каждая из подсистем, в том числе и первый кубит, находится в чистом состоянии.

Необходимым и достаточным условием того, что подсистема находится в чистом состоянии, является равенство

ρˆ 2	= ρˆ	,	(К7)
1	1

т.е. квадрат матрицы плотности совпадает с самой матрицей плотности. Если состояние является смешанным, то

ρˆ12 ≠ ρˆ1 и Sp ρˆ12 <1.

Подставляя выражение (К6) в (К7), получаем 4 комплексных условия на коэффициенты V, W, Q, K.

Для иллюстрации можно убедиться, что в Примере 5.20, когда

V= –1/2, W=1/2, Q=1/2, K= –1/2,

имеем

ρˆ1		1					1 −1				1		1 0 0 1								1	(I −σ1 ),
	=								=							−				=
		2									2										2
а						−1 1							0 1 1 0
									I 2 = σ2 =I, σ = X,
так что														1		1
ˆ 2	=	1			(I		−σ	2 =		1		(I		2 −	σ +σ2		=	1		(I	−σ		= ˆ	,
ρ		4					1 )			4					2 1	1 )	2					1 )	ρ1

т.е. состояние первого кубита является чистым, и вектор системы можно факторизовать!

462

Пример 5.21 (построение унитарной матрицы в общем случае) Известны требования к унитарной матрице M размером 4×4 в виде

M| d00 =| A , M| d01 =| B , M| d10 =| C , M| d11 =| D ,

где | d00 , | d01 , | d10 , | d11 — это вычислительный базис 2-х

кубитов (базисные векторы), а | A , | B , | C , | D — векторы,

являющиеся результатом преобразования базисных векторов. Требуется определить унитарную матрицу M.

Решение

1). Пусть E имеет представление

e00

E = e10e20

e30

e01	e02	e03
e	e	e
11	12	13	.
e21	e22	e23
e	e	e
31	32	33

2). Для конкретного вычислительного базиса будем искать решение, т.е. элементы некоторой матрицы E, как решение следующей системы уравнений:

E | d00		=| A
		=| B
E | d01
		.
E | d10		=| C
E | d		=| D
	11

Если решение этой системы уравнений не существует (eik, — комплексные числа и элементы матрицы E), то не существует и самой матрицы M.

3). Для найденной матрицы E необходимо проверить свойство

унитарности, т.е. EE† = E† E = I . Если E унитарна, то она есть искомая матрица, т.е. M=E.

4). И тем самым задача решена▄

463

Из Примеров 5.8, 5.15в, г и Правила 5.0а следует:

•амплитуды вероятности (т.е. компоненты выходного) вектора состояния кубита после воздействия на этот кубит унитарного преобразования (описываемого соответствующей унитарной матрицей) определяются путем умножения этой унитарной матрицы на вектор-столбец, составленный из амплитуд вероятностей (компонентов входного) вектора состояния кубита, до воздействия на него унитарным преобразованием;

•для того чтобы найти все элементы унитарной матрицы, соответствующей преобразованию над кубитом (или кубитами), необходимо решить обратную задачу; один из возможных способов решения этой обратной задачи заключается в том, что необходимо составить некоторую систему уравнений, а затем попытаться ее решить; если решение существует и оно найдено, то искомая матрица считается найденной.

Для рассмотрения далее очередных примеров сформулируем следующее важное правило.

Правило 5.6

Унитарная матрица M может быть найдена (при условии, что она существует) путем определения ее элементов по совокупности требований к ней — т.е. по набору входных и выходных векторов, которые связаны между собой с помощью этой матрицы M (для этого необходимо решить обратную задачу по отношению к задаче нахождения вы-

ходного вектора | ψ по входному вектору | ψ и унитарной матрице M) ▄

Данное правило позволяет для конкретного набора входных и выходных векторов, которые связаны между собой с помощью неизвестной унитарной матрицы M, найти эту матрицу или убедиться в ее отсутствии.

В общем случае такая матрица может быть не единственной или не существовать совсем.

Следующий пример показывает, как можно применять это правило.

464

Пример 5.22 (построение конкретной унитарной матрицы) Известны требования к унитарной матрице M размером 4×4 в виде

M| 00	=| 00 ,	M|	01 =| 01 ,		M|10		=|11	,	M|11 =|10 ,
где | 00 ,	| 01 ,	|10	, |11	— это вычислительный базис 2-х
кубитов (базисные векторы), а				| 0	=	1	, |1	=	0
										.
						0			1

Требуется определить унитарную матрицу M.

Решение

1). Пусть E имеет представление

e00

E = e10e20

e30

e01	e02	e03
e	e	e
11	12	13	.
e21	e22	e23
e	e	e
31	32	33

2). Применим Правило 5.6 и будем искать решение, т.е. элементы некоторой матрицы E, как решение следующей системы уравнений:

E | 00	=| 00
	=| 01
E | 01
	.
E |10	=|11
	=|10
E |11

Если решение этой системы уравнений не существует (eik — комплексные числа и элементы матрицы E), то не существует и самой матрицы M.

3). Далее решение полностью соответствует решению задачи из

Примера 5.15в.

4). И тем самым задача решена▄

465

Пример 5.23 (построение конкретной унитарной матрицы) Известны требования к унитарной матрице M размером 4×4 в виде

M| 00	=| 00 ,	M|	01 =|11	, M|10 =|10 ,				M|11 =| 01 ,
где | 00 ,	| 01 ,	|10	, |11	— это вычислительный базис 2-х
кубитов (базисные векторы), а				| 0 =	1	,	|1 =	0
									.
					0			1

Требуется определить унитарную матрицу M.

Решение

1). Пусть E имеет представление

e00

E = e10e20

e30

e01	e02	e03
e	e	e
11	12	13	.
e21	e22	e23
e	e	e
31	32	33

2). Применим Правило 5.6 и будем искать решение, т.е. элементы некоторой матрицы E, как решение следующей системы уравнений:

E | 00	=| 00
	=|11
E | 01
	.
E |10	=|10
	=| 01
E |11

Если решение этой системы уравнений не существует (eik, — комплексные числа и элементы матрицы E), то не существует и самой матрицы M.

3). Так как

| 0	=	1	, |1	=	0	,
		0			1
			466

то из Примера5.15а следует, что базисные векторы

	| 00			, | 01 ,		|10 , |11
могут быть представлены как
	1				0		0		0
| 00 =	0		,	| 01 =	1	, |10 =	0		0		,
									, |11 =
	0				0		1		0
	0				0		0		1

а сама система уравнений может быть записана следующим образом:

	1			1
E ×	0		=	0
	0			0
	0			0
	0			0
	1			0
			=
E ×
	0			0
	0			1
	0			0
	0			0
E ×	1		=	1
	0			0
	0			0
E × 0			= 1
	0			0
	1			0

	e00				1
	e				0
		10			=
	e				0
		20					0
	e
		30
	e				0
		01			0
	e
		11
	e			= 0
		21
						1
	e
		31
	e02				0
	e				0
		12		=
	e22				1
						0
	e
		32
	e				0
		03
	e13			= 1
	e				0
		23				0
	e
		33

467

4). Таким образом, найдено следующее решение для матрицы Е:

1	0	0	0
E = 0	0	0	1 .
	0	1
0			0
0	1	0	0

5). Для найденной матрицы E проверим свойство унитарности,

т.е. EE† = E† E = I .
	1 0 0 0				†		1 0 0			0
E† E =	0 0		0	1	×		0 0 0			1		=
	0	0	1	0			0	0	1	0
		1	0					1	0
	0			0			0			0

1 0 0 0				1 0		0 0
= 0 0 0 1				× 0 0		0 1		=
	0	1			0	1
0			0	0			0
0	1	0	0	0	1	0	0

1+0			0		0	0		1 0		0 0
			+0
=	0	1			0	0		= 0 1		0 0		≡ I ,
	0		0	1	+0	0			0	1
								0			0
	0		0		0	1+	0	0	0	0	1

т.е. свойство унитарности матрицы E выполняется. Так как E унитарна, то она есть искомая матрица, т.е. M=E. Отметим, что матрица из Примера 5.15г совпадает с M.

6). И тем самым задача решена▄

468

Комментарий к задачам синтеза унитарного (двухкубитового) преобразования

Задача в общем виде может быть поставлена так. Заданы состояния, которые получаются под действием некоторого двухкубитового гейта из базисных состояний двухкубитового регистра, поданных на вход квантовой схемы. Надо построить унитарный оператор (матрицу) этого преобразования.

Чтобы задача была корректной, векторы выходных состояний должны удовлетворять определенным условиям. В противном случае унитарного оператора просто может не существовать.

Суть в том, что унитарное преобразование сохраняет все скалярные произведения. Поэтому оно переводит полный ортонормированный набор состояний в какой-то другой полный ортонормированный набор. Следовательно, заданные на выходе состояния должны образовывать полный ортонормированный базис. Если это так, то задача нахождения матрицы преобразования решается в общем виде с помощью одной простой формулы. Конечно, это легко делается в гильбертовом пространстве любой размерности, но мы, для определенности, ограничимся четырехмерным гильбертовым пространством двухкубитового регистра.

Пусть | ai , где i = 0, 1, 2, 3, есть некоторый полный ортонормированный базис, т.е.

ai	| aj	= δij ,
3					(К8)
∑| ai		ai		=1.
i=0
				ˆ
Под действием унитарного преобразования M эти состояния пре-
образуются следующим образом:
ˆ	=| Ai		,		(К9)
M | ai

469

			ˆ
где набор состояний | Ai (i = 0, 1, 2, 3), в силу унитарности M ,
удовлетворяет условиям
Ai | Aj	= δij ,
3			(К10)
∑| Ai	Ai		=1.

i=0

Вправой части (К9) вектор | Ai разложим по старому полному

базису {| ai }, т.е.

| Ai = ∑M ji | aj .	(К11)
j

Следовательно, с одной стороны,

M ji = aj | Ai ,

(К12)

а с другой стороны, из (К9) следует, что

M ji = aj | Ai =	ˆ	(К13)
	aj | M | ai .

Таким образом, M ji искомого оператора в старом базисе имеют вид

M ji = aj | Ai	, i, j = 0, 1, 2, 3.		(К14)
Для иллюстрации рассмотрим Пример 5.23, где
| a0	≡| 00	,
| a1	≡| 01	,
| a2	≡|10	,
| a3	≡|11 .
	470