Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

Теперь перейдем к вопросу о функционировании цепочки ионов в качестве логического элемента. Принципы такой схемы были сформулированы Цираком и Цоллером в 1995 г.

Рис. 4.3

Рассмотрим систему, состоящую из двух ионов. Центр инерции этой системы совершает гармонические колебания вдоль оси z в удерживающем квадратичном потенциале ловушки с минимумом в точке z = 0 . Пусть «дышащие» моды не возбуждаются, и расстояние l между ионами остается постоянным. Внутренние состояния

каждого иона — основное g и возбужденное e — образуют

кубит. Другими словами, мы имеем квантовый регистр, состоящий из двух кубитов, связь между которыми осуществляется за счет их общего синфазного колебания как целого. Для управления отдель-

ным кубитом с координатой zi используется поле

E = E	sin kz	e−iωL t	+к.с.	(4.8)
0	i
291

стоячей волны лазерного излучения с частотой ωL = kLc , близкой к частоте ω0 атомного перехода (рис. 4.3а). Обычно стоячая (вдоль

оси z) волна образуется двумя лучами, пересекающимися под некоторым углом. Поэтому входящая в (4.8) величина k представляет

собой проекцию волнового вектора kL бегущей волны на ось z. Будем считать для определенности, что перемешивание внутренних состояний g и e происходит в результате электродипольного взаимодействия с локальной частотой Раби

			Ω(zi ) = Ω0 sin kzi ,	(4.9)
где Ω0			= dE0 , a d — дипольный матричный элемент перехода
	g		e . Для простоты фаза стоячей волны выбрана таким обра-

зом, что частота (4.9) является действительной. В рамках резонансного приближения гамильтониан взаимодействия имеет вид

ˆ	Ω(zi )				−i(ωL −ω0 )t				i(ωL −ω0 )t
Hint =			e g	e		+	g e	e		. (4.10)
	2

Отметим, что этот оператор действует не только на внутренние степени свободы иона, но и на «фононную» подсистему, так как

величина zi , т.е. координата отдельного кубита, зависит от опера-

тора (4.6) координаты центра инерции системы двух ионов. Физический механизм перемешивания внутренних и поступательной степеней свободы обусловлен пространственной неоднородностью поля стоячей волны, т.е. зависимостью локальной частоты Раби

(4.9) от положения иона. Градиент функции Ω(zi ) дает дополни-

тельную силу, действующую на жестко связанную систему двух ионов, т.е. на ее центр инерции. Еще раз подчеркнем, что именно перемешивание внутренних и колебательной степеней свободы обеспечивает связь между кубитами.

Пусть поле стоячей волны приложено к первому иону. Тогда z1 = −l2 + zˆ , где l — фиксированное расстояние между ионами, a

292

zˆ есть оператор координаты центра инерции, который выражается через операторы уничтожения и рождения «фонона» с помощью соотношения (4.6). Поскольку в узле градиент поля стоячей волны максимален, расположим волну так, чтобы узел поля был в точке −l2 , т.е. sin kl2 = 0 , а cos kl2 =1. Кроме того, рассмотрим, так

называемый, режим Лэмба–Дике, когда характерная амплитуда колебаний

z0 = Mω

мала по сравнению с длиной волны 1k , т.е.

	η ≡ kz0 =	k 2	1.	(4.11)
		2Mω

Величина η называется параметром Лэмба–Дике. Режим Лэмба–

Дике практически реализуется во многих экспериментах с ионами в ловушках. Он широко используется, например, для глубокого лазерного охлаждения ионов. Для полноты картины отметим, что величина, стоящая под знаком корня в (4.11), есть отношение частоты отдачи

ωrec ≡ k 2 2M

и частоты колебания ω.

Тогда частоту Раби Ω(z1 ) можно записать в такой форме

		l		= Ω0 sin kzˆ ≈ Ω0kzˆ = Ω0η(a + a	+	). (4.12)
Ω(z1 ) = Ω0 sin k	−		+ zˆ
		2

Здесь мы использовали условие cos kl2 =1 и формулу (4.6), а

также провели разложение с учетом неравенства (4.11). Это выражение надо подставить в оператор взаимодействия (4.10).

293

Если выбрать частоту ωL лазерного поля так, что
ωL = ω0 − ω ,	(4.13)

то выполняется точное условие резонанса для переходов между состояниями g n и e n −1 , где кэт-векторы n и n −1 опи-

сывают состояния фононной подсистемы. Один такой переход для n = 1 показан на рис. 4.3а двойной стрелкой. Последнее упрощение состоит в том, что в операторе взаимодействия (4.10) с учетом выражения (4.12) мы удерживаем только члены, отвечающие за резонансные переходы, т.е. в первом слагаемом оставляем оператор

поглощения фонона a, а во втором – оператор рождения a+ . Переходя к представлению взаимодействия1 с помощью гамильто-

ˆ

(4.1), получаем окончательное выражение для гамильто-

ниана H0

ниана системы:

ˆ

Ω0

e g

a +

g

e

a

+

(4.14)

H =

2

η

.

Гамильтониан такого вида называют моделью Джейнса- Каммингса-Пауля. Это одна из самых популярных моделей, которая первоначально была сформулирована в квантовой оптике для описания взаимодействия двухуровневой системы с квантованным

электромагнитным полем, когда операторы a и a+ являются операторами уничтожения и рождения фотона одной резонансной моды поля (см. раздел 3.2). В нашем случае фотоны заменены «фононами».

1	Полный гамильтониан системы есть	ˆ	ˆ	,	ˆ	не зависит от
		H0	+ Hint		где H0

времени. В представлении взаимодействия гамильтониан системы опреде-

	Hˆ 0t		ˆ			Hˆ 0t
ляется выражением exp i		Hint exp			−i		.
				294

Перейдем теперь к вопросу о том, как с помощью изложенных выше физических механизмов можно реализовать двухкубитовый гейт CNOT.

Ключевым моментом здесь является предложенная Цираком и Цоллером процедура, реализующая двухкубитовый фазовый гейт. Получение гейта CNOT из фазового гейта потребует нескольких дополнительных однокубитовых преобразований, которые мы рассмотрим в конце раздела.

Двухкубитовый фазовый гейт

Двухкубитовый фазовый гейт представляет собой преобразование «управляемое σ3 » и определяется следующим оператором (см. раздел 2.5):

0 0		I +		1 1		P(π) .	(4.15)

Напомним, что операторы, стоящие в каждом из слагаемых слева, относятся к управляющему кубиту, а те, что справа — к управляемому кубиту. Оператор I описывает тождественное преобразование, а P(π) имеет вид

P(π) = σ3 =				0	0		−		1 1		.	(4.16)
Тогда двухкубитовое состояние		αβ			( α, β =0,1), в котором α от-

носится к управляющему кубиту, а β — к управляемому, в результате действия фазового гейта преобразуется следующим образом:

00, 01, 10 не меняются,

(4.17)

11→ − 11.

Базисные векторы состояний системы «два иона + фононы» будем

295

обозначать как αβ n, где αβ относится к двухкубитовой сис-

теме, а n описывает колебательную моду. Первый кубит ( α) является управляющим, а второй ( β ) — управляемым. Состояние n колебательной системы обозначается целыми числами. В дальнейшем мы ограничимся только состояниями с n = 0, 1. Во избежание недоразумений, для возможных значений α и β будем использовать обозначения g и e. Для сопоставления с (4.15)–(4.17) следует использовать идентификацию g ≡ 0 , e ≡1 .

Сначала «фононная» подсистема приводится в состояние n = 0 , т.е. охлаждается до основного колебательного уровня. Управляю-

щий кубит α подвергается воздействию импульса лазера, кото-

рый создает стоячую волну. Кубит находится вблизи узла стоячей волны, так что взаимодействие описывается гамильтонианом

(4.14). Длительность импульса выбирается равной t = π/ Ω0η, т.е.

кубит подвергается воздействию π-импульса поля. Такой импульс (см. формулу (2.107)) переводит двухуровневую систему из нижнего состояния в верхнее (либо наоборот), умножая на фазовый множитель1 (-i). В нашем случае речь идет о двух состояниях, которые соединены двойной стрелкой на рис. 4.3а. Поскольку сначала n = 0, есть только переход из верхнего состояния в нижнее.

Таким образом, в результате первой операции базисные состояния системы преобразуются следующим образом:

gβ 0 → gβ 0 ,

(4.18)

eβ 0 → (−i) gβ 1 .

Состояние второго кубита, обозначенное свободным значком β , не меняется. Что касается первого кубита, то он оказывается в основ-

1 Оператор эволюции (2.107) получен для гамильтониана, который отличается от (4.14) общим знаком. Поэтому для гамильтониана (4.14) фазовый множитель равен (-i), а не i, как в формуле (2.107)

296

ном состоянии g , но при этом может измениться состояние колебательной моды, которая в общем случае переходит из начального состояния 0 в суперпозицию состояний 0 и 1 . Действительно, если управляющий кубит α находится в состоянии α = c1 g+c2 e , то результатом взаимодействия с лазерным импульсом, как следует из (4.18), является преобразование

αβ		0 →		gβ (c1		0 −ic2		1 ).	(4.19)

С точки зрения манипулирования информацией, преобразование (4.19) означает, что квантовая информация кубита α перенесена в

колебательную моду. Два колебательных состояния 0 и 1 тоже

можно рассматривать как кубит. Другими словами, квантовая информация кубита α записана с помощью колебательного кубита.

Следующей операцией является воздействие еще одного импульса стоячей световой волны, но уже на управляемый кубит β , который тоже располагается вблизи узла этого поля. При этом мы хотим, чтобы возбужденное состояние e рассматриваемого куби-

та не затрагивалось, а основное состояние g получило бы фазовый сдвиг π. С этой целью прикладывается световое поле, которое

действует на смежном переходе

g

e ' между нижним со-

стоянием кубита и каким-то возбужденным состоянием e ' , как

показано на рис. 4.3б. Во всех остальных отношениях данное взаимодействие подобно тому, что было в случае первого импульса, и описывается гамильтонианом вида (4.14), в котором надо сделать

замену e на e ' и написать параметры Ω'0 и η' .

Длительность импульса выбирается равной t ' = 2πΩ'0η'. В качестве резонансной двухуровневой системы теперь выступают состояния g1 и e ' 0 второго иона, аналогичные тем, что со-

единены двойной стрелкой на рис. 4.3а, но с заменой e на e ' .

297

Поскольку 2 π-импульс не изменяет состояние двухуровневой системы, а лишь сдвигает общую фазу на π, то начальное состо-

яние g1 → (−) g1 .

В результате второй операции состояния в правой части (4.18) преобразуются следующим образом:

gβ

0 →

gβ

0

(здесь β = g, e),

(4.20)

−i

gg

1 → i

gg

1 ,

−i ge1 → −i ge1.

Это означает перепутывание второго кубита с колебательной модой. Поэтому квантовая информация, содержащаяся в колебательной моде, перераспределяется между «фононным» кубитом и кубитом β . Теперь вновь прикладывается π-импульс к контролирую-

щему кубиту α. Тогда

gβ 0 → gβ 0,

i

gg

1 → (−i)(i)

eg

0 =

eg

0 ,

(4.21)

−i ge1 → (−i)(−i) ee 0 = − ee 0.

В результате трех операций (4.18), (4.20), (4.21) «фотонная» подсистема вернулась в исходное состояние 0 , которое теперь мож-

но просто опустить.

Что же касается базисных векторов двухкубитовой системы αβ , то их преобразование имеет следующий вид:

gg ,

ge ,

eg

не меняются,

(4.22)

ee → −

ee .

С учетом идентификации

g ≡

0 ,

e ≡

1 легко видеть, что

преобразование (4.22) совпадает с фазовым гейтом (4.17).

298

Гейт CNOT

Теперь заметим, что фазовый гейт (4.22) представляет собой CNOT-гейт, если управляемый кубит β записан в базисе поверну-

тых состояний ± = 12 ( g± e). Действительно, переходя к этому базису состояний управляемого кубита, из (4.22) получаем

g ± → g ± , т.е. 0 ± → 0 ± ,

(4.23)

e ±→ e , т.е 1± → 1 .

Следовательно, управляемый кубит проходит через операцию NOT, + → − и −→ + , если управляющий кубит находится в со-

стоянии 1 . А это и есть, как мы знаем, CNOT-гейт. Справедливо и обратное утверждение. Так, пусть управляемый кубит β запи-

сан в базисе повернутых состояний ± . Тогда двухкубитовый фазовый гейт «управляемоеσ3 » эквивалентен CNOT-гейту в базисе исходных состояний g и e управляемого кубита (см. задачу 5б

в конце раздела 2.5)

Поэтому протокол CNOT-гейта в исходном базисе сводится к следующим операциям. Сначала совершается поворот базиса управляемого кубита β . Потом осуществляется двухкубитовый

фазовый гейт, подробно описанный выше, и, наконец, управляемый кубит возвращается к исходному базису.

Поворот базиса представляет собой однокубитовый гейт типа преобразования Адамара. Его, как и другие однокубитовые гейты, можно реализовать с помощью импульса стоячей волны, расположенной так, что ион находится вблизи пучности поля. Из-за однородности поля вблизи пучности локальная частота Раби (4.9) в режиме Лэмба–Дике не содержит операторов колебательной моды, т.е. внутренние и поступательная степени свободы не перепутываются.

299

Тогда гамильтониан можно представить в форме

ˆ

Ω0

−iϕ

iϕ

H ' =

2

e

g

e

+

g

e

e

.

(4.24)

Здесь мы ввели фазу ϕ стоячей волны. Поскольку оператор эво-

ˆ ′	), то варьируя ϕ и t , можно реали-
люции имеет вид exp (−iH t

зовать различные однокубитовые гейты. В качестве простого упражнения читателю предлагается проверить, что интересующее нас преобразование поворота базиса

	g →	1	(		g −		e ),		e	→	1	(		g +		e )	(4.25)
		2									2
можно реализовать, если ϕ = π 2 ,										а длительность							импульса

t = π2Ω0 . Возвращение же к исходному базису осуществляется с помощью импульса длительностью 3π2Ω0 .

Изложенная принципиальная схема применима и к регистру с большим числом кубитов, а управляющий и управляемый кубиты могут достаточно далеко отстоять друг от друга. Передача квантовой информации между ними осуществляется с помощью общей для всей цепочки ионов колебательной моды, которая, тем самым, является квантовым регистром данных.

В заключение отметим, что квантовый логический элемент CNOT был впервые продемонстрирован экспериментально в 1995 г. в Национальном институте стандартов и технологий (NIST)

в Боулдере с помощью одного иона 9 Be+ в ловушке. Управляющим кубитом были два колебательных состояния 0 и 1 , а

управляемым кубитом являлись внутренние состояния иона g и e . Тем самым было показано, что возможно чтение из квантового регистра данных колебательного движения.

300