Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

По условию задачи матрица ˆ осуществляет следующие преобра-

M

зование базисных векторов:

| a0 →| 00 ≡| A0 ,

| a1→|11 ≡| A1,

| a2 →|10 ≡| A2 ,

| a3 →| 01 ≡| A3 .

Нетрудно видеть, что

M ji =aj | Ai , i, j = 0, 1, 2, 3;

а матрица ˆ имеет вид

M

		1	0	0	0
ˆ			0	0
		0			1
M	=		0	1		,
		0			0
		0	1	0	0

и нет необходимости проверять полноту и ортогональность набора

состояний

{| Ai },

так как он отличается от исходного набора

{| ai }

просто перестановкой двух базисных векторов.

471

Пример 5.24 (эквивалентные схемы на двух кубитах)

Известна квантовая схема [1, с.231] из последовательно соединенных гейтов с соответствующими известными унитарными матрицами Н (для гейта Адамара) и Ma (для гейта CNOT). Известна также матрица Mc для гейта CNOT, включенного наоборот.

Требуется определить один двухкубитовый гейт, который эквивалентен этим последовательно соединенным гейтам. Другими словами, требуется определить унитарную матрицу E результирующего преобразования и установить, что следующие две квантовые схемы эквивалентны (т.е. Е ≡ Mc):

H

H

?

| ψ

| ψ1′

≡ | ψ

| ψ′2

H

H

Решение

1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходные векто-

ры | ψ1′ , | ψ′2 и матрицы преобразования Н, Ma и Mc соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

2). Будем искать решение, т.е. элементы некоторой матрицы E,

применяя Правило 5.0в и Правило 5.4(2).

3). Таким образом, применяя Правило 5.0в (опираясь также на Пример 5.16г, рис. 5.20а, б), получим следующую матрицу H{2} и две эквивалентные схемы:

									1	1	1	1
			1 1 H		1 H 1				1	−1	1	−1
H	{2}	= H H =			(−1)		=						,
			2					2		1	−1
				1 H		H			1			−1
										−1	−1
									1			1

H

H

| ψ1′ ≡ | ψ

H{2}

H{2}

| ψ1′

| ψ

H

H

472

4). Из Примера 5.23 известна Mc (для гейта CNOT, включенного наоборот). Матрица (табл. 5.2) для гейта CNOT также известна. Таким образом, известны следующие унитарные матрицы:

				1	1	1	1
	{2}		1	1	−1	1	−1
H		=						,
			2		1	−1
				1			−1
				1	−1	−1	1

1 0 0 0					1 0		0 0
Mc= 0 0 0 1				,	Ma= 0 1		0 0 .
	0	1				0	0
0			0		0			1
0	1	0	0		0	0	1	0

5). Далее, применяя Правило 5.4(2) (опираясь на Пример 5.18), получим следующую матрицу E=H{2} ×Ma ×H{2} и две эквива-

лентные схемы:								1 0 0 0				1 1 1 1
										1				1	−1 1
A= Ma ×H						{2}		0 1 0 0									−1	=
						=			×
										2
								0 0 0 1						1 1 −1 −1
								0 0 1 0						1 −1 −1 1
		1+0 1+0 1+0 1+0													1 1 1 1
	1	1+0 0 −1 1+0 0 −1											1		1 −1 1 −1
=											=								,
	2			+0 0 −1 0 −1 1									2
		1							+0						1	−1 −1 1
		1+0 1+0 0 −1 0 −1													1 1 −1 −1
							1 1 1 1							1 1 1 1
		{2}			1		1 −1 1		−1			1			1 −1 1 −1
E=H			×A=							×									=
					2
							1 1 −1		−1			2			1 −1 −1 1
							1 −1 −1 1								1 1 −1 −1
								473

			4					2 −2			2 −2 2 −2			1 0		0 0
=	1				2 −2			2 −	2		2 −2	4		0 0		0		1
													=					.
	4				2 −2			2 −	2		4				0	1
												2 −2		0				0
					2 −2			4			2 −2	2 −2		0	1	0		0
| ψ				H{2}				H{2}			| ψ1′	≡ | ψ			E				| ψ1′

6). Далее, сравнивая матрицу Е с матрицей Mc, устанавливаем, что они эквивалентны, т.е. Е ≡ Mc, а значит и эквивалентны следующие две схемы:

| ψ		E		| ψ1′ ≡ | ψ		| ψ′2

7). Так как E=H{2} ×Ma ×H{2} и Е ≡ Mc, то эквивалентны и исходные следующие две квантовые схемы:

		H			H				| ψ1′ ≡ | ψ		| ψ′2
| ψ
		H			H

8). И тем самым задача решена▄

474

Пример 5.25 (эквивалентная схема на двух кубитах для 2-х CNOT) Известна квантовая схема из 2-х последовательно соединенных двухкубитовых гейтов CNOT (унитарная матрица Ma для CNOT известна).

Требуется определить один двухкубитовый гейт, который эквивалентен этим двум последовательно соединенным двухкубитовым гейтам CNOT. Другими словами, требуется определить унитарную матрицу Еc результирующего преобразования и установить, что следующие две квантовые схемы эквивалентны (где Mc= I {2}):

′	| B′
| A

| ψ Ma Ma | ψ1′

?
≡ | ψ	Mc	| ψ′2

Решение

1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходные векто-

ры | ψ1′ , | ψ′2 и матрицы преобразования Ma, Еc и Mc соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

2). Эквивалентность двух схем понимается в том смысле, что при подаче одного и того же входного вектора | ψ на вход каждой из этих схем на их выходе получается один и тот же выходной вектор, т.е. | ψ1′ =| ψ′2 , при этом матрица Mc результирующего

преобразования является (как и матрица Ma) также унитарной. Специально еще раз отметим, что результирующее преобразование с матрицей Mc зависит, вообще говоря, от порядка, в котором выполняются операции с матрицами (т.е. от порядка, в котором выполняются гейты).

3). Таким образом, применяя Правило 5.4(2), необходимо сначала вычислить матрицу Еc, где

Еc = Ma × Ma,

и затем сравнить Еc с единичной матрицей I {2}. Если Еc=I {2}, то схемы эквивалентны.

475

4). Представим исходные квантовые схемы в следующем более (см. рис. 5.20в, г) конкретном виде:

	| a	| a′	?
| ψ			| ψ1′ ≡ | ψ			I {2}		| ψ′2
	| b	| b′

5). Так как (см. Пример 5.16г и табл. 5.2) матрица I {2} и матрица для гейта CNOT есть

			1 0 0 0					1 0 0 0
	I {2}= I I =		0 1 0 0			,	Ma = 0 1 0 0						,
			0 0 1 0					0 0 0 1
то			0 0 0 1					0 0 1 0
				1 0 0		0		1	0	0	0
	Еc=Ma × Ma=			0 1 0		0	×	0	1	0	0	=
								0	0	0
				0 0 0		1					1
				0 0 1		0		0	0	1	0
1 1+0		0		0		0	1 0 0 0
		1 1+0
=	0			0		0		= 0 1 0 0				= I {2}.
	0	0		1 1+0		0
							0 0 1 0
	0	0		0	1 1+0 0 0 0 1

6). Отметим, что следующие квантовые схемы тоже эквивалентны:

| a		| a′
| ψ		| ψ1′ ≡ | ψ					| ψ′2
					I {2}
| b		| b′

7). И тем самым задача решена▄

476

Еще раз напомним, что при рассмотрении квантовых схем будем полагать:

кубиты могут быть

•как в чистом состоянии,

•так и в смешанном (точнее в перепутанном) состоянии,

аквантовый регистр (из этих кубитов) только в чистом состоя-

нии.

Из квантовой механики, из содержания главы 2 и раздела 5.3 следует, что:

•при выбранном базисе для любого вектора состояния кубита | ψ комплексные коэффициенты (т.е. амплиту-

ды) a и b в суперпозиции | ψ = a | 0 +b |1 определяются однозначно;

•базисное состояние n-кубитового регистра можно вы-

брать в виде | CN CN −1...C0 =| CN | CN −1 ...| C0 , где Cm=0, 1; так, что состояние каждого кубита описывается некоторым вектором состояния и не зависит от состояний остальных кубитов;

•на основании принципа суперпозиции произвольное

состояние | Rg n-кубитового регистра имеет следую-

щий вид (N=2n–1):

| Rg = a0 | 0...00 + a1 | 0...01 +...+ aN |1...11 .

Для такого состояния, вообще говоря, вектор состояния квантового регистра не может быть записан как произведение однокубитовых векторов состояний (т.е. этот вектор не имеет факторизованного вида), что означает — квантовое состояние отдельного кубита оказывается перепутанным с состояниями других кубитов и не описывается каким-либо кэт-вектором (такое состояние кубита называется смешанным состоянием).

Для рассмотрения далее очередных примеров сформулируем следующее важное правило.

477

Правило 5.7

Пока существует | ψi — вектор состояния каждого

i–го кубита из квантового регистра, где i изменяется от 1 до n (т.е. пока этот кубит находится в чистом состоянии), его дальнейшую «судьбу» после применения очередного гейта можно отслеживать как по его теку-

щему вектору | ψi , так и по текущему вектору квантово-

го регистра | Rg .

После того как i–й кубит перешел в смешанное состояние (т.е. у него теперь нет вектора | ψi ), то его

дальнейшую «судьбу» после применения очередного гейта следует отслеживать по текущему вектору квантового

регистра | Rg .

После того как i–й кубит вновь перейдет в чистое состояние (т.е. у него опять есть вектор | ψi ), то

его дальнейшую «судьбу» после применения очередного гейта опять можно отслеживать как по его текущему

вектору | ψi , так и по текущему вектору квантового регистра | Rg ▄

Данное правило позволяет в конкретной ситуации прослеживать «судьбу» кубита, т.е. выполнять над ним преобразования с помощью гейтов и анализировать результат этого преобразования. Основной смысл этого правила состоит в том, что, несмотря на то, в каком состоянии находится отдельный кубит (в смешанном или чистом), следует продолжать применять к нему необходимые гейты (в соответствии с квантовой схемой), а текущий результат контролировать в зависимости от состояния кубита, т.е. либо только

по вектору | Rg , либо по | Rg и вектору состояния кубитов.

Следующий пример показывает, как можно применять это правило.

478

Пример 5.26 (два кубита в смешанном состоянии на выходе) Имеется следующая исходная двухкубитовая квантовая схема Ы (унитарная матрица M1 для гейта H, унитарная матрица M2 для гейта X и унитарная матрица M3 для CNOT — известны):

Схема Ы

							1	1	1		0	1
| 0						M1=			−1		, M2=		,
| Rg			H				2	1			1 0
			X				1	0	0	0
| 0
						M3=	0	1	0	0
		T0 T1			T2		0	0	0	1
								0	1
							0			0

Проведем подробное исследование этой квантовой схемы.

1). В исходной квантовой схеме имеются два кубита (верхний кубит с номером 1, а нижний кубит с номером 2). Первый кубит

находится в базисном состоянии, т.е. | ψ1 =| 0 . Второй кубит также находится в базисном состоянии, т.е. | ψ2 =| 0 . На эти

два кубита действует квантовая схема, содержащая гейт H, гейт X и гейт CNOT, причем гейт включен так, что первый (верхний) кубит является управляющим, а второй (нижний) кубит — управляемым (т.е. верхний кубит управляет нижним кубитом).

2). Будем далее предполагать, что входной вектор | Rg , промежу-

точные векторы состояний, выходной вектор | Rg′ и все мат-

рицы преобразования соответствуют одному и тому же вычислительному базису:

| 0	=	1	, |1	=	0
					.
		0			1
			479

3). Применим Правило 5.0б, результат Примера 5.15а и получим следующие векторы вычислительного базиса:

	1					0
| 00 =| 0 | 0	= 0		,	| 01	=| 0 |1	= 1		,
	0					0
	0					0
	0					0
|10 =|1 | 0	= 0		,	|11	=|1 |1	= 0 .
	1					0
	0					1

Таким образом, исходное состояние квантового регистра есть

1

| Rg =| ψ1 | ψ2 =| 0 | 0 = | 00 =| 0 | 0 = 00 .

⎣0

4). Определим состояния кубитов | ψ1 , | ψ2 и состояние самого квантового регистра | Rg x , где x =0, 1, 2, …, в различные моменты времени Tx, отмеченные на схеме Ы как T0, T1 и T2.

В момент T0

| ψ1	=| 0	1	,	| ψ2	=| 0	1	,
		=				=
		0				0

1

| Rg0 =| 00 =| 0 | 0 = 00 ,

⎣0

т.е. кубиты и квантовый регистр находятся в чистом состоянии.

480