Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

т.е.
						A + B		=		7
										5
										−1
								=
						A − B				5
или
	7		1		6				3		7		3		4
2A =		−		=		A =				B =		−		=		,
т.е.	5		5		5				5		5		5		5
							3
						| ψ			5
							=		4	.
							5

4). Проверим условие нормировки для входного вектора | ψ

53 2 + 54 2 = 259 + 1625 = 2525 =1,

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверим, что найденный вектор | ψ действительно удовлетворяет условиям задачи:

				M ×| ψ =| ψ′
	или
	3								3
		5			1	5	5		5
	M ×			=				×			=
					5 2
		4				5	−5		4
									5
	5
					381

											7
		1	3	+ 4			1	7
										5	2
	=					=			=				=| ψ′	,
		5 2		−4			5 2			−1
			3					−1
											2
									5

3

т.е. найденное решение| ψ = 5 удовлетворяет условиям задачи.

45

6). И тем самым задача решена▄

Пример 5.8 (задача синтеза квантовой схемы)

7

3

5

′

5

2

Известен | ψ

| ψ

=

— вы-

=

4

— входной вектор и

−1

5

2

5

ходной вектор

на выходе квантовой схемы,

состоящей из этого

одного

квантового

элемента

с матрицей

преобразования

w

s

это комплексные числа.

M =

, причем w, s, z, t —

z

t

Требуется определить w, s, z, t, т.е. синтезировать унитарную

матрицу M квантового элемента:
1	3					1					7		,
					M
											−1
5	4					5			2

т.е. достаточно найти хотя бы одно решение (т.е. одну матрицу M).

Решение

1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходной вектор

382

| ψ′ и матрица преобразования M соответствуют одному и то-

му же вычислительному базису, который для решения этой задачи знать не обязательно.

2). Проверим корректность исходных данных. Условие нормировки для входного вектора | ψ

53 2 + 54 2 = 259 + 1625 = 2525 =1

выполняется.

Условие нормировки для выходного вектора | ψ′

	7			2	+		−1				2	=	49	+	1	=	50	=1
5	2						5	2					50		50		50

выполняется.

3). Будем сначала искать решение w, s, z, t в области действительных чисел. Если решение будет найдено, то оно и будет искомым.

Из преобразования M ×| ψ =| ψ′ следует:

		7
3w + 4s =
		2
					.
		−1
3z + 4t =
		2

Из Свойства 5.1а о свойстве унитарности M †M = I следует:

w2 + z2 =1

+ =ws zt 0 .

s2 +t2 =1

Из Свойства 5.1б следует:

	2	= t	2
w				.
		= z2
s2

Таким образом, следует найти хотя бы одно решение следующей

383

системы уравнений:
						7
3w + 4s =
						2
				−1
3z	+ 4t	=
						2
	+ z2	=1 .
w2
		= 0
ws + zt
s2 +t2 =1
w2	= t2
	= z2
s2
Возможны два случая:
случай I
w = t					,
s = −z
случай II
w = −t					.
s = z

Рассмотрим случай I:

									7															7
		3w			+ 4s =										3w			+ 4s			=
										2														2
										−1														−1
		−3s + 4w =								2					4w			−3s			=			2
	3			4						7							1			21−4							17
	4	w	+	3	w		+0	=							−				=						=
										4 2 3 2 12 2 12 2
9 +16							17							25				17											17
			w		=									12		w =											w =					,
																		12			2								25		2
12					12 2
														384

тогда						17														7									3 17													31
t =w, w=												s =													−															=
					25		2													4		2							4 25								2					25	2
								z=− s s=																					−31						,
																								25										2
таким образом, искомая матрица M для случая I есть
			M1 =				w						s				=			1											17						31
																																								.
													t																−31 17
							z											25 2
Рассмотрим случай II:
												7																4									7
	3w + 4s =																			w				+				3				s		=
												2																									2
																																		3
													−1																		3							−1
	−4w +3s =											2								−w								+			4			s =			4			2
		4				3									7							1												28 −3								25
0 +		3	s	+		4	s				=									−											=									=
												3 2 4 2 12 2 12 2
16 +9							25													25														25										1
			s =																	12				s				=														s =					,
							12					2																				12 2												2
	12
тогда	1											7				− 4				1											1																	−1
s = z, z =					w =																			=										w = −t t =															,
	2											2																				2															2
							3										3			2
таким образом, искомая матрица M для случая II есть
										w							s					1						1							1
					M2 =															=																.
																						2
										z							t											1						−1
																	385

4). Проверим условие, что матрица M1 унитарна:
	†									1								17 31								†				1				17 31
	M1 M1 =																										×										=
										25				2															25		2
																		−31				17											−31			17
							1							1					17						−31						17			31
		=																										×								=
										2 25							2									17								17
			25																31										−31
							=			1					289 + 961 1731 −1731																				=
							1250																					961 +			289
															1731 − 1731
							=				1							1250							0			=	1		0			≡I,
										1250									0
																							1250						0		1
т.е. свойство унитарности матрицы M1 выполняется.
Проверим условие, что матрица M2 унитарна:
†			1					1 1									†				1			1 1							1	1 1 1 1
M2	M2=																×													=						×		=
			2																												2
								1				−1										2 1					−1					1		−1 1			−1
			1				1+1 1−1																		1		2 0 1 0									≡ I ,
	=																−(−1)						=				0 2			=			0 1
			2																						2
								1−1 1

т.е. свойство унитарности матрицы M2 выполняется.

5). Проверим, что найденная (синтезированная) матрица M1 действительно удовлетворяет условиям задачи:

				M1 ×| ψ =| ψ′				,
	или										7
					3
		1		17 31
						5				5	2
					×			=					,
	25 2									−1
				−31 17		4
											2
					5				5
				386

или
1				17		31	3		1		1			51+124						1				175
				−31			×		5	=							=							−25		=
25		2									125		2							125		2
						17	4							−93		+68
																	7
						25		7				1		7
																	5 2
				=						=					=				=| ψ′			,
					125						5 2						−1
							2 −1						−1
																	5 2

т.е. найденное решение M1 удовлетворяет условиям задачи.

Проверим, что найденная (синтезированная) матрица M2 действительно удовлетворяет условиям задачи:

									M2 ×| ψ =| ψ								′	,
или
													3
										M				5		=
											2	×		4
														5
					3																			7
	1	1	1			5				1	3 + 4							1		7				5 2
=								=								=						=				=| ψ	′
	2	1	−1			4		5 2			3		−4				5 2			−1				−1
																							5 2
						5
т.е. найденное решение M2										удовлетворяет условиям задачи.
Таким образом, найдено два решения
		M1	=		1			17		31				и M2 =					1		1			1
																								.
																			2
				25 2 −31 17																	1			−1

6). И тем самым задача решена▄

387

	Пример 5.9а (задача прямого анализа)	1			0
	Известен вычислительный базис, т.е. | 0		,	|1			. Извес-
		=			=
		0			1

тен входной вектор | ψ =| 0 и квантовый одновходовой элемент с

	матрицей преобразования M =	1	1	1
				.
		2
			1	−1

′	A	в вычисли-
Требуется определить выходной вектор | ψ	=
	B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

| 0		M		| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем

далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходной вектор

| ψ

′

преобразования M соответствуют одному и то-

и матрица

му же вычислительному базису.

2). Проверим корректность исходных данных.

Условие

нормировки

для

входного

вектора

| ψ

1

2+

0

2=1+0 =1 выполняется.

†

M

†

M

1

1 1

1

1 1

=

×

=

2

2

1

−1

1

−1

					1 1				1				1		1			1
				=											×	1				=
					2 2
									1			−1						−1
		1	1+1		1−1							1		2		0	1				0		≡ I ,
	=			−1	1−(−1)						=				0	2		=	0		1
		2										2
			1

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

388

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

							M ×| ψ =| ψ′														A
																					= ,
																					B
то, зная M и | ψ ,																																′			A	на
											вычислим выходной вектор | ψ																						=
выходе квантовой схемы:																																			B
																															1
		1		1 1									1					1		1+0				1	1										A
																															2
M ×|ψ =											× =											=			=						1			=		,
		2																2						2
				1		−1							0							1	−0				1										B
																															2
																											1
		1									1											A									1				1
																				′							2
т.е. A =					B =																			=					=
				,									или | ψ								=						1								.
		2									2																						2
																						B													1
																											2
																																			′
4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ
						1			2 +				1			2		=	1 + 1			= 2		=1,
					2								2
																			2		2	2

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

не требуется, так как это прямо следует из самого решения. 6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

	′	=	1	1	=	1	1+0		=	1	1	+	1	0	=	1	| 0 +	1
	| ψ																		|1 .
			2			2				2			2			2		2
				1			0	+1			0			1

7). И тем самым задача решена▄

389

Пример 5.9б (задача прямого анализа)	1				0
Известен вычислительный базис, т.е. | 0			,	|1			. Извес-
	=				=
	0				1

тен входной вектор | ψ =|1 и квантовый одновходовой элемент

	с матрицей преобразования M =	1	1	1
				.
		2
			1	−1

′	A	в вычисли-
Требуется определить выходной вектор | ψ	=
	B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

|1		M		| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем

далее предполагать,																	что входной вектор | ψ , выходной вектор
| ψ				′										преобразования M соответствуют одному и то-
				и матрица
му же вычислительному базису.
2). Проверим корректность исходных данных.
Условие												нормировки													для					входного							вектора		| ψ
	0		2 +			1		2 = 0 +1 =1 выполняется.
									M			†	M				1				1 1 †										1			1 1
														=																×								=
																	2																2
																					1			−1										1		−1
															1					1			1				1			1				1
														=																×	1			=
															2 2
																							1			−1								−1
									1			1+1 1−1														1				2 0 1 0								≡ I ,
				=													−(−1)								=					0 2				=	0 1
									2																	2
												1−1 1

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

390