Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

Одокубитовый гейт U и его диаграмма переходов

а)

б)

| 0

| 0

a00

a00

a01

a10

U = a

a

|1

a01

|1

10

11

a11

в)

| ψ

| ψ′

U

Рис. 5.16

Одокубитовый гейт H и его диаграмма переходов

а)									б)
				H
	| 0		1	2			| 0				1		1		1
									H =
		1	2
											2
	|1	1	2				|1						1	−1
			−1	2					в)
									| ψ						′
													H
														| ψ
					Рис. 5.17
					371

2). Зная входной вектор | ψ и унитарную матрицу, применим

′

для каждого

Правило 5.0а и получим выходные векторы | ψ

гейта из табл. 5.1.

Для гейта элемент Адамара H

a +b

1

1 1

a

1

1 a +

1 b

H ×| ψ =

2

′

×

=

=

=| ψ

,

2

2

a −b

1

−1 b

1 a +

(−1) b

2

т.е. | ψ′ =| 0 a +2b +|1 a −2b .

ОТМЕТИМ. Символ × — это обычное умножение матриц или чисел, а символ — это тензорное умножение.

Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

			a +b			2				a −b			2		2(		a		2 +		b		2 )		2 1
							+							=										=			=1,
			2							2					2										2

т.е. условие нормировки выполняется (так как |a|2 + |b|2 =1). Для гейта элемент Паули X

0	1 a		0 a +1 b b			=| ψ′	,
X ×| ψ =		×	=		=
1	0	b	1 a +0	b	a

т.е. | ψ′ = b | 0 +a |1 .

Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′ b 2 + a 2 = a 2 + b 2 =1,

т.е. условие нормировки выполняется (так как |a|2 + |b|2 =1). Для гейта элемент Паули Y

Y ×| ψ =

0 −i

×

a

=

0 a +(−i) b

=

−ib

= −i

b

=| ψ

′

,

i 0

b

i a +0 b

ia

−a

т.е. | ψ′ = −i{b | 0 −a |1 }.

372

Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

(−ib )2 +(ia )2 = a 2 + b 2 =1,

т.е. условие нормировки выполняется (так как i2 = –1 и |a|2+|b|2 =1). Для гейта элемент Паули Z

1	0 a		1 a +0 b				a	=| ψ′	,
Z ×| ψ =		×	=			=
0	−1	b	0	a +(−1) b		−b

т.е. | ψ′ = a | 0 −b |1 .

Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

(a )2 + (−b )2 = a 2 + b 2 =1,

т.е. условие нормировки выполняется (так как |a|2+|b|2 =1).

Для гейта фазовый элемент S

	1	0 a 1 a +0 b a				=| ψ	′
	S ×| ψ =	i	× =	a +i	=		,
	0		b 0		b ib
′	= a | 0 +ib |1 .
т.е. | ψ

Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

(a )2 + (ib )2 = a 2 + b 2 =1 ,

т.е. условие нормировки выполняется (так как i2 = –1 и |a|2+|b|2 =1).

Для гейта элемент π/8 — T

T ×| ψ =		1	0	×	a	1 a +0 b			a		=| ψ′ ,
						=			=
		0	i		b	0	a + i b		b i
′	= a | 0 +b i|1 .
т.е. | ψ

Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

(a )2 + (b i )2 = a 2 + b 2 =1,

т.е. условие нормировки выполняется (так как |a|2 + |b|2 =1).

373

Для гейта элемент Тождественного преобразования I

	1	0 a			1 a +0 b a		=| ψ′	,
	I ×| ψ =		×	=		=
	0	1	b		0	a +1 b b
′	= a | 0 +b |1 или | ψ			′	=| ψ .
т.е. | ψ

Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′ a 2 + b 2 =1,

т.е. условие нормировки выполняется (так как |a|2+|b|2 =1).

Для одокубитового гейта U (общий случай)

	a00	a01		a		a00 a + a01 b			=| ψ	′	,
U ×| ψ = a		a		× b		= a a + a b
	10	11				10	11
′	={a00 a + a01	b}| 0 +{a10 a + a11 b}|1 .
т.е. | ψ

Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

a00a + a01b 2 + a10a + a11b 2 =1,

т.е. условие нормировки выполняется (так как |a|2+|b|2 =1).

На этом закончим рассмотрение данного примера ▄

Пример 5.5. Проверка унитарности для одокубитового гейта. Имеются одокубитовые гейты (см. табл. 5.1) и матрицы, соот-

ветствующие преобразованиям, которые они выполняют. Требуется проверить условие U †U = I унитарности для матри-

цы каждого гейта из табл. 5.1. Отметим, что U † = (U T )* .

Решение

1). В соответствии с определением единичной матрицы I, соответствующей размерности матрицы U для одокубитовых гейтов из табл. 5.1, эта матрица I (которую иногда обозначают и как 1) может быть представлена следующим образом:

1	0
1 ≡ I ≡	.
0	1
374

2). Проверим						условие		U †U = I						унитарности для одокубитовых
гейтов из табл. 5.1.
Для гейта элемент Адамара H
	†		1			1 1		†		1		1 1						1	1 1 1 1
H		H =							×							=						×		=
					2						2							2
						1	−1					1			−1				1		−1 1		−1
					1	1+1 1−1							1	2 0 1 0
			=				−1 1−(−1)				=				0 2		=			0 1		≡ I ,
					2								2
						1

т.е. свойство унитарности матрицы H выполняется.

Для гейта элемент Паули X

0	1 †		0	1		0		1 0
X † X =		×			=			×	1
1	0		1	0		1		0
	0 +1		0 +0 1			0		≡ I ,
	=			=
	0 +0		1+0 0			1

т.е. свойство унитарности матрицы X выполняется.

Для гейта элемент Паули Y

0 −i †

0 −i

=

0 −i

0

Y †Y =

×

0

×

i

i

0

i

i 0

0

−i2

0 +0

1

0

≡ I ,

=

+0

−i

2

+0

=

0

0

1

т.е. свойство унитарности матрицы Y выполняется.

Для гейта элемент Паули Z

1

0 =

−i 0 =

1	0 †	1	0	1	0 1			0	=
Z†Z =		×		=		×	0
0	−1	0	−1	0	−1			−1

1+0 0 +0 1			0	≡ I ,
=		=
0	+0 0 +1	0	1

т.е. свойство унитарности матрицы Z выполняется.

375

Для гейта элемент Паули S
	S†S =			1 0 †												1 0									1 0							1 0					=
													×												=							×
				0 i												0 i									0 −i 0 i
							1+0 0 +0																		1 0
						=			+0 0 −i										2				=					≡ I ,
							0													0 1
т.е. свойство унитарности матрицы S выполняется.
Для гейта элемент π/8 — T
Поскольку i				= exp(iπ							4			)=			1+i				, то можно полагать,															что выпол-
																2
нимы следующие соотношение для матрицы T:
1			0												1							0											1					0
		1					, T		T	=								1												T		*				1
T=																						(1					, (T				) =							(1	.
0	2		(1+i)												0	2								+i)									0				2		−i)
Тогда
						1								0						†					1							0
		†							1													×							1							=
		T T =
						0					2			(1		+i)				0										2		(1+i)
					1								0									1						0
				=					1									×									1						=
																							0
					0				2				(1−i)														2		(1+i)
					1+0											0 +0											1 0						≡ I ,
				=												1							2		=
																											0 1
					0 +0 0 + 2 (1−i																			)

т.е. свойство унитарности матрицы T выполняется.

376

Для гейта элемент Тождественного преобразования I

1	0 †	1	0	1	0 1			0	=
I † I =		×		=		×	0
0	1	0	1	0	1			1

1+0 0 +0 1			0	≡ I ,
=		=
0	+0 0 +1	0	1

т.е. свойство унитарности матрицы I выполняется.

На этом закончим рассмотрение данного примера ▄

Пример 5.6 (задача прямого анализа)

3

Известен входной вектор | ψ = 5 и квантовый одновходовой

45

элемент с матрицей преобразования M =		1	5	5
				.
		2
5			5	−5
Требуется определить выходной вектор			′	A	на выходе
			| ψ	=
				B

квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

1	3			M =	1	5	5		| ψ′ .
5					5 2
		4				5	−5

Решение

1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходной вектор

| ψ′ и матрица преобразования M соответствуют одному и то-

му же вычислительному базису, который для решения этой задачи знать не обязательно.

2). Проверим корректность исходных данных:

377

Условие нормировки для входного вектора																																	| ψ
								3			2		+				4			2		=		9		+		16	=		25 =				1
								5									5							25				25
																															25
выполняется.
				†									1					1 1 †											1				1 1
	M				M =																							×										=
													2
																		1					−1								2 1				−1
									1								1					1				1		1					1
						=																						×	1						=
									2 2
																						1		−1								−1
	1			1+1 1−1																					1			2 0 1 0									≡ I ,
=						−1 1							−(−1)											=				0 2				=		0 1
	2																								2
				1
т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ	=| ψ′	A	,
		=
		B

то, зная M и | ψ , а также и применяя Правило 5.0а, вычислим вы-

ходной вектор | ψ									′			A				на выходе квантовой схемы:
										=
												B
																M ×| ψ =
											3																	7
		1	5 5													1	3 + 4			1				7							A
																											5 2
=								×			5			=				=					=							=		,
																5 2				5 2							−1
5 2			5			−5					4						3 −4						−1								B
											5
																										5		2
																								7
					7							−1							A									1			7
																								5 2
																	′
т.е.		A =				,		B	=									=			=					=					.
			5 2								5 2								B				−1					5 2		−1
																							5 2
																	378

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

	7			2	+		−1				2	=	49	+	1	=	50	=1,
5	2						5	2					50		50		50

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

не требуется, так как это прямо следует из самого решения.

6). И тем самым задача решена▄
Пример 5.7 (задача обратного анализа)				7
′			5	2
	=					и квантовый одновхо-
Известен выходной вектор | ψ			−1
				2
		5

довой элемент с матрицей преобразования M =		1	5	5
				.
		2
5			5	−5

A

Требуется определить входной вектор | ψ = на выходе

B

квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

			1	5	5	1				7
| ψ		M =								−1	.
			5 2			5 2
				5	−5

Решение

1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходной вектор

| ψ′ и матрица преобразования M соответствуют одному и

379

тому же вычислительному базису, который для решения этой задачи знать не обязательно.

2). Проверим корректность исходных данных.

Условие нормировки для выходного вектора | ψ																																				′
							7			2		+					−1						2 = 49 +					1			= 50			=1
					5	2										5												50
																			2					50							50
выполняется.
	M			†	M =							1					1 1 †											1				1 1
																											×										=
												2																	2
																	1						−1									1		−1
								1								1			1						1		1					1
						=																					×	1				=
								2 2
																			1					−1							−1
	1			1+1 1−1																				1			2 0 1 0										≡ I ,
=												−(−1)								=							0 2				=		0 1
	2																							2
				1−1 1

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ =| ψ′ ,

A

то, зная M и | ψ , вычислим входной вектор | ψ = на вхо-

B

де квантовой схемы:

													7
	A		1	1	1 A		1	A + B			1		5
	M ×	=			×	=				=				,
			2				2				2
	B			1	−1 B			A − B					−1
													5
					380