5.2 Исследование устойчивости сау по критерию Михайлова.

Критерий Михайлова основан на рассмотрении характеристического уравнения САР, в котором вместо s используется j. В этом случае имеем функцию комплексной переменной вида

F ( j ) = U ( ) + j V( ), (6)

где

U ( ) =;

V( ) =.

Система устойчива по критерию Михайлова, если при изменении частоты  от 0 до + годограф Михайлова повернётся в положительном направлении (против часовой стрелки), начиная с вещественной положительной полуоси, на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, то есть на угол n / 2, при этом нигде не обращаясь в нуль. Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то САР находится на границе устойчивости. САР неустойчива по критерию Михайлова, если годограф проходит n квадрантов непоследовательно или проходит меньшее число квадрантов. На рис. 14,а приведены годографы Михайлова для устойчивой САР (кривая 1), для САР на границе устойчивости (кривая 2), а на рис. 14,б для неустойчивой САР при n = 4.

Рисунок 14. Годографы Михайлова

Пример

Система устойчива по критерию Михайлова, если годограф Михайлова повернётся в положительном направлении (против часовой стрелки), начиная с вещественной положительной полуоси, на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, то есть на угол n / 2, при этом нигде не обращаясь в нуль

Замкнутая передаточная функция управляющему воздействию имеет вид:

Характеристическое уравнение имеет вид:

Критерий Михайлова основан на рассмотрении характеристического уравнения САР, в котором вместо s используется j. В этом случае имеем функцию комплексной переменной вида:

_{Выделим вещественную и мнимую части:}

_{Построим график, используя Microsoft Exel.}

Рисунок 15 – Определение запасов устойчивости по годографу Михайлова

Таблица 2 - Годограф Михайлова
W	U(w)	jV(w)
0	2,888341	0
0,1	2,88833944	0,002492199
0,2	2,88833476	0,004984392
0,3	2,88832696	0,007476573
0,4	2,88831604	0,009968736
0,5	2,888302	0,012460875
0,6	2,88828484	0,014952984
0,7	2,88826456	0,017445057
0,8	2,88824116	0,019937088
0,9	2,88821464	0,022429071
1	2,888185	0,024921

Продолжение таблицы 2
2	2,887717	0,049836
3	2,886937	0,074739
4	2,885845	0,099624
5	2,884441	0,124485
6	2,882725	0,149316
7	2,880697	0,174111
8	2,878357	0,198864
9	2,875705	0,223569
10	2,872741	0,24822
20	2,825941	0,49044
30	2,747941	0,72066
40	2,638741	0,93288
50	2,498341	1,1211
60	2,326741	1,27932
70	2,123941	1,40154
80	1,889941	1,48176
90	1,624741	1,51398
100	1,328341	1,4922
120	0,641941	1,26264
200	-3,351659	-3,0156
210	-3,991259	-4,02738
220	-4,662059	-5,16516
230	-5,364059	-6,43494
240	-6,097259	-7,84272
250	-6,861659	-9,3945
260	-7,657259	-11,09628
270	-8,484059	-12,95406
280	-9,342059	-14,97384