5.3 Исследование устойчивости сау по критерию Найквиста.

Особенность критерия Найквиста состоит в том, что он оценивает устойчивость САР по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутой части, называемой годографом Найквиста.

Если разомкнутая часть САР устойчива или находится на границе устойчивости, то для её устойчивости необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста при изменении частоты  от 0 до + не охватывал точку с координатами [-1, j 0]. На рисунке 15,а приведены годографы Найквиста для устойчивой разомкнутой части САР (1 - САР устойчива; 2 - САР на границе устойчивости; 3 - САР неустойчива), а на рисунке 15,б, когда разомкнутая часть САР находится на границе устойчивости (1 - при наличии одного нулевого корня; 2 - при наличии пары чисто мнимых корней).

j

j

-1

1

-1

1

 = 0

2

2

3

а) б)

Рисунок 15. Годографы Найквиста

Если разомкнутая часть САР неустойчива, то для её устойчивости необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты  от 0 до + годограф Найквиста охватывал точку [-1, j0] l / 2 раз в положительном направлении (против часовой стрелки), где l – число корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью.

Пример:

САР устойчива по критерию Найквиста, если годограф Найквиста при изменении частоты от ω до + ∞ не охватывает точку с координатами (-1;j0).

Разомкнутая передаточная функция САУ по управляющему воздействию имеет вид:

Комплексная передаточная функция примет вид:

Помножим на комплексно-сопряженное число:

Вещественная часть:

Мнимая часть:

Рисунок 16 – Определение запасов устойчивости по годографу Найквиста

Таблица 3 - Годограф Найквиста
ω	Р(ω)	jQ(ω)
0,1	1,888332	-0,0047
0,2	1,888306	-0,0094
0,3	1,888262	-0,01411
0,4	1,888201	-0,01881
0,5	1,888122	-0,02351
0,6	1,888026	-0,02821
0,7	1,887912	-0,03291
0,8	1,88778	-0,03761
0,9	1,887631	-0,04231
1	1,887465	-0,047
2	1,884841	-0,09391
3	1,880481	-0,14062
4	1,874403	-0,18704
5	1,866633	-0,23307
6	1,857204	-0,27863
7	1,846156	-0,32363
8	1,833535	-0,36798
9	1,819391	-0,4116

Продолжение таблицы 3
10	1,803782	-0,45443
20	1,58195	-0,82674
30	1,291022	-1,08136
40	0,989724	-1,22924
50	0,7082	-1,3003
60	0,453497	-1,32201
70	0,220735	-1,31167
80	0,001379	-1,2759
90	-0,21131	-1,21206
100	-0,41736	-1,11048
110	-0,60502	-0,95975
120	-0,7493	-0,75747
130	-0,82196	-0,52239
140	-0,81213	-0,29287
150	-0,73716	-0,10573
160	-0,62991	0,023567
170	-0,51875	0,100544
180	-0,41927	0,139604
190	-0,33664	0,154672
200	-0,27052	0,155908
500	-0,00508	0,015061
1000	-0,0003	0,001889

4. Исследование устойчивости САУ по ЛЧХ.

Логарифмический критерий - это критерий Найквиста, оценивающий устойчивость САР по логарифмическим частотным характеристикам её разомкнутой части.

Если разомкнутая часть САР устойчива, то для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы число переходов логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) через линию -180° при положительных значениях логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) было чётным (в частном случае равным 0). Пересечение ЛФЧХ линии -180° снизу вверх считается положительным, а сверху вниз - отрицательным. На рисунке 16 показаны наиболее характерные ЛФЧХ (1 - САР устойчива; 2 - САР на границе устойчивости; 3 - САР неустойчива).

L ( )

lg 

 ( )

lg 

-

3

2

1

Рисунок 16. Логарифмические частотные характеристики при устойчивой разомкнутой части САР.

7. Пример:

8. Разомкнутая передаточная функция по управляющему воздействию имеет вид:

Преобразуем для получения выражения для ЛАЧХ. Для этого квадратный трехчленнужно разложить на множитель первой степени, решив квадратное уравнение, еслиs1 и s2 корни этого уравнения, то

Решаем уравнение

Следовательно

и выражение примет вид:

Определим параметры ЛАЧХ. Значения сопрягающих частот

, ;

Значение ординаты при

Lg50=1.7

Lg100=2

Наклон низкочастотного участка

Составим выражение ЛФЧХ

Придавая w значение от 0 до выполним вычисление, результаты внесем в таб. 4

Таблица 4- расчет данных для построения ЛФЧХ

w	0	1	5	10	20	30	50	100	150
ψ(w)	0	-2,86	-14,284	-28,33	-54,91	-78,63	-116,57	-171,87	-199,44

График ЛАЧХ и ЛФЧХ приведены на рисунке 16.

Разомкнутая система устойчива, так как ЛАЧХ пересекает ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет значение - , следовательно, будет устойчива замкнутая система.

Рисунок 15 Логарифмическая и фазовая амплитудно-частотные характеристики