Описывает систему в чистом состоянии.

Известно, что физическая величина изменяется со временем согласно уравнению dt A = ∂t A +{H , A} . Предполагаем, что данное уравнение выполняется и для среднего

значения физической величины: dt A = ∂t A + {H , A} В случае системы в чистом состоянии ψ : A := ψ A ψ

d

t

t

A +

{

}

A := ψ A ψ

A = ∂

H , A

d

t

A = d

t

ψ A ψ = ∂ψ A ψ + ψ ∂

A ψ + ψ A ∂ψ

▲

t

t

t

∂

A + {H , A}

= ψ

∂

A ψ + i

ψ HA ψ − i ψ AH ψ

t

t

i ∂tψ A ψ +i ψ A ∂tψ = ψ A Hψ − Hψ A ψ

−i ∂tψ A ψ + ψ A i ∂tψ = ψ A Hψ − Hψ A ψ

ψ A i ∂ψ − Hψ = i ∂ψ − Hψ A ψ = ψ A i ∂ψ − Hψ

t

t

t

▲

Re ψ A i ∂tψ − Hψ =

A

i ∂tψ = Hψ

уравнение Шрёдингера

0

Уравнение Неймана.

Описывает систему в смешанном состоянии.

Система находится в чистом состоянии, т.е. i ∂tψ = Hψ , интересуемся состоянием её

подсистемы. H = H1 + H 2 (прямого взаимодействия подсистем нет)

H k

действует на k-ую подсистему.

В некотором представлении: Hik j

по второму

с k-ой компонентой

k

k

индексу

сворачивается

мультииндекса волновой функции, т.е.

ϕi

...i

...i

N

= Hik j

ψi

... j

...i

.

1

k

k

k 1

k

N

i ∂tψ = Hψ

∂tψij = Hik1ψkj + H 2jkψik

H = H1 + H 2

i

i ∂t ρij1 = i ∂tψikψ jk =ψ jk (i ∂tψik )−ψik (i ∂tψ jk )

+

▲

=ψ jk (Hil1ψlk + Hkl2ψil )−

−ψik (H1jlψlk + Hkl2ψ jl )+ =ψ jk Hil1ψlk +ψ jk Hkl2ψil −ψik H1jl+ψlk −ψik Hkl2+ψ jl =

=ψ

H1ψ

+ψ

ψ

H 2

−ψ

ik

H1ψ

−ψ ψ

H 2 = H1ψ ψ

− H1ψ ψ =

jk

il

lk

jk il

kl

lj lk

jl

ik

lk

il lk

jk

lj ik lk

▲

= Hil1 ρlj1 − Hlj1 ρil1

уравнение Неймана (H 1 , ρ1 )

i ∂t ρ =[H , ρ]

Второй вариант: рассмотреть частную производную по времени от статистического оператора в собственной представлении, воспользоваться уравнением Шрёдингера для собственных векторов статистического оператора.

+получить стационарное уравнение Шрёдингера

42. Стационарные состояния свободной частицы и частицы в потенциальной яме. Туннельный эффект, надбарьерное отражение.

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера для частицы массой m , движущейся в поле U :

− 2m2 ∂2x +U (x) ψ (x)= Eψ (x)

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 31

+3d-случай свободной частицы, нормировка на поток (найти поток); рассмотреть различные виды потенциала: яма, барьер, ступенька; на данных примерах пояснить туннельный эффект и эффект надбарьерного отражения

43. Оператор момента количества движения. Орбитальный, спиновый и полный моменты. Магнитный момент электрона. Мультиплетность спектров.

Используя обычные правила квантования для момента импульса (вопрос 38) можно получить только оператор орбитального момента импульса. Для получения оператора спинового момента импульса, не имеющего классического аналога, требуется использовать коммутационные соотношения.

Оператор момента импульса J :

{Ji , Jk } = εijk J j

= i

εijk Jk

Ji , J j

Оператор квадрата момента импульса J 2 := Ji Ji

Можно

2

J

2

и Ji

имеют

общую систему собственных

показать J

, Ji = 0

функций.

Результат.

2

j, m =

2

j ( j +1) j, m

2 j N

J

j, m = m j, m

m {n − j}2 j

J3

n=0

Указание. Рассмотреть общую систему собственных векторов операторов J 2 и J3 . Ввести операторы повышения и понижения J± := J1 ±iJ2 .

L := r × p

оператор орбитального момента импульса

Можно показать, что это случай

j N

Утв. В ССК соответствующие операторы имеют вид:

L2

= −

2

L

= −i

∂

:=

1

∂2

+

1

∂

sinθ∂

sin2 θ

sinθ

ϕθ

3

ϕ

ϕθ

ϕ

θ

θ

=

1

∂

r

r2∂

r

+

1

ϕθ

– оператора Лапласа с ССК

2

2

r

r

2

2

l (l +1)Ylm

(θ,ϕ)

J Ylm (θ,ϕ)=

Ylm

– сферические функции

J3Ylm (θ,ϕ)= mYlm (θ,ϕ)

оператор спинового момента количества движения

S :

S j

=

σ j

2

σ1

0 1

, σ

0 −i

σ3

1 0

:=

2

:=

,

:=

– матрицы Паули

1 0

i

0

0 −1

Свойства матриц Паули: σ +

=σ

j

, σ σ

= iε

jkl

σ

l

+3δ

jk

I, σ 2 = I,

σ σ

+σ

σ

j

= 2δ

jk

I

j

j k

j

j k

k

Можно показать, что S является оператором момента импульса, т.е. удовлетворяет коммутационному соотношению.

		1		3			▲	ψ1 ,ψ2	ψ	1
	S 2 := S j S j =		2σ jσ j =		2 I	S 2ψ = 2s (s +1)ψ ψ		=
		4		4
									ψ2
	+сложение моментов импульса, мультиплетность спектров
	GosPhys8 v7.02		Copyright © 2006 Davyd Tsurikov				e-mail: [e-mail] 32

44. Частица в центральном поле. Особенности энергетического спектра частицы в кулоновском поле. Спектры атома водорода и щелочных металлов.

Уравнение Шрёдингера для частицы в центральном поле.

−	2	+V (r ) ψ = Eψ	ССК	−	2	(		∂r r2				ϕθ )+V (r ) ψ = Eψ
							1		∂r	+	1
	2m				2m		2				2
	0				0		r				r

	−	2		∂r r2∂r +	1		L +V		(r ) ψ	= Eψ
		2m0r	2		2m0r	2
[H , L]= 0					ψ (r )=:			1	P (r )Y		(θ,ϕ)
								r
									lm

					2
			2			l	l+1
		−		∂r2 +		(		)	+V (r ) P (r )= EP (r )
			2m		2m0r			2
			0

Спектр. В общем случае спектр является смешанным, при этом имеет место вырождение по квантовому числу m . В случае кулоновского поля наблюдается дополнительное вырождение по l , что обусловлено более высокой симметрией задачи.

+подробнее о спектре щелочных металлов

45. Оптические спектры атомов и молекул.

Спектры атомов.

Указание. Рассмотреть векторную модель атома; [LS]-связь; [jj]-связь; правила отбора для радиационных переходов в дипольном приближении.

Спектры молекул.

Молекула – устойчивое образование из ядер и электронов.

Виды движения в молекуле (условно).

1.Электронное.

2.Колебательное – периодическое изменение относительного расположения ядер.

3.Вращательное – периодическое изменение ориентации молекулы как целого в пространстве.

Воспользуемся адиабатическим приближением
ψ =ψэл.ψяд. =ψэл.ψкол.ψвр. ,	E = Eэл. + Eкол. + Eвр.	Eэл. Eкол. Eвр.
Виды спектров молекул.

1.	Электронно-колебательно-вращательные (ЭКВ) переходы.
	ω ЭКВ = Eэл. + Eкол. + Eвр. система полос в видимой и УФ области.
2.	Колебательно-вращательные (КВ) переходы. ω КВ = Eкол. + Eвр. полосы в ИК

области.

3.Вращательные переходы. ω В = Eвр. отдельные линии в далёкой ИК области. +подробнее о каждом типе переходов.

46. Квазиклассические условия квантования.

Основная идея. Анзац: ψ (r,t )=: exp		i	S (r,t )			получим уравнения для	S .
∞	)k Sk .
Разлагаем в ряд: S = ∑(i
k =0
GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov					e-mail: [e-mail]		33