1		1	x		2m
1d-случай. ψ (x)=		exp ±		∫	dyp (y) , p (x)=
	p (x)					20 E −V (x)
				x
				0

Очевидно, что трудности будут возникать в точках поворота: p (x)= 0 . Для получения

решения во всей области требуется использовать условия сшивания решения в двух областях: по обе стороны от точки поворота. Для точки поворота a (барьер слева) имеем:

A

1 a

ψ (x)=

exp −

∫dyα (y)

x < a −

(за барьером)

α (x)

x

A

1 x

π

ψ (x)=

sin

∫dyβ (y)+

x > a +

(перед барьером)

β (x)

4

a

α (x):=

2m0

V (x)− E

β (x):=

2m0

E −V (x)

2

2

Из условий сшивания получаем условия квантования: 1 ∫a dxβ (x)= (n + 12 )π или

0

∫dxp (x)= 2π (n + 12 ) квазиклассические условия квантования

Данные условия налагают ограничения на возможные фазовые траектории частицы.

47. Тождественные квантовые частицы. Принцип Паули, его точная и приближенная формулировки.

Тождественные квантовые частицы – частицы с одинаковыми характеристиками. Квантовые тождественные частицы принципиально неразличимы: в классическом случае частицы можно каким-либо образом пометить или следить за их траекторией, в квантовом случае это невозможно.

Для системы тождественных квантовых частиц в силу их неразличимости функция ψ (x1,..., xn )2 должна быть симметрична относительно любых перестановок. Более того средние значения физических величин при перестановке не должны изменяться:

	ψ ψ = Pψ Pψ =1
ψ L ψ = Pψ L Pψ ψ = cPψ		c	=1

В случае системы двух частиц:

ψ (x1, x2 )= cψ (x2 , x1 )= c2ψ (x1, x2 ) c = ±1

Можно показать, что это справедливо для случая систем с любым числом частиц волновая функция системы частиц может быть либо полностью симметрична, либо полностью антисимметрична относительно перестановок.

Принцип Паули (точная формулировка). Волновая функция системы бозонов является симметричной относительно перестановок, волновая функция системы фермионов является антисимметричной.

Предположим, что требуется приближённо представить волновую функцию системы фермионов в терминах одночастичных функций. Очевидно, что требованию антисимметрии будет удовлетворять функция следующего вида:

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 34

ψ (x1,..., xn )		ψ	1 (x1 )	ψ1 (xn )
		ψn (x1 )		ψn (xn )

Физический смысл данной факторизации волновой функции состоит в рассмотрении системы невзаимодействующих частиц, с одочастичными состояниями ψi . При этом в

также очевидно: ψi =ψ j det ... = 0 , что лишает задачу физического смысла.

Принцип Паули (приближённая формулировка). В системе тождественных невзаимодействующих фермионов никакие две частицы не могут находиться в одинаковом квантовом состоянии.

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 35