Замечание. Не существует ковариантной записи для кулоновской калибровки, т.к. она не является лоренц-инвариантной (изменяется при изменении СО).

+доказательство допустимости кулоновской и лоренцевой калибровок

27. Ковариантная формулировка уравнений Максвелла и динамические уравнения для потенциалов.

Минимальный набор постулатов для вывода уравнений Максвелла.

1.

Ищем в виде линейного неоднородного уравнения: Kαβ Aβ = Iα

2.

K не содержит размерных параметров.

3.

Лоренцева инвариантность.

4.

Калибровочная инвариантность.

Можно показать, что этим постулатам удовлетворяют только два типа уравнений:

∂β F =

4π

J

α

∂

F +∂

F +∂

F = 0

βα

c

α βγ

β γα

γ αβ

Также имеют место уравнения Максвелла для потенциалов:

Kαβ Aβ =

4π

Jα

c

+получить из ковариантных формулировок обычные

28. Объемная плотность и поток энергии электромагнитного поля.

L = −

1

F

Fαβ −

1

J

α

Aα

– плотность лагранжиана

16π

αβ

c

1

F

Fαβ

отвечает за энергию свободного э/м поля

16π

αβ

1

Jα Aα

отвечает за энергию взаимодействия источников

c

Симметризованный тензор энергии и импульса:

Tαβ = −

1

Fαγ gγδ Fδβ − gαβ L

4π

Полагая отсутствие токов ( J = 0 ) и раскрыв слагаемые, имеем следующий физический смысл компонент симметризованного тензора энергии и импульса:

T 00 = E2 + H 2 =: w – плотность энергии э/м поля

8π

T 0i =T i0					=	1	[E × H ]i =: Si – вектор плотности потока энергии
						4π
T ij = −			1		(Ei E j + Hi H j )+δij			E2 + H 2	– тензор напряжений
			4π					8π
p =	1		S		– импульс
				i
	2
i	c

S := 1c ∫dxL – действие

Имеет место закон сохранения энергии и импульса: ∂βTαβ = 0

+получить закон сохранения энергии и импульса, исходя из принципа наименьшего действия, расписать для α = 0 и α = i

29. Условия на границе раздела двух сред.
GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov	e-mail: [e-mail] 21

Объект: граница раздела двух сред, в средах и на границе есть токи и заряды. Используем правую ДПСК, ось 3 направлена в среду II.

Условия на границе для En .

цилиндр на границе раздела с центром в начале координат: h – высота, r – радиус,

Q – заряд в цилиндре; ρI , ρII		– плотность заряда в среде I и II соответственно.
∫∫ dsEn = 4πQ = 4π ∫dxρ (x)= 4π Qσ + ∫ dxρI (x)+ ∫							dxρII (x)		2
								V I =V II	=V
S	V		V		V
				I		II

∫∫ dsEn V →0	4π πr σ + ρ			(0) 2	+ ρ		(0) 2		V =πr2h
		2	I	V		II	V
S										En = 4πσ,
∫∫ dsEn =πr2 E3II −πr2 E3I
S

▲σ – поверхностная плотность заряда на границе раздела Аналогично: Hn = 0

Условия на границе для Ht .

Указание: для стационарного случая рассмотреть уравнение

E := lim(E II − E I )

n r→0 3 3 h→0

∫dxi Hi = 4cπ I , выбрав

L

контур L в плоскости 1-3 и 2-3 с правым направлением обхода, устремить длину контура l и высоту h к 0.

Результат: Ht = 4cπ i ×n , где i = (i1, i2 ,0) – поверхностная плотность тока, n = e3 –

нормаль к границе раздела. Аналогично: Et = 0

Уравнения Максвелла для среды (стационарный случай):

	div B = 0	rot H =	4π	j	j	:= c rot M	j = j	+ j
			c
				своб.	связ.		своб.	связ.
	div D = 4πρсвоб.	rot E = 0			ρсвяз.	:= −div P	ρ = ρсвоб. + ρсвяз.
	εE = D := E + 4π P, P =αE				B := H + 4π M = μH, M = χH

Рассмотрев соответствующие интегральные уравнения, получим:

Et = 0	Dn		= 4πσсвоб.
B = 0	H	t	=	4π	i	своб.	×n
n				c

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 22