Оптика.

30. Волновое уравнение для электромагнитного поля в вакууме. Плоские монохроматические волны и их свойства. Поляризация электромагнитных волн.

Волновое уравнение для E .

Используем уравнения Максвелла в отсутствии зарядов и токов.

1

1

2

εijk ∂j Hk −

∂t Ei = 0

εijk ∂j∂t Hk −

∂t

Ei

= 0

c

c

εijk ∂jεklm∂l

Em +

1

∂t2 Ei = 0

ε ∂ E +

1

∂ H = 0 ∂ H = −cε ∂ E

2

c

ijk j k c t

i

t k

klm

l

m

εijkεlmk ∂j∂l Em

+

1

∂t2 Ei = 0

(δilδjm −δimδjl )∂j∂l Em

+

1

∂t2 Ei = 0

c2

c2

▲ ∂i∂m Em −∂l ∂l Ei +

1

∂m Em =0

∂t2 Ei = 0

1

∂t2 Ei

−∂l∂l Ei = 0

E = 0

c2

c2

Аналогично для H : H = 0 .

Решением волнового уравнения являются плоские монохроматические волны (ПМВ): E = E0ei(kx−ωt) – плоская монохроматическая волна

E0

– амплитуда

e0 :=

E0

– вектор поляризации

E0

k – волновой вектор

ω – циклическая частота

k =

2π

– волновое число

kx −ωt

– фаза волны

λ

В общем случае имеет место волновое уравнение вида:

1

∂2 E −

E = 0 .

2

u

t

Подстановка решения в виде ПМВ задаёт связь между k

и ω : ωk

= u , где u – фазовая

скорость (скорость

распространения

в пространстве поверхности

постоянной фазы:

kx −ωt = const ).

Волновая поверхность – поверхность постоянной фазы.

+свойства монохроматических волн, подробнее о поляризации

31. Оптические

спектральные

приборы

(призменные,

дифракционные,

интерференционные).

Отклик прибора.

Математическое описание линейного спектрального прибора:

ˆ				∞
LI (ω)= F (x)
∞				ˆ
I (ω)= ∫ dω′I (ω′)δ (ω −ω′)				F (x)= L ∫ dω′I (ω′)δ (ω −ω′)
				−∞
−∞
∞	ˆ
				∞
F (x)= ∫ dω′I (ω′)Lδ (ω −ω′)			F (x)= ∫ dω′I (ω′) f (ω′, x)
−∞
ˆ	(ω −ω0 )			−∞
f (ω0 , x):= Lδ
GosPhys8 v7.02	Copyright © 2006 Davyd Tsurikov e-mail: [e-mail] 23

▲F = I f отклик прибора

Обозначения.

ˆ

L – линейный оператор, характеризующий прибор

I – исследуемый энергетический спектр (зависимость интенсивности от частоты) F – отклик прибора (зависимость интенсивности от координат)

f – аппаратная функция прибора, позволяет выразить отклик прибора через I Задача. Найти I по известной F и f .

Проблема. Задача не является корректной, F и f известны с погрешностью и зашумлены.

Основные характеристики спектральных приборов.

1. Dϕ := ∂λϕ – угловая дисперсия. Характеризует степень разведения в пространстве двух

плоских монохроматических волн, обладающих близкими частотами.

2. R := δλλ – разрешающая способность. δλ – минимальная разность длин волн двух

спектральных линий, для которых наблюдатель оказывается способным эти линии различить («разрешить»). Критерий Рэлея: разрешимыми считаются такие две линии, для которых максимум одной приходится на первый минимум другой:

δλ : F (λ, x)= max F(λ +δλ, x) = min

3. λ – область свободной дисперсии. Максимальный интервал длин волн в спектре, для которого отсутствует перекрывание наборов линий различных порядков интерференции: λ : Fm (λ + λ, x) = max Fm+1(λ, x) = max

Приборы.

1.Простейшая дифракционная решетка.

2.Фазовая дифракционная решетка (с профилированным штрихом).

3.Интерферометр Фабри–Перо.

4.Интерферометр Майкельсона.

32. Распространение света в веществе: дисперсия, фазовая и групповая скорости, комплексный показатель преломления.

Простейшая теория комплексного показателя преломления: распространение электромагнитной волны в модельном газе из атомов Томсона. Уравнения движения электрона при наличии квазиупругой силы, радиационного трения и внешнего электрического поля:

x + 2β x +ω02 x = mq E0e−iωt

Интересуемся частным решением. Индуцированный дипольный момент:

d (t ):= qx (t )= qm2 ω02 −ω21−2iβω E0e−iωt =:α (ω)E (ω,t )

ε (ω)=1+ 4π N q2	1
m ω02 −ω2 −2iβω
	q2		ω2 −ω2		q2	2βω
n(ω)= ε (ω) ≈1+ 2π N m (ω02 −ω2 )2 + 4β2ω2				+i2π N m (ω02 −ω2 )2 + 4β2ω2
			0
GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov					e-mail: [e-mail] 24