Q = ∂ H ′

PP = −∂Q H ′

Очевидно, что вид канонической системы будет сохраняться в том случае, когда для функции Лагранжа, соответствующей функции Гамильтона в новых переменных

H ′(Q, P,t ), будет справедлив принцип наименьшего действия:

∫

dt

q p

− H = 0

p dq

− Hdt =

0

∫

∫

dt

Q P

− H

′

= 0

P dQ

′

=

0

− H dt

∫

′

P dQ +(H

′

− H )dt

dA := p dq − Hdt − P dQ − H dt = p dq −

p = ∂q A

P = −∂Q A

∂t A = H ′− H

где A = A(q,Q,t ) – производящая функция.

Прочие производящие функции получаются из данной с помощью преобразований Лежандра по переменным q и Q .

Типы производящих функций и результат преобразования.

(проверить!)

функция	результат		уравнения
A(q,Q,t )	H ′(Q, p,t )	p = ∂q A	P = −∂Q A	∂t A = H ′− H
B (p,Q,t )	H ′(q,Q,t )	q = −∂p B	P = −∂Q B	∂t B = H ′− H
C (p, P,t )	H ′(q, P,t )	q = −∂pC Q = ∂PC ∂tC = H ′− H
D (q, P,t )	H ′(P, p,t )	p = ∂q D Q = ∂P D ∂t D = H′− H

Канонические преобразования – преобразования, осуществляемые с помощью данной производящей функции.

q, p – канонически сопряжённые величины ([1] с. 187)

Точечные преобразования являются частным случаем канонических преобразований

([1] с. 186)

Q = Q (q, p,t ) P = P (q, p,t )

9. Преобразования Лоренца и их геометрическая интерпретация. Пространство Минковского.

Пространство Минковского – пространство R4 со «скалярным произведением»:

x, y R4 x y := x0 y0 − x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 =: xα yα

Замечание. Введённое таким образом «скалярное произведение» имеет следующие свойства:

x y = y x

αx + β y z =α x z + β y z

В отличие от «обычного» скалярного произведения НЕ выполняется свойство положительной определённости: x x ≥ 0 .

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov e-mail: [e-mail] 11

Общие принципы вывода преобразований Лоренца.

1.Формулы, связывающие координаты двух инерциальных систем отсчёта.

2.Обеспечение постоянства скорости света.

3.Надгруппа группы O3 .

4.Новые координаты – непрерывные функции старых.

Данным требованиям удовлетворяют линейные преобразования. Заметим также, что

преобразование должно переводить конус x x = 0 в себя, это обеспечивает постоянство скорости света.

([2] с. 166):

Группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца) – группа вещественных линейных преобразований пространства Минковского: вращения и трансляции.

Полная группа Лоренца – подгруппа группы Пуанкаре, соответствующая ортогональным преобразованиям: вращениям в пространстве Минковского.

Подгруппы полной группы Лоренца.

Ортохронная группа Лоренца – преобразования с L00 > 0 . Преобразования сохраняют

знак временной компоненты времениподобных векторов.

Собственная группа Лоренца – преобразования с L00 > 0 , det L =1. Сохраняет ориентацию (правую или левую) осей координат в обычном пространстве.

Можно показать, что в случае перехода к движущейся системе отсчёта без поворота осей, получим:

L =

1

L = L = −

X

i

L

= L

=δ +

Xi X j

(

)

00

X

0i

i0

X

ij

ji

ij

X

X

+1

X – положение движущейся системы отсчёта,

X := ∂0 X :=

1

∂t X

c

Раскрыв выражения:

= − a υ

+ a −1υυ

L = a =

1

L

= L

L

=δ

1−υ2 / c2

00

0i

i0

c

i

ij

ij

υ2

i j

где υ – скорость движущейся системы отсчёта относительно неподвижной

+релятивистский закон сложения скоростей, сокращение масштабов, растяжение времени.

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 12

Термодинамика. Молекулярная физика. Статистическая физика.

10. Тепловая машина Карно. Коэффициент полезного действия.

Имеется изолированная система с неравновесной подсистемой. Требуется, чтобы при стремлении к равновесию работа была максимальной.

Утв. Максимальная работа достигается в случае обратимого процесса, т.е. при dS = 0 (адиабатический процесс).

dE =TdS − PdV + μdN		dR = dE −TdS − μdN
dR = −PdV

R – работа, совершаемая над системой ( R = −A – работа, совершаемая системой)

Машина Карно реализует обратимый процесс:

1.dT = 0 , передача тепла от нагревателя рабочему телу

2.dS = 0 , совершение работы рабочим телом: адиабатическое расширение

3.dT = 0 , передача тепла рабочим телом холодильнику

4.dS = 0 , адиабатическое сжатие

	η =1−T1 /T2	КПД машины Карно
T1 – температура холодильника		T2 – температура нагревателя: T2 >T1

+получение выражения для КПД машины Карно ([3] с. 128)

11. Термодинамическое и статистическое определение энтропии. Неравенство Клаузиуса. Второе начало термодинамики.

			Определение энтропии
Термодинамическое			Статистическое
			S = − ln ρˆ
	TdS := dQ

Для необратимых процессов выполняется неравенство Клаузиуса: dQ <TdS

Второе начало термодинамики. Нельзя осуществить такой периодически действующий двигатель, который производил бы положительную работу только за счёт тепла, полученного от одного тела (нагревателя): часть тепла неизбежно должна передаваться другому телу (холодильнику). ([3] с. 129)

12. Равновесие фаз. Уравнение Клапейрона–Клаузиуса.

	P1 = P2 T1 =T2 μ1 = μ2	Условие равновесия фаз
GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov			e-mail: [e-mail] 13

Уравнения Клапейрона–Клаузиуса

	1	μ1 (P,T )= μ2			(P,T ) dT μ1 (P,T )= dT μ2 (P,T )
	...
											2
	∂T μ1 +∂P μ1∂T P = ∂T μ2 +∂P μ2∂T P (∂P μ2 −∂P μ1 )∂T P = ∂T μ1 −∂T μ2
						dQ=TdS		1
	(∂NV2 −∂NV1 )∂T P = −∂N S1 +∂N S2					∂N (V2		−V1 )∂T P =		∂N Q
									T
▲	∂T P =		q		q := ∂N Q,	υi := ∂NVi	Уравнение Клапейрона–Клаузиуса
				,
			T (υ2 −υ1 )

Пояснения.

1.Случай отсутствия внешних полей.

2.Соотношения между производными т/д величин.

Обозначения.

q – количество теплоты на одну частицу

υi – объём, приходящийся на одну частицу в i –ой фазе

13. Явление переноса: диффузия и теплопроводность.

	уравнение		название уравнения	величины
	∂t c = D	c	диффузии	c – концентрация
				D – коэффициент диффузии
	∂tT = χ	T	температуропроводности	χ – коэффициент температуропроводности
	∂tυ = η	υ	вязкого течения	η – коэффициент вязкости
	ρ			ρ – плотность

Замечание. В газах и жидкостях уравнение температуропроводности не выполняется из-за наличия конвекции.

		Уравнения для потоков
уравнение	поток	коэффициент
q = −κ T	q – поток тепла	κ – коэффициент теплопроводности
j = −α T	j – диффузионный поток	α – …
χ, D υl		Оценка порядка коэффициентов.
	υ – средняя тепловая скорость	l – длина свободного пробега

14. Распределение молекул по скоростям.

Утв. Распределение молекул по скоростям описывается распределением Максвелла вне зависимости от наличия взаимодействия между ними.

+явный вид распределения Максвелла, доказательство утверждения

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 14