5. Малые колебания системы материальных точек. Свободные колебания. Затухающие колебания.

систему с N степенями свободы. Функция Лагранжа

Собственные частоты.

L (q, q)=T (q, q)−U (q)

1,2

T (q, q)=

1

Aij (q)q q

=

1

q A

(q) q

≈ 1

q A(0) q =: 1 q M q

▲

2

j

i

2

2

2

U (q)

1,2

(

0)+ ∂ U (0)

(0)

3,4

q ∂2U (0) q

q

+ 1

q

∂2U

=: 1 q V q

≈U

q = 1

L (q, q)=

q

2

q

2

q

2

1

q M q − 1

q V q

2

2

− 12 dt ∂q q M q = 0

∂q L −dt ∂q L = 0

− 12 ∂q q V q

V q + d

M q = 0 M q +V q = 0

t

(V

−ω2M )

a = 0

q (t )

!!!

=exp(iωt ) a

M −1/ 2

(

−ω2M

)

a = 0

M −1/ 2V a =ω2 M 1/ 2 a

w :=M1/ 2 a

V

−1/ 2

−1/ 2

M −1/ 2VM −1/ 2 w =ω2 w

W :=M

VM

W w =ω2

w

i

(i)

i

wi – нормальные моды колебаний, ωi

– собственные частоты системы

Получили спектральную задачу на собственные частоты, что эквивалентно решению характеристического уравнения:

▲det (V −ω2M )= 0

Пояснения.

1.Квадратичное приближение по q

2.Выбор СК: точка устойчивого равновесия в начале координат

3.Необходимое условие устойчивого равновесия: ∂qU (0)= 0

4.Выбор начала отсчёта для энергии: U (0)= 0

Замечание. Решение исходной задачи записывается в виде разложения:

)Mij1/ 2 w( j) , Ck C

Затухающие колебания.

Из II закона Ньютона: x + 2αx +ω02 x = 0

1.	α2	−ω02	< 0	квазипериодическое движение: x (t )= A0e−αt cos(ωt +ϕ0 ), ω := ω02 −α2
2.	α2	−ω02	> 0	апериодическое движение: x (t )= A1e−λ1t + A 2e−λ2t
3.	α2 −ω02		= 0	апериодическое движение: x (t )= Ate−λt

6. Вынужденные колебания. Явление резонанса.

II закон Ньютона при наличии внешней силы: x + 2αx +ω02 x = f0e−iΩt

Интересуемся случаем, когда t → ∞ , т.е. частным решением уравнения. Анзац: x (t )= AeiΩt

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 8

При Ω =ω := ω02 −α2 наблюдается явление резонанса – существенное возрастание амплитуды колебаний. Т.е. точка Ω = ω02 −α2 – точка глобального максимума функции

A .

+применение анзаца, схематическое изображение АЧХ с пояснениями.

7. Кинематика и динамика твердого тела. Тензор инерции. Момент инерции. Уравнения Эйлера.

Абсолютно твёрдое тело (АТТ) – система материальных точек, расстояния между которыми неизменны. ([1] с. 126)

r = r0 + ρ – радиус-вектор точки в неподвижной СК r0 – радиус-вектор начала координат подвижной СК

ρ– радиус-вектор точки в подвижной СК.

υ:= r = r0 +ω ×ρ – скорость произвольной точки АТТ в неподвижной СК ω – угловая скорость

M := ∫dmr ×υ – момент инерции

M= ∫dmr ×υ = ∫dm(r0 + ρ)×(υ0 +ω ×ρ)=

= ∫dmr0 ×υ0 + ∫dmr0 ×[ω ×ρ]+ ∫dmρ ×υ0 + ∫dmρ ×[ω ×ρ]

Физический смысл.

∫dmr0 ×υ0 – описывает движение центра масс

M вн. := ∫dmρ ×[ω ×ρ] – внутренняя часть момента количества движения

Частные случаи.

1.

r0

– центр масс

∫dmρ = 0

∫dmρ ×υ0

= 0, ∫dmρ ×[ω ×ρ]= 0

2.

r0

– закреплён в лабораторной СК

υ0

= 0

M вн. = ∫dmρ ×[ω ×ρ]== ∫dm(ωρ2 − ρ (ρω))

Miвн. = ∫dm(ωi ρ2 − ρi ρjωj )=ωi ∫dm(ρ2δij − ρj ρi )=:ωi Iij

Iij := ∫dm(ρ2δij − ρj ρi

)

тензор инерции

Кинетическая энергия твёрдого тела.

случай r0

– центр масс

∫dmρ = 0

T =

1

∫dmυ2 =

1

∫dm(υ0 +ω ×ρ)2 =

1

∫dm υ02 + 2υ0 (ω ×ρ)+(ω ×ρ)2 =

2

2

2

=

1

υ02m +υ0ω ×∫dmρ +

1

∫dm(ω ×ρ)2 =

1

υ02m +

1

∫dm(ω ×ρ)2

2

2

2

2

T =T0 +T вн.

T0 :=

1

υ02m

T вн. :=

1

∫dm(ω ×ρ)2

2

2

GosPhys8 v7.02

Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 9

T вн. = 12 ∫dm(ω ×ρ)2 = 12 ∫dmεijkωj ρkεilmωl ρm = 12 ∫dmε jkiεlmiωj ρkωl ρm =

= 12 ∫dm(δjlδkm −δjmδkl )ωj ρkωl ρm = 12 ωjωl ∫dm(δ jl ρm ρm − ρl ρj )= 12 ωjωl I jl

▲ T вн. =

▲

1

ωj M j

T =

1

υ02m +

1

ωM

2

2

2

Уравнения Эйлера. ([1] с. 148)

1

N

...

dt M

= N ,

N := ∑ri ×Fi

dt Mi

= Ni

i=1

2

вн.

вн.

3

+εijkωj I(k )ωk

▲

dt Mi =dt Mi

+ ω × M

i

=I(i)ωi

▲

Уравнения Эйлера

I(i)ωi

+εijkωj I(k )ωk

= Ni

Пояснения.

1.Уравнения движения АТТ в неподвижной системе координат.

2.Переход в подвижную СК ([1] с. 148)

3.Полагаем, что тензор инерции приведён к диагональному виду: оси подвижной СК направлены по главным осям инерции

8. Функция	Гамильтона.	Уравнения	Гамильтона.	Канонические
преобразования.

Преобразование Лежандра.

Идея: преобразование поверхности от координат точки (переменных x) к координатам касательной плоскости (переменным ξ ). Поверхность рассматривается как огибающая

семейства её касательных плоскостей.

Ограничения: неприменимо для развёртывающихся поверхностей: det{∂xi ∂x j u}ij = 0

Преобразование Лежандра для функции n переменных:

u (x)+ω(ξ )= xiξi	ξi	= ∂x u	xi	= ∂ξ ω
		i		i

Функция Гамильтона получается из функции Лагранжа с помощью преобразования Лежандра по переменной q :

H (q, p,t ):= q p − L(q, q,t ) Функция Гамильтона

где p := ∂q L – импульс. Записывая функцию Гамильтона, требуется избавиться от переменной q , поскольку функция Гамильтона является функцией координат, импульсов и времени.

Утв. Уравнение Лагранжа эквивалентно канонической системе уравнений, т.е.

		q = ∂		H
	∂q L −dt ∂q L = 0		p
		p = −∂q H
очевидно из определения H ▲

Потребуем, чтобы каноническая система сохранялась в новых переменных Q, P :

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 10