nenh = NC NV e	ε f −εC	e	εV −ε f	= NC NV e	εV −εC
							nenh = n02	Закон действующих масс
n0 := NC NV e−εg / 2

n0 – собственная концентрация

+полупроводники с точки зрения зонной теории, уровни примесей на зонной диаграмме и их влияние на положение уровня химического потенциала.

57. Электронный газ в металлах в приближении свободных электронов. Энергия Ферми и поверхность Ферми.

Теория Зоммерфельда.

Квантовый идеальный электронный газ в потенциальном ящике, квазиклассическое приближение статистика Ферми–Дирака. БКА.

f (E, μ)=					1
				1	(E−μ)
			ekT			+1
		+u (x)
E =	p2		– энергия электрона					μ – химический потенциал
	2m

Замечание. Иногда под энергией подразумевают только кинетическую энергию

2

электрона E = 2pm , а вместо химического потенциала рассматривают электрохимический потенциал: ν := μ −u (x). Поскольку электрическое поле практически не проникает в металл, а магнитные поля далее не рассматриваются, то везде полагаем u = 0 .

nk =

1

–

заселённость

уровня

с

энергией

εk

(среднее число

частиц,

1

(εk −μ)

e

+1

kT

находящихся на k -ом уровне).

r0

r

L условие идеальности

ε =

p2

– энергия частицы (в квазиклассическом приближении)

2m

dp gV3 ,

gV3

∑ →

∫

dp – число состояний в элементе объёма dp

k

h

h

= n gV dp – число частиц в объёме dp .

g = 2s +1 – кратность вырождения

dN

h3

Концентрация электронов.

Т.к.

n зависит только от p , то удобно перейти в ССК:

dN = n

gV

dp = n

gV

2

dp

h

3

h

3

4π p

▲

1

gV

2m

dN

=

4π2mE

dE

p2

2m

e

1

(E−μ) +1 h3

E

E =

p = 2mE dp

=

dE

kT

2m

E

8 2π g

1

g =2

1

2m

3/ 2

1

dn =

m

3/ 2

EdE

dn =

EdE

1

(E−μ) +1

1

(E−μ)

h3

e

π π 2

e

+1

kT

kT

1

2m 3/ 2 ∞

E

1

2mkT 3/ 2

2

∞

x

n = ∫dn =

∫dE

=

2

∫dx

π

2

e

1

(E−μ)

+1

2

π

π

e

x−

1

μ

+1

kT

kT

π

0

0

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 44

▲		mkT			3/ 2		(	1	μ)
	n = 2			2		F1/ 2				концентрация электронов в металле
			2π					kT

Выражение задаёт связь между концентрацией, температурой и химическим потенциалом. Очевидно, что независимо могут изменяться только две величины. Естественно полагать независимой величиной температуру. Положим также независимой величиной концентрацию, в этом случае химический потенциал будет однозначно определяться концентрацией электронов и температурой посредством данного выражения.

Энергия Ферми (уровень Ферми) – значение химического потенциала в главном приближении при T → 0 .

F1/ 2	(x)		4	x3 2 +	π3 2	x−1/ 2
			π		6
	x→∞ 3

Воспользуемся главным приближением для интеграла Ферми–Дирака:

n =: 2

mkT

3/ 2

4

(

1

EF )

3 2

1 2mE

3/ 2

EF =

π 2

(3 πn)

2 /3

=

F

2π

2

3 π

kT

π

2

2m

3

π

EF =

h2

3n

2 / 3

8π

2m

58. Адиабатическое и одноэлектронное приближение.

Адиабатическое приближение ([5] с. 196). Приближённая факторизация волновой функции системы электронов и ядер на две компоненты, соответствующие движению электронов в медленном меняющемся поле ядер, и движению ядер в усреднённом поле, создаваемом электронами.

Исходная задача.

H Ψ(r, R)=W Ψ(r, R) H = −

2

∑ j −

2

∑

1

J +V (r, R) V (r, R)= ∑

e2

+ ∑

ZJ ZK e2

−∑

ZJ e2

2m

2

M J

rjk

RJK

rjJ

j

J

j<k J <K

jJ

Предположения.

1. Анзац: Ψ(r, R)=: Φ(R)ϕ(r, R),

ϕ := lim Ψ

M J

→∞

2. Не ограничивая общности, полагаем ϕ – вещественнозначная (полагаем отсутствие макроскопических токов в кристалле), тогда условие нормировки примет вид:

J [...]	∫ϕ Jϕdr = 0
∫ϕ2dr =1
3. m M J	ϕ «слабо» зависит от R Jϕ ≈ 0

Результат. Квантовомеханическая задача о поведении системы электронов и ядер распадается в адиабатическом приближении на две более простые задачи:

задача

		2		∑ j
	−					+V (r, R)	ϕ (r, R) = E (R)ϕ		(r, R)
		2m
				j
		2	∑		1
	−					J + E (R)		Φ(R) =W Φ(R)
		2			M J
				J

физический смысл

движение электронов в медленно меняющемся поле ядер

движение ядер в усреднённом поле, создаваемом электронами

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 45

Метод Хартри–Фока ([5] с. 199). Приближённая факторизация волновой функции электронной подсистемы (в адиабатическом приближении) на компоненты, отвечающие движению отдельного электрона в самосогласованном поле остальных электронов.

Исходная задача.

Hψ (r )= Eψ (r )

H = ∑Hi +	1	∑'	e2	Hi := −	2	i +V (ri )	Vi :=V (ri )= −∑			ZI e2	∑' := ∑
	2		rij		2m					riI
i		i, j							I		i, j i, j,i≠ j
Предположения.
1. Гамильтониан в виде суммы: H = ∑Hi' ,							Hi' := −	2	i +V (ri )+Ueff (ri )
								2m

i

2. Анзац: ψ (r ) = ∏ψni (ri ), где ni – три квантовых числа, характеризующих состояние

i

i -го электрона.

Результат метода Хартри.

		2	H			ZI e2	H		1	* e2
	−		i +Vi +Ui ψi	= Eiψi	Vi = −∑		Ui	:=		∑∫drjψ j	ψ j
		2m				riI			2
					I					j≠i	rij

UiH – потенциал Хартри.

Результат метода Хартри–Фока.

	−	2		+V	+U H +U H −F ψ				(r )= Eψ		(r )
			i
		2m		i	i	i		i	i	i i	i

UiH −F – потенциал Хартри – Фока

H −F	ψ		j	(r )		e2ψi (rj )ψ j (rj )
	:= −∑j≠i			i	∫drj
Ui
		ψi (ri )				rij

В последней сумме суммирование ведётся по электронам со спинами, параллельными спину электрона в состоянии i. Индекс i у функции обозначает четыре квантовых числа, характеризующих квантовое состояние i-го электрона. Индекс i у аргумента функции характеризует местоположение i-го электрона.

Физический смысл. Потенциал Хартри – Фока учитывает т.н. энергию обменного взаимодействия, что означает учёт принципа Паули. Данный потенциал не имеет классического аналога.

Согласно принципу Паули многоэлектронная волновая функция должна быть антисимметрична, т.е. при перемене пары электронов местами (при перестановке их четырёх координат) должна менять свой знак. Требованию антисимметрии автоматически удовлетворяет следующая форма волновой функции:

Φ(ρ)=	1	det	ϕi (ρj )		N	ρj :={rj , sj }	ϕl (ρj ):=ψi (rj )νk (sj )
	N !		{	}i, j=1
∑ νi* (s)νk (s)=δik					k :=1,2	sj := −1/ 2,1/ 2

s=±1/ 2

ν1 (1/ 2)=1, ν1 (−1/ 2)= 0, ν2 (1/ 2)= 0, ν2 (−1/ 2)=1

59. Тепловые колебания кристаллических решеток Температура Дебая.

Указания. Рассмотреть малые колебания системы материальных точек, перейти к нормальным модам. Указать на возможность переход к фононному представлению. Рассмотреть идеальный газ фононов.

GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov

e-mail: [e-mail] 46