Пример 5

Определить I_u , I_v и положение главных центральных осей сечения

(рис. 20).

Сложное сечение состоит из двух прокатных профилей. Выписка из таблиц сортамента (прил. 5) приведена на рис. 21.

В качестве вспомогательных примем оси, проходящие по внешним

сторонам швеллера (оси x_B, y_B, см. рис. 20).Координаты центра тяжести сечения:

;

(вычислите самостоятельно).

Рис. 20. Положение главных центральных осей инерции

U и V сложного сечения

В качестве вспомогательных можно было бы выбрать, например, центральные оси швеллера. Тогда несколько сократится объем вычислений.

Осевые моменты инерции:

.

Обратите внимание, что неравнобокий уголок в сечении расположен

иначе, чем показано в таблице сортаментов. Значение вычислите самостоятельно.

№ 24180 x 110 x 12

A = 30,6 см² A = 33,7 см²

I_x = 2900 см⁴ I_x = 1123 см⁴

I_y = 208 см⁴ I_y = 324 см⁴

z₀ = 2,42 см I_x(min)=194 см⁴

х₀=2,52см, y₀=5,97 см

Рис. 21. Значения геометрических характеристик прокатных профилей:

а– швеллера № 24;б– неравнобокого уголка 180x110x12

Центробежные моменты инерции:

– для швеллера (есть оси симметрии);

– для уголка ,

знак минус – в связи с положением уголка в сечении;

– для всего сечения:

.

Проследите назначение знаков у n и m. От центральных осей швеллера переходим к общим центральным осям сечения, поэтому + m₂

и – n₂.

При переходе от осей x₂y₂ к осям xy будет: – m₂ и n₂.

Главные моменты инерции сечения:

;

I_u = 5,53∙10³ cм⁴ = 5,53∙10^–5 м⁴;

I_v =1,6∙10³ cм⁴ = 1,6∙10^–5 м⁴ .

Положение главных центральных осей сечения:

; α₀ = 55^о48^′;

α₀ = 27^о54^′.

Угол α₀ отсчитывается от оси x, так как I_x > I_y.

Проверка правильности вычисления величин I_u, I_v и α₀ производится по формуле

.

Угол α₀ для этой формулы отсчитывается от оси u.

,

значит, операции по вычислению I_u, I_v, и α₀ произведены правильно.

Рассмотренное сечение имеет наибольшую сопротивляемость изгибу относительно оси u и наименьшую – относительно оси v.

Задача 5. Моменты инерции плоских сечений

Определить геометрические характеристики сечения (рис. 22), составленного из прокатных профилей (табл. 5).

План решения задачи:

1) определить положение центра тяжести;

2) найти величины осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей;

3) вычислить величины главных центральных моментов инерции;

4) определить положение главных центральных осей инерции сечения;

5) вычертить сечение в масштабе 1 : 2 и указать на нем все размеры в числах и все оси.

Рис. 22. Схемы к задаче 5

Таблица 5

Данные к задаче 5

Номер строки	Тип сечения	Номер швеллера	Равнобокий уголок	Номер двутавра
1	I	14	80 х 80 х 8	12
2	II	16	80 х 80 х 6	14
3	III	18	90 х 90 х 8	16
4	IV	20	90 х 90 х 7	18
5	V	22	90 х 90 х 6	20а
6	VI	24	100 х 100 х 8	20
7	VII	27	100 х 100 х 10	22а
8	VIII	30	100 х 100 х 10	22
9	IX	33	125 х 125 х 10	24а
0	X	36	125 х 125 х 12	24
	в	а	б	в