Пример 3

Исследовать плоское напряженное состояние стального кубика

(рис. 10, а).

Рис. 10. Hормальные и касательные напряжения по граням кубика:

а – направления напряжений для исследуемого напряженного состояния;

б – положительные направления напряжений

Абсолютные величины напряжений (см. рис. 10, а):

σ_x = 100 МПа; σ_y = 70 МПа; τ_xy = τ_yx = 50 МПа; Е = 2 ·10⁵ МПа; μ = 0,25.

Прежде всего установим знаки нормальных и касательных напряжений, показанных на рис. 10, а. Положительные направления

нормальных напряжений σ_x, σ_y и касательных напряжений τ_xy = τ_yx показаны на рис. 10, б. Нормальные растягивающие напряжения принято брать со знаком плюс, а сжимающие – со знаком минус. Следовательно, σ_x = –100 МПа и σ_y = 70 МПа, τ_xy= –50 МПа.

Определение главных напряжений. Наибольшее σ₁:

наименьшее из главных напряжений σ₂ :

Определение направления главных площадок. Угол наклона нормали главной площадки к оси X определяется по формуле

Знак касательных напряжений и угла α можно не устанавливать, если пользоваться следующим правилом для определения ориентации главных площадок.

Главные площадки, на которых действует наибольшее из главных напряжений σ_1, получаются поворотом на угол α тех из исходных площадок, на которых действует большее (по алгебраической величине) из исходных напряжений σ_x, σ_y. В нашем примере такими исходными площадками будут площадки, где действует нормальное напряжение σ_y, так как σ_y > σ_x.

Направление поворота указывает стрелка касательного напряжения на исходной площадке (рис. 11). Вторая пара главных площадок перпендикулярна найденным.

Определение максимальных касательных напряжений:

МПа.

Эти напряжения действуют на площадках, наклоненных под углом 45° к главным, и направлены в сторону σ₁ (см. рис. 11).

Рис. 11. Расположение главных площадок

Определение относительных деформаций ε_x, ε_y, ε_z:

Обратите внимание на то, что при σ_z = 0 ε_z ≠ 0 , т.е. при от­сутствии напряжения по оси Z деформация в этом направлении имеет место.

Определение относительного изменения объема θ:

.

Определение удельной потенциальной энергии деформаций. Потен- циальная энергия изменения объема U_об:

U_об МПа.

Потенциальная энергия изменения формы U_ф:

U_ф

МПа (Н/мм²).

Полная энергия U:

U = U_об + U_ф = 46·10^–3 = 46·10^–3 МПа (Н/мм²).

Задача 3. Плоское напряженное состояние

Исследовать плоское напряженное состояние (рис. 12). Данные к задаче приведены в табл. 3.

План решения задачи:

1) найти главные напряжения и направления главных площадок;

2) вычислить максимальные касательные напряжения;

3) определить относительные деформации;

4) найти относительное изменение объема;

5) найти удельную потенциальную энергию деформаций.

Рис. 12. Схемы к задаче 3

Таблица 3

Данные к задаче 3

Номер строки	Номер схемы	σх, МПа	σy, МПа	τxy, МПа
1	I	10	10	10
2	II	20	20	20
3	III	30	30	30
4	IV	40	40	40
5	V	50	50	50
6	VI	60	60	60
7	VII	70	70	70
8	VIII	80	80	80
9	IX	90	90	90
0	X	100	100	100
	в	а	б	в