6.1.1. Построение эпюр внутренних сил Qy и Mz

Эпюрой внутренней силы называется график ее изменения вдоль оси балки. Из определения внутренней поперечной силы Q_y(х) следует, что в том и только в том сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, имеется скачок на эпюре Q_y(х) на величину этой силы. Аналогично из определения внутреннего изгибающего момента M_z(х) следует, что в том и только в том сечении, где приложен внешний изгибающий момент, – скачок на эпюре M_z(х) на величину этого момента. Под внешними силами и моментами мы подразумеваем и реакции опор.

При проверке правильности построения эпюр Q_y(х) и M_z(х) можно использовать табл. 6, составленную на основании дифференциальных соотношений (4) – (6). В этой таблице указана связь между знаками интенсивности распределенной нагрузки q(x), поперечной силы Q_y(х) и характером изменения эпюр Q_y(х) и M_z(х) .

Таблица 6

Правила построения эпюр Q_y(х) и M_z(х) , основанные

на дифференциальных зависимостях между q, Q_y(х), M_z(х)

Распреде-ленная нагрузка q, кН/м	Поперечная сила Qy, кН	Изгибающий момент Mz, кН∙м
q=0	Поперечная сила постоянна	Изгибающий момент изменяется по линейному закону
	0	Момент постоянный ______
	+	Момент возрастает
	_	Момент убывает
q >0	Поперечная сила возрастает по линейному закону	Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вниз
	0	Момент принимает экстремальное значение Mmin
	+	Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вниз
	_	Момент убывает по закону параболы, выпуклость вниз
q < 0	Поперечная сила убывает по линейному закону	Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вверх
	0	Момент принимает экстремальное значение Mmax
	+	Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вверх
	_	Момент убывает по закону параболы, выпуклость вверх

Пример 6

Рассмотрим построение эпюр Q_y(х) и M_z.(х) методом записи и исследования их уравнений на примере расчета на прочность двухопорной балки.

Необходимо построить эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов M_z для двухопорной двутавровой балки (рис. 26) и подобрать размеры поперечного сечения при 200 МПа.

1. Определение опорных реакций:

;

;

, кН;

;

, кН.

Проверка следова-тельно, реакции найдены верно.

2. Построение эпюр Q_y и M_z.

Балка имеет три участка нагружения.

Участок I

В пределах первого участка произвольно намечаем сечение

(см. рис. 26): м.

Для составления уравнений Q_y(х₁) и M_z(х₁) рассмотрим условия равновесия левой (от сечения ) части балки. Поперечная сила в сеченииравна алгебраической сумме внешних сил по левую сторону от сечения.

Учитывая правило знаков (см. рис. 24), получим Q_y(х) = A – q∙x₁ = = 17,5 – 10∙x₁ (кН) – линейная зависимость.

Рис. 26. Построение эпюр Q_y(x) и M_z(x) для двухопорной балки

График поперечной силы Q_y(х) можно построить по двум точкам, абсциссы которых соответствуют границам участка I:

Q_y(0) = 17,5 кН; Q_y(2) = – 2,5 кН.

Далее нам нужно найти точку пересечения эпюры с базисной линией, т. е.

. (9)

Внутренний изгибающий момент в сеченииравен алгебраической сумме моментов от всех внешних нагрузок по левую сторону от сечения. Сучетом правила знаков (см. рис. 25) получим

–парабола ветвями вниз. Значения на границах участка ,кН∙м.

Вершина параболы находится из условия

,

т. е. из (9) при м кН∙м.

По трем точкам строим эпюру M_z на участке I.

Участок II

Наметив сечение , рассмотрим левую часть балки:

м,

Q_y( x₂) = A – q∙2 = 17,5 – 20 = – 2,5 кН – (10)

– горизонтальная прямая, тaк как Q_y( x₂) = – 2,5 кН – const.

(11)

= – 2,5∙х₂ – 10 кН∙м –

– прямая линия. кН∙м,кН∙м.

Можно убедиться, что из условия равновесия правой части балки

получаются те же самые выражения (10) и (11) для внутренних сил:

кН;

кН∙м.

Участок III

Здесь проще рассматривать условие равновесия правой части балки

м.

Учитывая правила знаков для правой части балки (см. рис. 24, 25), получим:

–горизонтальная прямая.

,

, кН∙м.

Построив эпюры и(см. рис. 26), проверяем, удовлетворяют ли

они правилам, сформулированным в табл. 6.

3. Расчет на прочность.

Условие прочности при прямом изгибе можно приближенно

записать в виде неравенства

,

откуда находим момент сопротивления поперечного сечения.

Вычисления производим в системе СИ:

.

По сортаменту (см. прил. 5) определим, что такому условию соответствует двутавр № 16, W_z = 109 см³.