Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
2.55 Mб
Скачать

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.П. Аксёнов

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие

Санкт-Петербург

2000

УДК 517.38, 517.3821

Аксёнов А.П. Математический анализ. (Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во

«НЕСТОР», 2000, 145 с.

Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Математический анализ» направления бакалаврской подготовки 510200 «Прикладная математика и информатика».

Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой по темам: «Интегралы, зависящие от параметра, собственные и несобственные», «Двойной интеграл», «Криволинейные интегралы первого и второго рода», «Вычисление площадей кривых поверхностей, заданных как явными, так и параметрическими уравнениями», «Эйлеровы интегралы (Бета-функцияиГамма-функция)».Разобрано большое количество примеров и задач (общим числом 47).

Предназначено для студентов физико-механическогофакультета специальностей 010200, 010300, 071100, 210300, а также для преподавателей, ведущих практические занятия.

Ил. 79. Библ. 4 назв.

Печатается по решению редакционно-издательскогосоветаСанкт-Петербургскогогосударственного технического университета.

Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

§1. Определение интегралов, зависящих от параметров

Пусть функция f ( x, y)

 

 

a xb,

определена в прямоугольнике ( P ) =

 

 

 

c yd.

 

b

Пусть при каждом закрепленном y из[c, d] существуетf ( x, y) dx . Ясно, что

a

каждому значению y из[c, d] будет отвечать свое, вполне определенное зна-

b

чение этого интеграла. Следовательно,

f ( x, y) dx представляет собой функ-

 

a

 

 

цию переменной (параметра) y , определенную в промежутке[c, d].

 

Введем обозначение

 

 

 

b

 

 

 

I(y)= f (x,y)dx ,

y [c, d].

(1)

a

 

 

 

Наша задача будет состоять в

том,

чтобы, зная свойства

функции

f ( x, y), получить информацию о свойствах функцииI( y) . Эти свойства, как

будет показано ниже, имеют многообразные применения, в особенности при вычислении интегралов.

Допустим еще, что при каждом закрепленном x из промежутка[a,b] суще-

d

ствует f ( x, y) dy . Тогда этот интеграл будет представлять собой функцию

c

переменной (параметра) x , определенную в промежутке[a,b]. Обозначим ее

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через I ( x) , так что

 

 

d

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

~

 

 

( x)=

f (x,y)dy,

x [a,b].

 

 

I

( 1 )

 

 

 

 

c

 

 

 

 

§2. О допустимости предельного перехода по параметру

 

 

 

 

под знаком интеграла

 

 

 

Теорема. Пусть функцияf ( x, y) C(

 

)

и пусть

 

y0 – любое из[c, d]. То-

P

 

гда

b

 

 

b

 

b

 

 

lim

f (x, y) dx=

 

f ( x, y0 ) dx.

(1)

lim f (x,y)dx =

yy0

 

 

yy0

 

 

 

 

a

 

 

a

 

a

 

 

3

b

Отметим, чтоf ( x, y) dx существует для каждого значенияy из[c, d],

a

так как f ( x, y) C([a, b]) при любом закрепленномy [c, d]. В частности,

b

существует f ( x, y0 ) dx .

a

Возьмем ε > 0 – любое. Выберем и закрепим любоеy0 [c, d].

По условию f ( x, y) C( P ) , поэтомуf ( x, y) равномерно непрерывна в( P ) (см. теорему Кантора) и, следовательно, взятомуε > 0 отвечаетδ > 0 , зависящее только отε, такое, что для любых двух точек( x, y) ,( x′′, y′′) из( P ),

для

 

 

которых

 

 

 

 

 

 

 

| x′′−x| < δ,

 

| y′′−y|< δ,

оказывается

 

f (x′′,y′′)f (x,y)

 

<

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b a

 

где y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим y′ = y0 ,

y′′ =y ,

 

любое, но

такое, что

| y y0|< δ,

 

y [c, d],

x′ =x′′ =x ,

 

где x

 

– любое

из [a,b]

 

(| x′′− x|= 0< δ). Тогда

 

f (x,y)f (x,y0 )

 

 

<

 

 

ε

 

для любого

x [a, b], если |y y0|< δ,y [c, d].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем:

b

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f( x, y) dxf( x, y0 ) dx= [f( x, y) f( x, y0 )]dx

 

 

 

b

a

b

 

a

 

b

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

f( x, y) dxf( x, y0 ) dx

 

f (x,y)f (x,y0 )

 

dx <

(b a) = ε.

 

 

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| y y0|< δ,

 

 

Итак,

любому

ε > 0

отвечает δ > 0

такое, что

как

только

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y [c, d],

так сейчас же

 

f( x, y) dxf( x, y0 ) dx

< ε.

Последнее означает,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

yy0

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x, y0 ) dx=

f ( x, y) dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Совершенно аналогично доказывается утверждение: если f ( x, y) C(

 

) и

 

 

P

если x0 – любое из[a,b], то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

f ( x, y) dy=

d

 

 

 

d

f ( x0 , y) dy.

 

 

 

 

lim

 

lim

f ( x, y) dy=

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

§3. О непрерывности интеграла как функции параметра

 

 

 

 

 

 

 

 

b

Теорема.

Пусть

f (x,y)C(

 

)

и I(y)= f (x,y)dx , y [c,d]. Тогда

P

I(y)= C([c,d]).

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

Возьмем

любое y0 [c, d]

и

закрепим. В §2 было доказано, что

yy0

b

 

 

b

 

 

 

 

f ( x, y) dx=

f ( x, y0 ) dx , то есть

lim

 

 

 

a

 

 

a

lim

I(y)= I(y0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yy0

 

 

Последнее же означает, что функция I( y) непрерывна в точкеy0 . Так какy0 – любое из[c, d], то заключаем, чтоI( y) C([c, d]).

Замечание 1. Условиеf ( x, y) C( P ) является достаточным для непрерывностиI( y) на[c, d], но оно не необходимо.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим

Пример. Пусть f (x,y)= sgn (x y)в (

 

) = 0x 1,

.

P

y

 

5 y 5.

 

 

 

 

5

 

 

 

 

y =x

I

 

 

 

 

 

 

1

 

x

5

y

 

 

 

 

5

=I( y)

 

 

 

I

 

5

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Видим, что f ( x, y) терпит разрыв в точках, принадлежащих прямойx = y

(рис. 1.1).

1

Пусть I( y) = sgn ( x y) dx . Имеем:

0

1

1) если 5 y < 0 , тоI( y) = 1 dx =1.

0

5

 

y

1

 

 

 

 

2) если 0y 1, то I(y)= (1)dx + 1dx =12y .

 

 

 

 

0

y

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3) если 1 < y 5, тоI( y) = (1) dx = −1.

 

 

 

 

 

0

y [5, 0),

 

 

 

 

 

1,

 

(

)

 

 

y [0, 1],

 

Таким образом, I( y) = 1 2 y,

I(y)C [5, 5]

(см.

 

1,

y (1, 5]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис. 1.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание

2. Совершенно аналогично

доказывается

теорема: Пусть

 

 

 

 

~

d

x [a, b]. Тогда

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x,y)C(P )и пусть I (x)= f (x,y)dy ,

I (x)C([a,b]).

 

 

 

 

 

c

 

 

I(y)C([c,d]),

 

Следствие.

Если f (x,y)C(

 

) , то

 

одновременно

~

P

 

( x) C([a,b]) и, следовательно, существуют одновременно

 

I

 

d b

 

 

 

∫ ∫

f ( x, y) dx dy,

c a

 

d

 

d b

 

 

 

 

 

I( y) dy= ∫ ∫

f ( x, y) dx dy,

c

 

c a

 

b

~

b d

 

 

 

 

 

 

I( x) dx= ∫ ∫

f ( x, y) dy dx.

a

 

a c

 

b d

 

 

 

 

 

 

∫ ∫ f ( x, y) dy dx называются повторными интегра-

a c

 

 

лами от функцииf ( x, y) в( P ).

§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла

Теорема. Пусть функция

f (x,y)

непрерывна в (

 

) и имеет там непрерыв-

P

 

 

 

b

ную частную производную

f y(x,y). Пусть I(y)= f (x,y)dx , y [c,d]. То-

гда:

 

 

a

 

 

 

 

 

1) функция I( y) имеет в промежутке[c, d] производнуюI( y) ;

b

b

 

b

 

 

 

= fy( x, y) dx, y[c, d];

2) I( y) = f y( x, y) dx , то есть

f ( x, y) dx

a

a

y

 

a

3) I(y)C([c,d]).

6

Возьмем любую точкуy0 [c, d] и закрепим. Дадимy0 приращениеy

– любое, но такое, что

 

 

y 0

и

точка

y0 + ∆y[c, d].

Тогда

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I( y0 ) = f( x, y0 ) dx, I( y0 + ∆y) = f( x, y0 + ∆y) dx,

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I( y

0

+ ∆y) I( y

0

)

b

f ( x, y

0

+ ∆y)f (x,y

0

)

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

dx .

(1)

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По теореме Лагранжа f ( x, y0 + ∆y) f ( x, y0 ) = f y( x, y0 +θ∆y) y (0 < θ <1). Следовательно,

I( y

 

+ ∆y) I( y

 

)

b

 

 

0

0

= fy( x, y0

+θ∆y) dx.

(2)

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

По условию, f y( x, y) C( P ). Перейдем в (2) к пределу приy 0 . Приняв

во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:

 

I(y0 + ∆y)I(y0 )

 

b

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

lim

=

lim

f ( x, y

0

+θ∆y) dx

=

f

( x,y

0

) dx

 

y0

y

 

 

y0

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I( y0 ) существует, причем

I(y0 )= f y(x,y0 )dx . Так как

y0

любое из

[c, d], то заключаем,

что I( y)

 

a

 

 

 

 

y

из [c, d], причем

существует для любого

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

I(y)= f y(x,y)dx ,

y [c, d]. У нас

f y(x,y)C(

 

), а I(y)= f y(x,y)dx .

P

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

А тогда по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра заключаем, что I( y) C([c, d]).

§5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла

b

Теорема. Пусть функцияf ( x, y) C( P ) . ПустьI( y) = f ( x, y) dx ,

d

b d

 

 

 

 

y [c, d]. Тогда I( y) dy= ∫ ∫

f ( x, y) dy dx,

c

a c

 

d b

 

b d

 

 

 

∫ ∫

f ( x, y) dx dy= ∫ ∫ f(

c a

 

a c

Докажем более общее равенство

a

т. е.

x, y) dy dx.

7

t

b t

 

 

 

 

 

(1)

I( y) dy= ∫ ∫

f ( x, y) dy dx, для любого t[c, d].

c

a c

 

 

Займемся сначала левой частью равенства (1). Так как f ( x, y) C(

 

) ,

то

P

t

I( y) C([c, d]) (см. теорему §3). Следовательно,I( y) dy – интеграл с пере-

c

менным верхним пределом от непрерывной функции. А тогда по теореме Барроу

t

b

 

 

 

 

= I(t)= f (x,t)dx,

t [c, d].

(2)

I( y) dy

c

t

a

 

 

Займемся теперь правой частью равенства (1). Положим

 

 

t

 

 

 

 

 

 

f (x,y)dy = ϕ(x,t).

 

(3)

 

c

 

 

 

 

 

Здесь в интеграле слева

x выступает в роли параметра. Ясно,

что функция

 

 

 

 

a x

b,

 

 

 

 

 

 

ϕ( x,t) определена в прямоугольнике( P ) =

 

 

 

 

 

 

c td.

 

Покажем, что ϕ( x, t) C( P ) . Для этого выберем и закрепим любую точку

( x,t) (

 

). Затем возьмем

x

и

t

 

любые,

но

такие, что

точка

P

( x + ∆x,t + ∆t) (

 

). Будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t+∆t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ( x+ ∆x,t+ ∆t) −ϕ( x,t) = f( x+ ∆x, y) dyf( x, y) dy=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

c

t+∆t

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= [f( x+ ∆x, y) f( x, y)]dy+

 

f( x+ ∆x, y) dy.

(4)

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

t

 

 

 

Пусть

ρ = (x)2 +(t)2 .

Отметим, что

(ρ→0 )

 

(одновременно

x, t 0 ). Возьмемε > 0

– любое. В силу непрерывности функции

f (x,y)

в (

 

 

 

),

f (x + ∆x,y)f (x,y)0

взятому ε > 0 отвечаетδ > 0 такое,

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x0)

 

 

 

 

 

 

 

 

что

 

f (x + ∆x,y)f (x,y)

 

<

ε

, если ρ< δ. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[f( x+ ∆x, y) f( x, y)]dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

(t

c) ≤ ε,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

t

если ρ< δ. Последнее означает, чтоlim [f ( x + ∆x, y) f ( x, y)]dy = 0. Так

ρ→0 c

как

f (x,y)C(

 

 

 

 

) , тоf ( x, y) – ограниченная в(

 

), т. е. существует число

P

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t+∆t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M > 0 такое, что

 

 

f (x,y)

 

M в (

 

). А тогда

 

f( x+ ∆x, y) dy

 

M

 

t

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

t+∆t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x + ∆x, y) dy 0. Теперь из (4) следует

t

 

 

 

 

 

 

ρ→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( t0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(x + ∆x,t + ∆t)−ϕ(x,t)0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ→0

Последнее означает, что функция ϕ( x,t) непрерывна в точке( x,t). У нас точка

( x,t) – любая из(

 

). Поэтомуϕ( x, t) C(

 

) . Из (3) находим:

P

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ′t (x,t)= f (x,t).

(5)

По условию, f ( x, y) C(

 

) . Следовательно,

ϕ′t (x,t)C(

 

) . Принимая во

P

P

внимание (3), правую часть равенства (1) можно записать в виде

b t

 

b

 

 

 

 

 

 

(6)

∫ ∫ f( x, y) dy dx= ϕ( x, t) dx.

a c

 

a

 

В интеграле, стоящем в правой части (6), t

выступает в роли параметра. Выше

было показано, что функция ϕ( x,t)

непрерывна в (

 

) и имеет там непрерыв-

P

ную частную производную ϕ′t ( x,t). Но тогда по теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла

b

b

(5) b

 

 

 

= ϕ′t (x,t)dx

= f (x,t)dx,t [c,d].

(7)

ϕ(x,t)dx

a

t

a

a

 

Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке [c, d] совпадающие производные (см. (2) и (7)). Следовательно, они различаются в этом промежутке лишь на постоянную величину, т. е. для любогоt [c, d]

t b

 

b t

 

(8)

∫ ∫ f( x, y) dx dy= ∫ ∫ f( x, y) dy dx+const .

c a

 

a c

 

 

Положим в (8) t = c . Получим0 = 0 +const

const = 0 . Значит, будем иметь

вместо (8) для любого t [c, d]

 

 

 

t b

 

b t

 

 

 

 

 

 

(9)

∫ ∫

f ( x, y) dx dy= ∫ ∫ f( x, y) dy dx.

c a

 

a c

 

 

9

Положив в (9) t = d , получим

d b

 

b d

 

 

 

 

 

 

(10)

∫ ∫

f ( x, y) dx dy= ∫ ∫

f ( x, y) dy dx,

c a

 

a c

 

 

а это и требовалось установить.

§6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра

y x= α( y)

d

(D )

y0c

α(y0 )

Рис. 1.3

x ( y)

x

β(y0 )

Пусть функция f ( x, y) определена в

области ( D ), ограниченной линиями:y = c ,y = d (c < d ),x = α( y),x ( y) ,

где α( y) иβ( y) – функции, непрерывные

на промежутке

[c, d] и такие,

что

α(y)≤β(y), y [c,d].

 

Пусть при каждом закрепленном y

из

 

β(y )

 

[c, d] существует

f( x, y) dx. Ясно,

что

α(y )

каждому значению y из[c, d] будет отве-

чать свое, вполне определенное значение этого интеграла. Следовательно,

β(y )

f ( x, y) dx представляет собой функцию переменной (параметра)y , опреде-

α(y )

ленную в промежутке [c, d]. Станем обозначать

β(y )

 

I(y)= f (x,y)dx,y [c,d].

(1)

α(y )

Теорема (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть

β(y )

функция f ( x, y) C( D ) , и пустьI( y) = f ( x, y) dx ,y [c, d]. Тогда

I(y)C([c,d]).

α(y )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем и закрепим любое

y0 [c,d].

 

 

 

 

 

1. Пусть α( y0 ) ( y0 ) .

 

 

 

 

 

 

Положим

γ = α( y0 ) ( y0 )

. Ясно, что α( y

0

) < γ <β( y

0

)

 

 

2

 

 

 

 

α( y0 ) − γ < 0,β( y0 ) − γ > 0 . Функцииα( y) − γ иβ( y) − γ – непрерывные на

10