Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145

Γ(−1+0) =	lim	Γ(a +1)	=		Γ(+0)				= −∞,
		a				−1
	a→−1+0
Γ(−1−0) =	lim	Γ(a +1)	=		Γ(−0)				= +∞,
		a				−1
	a→−1−0
Γ(−2 +0) =	lim	Γ(a +1)	=			Γ(−1+0)					= +∞,
		a				−2
	a→−2+0
Γ(−2 −0) =	lim	Γ(a +1)	=			Γ(−1−0)					= −∞
		a				−2
	a→−2−0

и т. д. Обычно это выражают словами так: Гамма-функция при нуле и при целых отрицательных значениях аргумента обращается в бесконечность (см.

рис. 6.3).

Замечание 2. Введенная в этом параграфе неэлементарная функция Γ(a) играет в математике важную роль. Для функции Γ(a) составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшими элементарными функциями – показательной, тригонометрическими и т. д.

Оказывается, что определенные интегралы различных типов могут быть выражены через Гамма-функцию. В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов. Даже если функция имеет первообразную, являющуюся элементарной функцией, интеграл от этой функции зачастую целесообразно вычислять, используя Гамма-функцию.

§3. Примеры к главе 6

1

Пример 1. Вычислить I = ∫xa−1(1− xc )b−1 dx ( a > 0 , b > 0 ,

c > 0).

0

1−c

Положим xc = t cxc−1dx = dt dx = 1 t

c dt . Тогда

c

a

1 a−1 1−c

1 a

Γ(b)

−

−1

−

Γ

1

1

1 a

1

c

c c

b 1

c

b 1

I = c ∫t

t

(1−t )

dt = c ∫t

a

.

(1−t ) dt = c Β c

, b = c

0

0

Γ

c

+b

Важно подчеркнуть, что здесь a, b, c – любые вещественные положительные числа, а значит, вообще говоря, неопределенный интеграл ∫xa−1(1− xc )b−1dx является неэлементарной функцией. Известно, что даже в

случае, когда a, b, c – рациональные числа, этот неопределенный интеграл является элементарной функцией лишь тогда, когда по крайней мере одно из чи-

сел b , ac , ac +b – целое.

141

π 2

Пример 2. Вычислить I = ∫sina−1 x cosb−1 x dx ( a > 0 ,

b > 0 ).

0

Запишем этот интеграл в виде

π 2

I = 12 ∫sina−2 x cosb−2 x 2sin x cos x dx =

π 2

0

(sin2 x)

a −2

(cos2 x)

b−2

= 12 ∫

2

2

2sin x cos x dx .

0

Положим sin2 x = t 2sin x cos x dx = dt . Тогда

1 a

Γ

a

b

1

−1

b −1

1 a b

1

Γ

(1−t)

2

2

I = 2 ∫t

2

2

dt =

a

+b .

2 Β

2 , 2 = 2

0

Γ

2

В частности, при b =1 будем иметь

a

1

a

π 2

a−1

1

Γ

Γ

π

Γ

I =

∫sin

x dx

2

2

2

=

2

a +

1

=

2

.

a +1

0

Γ

Γ

2

2

Важно подчеркнуть, что и в этом примере a, b – любые вещественные положительные числа, а значит, неопределенный интеграл ∫sina−1 x cosb−1 x dx является, вообще говоря, неэлементарной функцией.

+∞

dx

Пример 3. Вычислить I = ∫

.

π

0

1 + x

π

1

1

1

−1

Положим x

= t

x = t

π и dx =

t π

dt . Следовательно,

π

+∞

1

t1 π−1

I =

∫

dt .

π

1 +t

+∞

0

t

a−1

Мы знаем, что Β(a,b) = ∫

dt . Значит, в нашем примере

(1+t )

a+b

0

1

−1

= a −1,

π

1 = a +b,

142

откуда a =

1

и b =1−

1

. Имеем, таким образом,

π

π

π

1

1

1

1

1

I =

= π

1

= sin1

πΒ π, 1

− π

sin π

π

π

(так как Β(a,1 −a) =

, если 0 < a <1).

sin πa

+∞

x ln x

Пример 4. Вычислить I = ∫

dx .

3

0

1+ x

Положим x

3

1

dx =

1

t

−

2

и ln x =

1

ln t . Тогда

= t x = t 3 ,

3

3 dt

3

−1

+∞

t

I = 91 ∫

3 ln t

dt .

1 +t

0

+∞

Введем

в

рассмотрение

Β(a,1 −a) = ∫

ta−1

dt

( 0 < a <1). Имеем

1 +t

+∞ ta−1

0

π

∫

dt =

. Продифференцируем обе части последнего равенства по a .

1 +t

sin πa

0

+∞

cos

πa

Получим ∫

ta−1 ln t

dt = −π2

, откуда при a =

2

находим

2

πa

0

1 +t

sin

3

1

2π

2

+∞ t −3 ln t

2

cos 3

2

∫

dt = −π

=

3 π

.

1 +t

sin

2 2π

0

Тогда I = 1

2 π2

2

3

=

π2 .

9

3

27

Литература

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. – М.: Физматгиз, 1959.

2.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3. – М.–Л.: Физматгиз, 1960.

3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 2. – М.: Высшая школа, 1981.

4.Аксёнов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла). – СПб.: Нестор, 1999.

143

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.............	3
§1. Определение интегралов, зависящих от параметра...............................................	3
§2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком
интеграла....................................................................................................................	3
§3. О непрерывности интеграла как функции параметра............................................	5
§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла................................	6
§5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла.....................................	7
§6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра .................................	10
§7. Примеры к главе 1 ...................................................................................................	17
ГЛАВА 2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................................	20
§1. Область и ее диаметр...............................................................................................	20
§2. Определение двойного интеграла..........................................................................	22
§3. Признаки интегрируемости функций....................................................................	24
§4. Свойства двойных интегралов...............................................................................	30
§5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области..................	36
§6. Вычисление двойного интеграла в случае криволинейной области..................	41
§7. Примеры к главе 2 ...................................................................................................	45
ГЛАВА 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................	54
§1. Криволинейные интегралы первого рода .............................................................	54
§2. Криволинейные интегралы второго рода..............................................................	62
§3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутым плоским кривым.
Формула Грина........................................................................................................	70
§4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути
интегрирования .......................................................................................................	75
§5. Площадь плоской фигуры в криволинейных координатах.................................	83
§6. Замена переменных в двойном интеграле.............................................................	88
§7. Примеры к главе 3 ...................................................................................................	90
ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ....................	102
§1. Некоторые сведения из геометрии ......................................................................	102
§2. Существование площади кривой поверхности и ее вычисление .....................	106
§3. Примеры к главе 4 .................................................................................................	111
ГЛАВА 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ...	115
§1. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов...............	115
§2. О непрерывности интеграла как функции параметра........................................	117
§3. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла.................................	118
§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла............................	120
§5. Признак равномерной сходимости несобственных интегралов.......................	121
§6. Примеры к главе 5 .................................................................................................	122
ГЛАВА 6. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ............................................................................	129
§1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция) .................................................	129
§2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция) ..............................................	132
§3. Примеры к главе 6 .................................................................................................	141
Литература..........................................................................................................................	143

144

Аксёнов Анатолий Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы)

Учебное пособие

Лицензия ЛР № 065394 от 08.09.97

Подписано в печать . .00. Формат 60×84		1/16.
Объем п.л. Тираж	. Заказ № .

Отпечатано в издательстве «НЕСТОР» 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29