- •Введение
- •Модуль I основы механики
- •Движение материальной точки
- •Механическое движение
- •Скорость
- •Ускорение
- •Движение по окружности
- •Виды движений материальной точки
- •Равномерное движение
- •Равномерное прямолинейное движение
- •1.5.3. Движение по произвольной траектории с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ.
- •Равноускоренное движение с изменяющейся тангенциальной составляющей ускорения
- •Прямолинейное равноускоренное движение
- •Виды движения твердого тела
- •Динамика материальной точки. Законы ньютона
- •1.7.1. Первый закон Ньютона
- •1.7.2. Второй закон Ньютона
- •1.7.3. Третий закон Ньютона
- •Движение системы тел
- •1.8.1. Закон изменения и сохранения импульса системы тел
- •1.8.2. Центр инерции системы тел. Центр масс
- •1.8.3. Уравнение движения центра масс
- •Движение тела переменной массы
- •Силовое поле
- •1.9.1. Центральное силовое поле
- •1.9.2. Однородное силовое поле
- •Энергия. Работа сил поля
- •1.10.1. Механическая работа. Мощность
- •1.10.2. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы
- •1.10.3. Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Потенциальная энергия упругих сил
- •Градиент скалярного поля
- •Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
- •Потенциальная энергия взаимодействия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Потенциальная кривая
- •Соударение тел
- •Неинерциальные системы отсчета
- •1.11.1. Силы инерции
- •1.11.2. Принцип эквивалентности
- •1.11.3. Сила тяжести, вес тела, невесомость
- •Элементы теории относительности
- •1.12.1. Постулаты Эйнштейна
- •1.12.2. Преобразования Лоренца
- •1.12.3. Относительность одновременности
- •1.12.4. Относительность длин
- •1.12.5. Интервал
- •1.12.6. Релятивистский закон сложения скоростей
- •1.12.7. Зависимость массы от скорости
- •1.12.8. Основной закон релятивисткой механики
- •1.12.9. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •1.13.1. Момент силы
- •1.13.1.1. Момент силы относительно точки
- •1.13.1.2. Момент пары сил
- •1.13.1.3. Момент силы относительно оси вращения
- •Момент импульса твердого тела относительно оси вращения (собственный момент импульса)
- •Момент импульса материальной точки
- •1.13.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
- •1.13.2.3. Момент инерции кольца
- •1.13.2.4. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
- •1.13.2.5. Момент инерции однородного стержня
- •1.13.2.6. Теорема Штейнера
- •Свободная ось вращения. Главные оси инерции
- •Работа, совершаемая при вращательном движении
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Уравнение моментов
- •Закон сохранения момента импульса
- •Гироскопы
- •Элементы динамики сплошных сред
- •1.14.1. Неразрывность струи
- •Уравнение Бернулли
- •Ламинарное и турбулентное течения. Движение тел в жидкостях и газах
Энергия. Работа сил поля
Существует ряд различных форм движения материи – механическая, тепловая, электромагнитная. Их общей мерой является скалярная физическая величина называемая энергией, а взаимные превращения из одной формы в другую происходят в строго определенных количественных соотношениях. Для анализа качественно различных форм движения вводят разные виды энергии.
В механике простейшими формами движения материи являются перемещение тел в пространстве и силовое взаимодействие между телами системы. Этим формам движения соответствуют кинетическая и потенциальная энергии.
При превращении одной формы движения в другую совершается работа, равная переходу энергии от одного вида к другому. Энергия и работа измеряются в одних и тех же единицах. В системе СИ такой единицей является 1 Джоуль (Дж).
1.10.1. Механическая работа. Мощность
Если тело под действием постоянной силы перемещается по прямой линии (), то при этом совершается механическая работа
,
где α – угол между направлениями силы и перемещения тела (рис. 1.24), – проекция вектора силы на направление перемещения. Величина работы может иметь разный знак, а также быть равной нулю.
, если cosα = 0 т. е. α = 900 (сила перпендикулярна перемещению);
, если cosα > 0, т. е. α < 900 (угол между силой и перемещением острый);
Рис. 1.24.
, если cosα < 0, т. е. α > 900 (угол α тупой).
Если направления силы и перемещения совпадают, то.
За единицу работы принимают такую работу, которую совершает сила в 1Н при перемещении тела в направлении действия силы на расстояние 1 м. .
Если составляющая силы в направлении перемещения во время движения тела не остаётся постоянной (т. е. меняется или величина силы, или уголα), то работа А может быть найдена путём интегрирования элементарных работ , совершенных на достаточно малых участках пути, в пределах которых составляющую силыможно считать постоянной:
.
Так как , то элементарную работуможно записать в виде скалярного произведения:. Тогда работа на всем пути будет равна:
.
Графически работу можно представить как площадь под кривой (рис. 1.25).
Скорость совершения работы характеризуется величиной, называемой мощностью. Мощность – это работа, совершаемая в единицу времени (за 1 секунду):
Рис. 1.25.
,
.
Рис. 1.25.
Если работа выполняется равномерно, то . Так же определяется и среднее значение мощности. В системе СИ мощность измеряется в ваттах .
1.10.2. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы
Силовое поле называют потенциальным, а силы, действующие в нём, консервативными, если работа сил поля по перемещению материальной точки не зависит от вида траектории движения, а зависит только от положений материальной точки в исходном и конечном состояниях. В этом случае работа сил поля по замкнутой траектории равна нулю (рис. 1.26): .
Рис. 1.26.
Все центральные силовые поля являются потенциальными. Действительно, работа сил поля
.
Вектор – единичный вектор, задающий направление радиус-вектора материальной точкиМ, проведенного из центра силового поля (рис. 1.27). Так как – проекция вектора на векторили на соответствующий радиус-вектор, то работа. Полученное выражение зависит только от вида функции, т. е. от характера взаимодействия, и от значенийи– начального и конечного положений точкиМ.
Рис. 1.27.
К потенциальным полям относятся гравитационное поле Земли, поле точечного заряда, поле упругих сил. Соответственно гравитационные, кулоновские и упругие силы являются консервативными.
Силы, работа которых зависит от траектории движения, неконсервативны. Если действие таких сил приводит к переходу энергии из механической в немеханические формы, то эти силы называют диссипативными. К ним относятся силы трения и сопротивления среды.
Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого. При отсутствии смазки между поверхностями тел справедлив закон сухого трения: сила трения скольжения не зависит от площади трущихся поверхностей и пропорциональна силе нормального давления:
,
где k – коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от их шероховатости); Rn –модуль силы нормального давления, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу. Сила направлена в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого по касательной к трущимся поверхностям.
Сила сопротивления среды действует на тело при его движении в газе или жидкости. Эта сила зависит от вектора скорости тела относительно среды и направлена противоположно ему: , гдеk – положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды. Этот коэффициент зависит, вообще говоря, от скорости v, однако при малых скоростях во многих случаях его можно считать постоянным.