- •Введение
- •Модуль I основы механики
- •Движение материальной точки
- •Механическое движение
- •Скорость
- •Ускорение
- •Движение по окружности
- •Виды движений материальной точки
- •Равномерное движение
- •Равномерное прямолинейное движение
- •1.5.3. Движение по произвольной траектории с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ.
- •Равноускоренное движение с изменяющейся тангенциальной составляющей ускорения
- •Прямолинейное равноускоренное движение
- •Виды движения твердого тела
- •Динамика материальной точки. Законы ньютона
- •1.7.1. Первый закон Ньютона
- •1.7.2. Второй закон Ньютона
- •1.7.3. Третий закон Ньютона
- •Движение системы тел
- •1.8.1. Закон изменения и сохранения импульса системы тел
- •1.8.2. Центр инерции системы тел. Центр масс
- •1.8.3. Уравнение движения центра масс
- •Движение тела переменной массы
- •Силовое поле
- •1.9.1. Центральное силовое поле
- •1.9.2. Однородное силовое поле
- •Энергия. Работа сил поля
- •1.10.1. Механическая работа. Мощность
- •1.10.2. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы
- •1.10.3. Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Потенциальная энергия упругих сил
- •Градиент скалярного поля
- •Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
- •Потенциальная энергия взаимодействия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Потенциальная кривая
- •Соударение тел
- •Неинерциальные системы отсчета
- •1.11.1. Силы инерции
- •1.11.2. Принцип эквивалентности
- •1.11.3. Сила тяжести, вес тела, невесомость
- •Элементы теории относительности
- •1.12.1. Постулаты Эйнштейна
- •1.12.2. Преобразования Лоренца
- •1.12.3. Относительность одновременности
- •1.12.4. Относительность длин
- •1.12.5. Интервал
- •1.12.6. Релятивистский закон сложения скоростей
- •1.12.7. Зависимость массы от скорости
- •1.12.8. Основной закон релятивисткой механики
- •1.12.9. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •1.13.1. Момент силы
- •1.13.1.1. Момент силы относительно точки
- •1.13.1.2. Момент пары сил
- •1.13.1.3. Момент силы относительно оси вращения
- •Момент импульса твердого тела относительно оси вращения (собственный момент импульса)
- •Момент импульса материальной точки
- •1.13.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
- •1.13.2.3. Момент инерции кольца
- •1.13.2.4. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
- •1.13.2.5. Момент инерции однородного стержня
- •1.13.2.6. Теорема Штейнера
- •Свободная ось вращения. Главные оси инерции
- •Работа, совершаемая при вращательном движении
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Уравнение моментов
- •Закон сохранения момента импульса
- •Гироскопы
- •Элементы динамики сплошных сред
- •1.14.1. Неразрывность струи
- •Уравнение Бернулли
- •Ламинарное и турбулентное течения. Движение тел в жидкостях и газах
1.12.9. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы
Приращение кинетической энергии материальной точки равно работе равнодействующей силы:
.
Возведём обе части равенства в квадрат и избавимся от знаменателя. Получим . Теперь умножим обе части на
. Продифференцировав это равенство и проведя сокращения, получим и. Тогда . Отсюда следует, что
или
Величину называютполной энергией тела, а величину –энергией покоя тела.
.
Значения ине зависят от выбора инерциальной системы отсчёта. Для элементарной частицы они являются неизменными характеристиками. Масса и энергия покоя системы частиц зависят от состава системы и от её внутреннего состояния.
Выразим полную энергию частицы через её импульс.. Возведем обе части этого равенства в квадрат и освободимся от знаменателя. Получим:. Учитывая, что, получим. Произведение массы частицы на скорость ее движения есть импульс этой частицы, тогда после сокращения на уравнение примет вид или, с учетом того, что,
.
Динамика вращательного движения твердого тела
1.13.1. Момент силы
1.13.1.1. Момент силы относительно точки
Вектором момента силы относительно произвольной точки О называют векторное произведение радиус-вектора на вектор силы, где радиус-векторпроведён из точкиО к точке приложения силы (рис. 1.48):
Рис. 1.48.
.
Направление вектора определим по правилу буравчика (правого винта).Векторы ,иобразуют правовинтовую систему: рукояткой буравчика служит вектор, конец рукоятки надо вращать в направлении вектора, тогда поступательное движение буравчика укажет направление вектора(см. рис. 1.49).Условимся вектор, направленный за плоскость чертежа обозначать символом , а направленный к нам символом . Так, на рис.1.48 вектор направлен от нас и обозначен.
Рис. 1.49.
Модуль момента силы
,
где α – угол между векторами и . Произведение есть плечо силы – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы (см. рис. 1.50). Тогда модуль момента силы
.
За единицу момента силы принимают момент, созданный силой в 1 Н с плечом равным 1 м: .
Разложим вектор силы на две составляющих: радиальнуюи тангенциальную . Как видно из рис. 1.50, , тогда модуль момента силы
Рис. 1.50.
.
Момент силы, взятый относительно точки, характеризует способность силы вызывать поворот относительно этой точки. Если сила направлена вдоль радиус-вектора, ее плечо равно нулю. Такая сила не может вызывать поворот тела вокруг точки О. Этот поворот вызывается только тангенциальной (касательной) компонентой силы , направленной перпендикулярно радиус-вектору.
Результирующий момент сил взаимодействия тел всегда равен нулю. Действительно, для двух взаимодействующих материальных точек согласно третьему закону Ньютона , т. е. силы равны по величине, противоположно направлены и расположены на прямой, соединяющей взаимодействующие точки. Моменты этих сил относительно произвольной точкиО будут равны по модулю, так как эти силы обладают одним и тем же плечом (см. рис. 1.51), и противоположно направлены: , .
Рис. 1.51.
1.13.1.2. Момент пары сил
Парой сил называют две равные по величине противоположные по направлению силы, не лежащие на одной прямой.
Пусть на плоскую пластинку (на рис.1.52 она находится в горизонтальной плоскости) в точках 1 и 2 действует пара сил .
Рис. 1.52.
Возьмём произвольно точку О и найдём сумму моментов этих сил относительно нее: . Учитывая, что, получимили. Вектор– это вектор, проведённый от точки приложения силы к точке приложения силы, тогда. Как видим, момент пары сил не зависит от выбора точкиО. По правилу буравчика вектор направлен вертикально вверх, а модуль момента пары сил. Обозначим – плечо пары сил (кратчайшее расстояние между линиями действия сил). Учтем, что , и получим
.