4. Движение по окружности

Если материальная точка движется по окружности, то её положение при заданном радиусе окружности R вполне определяется углом , который составляет радиус-вектор, проведённый из центра окружности, с осью отсчётаОx (рис. 1.6). В данном случае начало отсчета координат выбрано в центре окружности, и модуль радиус-вектора равен радиусу окружности (). Зависимостьполностью задаёт движение материальной точки по окружности радиусаR. Угол поворота измеряется в радианной мере.

Рис. 1.6.

Углом в 1 радиан называют такой центральный угол, длина дуги которого Δs равна её радиусу R (рис. 1.7). Чтобы определить произвольный угол в радианной мере, надо узнать, сколько раз радиус R укладывается в дуге окружности:. Единица измерения радиан не имеет размерности. Угол в 1 оборот равен 2 радиан. Чтобы определить дугу окружности, надо её радиус умножить на центральный угол в радианной мере:

Рис. 1.7.

Сопоставим бесконечно малому углу поворота d вектор, направленный перпендикулярно плоскости вращения и связанный с направлением вращения правиломправого винта или буравчика, (рис. 1.8). Если материальная точка движется по окружности против часовой стрелки, то векторнаправлен вдоль оси вращения вверх (рис. 1.8,а), “винт выкручивается”. Если материальная точка движется по часовой стрелке, то векторнаправлен вдоль оси вращения вниз (рис. 1.8,б), “винт закручивается”.

Длина дуги окружности

Это соотношение выражает связь между линейным и угловым путем материальной точки при ее движении по окружности. Учитывая, что, получим, что модуль перемещения. Векторы, и взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему (рис. 1.8), тогда вектор перемещения можно представить в виде векторного произведения (см. ПриложениеI):

. (1.1)

Быстроту движения материальной точки по окружности характеризует угловая скорость. Вектор угловой скорости равен

и направлен в ту же сторону, что и(рис. 1.8). Модуль вектора угловой скорости, а единица измерения. Разделив обе части уравнения (1.1) наdt, получим . Здесь – скорость движения материальной точки по траектории (линейная скорость,– вектор угловой скорости. Таким образом, получаем связь линейной и угловой скорости точки при движении по окружности в векторной форме:

Рис. 1.8.

Так как угол между векторами иравен 90° , а, то по модулю

Если начало отсчета координат выбрать не в центре окружности, а в произвольной точке на оси вращения, то при движении точки по окружности радиус-векторбудет вращаться по конической поверхности (рис. 1.9) или, как говорят,прецессировать. Уравнение прецессии имеет вид:

,

вектор угловой скорости прецессии радиус-вектора . По модулю правая часть равенства равна, где– угол между векторамии. Учитывая, что, получим– модуль линейной скорости материальной точки, вращающейся по окружности радиусаR.

По уравнению вида можно судить, что векторпрецессирует с угловой скоростью, равной вектору.

Рис. 1.9.

Быстроту изменения угловой скорости характеризует векторуглового ускорения ,равный производной угловой скорости по времени:

Представим вектор угловой скорости в виде, (где – единичный вектор в направлении вектора). Расписав производную произведения, получим:

Если ось вращения не меняет положения в пространстве, то не изменяется, и второе слагаемое равно нулю. Тогда

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения (рис. 1.10) и сонаправленc , еcли модуль угловой скорости увеличивается () и противоположен, если модуль угловой скорости уменьшается (). Модуль углового ускорения, а единица измерения

Если векторыинаправлены в одну и ту же или противоположные стороны, то же самое можно сказать и о векторахи(рис. 1.10,а, б). В случае, изображенном на рис. 1.10, a угловая и линейная скорости движения увеличиваются – движение ускоренное. На рис. 1.10, б и , иуменьшаются – движение замедленное.

Рис. 1.10.

Выразим через угловые характеристики движения компоненты линейного ускорения и. Модуль тангенциального ускорения. Учитывая, что, получим

или .

В векторной форме .

Модуль нормального ускорения или

В векторной форме

Если угловая скорость движения не изменяется, то каждый полный оборот материальной точки по окружности совершается за одно и то же время, называемое периодом вращения Т. Если в единицу времени (1 с) совершается ν оборотов, то период Т = 1/ν. Иначе число оборотов в единицу времени ν называют частотой вращения. Угловая скорость при равномерном вращении . Угловой путь за один оборот равен 2 радиан, тогда