1.12.4. Относительность длин

Из преобразований Лоренца следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчёта, уменьшается в направлении движения. Это изменение продольного размера тела при его движении называется лоренцевым сокращением.

Пусть – длина стержня, покоящегося в системе отсчёта. Стержень расположен вдоль оси. Для измерения его длины наблюдатель в системеможет отмечать координаты его концовив разные моменты времении. Длина стержня в этой системе. Длинатого же стержня в системе отсчётаK, относительно которой он движется вместе с системой , равна разности координат концов стержняи, измеренных в один и тот же момент времени. Запишем преобразования Лоренца для координати.

Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим

.

Так как , тоили

Как видим, размеры тела относительны. Они максимальны в той инерциальной системе отсчёта, относительно которой тело покоится. Эти размеры тела называются его собственными размерами.

Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.

1.12.5. Интервал

Интервалом или пространственно-временным интервалом между двумя событиями называется величина

,

где – промежуток времени между этими событиями (по часам системы, а– расстояние между точками, в которых совершаются эти два события.

Из преобразований Лоренца следует, что интервал между двумя событиями инвариантен по отношению к выбору инерциальной системы отсчёта, т. е. не изменяется при переходе от движущейся инерциальной системы отсчёта к неподвижной системеK:

,

где .

1.12.6. Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть материальная точка движется со скоростью в движущейся системе отсчёта. В неподвижной системе отсчётаK скорость этой точки запишется как . Используя преобразования Лоренца, найдём связь между проекциями скоростей точки на оси координат в системахK и . Запишем преобразования Лоренца для бесконечно малого промежутка времени:

Тогда . Разделив каждый член этой дроби наи учитывая, что, получим:

.

Для проекции скорости на ось y имеем: . После деления и числителя и знаменателя навыражение принимает вид:

.

Аналогично получим выражение для проекции скорости на ось :

.

1.12.7. Зависимость массы от скорости

В релятивистской механике, как и в ньютоновой, импульс материальной точки пропорционален её массе и совпадает по направлению со скоростьюэтой точки. Однако, в отличие от классической механики, импульс материальной точки является нелинейной функцией её скорости

.

Такой импульс называют релятивистским импульсом. Величину

называют релятивистской массой материальной точки.

1.12.8. Основной закон релятивисткой механики

Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на эту точку, т. е.

или.

Ускорение, сообщаемое материальной точке силой:

.

Следовательно, ускорение материальной точки, вообще говоря, не совпадает по направлению с силой, вызывающей это ускорение.

Вектор коллинеарен силетолько в двух случаях:

• сила направлена перпендикулярно к скорости точки (поперечная сила), так что , и

;

• сила направлена параллельно к скорости точки (продольная сила), так что , и

.