1.13.2.5. Момент инерции однородного стержня

Найдем момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси , проходящей через один из его концов перпендикулярно продольной геометрической оси симметрии (см. рис. 1.61). Разобьем стержень на элементарные массыdm бесконечно малой длины , удаленные от оси вращения на расстояние. Введем понятие линейной плотности массы стержня, гдеm – масса стержня,  – его длина, тогда элементарная масса , а момент инерции стержня будет равен

Рис. 1.61.

.

Учитывая, что , получим момент инерции однородного стержня относительно оси:

.

1.13.2.6. Теорема Штейнера

Как правило, путем интегрирования легко вычислить момент инерции I₀ симметричного тела относительно оси, проходящей через центр масс. Теорема Штейнера позволяет найти момент инерции относительно произвольной параллельной оси. Она формулируется следующим образом:

Момент инерции относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси вращения, проходящей через центр инерции тела, и произведения массы этого тела на квадрат расстояния между осями.

.

Найдем момент инерции диска относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно плоскости диска (рис. 1.62). В этом случае a = R и, согласно теореме Штейнера,

Рис. 1.62.

.

Теперь рассчитаем момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр инерции (середину) стержня. Для оси, проходящей через конец стержня . Расстояние между осями (рис. 1.63). Тогда по теореме Штейнера. Отсюда.

Рис. 1.63

Видим, что в любом случае момент инерции тела представляется в виде I = kmr², где r – какой-либо характерный размер тела, а k – коэффициент пропорциональности, зависящий от формы тела. Единица измерения момента инерции – кг∙м².

7. Свободная ось вращения. Главные оси инерции

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Чтобы удержать ось от перемещений в пространстве, заключим ее в подшипники. При вращении тела возникают силы взаимодействия между осью и подшипниками, удерживающие ось вращения в заданном положении. В случае вращения однородного симметричного тела вокруг оси симметрии силы бокового давления подшипников на ось не возникают. В отсутствие силы тяжести подшипники можно было бы убрать – ось и без них сохраняла бы своё положение в пространстве. Ось вращения, положение которой в пространстве остается неизменным в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела.

Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями. Они называются главными осями инерции тела. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела.

Так, для прямоугольного параллелепипеда главные оси инерции проходят так, как показано на рис. 1.63, а моменты инерции относительно этих осей в общем случае не равны.

У тел с осевой симметрией одной главной осью инерции служит ось симметрии, а остальными – любые две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции, и перпендикулярные оси симметрии (рис. 1.64). Для этих осей в общем случае . Такое тело называется симметричным волчком. Примером симметричного волчка может служить тело цилиндрической формы или юла.

Рис. 1.63.

У тела с центральной симметрией ни одна из главных осей не фиксирована, ими могут служить любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр симметрии. Для этих осей моменты инерции равны . Такое тело называется шаровым волчком. Примером шарового волчка может служить тело в форме шараили в форме куба.

Если тело вращается в условиях, когда какое-либо воздействие извне отсутствует, то устойчивым оказывается только вращение вокруг главных осей, соответствующих максимальному и минимальному значениям момента инерции. Вращение вокруг оси, соответствующей промежуточному по величине моменту инерции, будет неустойчивым. Можно легко наблюдать это явление, бросая вращающийся прямоугольный брусок (спичечный коробок, коробку из-под конфет).

Рис. 1.64.

Под действием внешней силы устойчивым является вращение тела вокруг главной оси, соответствующей максимальному моменту инерции .

7. Понятие о тензоре инерции тела

Определим, в каком соотношении находятся моменты инерции тела, вычисленные относительно различных координатных осей. Для этого разобьем тело на совокупность материальных точек массой dm (рис.1.65). Затем дважды запишем одно и то же выражение равное , гдемодуль радиус-вектора материальной точки массойdm. Сложим и перегруппируем оба равенства:

Рис. 1.65.

Как видно из рис. 1.65, это квадраты расстояний от материальной точки до осей координат. Тогда

момент инерции тела относительно оси х;

момент инерции тела относительно оси у;

момент инерции тела относительно оси z, и

Для плоских тел, лежащих в плоскости xy, ,, тогда

Для тела в форме шара, если ось вращения проходит через центр масс, то все три момента инерции равны:. Найдем, например,.

Разобьем шар на очень тонкие сферические слои (рис. 1.66) массой , где  плотность вещества шара. .

dV  объем сферического слоя.

Масса сферического слоя

Подставляя в формулу для момента инерции, получим:

Рис. 1.66.

Теперь рассмотрим тело произвольной формы, вращающееся с угловой скоростью вокруг некоторой оси, проходящей через центр масс. Совместим с центром масс начало координат. Момент импульса теласкладывается из моментов импульсовматериальных точек, составляющих это тело.

Учитывая, что , и применяя свойство двойного векторного произведения (см. ПриложениеI), получим

Используя разложения векторов ипо осям координат, их скалярное произведение можно представить как. Тогда проекции векторана оси координат запишутся как

Как видно из рис. 1.65, это квадраты расстояний от материальной точки до осейИнтегрирование полученной системы уравнений, придем к выражениям для проекций вектора момента импульса всего тела:

Величины есть моменты инерции тела относительно осейа величины

называют центробежными моментами инерции.

Совокупность всех этих величин, записанную в виде матрицы, называют тензором инерции тела

.

Компоненты являются диагональными элементами тензора, остальные недиагональными. Величины, расположенные симметрично относительно диагонали, попарно равны: . Такой тензор называется симметричным.

Матрицу-столбец вектора можно записать как произведение матрицы момента инерции на матрицу-столбец вектора:

или

Момент импульса тела весьма сложно зависит от распределения масс в теле. Его направление в общем случае не совпадает с направлением угловой скорости вращения.

Если оси координат направить вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции будут равны нулю, и тензор инерции приводится к диагональному виду:

.

Момент импульса в этом случае .

При вращении тела вокруг главной оси векторы момента импульса и угловой скорости совпадают по направлению.