Метод ортогонализации строк

Пусть дана система линейных уравнений .Преобразуем строки системы такчтобы матрица перешла в матрицу с ортогональными строкамиПри этом вектор перейдет в вектор. В результате получим эквивалентную систему , откуда . Чтобы не вычислять обратную матрицу, воспользуемся свойством ортогональных матриц: диагональная матрицаПоэтому .

Матрица обратная диагональнойнаходится просто:



Следовательно, решение системы сводится в основном к нахождению матрицы , которая может быть получена следующим образомИз каждой-й строки системывычтем первую строкуумноженную наПолучим матрицу. Множителидолжны быть такимичтобы первая строка матрицыбыла ортогональна всем остальным строкамте



Над матрицей проделываем аналогичную операцию: из каждой ее-й строкивычтем вторую строкуумноженную на



Получаем матрицу и тдпока не получится матрицавсе строки которой попарно ортогональны, т.е. матрицу.

Систему можно решить и по-другомуПусть она приведена к виду как было описано вышеУмножим каждое уравнение системы на



Получим где -ортогональная матрицаПоскольку у ортогональных матриц транспонированная матрица совпадает с обратнойто

Метод решения системы с ленточными матрицами

Если – положительно определенная ленточная матрицатакаячтоприто существует действительная невырожденная треугольная матрицадопускающая представление исходной матрицы в виде гдеесли

Элементы матрицы можно определить по строкамприравнивая элементы в обеих частях последнего уравненияЕсли принятьчто все элементыприиравны нулюто элементы-й строки удовлетворяют соотношениям

;



Решение системы уравнений осуществляется в два этапа:

Учитывая ширину ленточной матрицыполучаем следующий алгоритм для решения системы уравнений:



 (5)

Метод Холецкого

Дана СЛАУ где – симметрическая положительно определенная матрицадля которой справедливо разложениегде– нижняя треугольная матрица с единичной диагональю;- положительно определенная диагональная матрица

Такое разложение может быть выполнено за шаговпричем на-м шаге определяют-ю строку матрицы и-й элементматрицыВыражения для нахождения этих элементов имеют вид

; 

После тогокак матрицы и будут найденызаменим исходную систему двумя эквивалентными ей системами

Эти уравнения можно решитьпоследовательно вычисляя величины

;

Метод LU-разложения

В современных программахреализующих метод Гауссавычисления разбивают на два основных этапаПервый – вычислениеLU-разложения матрицы системывторой – обработка правых частей и вычисление решения

Для проведения первого этапа не нужна информация о правой части СЛАУи поэтому он может быть выполнен независимоЭто этап предварительной подготовки к быстрому вычислению решенияИменно для полученияLU-разложения производится основная масса вычислений (арифметических операций)

Итакв результате выполнения первого этапа СЛАУ будет преобразована к виду

На втором этапе: 1) преобразуют по формулам прямого ходатеСЛАУ преобразуют к виду 2) с помощью обратной подстановки (обратный ход) решают полученную системуДля непосредственного вычисления решенияна втором этапе требуетсяарифметических операций